第4章習題答案4-1解：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數的某一個參數變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復平面上變化的軌跡。根軌跡的作用是提供圖解方法分析閉環(huán)控制系統(tǒng)性能。4-2解：4-3解：點若在根軌跡上，則必然滿足相角條件：故在根軌跡上。由得=12，將原式化為標準形式，即得，故K=1.5.4-4解：（1）根據法則1得，分支數為max(3,0)=3.根據法則2得，起點為0，-5，-2，終點為無窮遠。根據法則3得，實軸上的根軌跡和根據法則4得，漸近線n-m=3條：根據法則5得，得d1=-0.88,d2=-3.79（舍去）根據法則6知，無起始角和終止角。根據法則7得，根軌跡與虛軸交點，令代入根軌跡方程得，有根據以上規(guī)則繪制出該系統(tǒng)的完整根軌跡圖，如圖（1）所示.（1）（2）、（3）、（4）（5）步驟同（1）（2）（3）（4）（5）4-5解：（1）取純虛根j代入根軌跡方程得（2）漸近線：，分離點：,與虛軸交點：，起始角：4-6解：先概要繪制出根軌跡求根軌跡與虛軸交點：解得：，，當時，求得。故時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4-7解：先概要繪制出根軌跡求根軌跡與虛軸交點：解得：，，故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為(1,1.29).4-8解：分離點：，解得將分別代入幅值條件得閉環(huán)特征方程為，把代入，整理，令實部、虛部分別為0得：，解得，故產生重實根的為0.54,7.46，產生純虛根的為2.4-9解：（1）系統(tǒng)特征方程為，以除以方程兩邊得等效開環(huán)傳遞函數為，當b從零變化到無窮大時，根軌跡為當b=2時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為。（2）系統(tǒng)特征方程為，以除以方程兩邊得等效開環(huán)傳遞函數為，當b從零變化到無窮大時，根軌跡為當b=2時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為。4-10解：漸近線為，（1）a>1時，當K從零變化到無窮大時，根軌跡形狀隨漸近線、零極點取值不同由（a）向（b）變化，但始終位于復平面左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定（a）（b）（2）a=1時，特征方程為，以除以方程兩邊得等效開環(huán)傳遞函數為，當K從零變化到無窮大時，根軌跡為此時，兩條根軌跡與虛軸重合，一條根軌跡濃縮成點。（3）a<1時，當K從零變化到無窮大時，根軌跡形狀隨漸近線、零極點取值不同由（c）向（d）變化，有根軌跡位于復平面右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定（c）（d）（4）a=0時，特征方程為，以除以方程兩邊得等效開環(huán)傳遞函數為，當K從零變化到無窮大時，根軌跡為此時，系統(tǒng)為III型系統(tǒng)，不穩(wěn)定。4-11解：（1）根軌跡如圖所示（2）閉環(huán)傳遞函數為特征方程為（1）依題意，上式還可寫成：（2）（1）式（2）式對比得：把代入得，再代入上式中，推得，解得（舍去），此時解得所求共軛極點為-0.577±0.577j。4-12解：根軌跡如下圖閉環(huán)傳遞函數為特征方程為（1）依題意，上式還可寫成：（2）（1）式（2）式對比，將代入得：解得=-13.8（舍去），2.26,0.515當=2.26時，解出極點