試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．和 B．和 C．2和 D．和2．據(jù)我國(guó)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測(cè)算，2025年“五一”期間，國(guó)內(nèi)游客出游人次，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，直線，若，則（

）A． B． C． D．4．下列人工智能助手圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．6．某校七年級(jí)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加1分鐘跳繩測(cè)試，每人10次跳繩成績(jī)的平均數(shù)（單位：個(gè)）及方差（單位：個(gè)2）如下表所示：甲乙丙丁平均數(shù)205217208217方差4.64.66.99.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，應(yīng)選擇（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角相等8．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑．若，則（

）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，在“方程”章中記載了求不定方程（組）解的問題．例如方程恰有一個(gè)正整數(shù)解．類似地，方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的交點(diǎn)位于軸下方，且時(shí)，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．11．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．12．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算：，給出下列結(jié)論：①；②若，則；③；④若，則的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題13．若點(diǎn)在第一象限，則的取值范圍是．14．一組數(shù)據(jù)3，2，6，7，4，6的中位數(shù)是．15．若一元二次方程的兩根為，則的值為．16．如圖，梯形中，，與梯形的各邊都相切，且的面積為，則點(diǎn)到的距離為．三、解答題17．計(jì)算：．18．如圖，在菱形中，分別是邊上的點(diǎn)，且．求證：．19．化簡(jiǎn)：．

20．某市教育綜合實(shí)踐基地開設(shè)有：巧手木藝；：創(chuàng)意縫紉；：快樂種植；：美味烹飪；：愛心醫(yī)護(hù)等五門課程．某校組織八年級(jí)學(xué)生到該基地開展活動(dòng)，一段時(shí)間后，基地采用隨機(jī)抽樣的方式，在該校八年級(jí)抽取部分學(xué)生開展了“我最喜歡的綜合實(shí)踐課程”的問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．課程名稱巧手木藝創(chuàng)意縫紉快樂種植美味烹飪愛心醫(yī)護(hù)人數(shù)61218根據(jù)圖表信息，回答下列問題：(1)______，扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“巧手木藝”部分對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是________；(2)若該校八年級(jí)共有480名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校八年級(jí)最喜歡兩門課程的學(xué)生人數(shù)；(3)小明同學(xué)從四門課程中隨機(jī)選擇兩門，求恰好選中兩門課程的概率．21．某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)均為125元，隨著生產(chǎn)成本的降低，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進(jìn)價(jià)為80元．(1)求乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率；(2)2024年該超市用不超過7800元的資金一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，求最少購(gòu)進(jìn)多少件甲種商品．22．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個(gè)單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，求的值．

23．如圖，在水平地面上有兩座建筑物，其中．從之間的點(diǎn)（在同一水平線上）測(cè)得點(diǎn)，點(diǎn)的仰角分別為和，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為．(1)求的度數(shù)；(2)求建筑物的高度（計(jì)算過程和結(jié)果中的數(shù)據(jù)不取近似值）．24．如圖，是的直徑，過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，若四邊形是正方形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，的最小值為3，求的值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ACBCCBABCD題號(hào)1112答案BB1．A【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：A.和互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.和，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.和，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.和，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．2．C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：，故選：C．3．B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴故選：B．4．C【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義即可求解．【詳解】解：A、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該圖形是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5．C【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算，以及完全平方公式，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，合并同類項(xiàng)，積的乘方運(yùn)算法則，以及完全平方公式判斷即可．【詳解】解：A、，原寫法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，原寫法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，寫法正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、，原寫法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．B【分析】本題考查的是方差和算術(shù)平均數(shù)，掌握方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平均環(huán)數(shù)比較成績(jī)的優(yōu)劣，根據(jù)方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．結(jié)合表中數(shù)據(jù)，先找出平均數(shù)最大的同學(xué)；再根據(jù)方差的意義，找出方差最小的同學(xué)即可．【詳解】解：從平均數(shù)的角度分析，乙和丁同學(xué)平均成績(jī)最高，從方差角度分析，乙和甲方差最小，最穩(wěn)定，∴選擇乙同學(xué)參加比賽，故選：B．7．A【分析】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)要從邊、角、對(duì)角線三方面入手，并加以考慮它們之間的聯(lián)系和區(qū)別．根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、矩形的對(duì)角線相等，而菱形的對(duì)角線不一定相等，故本選項(xiàng)符合題意；B、矩形和菱形對(duì)角線都互相平分，故本選項(xiàng)不符合題意；C、菱形的對(duì)角線垂直，矩形的對(duì)角線不一定垂直，故本選項(xiàng)不符合題意；D、矩形和菱形都是對(duì)角相等，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．8．B【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，進(jìn)而根據(jù)為的直徑，得出，進(jìn)而得出即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴故選：B．9．C【分析】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)題意寫出的正整數(shù)解，即可求解．【詳解】解：∵∴正整數(shù)解為：，；，；，共3個(gè)，故選：C．10．D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式可得，即，據(jù)此可判斷A；根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，，再由當(dāng)時(shí)，，可得拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在直線和軸之間，則拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)一定在直線和直線之間，據(jù)此可判斷B；當(dāng)時(shí)，，再由，即可判斷D；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)當(dāng)時(shí)，則原函數(shù)解析式為，則當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可判斷C．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，故A選項(xiàng)中原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸下方，∴當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)一定在直線和軸之間，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)一定在直線和直線之間，∴拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，∴，故B選項(xiàng)中原結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，∴拋物線開口向上，∵拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)一定在直線和直線之間，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，故D選項(xiàng)中原結(jié)論正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則原函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)中原結(jié)論不正確，不符合題意；故選：D．11．B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，三線合一，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)．過點(diǎn)D作于G，過點(diǎn)F作于H，由正方形的性質(zhì)得到；由線段中點(diǎn)的定義得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可證明，解得到，由三線合一定理得到，則；解得到，，則，在中，由勾股定理得，即可解題．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作于G，過點(diǎn)F作于H，∵四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴；∵為的中點(diǎn)，∴；在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴；在中，，∵，，∴，∴；在中，，，∴，在中，由勾股定理得．故選：B．12．B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義運(yùn)算分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義運(yùn)算法則，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：①∵，∴，故①正確，②∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，故②不正確；③不成立，例如，則，故③不正確；④當(dāng)即時(shí)，則：，解得：，∴；當(dāng)，即時(shí)，則：，解得：，∴，綜上所述，，故④正確，故正確的有①和④，共2個(gè)，故選：B．13．【分析】本題考查象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特征，解一元一次不等式．解題的關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)系中每個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根據(jù)第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)為，得到，再解一元一次不等式即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在第一象限，∴，解得：，故答案為：．14．5【分析】本題主要考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，把一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，處在最中間的那個(gè)數(shù)據(jù)或最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解；把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：2，3，4，6，6，7，處在最中間的兩個(gè)數(shù)分別為4，6，∴中位數(shù)為，故答案為：5．15．10【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握如果一元二次方程的兩根為，，則．先根據(jù)題意得到，，則將變形為，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，，∴，∴，故答案為：10．16．【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，難度較大，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．設(shè)分別與的切點(diǎn)記為點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)證明四邊形為矩形，則，可求圓的半徑為，設(shè)，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解．【詳解】解：設(shè)分別與的切點(diǎn)記為點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴，∵梯形，，∴點(diǎn)共線，∴四邊形為矩形，∴，∵的面積為，∴，∴，∴，設(shè)，∵，∴，∴∵在中，，∴，解得：或（舍），∴，同理可得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)到的距離為，故答案為：．17．【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，先計(jì)算45度角的正切值，再計(jì)算零指數(shù)和算術(shù)平方根，接著計(jì)算乘方，最后計(jì)算加減法即可得到答案．【詳解】解：．18．證明見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再由線段的和差關(guān)系證明，則可利用證明，據(jù)此由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證明．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．19．【分析】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把分子合并同類項(xiàng)后分解因式，再把第一個(gè)分式的分子分解因式，接著把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：．20．(1)15；(2)120名(3)【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表以及熟知概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）用最喜愛“快樂種植”的人數(shù)除以其人數(shù)占比得到參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可求出a、b的值，再用360度乘以“巧手木藝”的人數(shù)占比即可求出對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（2）用480乘以樣本中八年級(jí)最喜歡兩門課程的學(xué)生人數(shù)占比即可得到答案；（3）先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到恰好選中兩門課程的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解；（名），∴本次一共調(diào)查了60名學(xué)生，∴；∴，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“巧手木藝”部分對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是；故答案為：15；；（2）解：（名），答：估計(jì)該校八年級(jí)最喜歡兩門課程的學(xué)生人數(shù)為120名；（3）解：根據(jù)題意列表如下；由表格可知，一共有12中等可能性的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中兩門課程的結(jié)果數(shù)有兩種，∴恰好選中兩門課程的概率為．21．(1)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為(2)最少購(gòu)進(jìn)甲種商品40件【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為x，根據(jù)乙商品2022年的進(jìn)價(jià)為125元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，2024年的進(jìn)價(jià)為80元列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品m件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品件，根據(jù)購(gòu)買資金不超過7800元列出不等式求出m的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為x，由題意得，，解得或（舍去），答：乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品m件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品件，由題意得，，∴，解得，∴m的最小值為40，即最少購(gòu)進(jìn)甲種商品40件，答：最少購(gòu)進(jìn)甲種商品40件．22．(1)；(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)圖象的問題，熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中計(jì)算求解即可得到答案；（2）根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律可得直線解析式為，則可求出，過點(diǎn)A作軸交直線于T，則，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴一次函數(shù)解析式為；∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個(gè)單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；如圖所示，過點(diǎn)A作軸交直線于T，∵，∴點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為2，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．23．(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（1）過點(diǎn)C作于H，則，利用三角形內(nèi)角和定理分別求出的度數(shù)即可得到答案；（2）過點(diǎn)E作于T，則，求出，則可求出；解得到，解得到，，則解可得，則，解可得；再證明四邊形是矩形，得到，則.【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作于H，則，由題意得，，∴，，∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)E作于T，則，∴，∴；在中，，在中，，，在中，，∴，在中，；∵，∴四邊形是矩形，∴，∴；答：建筑物的高度為24．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由切線的性質(zhì)可得，證明，可得，據(jù)此由切線的判定定理可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作于H，過點(diǎn)D作于M，設(shè)，則，解得到，則，解方程可得，則，，，由勾股定理得，則；解得到，則，，由勾股定理得；由等面積法可得，證明，得到；證明可得，則．【詳解】（1）證明；如圖所示，連接，∵是的切線，