第2章初等數(shù)學(xué)模型2.1量綱分析法2.2比例與函數(shù)建模法

2.1量綱分析法

量綱分析法提出于20世紀(jì)初，是物理學(xué)中常用的一種定性分析方法，也是在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)有力工具。它是在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用物理定律的量綱齊次性原則，確定各物理量之間關(guān)系的一種方法。2.1.1量綱齊次性原則

許多物理量是有量綱的，有些物理量的量綱是基本的，另一些物理量的量綱則可以由基本量綱根據(jù)其定義或某些物理定律推導(dǎo)出來(lái)。例如在動(dòng)力學(xué)中，把長(zhǎng)度l、質(zhì)量m和時(shí)間t的量綱作為基本量綱，記為

［l］=L，［m］=M，［t］=T

而速度v、力f的量綱可表示為

［v］=LT－1，［f］=MLT－2

在國(guó)際單位制中，有7個(gè)基本量，即長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、溫度、光強(qiáng)度和物質(zhì)的量，它們的量綱分別

為L(zhǎng)、M、T、I、Θ、J和N，稱為基本量綱。任一個(gè)物理量q的量綱都可以表示成基本量綱的冪次之積

量綱齊次性原則用數(shù)學(xué)公式表示一個(gè)物理定律時(shí)，等式兩端必須保持量綱一致。量綱分析就是在保證量綱一致的原則下，分析和探求物理量之間的關(guān)系。2.1.2量綱分析的一般方法

【例2.1】（單擺運(yùn)動(dòng)）質(zhì)量為m的小球系在長(zhǎng)度為

l的線的一端，線的另一端固定，小球偏離平衡位置后，在重力mg作用下作往復(fù)擺動(dòng)，忽略阻力，求擺動(dòng)周期t的表達(dá)式。

解在這個(gè)問(wèn)題中有關(guān)的物理量有t、m、

l、g，設(shè)它們之間有關(guān)系式:

(2.1)

其中,α1、α2、

α3為待定常數(shù)，λ為無(wú)量綱的比例系數(shù)，取式（2.1）的量綱表達(dá)式為整理得由量綱齊次原則,應(yīng)有這與單擺的周期公式是一致的。圖2.1四足動(dòng)物軀干示意圖（2）把圓柱體軀干看做一根支撐在四肢上的彈性梁，動(dòng)物在體重f作用下的最大下垂，即梁的最大彎曲為δ，根據(jù)彈性力學(xué)彎曲度理論有2.2.2雙重玻璃的功效

問(wèn)題：房間居室的窗戶有的是雙層的，即在窗戶上裝兩層玻璃，且中間留有一定的空隙，試比較雙層玻璃窗與單層玻璃窗的熱量流失。

模型假設(shè):

（1）設(shè)雙層玻璃窗的兩玻璃的厚度都為d，兩玻璃的間距為l，單層玻璃窗的玻璃厚度為2d，所用玻璃材料相同，如圖2.2所示。圖2.2雙層玻璃窗與單層玻璃窗（2）假設(shè)窗戶的封閉性能很好，兩層玻璃之間的空氣不流動(dòng)，即忽略熱量的對(duì)流，只考慮熱量的傳導(dǎo)。

（3）室內(nèi)溫度T1和室外溫度T2保持不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)，即單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量為常數(shù)。（4）玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。

模型建立：

對(duì)于厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為ΔT，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量Q與ΔT成正比，與厚度d成反比，即

其中，

k為熱傳導(dǎo)系數(shù)?，F(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲、乙兩系各3人（如表2.1第2列所示）。按照上面的執(zhí)行方法分配席位時(shí)出現(xiàn)了小數(shù)，在將取得整數(shù)的19席位分配完畢后，三系同意將剩下的1名席位分配給比例中小數(shù)部分最大的丙系，于是三系仍分別占有10、6、4個(gè)席位（表2.1中第4列）。

因?yàn)橛?0個(gè)席位的代表會(huì)議在表決時(shí)可能出現(xiàn)10∶10對(duì)等的局面，會(huì)議決定下一屆增加1席。按照上述方法重新分配席位，計(jì)算結(jié)果為三系分別占有11、7、3個(gè)席位（見(jiàn)表2.1第5、6列）。這個(gè)結(jié)果對(duì)丙系而言太不公平，因?yàn)榭傁辉黾?個(gè)，