專題限時集訓(八)空間幾何體的三視圖、表面積和體積(對應學生用書第93頁)(限時：40分鐘)題型1幾何體的三視圖、表面積和體積2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19題型2球與幾何體的切接問題1,7,8,9,10,12,13,18,20一、選擇題1．一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側視圖、俯視圖都是如圖8-12所示，圖中圓內有一個以圓心為中心邊長為1的正方形，則這個四面體的外接球的表面積是()圖8-12A．π B．3πC．4π D．6πB[由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內接正四面體，∴此四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長為eq\r(3)，∴此四面體的外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up20(2)＝3π，故選B.]2．(2017·惠州三調)某四棱錐的三視圖如圖8-13所示，該四棱錐最長棱的棱長為()【導學號：07804060】圖8-13A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2C[四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1，故最長棱PA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3).]3．(2017·沈陽一模)已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面積為4π，則SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D．eq\f(3,2)B[根據已知把S-ABC補成如圖所示的長方體．因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1,2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故選B.]4．(2017·廣州一模)如圖8-14，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側視圖，且該幾何體的體積為eq\f(8,3)，則該幾何體的俯視圖可以是()圖8-14eq\o(\s\up14(),\s\do5(A))eq\o(\s\up14(),\s\do5(B))eq\o(\s\up14(),\s\do5(C))eq\o(\s\up14(),\s\do5(D))D[由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，其底面為正方形，面積為2×2＝4，因為該幾何體的體積為eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3)，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形.選D.]5．(2017·江西五校聯考)如圖8-15是一個正三棱柱挖去一個圓柱后得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積與挖去的圓柱的體積的比值為()圖8-15A.eq\f(3\r(3),π)－1 B．eq\f(3\r(3),π)－eq\f(1,3)C.eq\f(3\r(3),π) D．eq\f(3\r(3),π)＋1A[由三視圖知圓柱與正三棱柱的各側面相切，設圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h.正三棱柱底面三角形的高為3r，邊長為2eq\r(3)r，則V正三棱柱＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)r×3rh＝3eq\r(3)r2h，所以該幾何體的體積V＝(3eq\r(3)－π)r2h，則該幾何體的體積與挖去的圓柱的體積的比值為eq\f(3\r(3)－πr2h,πr2h)＝eq\f(3\r(3),π)－1.]6．(2017·鄭州第一次質量檢測)某幾何體的三視圖如圖8-16所示，則該幾何體的體積為()圖8-16A．80 B．160C．240 D．480B[如圖所示，題中的幾何體是從直三棱柱ABC-A′B′C′中截去一個三棱錐A-A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10，因此題中的幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×10－eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×10))＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×8))×10＝160，選B.]7．(2017·南昌十校二模聯考)三棱錐P-ABC的四個頂點都在體積為eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為()A．4 B．6C．8 D．10C[依題意，設題中球的球心為O、半徑R，△ABC的外接圓半徑為r，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(500π,3)，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為eq\r(R2－r2)＝3，因此三棱錐P-ABC的高的最大值為5＋3＝8，選C.]8．(2017·蘭州實戰(zhàn)模擬)某幾何體的三視圖如圖8-17所示，則下列說法正確的是()【導學號：07804061】圖8-17①該幾何體的體積為eq\f(1,6)；②該幾何體為正三棱錐；③該幾何體的表面積為eq\f(3,2)＋eq\r(3)；④該幾何體外接球的表面積為3π.A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④B[根據該幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，其底面為一個直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，它的另外三條棱長均為eq\r(2)，顯然其是一個正三棱錐，②正確；該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，①正確；該幾何體的表面積S＝3×eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(3),2)，③錯誤；該幾何體外接球的直徑為2R＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，所以其外接球的表面積為4πR2＝3π，④正確．故選B.]9．(2017·廣州高中畢業(yè)班綜合測試)如圖8-18，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是()圖8-18A．25π B．eq\f(25,4)πC．29π D．eq\f(29,4)πD[由俯視圖，可得該三棱錐底面外接圓的半徑r＝eq\f(5,4)，∴三棱錐的外接球的半徑R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up20(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(2))＝eq\f(\r(29),4)，∴三棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(29,4)π.]10．(2017·石家莊、唐山聯考)已知三棱錐P-ABC的頂點都在同一個球面上(球O)，且PA＝2，PB＝PC＝eq\r(6)，當三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和最大時，該三棱錐的體積與球O的體積的比值是()A.eq\f(3,16π) B．eq\f(3,8π)C.eq\f(1,16π) D．eq\f(1,8π)A[三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和為eq\f(1,2)×2×eq\r(6)sin∠APB＋eq\f(1,2)×2×eq\r(6)sin∠APC＋eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(6)sin∠BPC，由于∠APB，∠APC，∠BPC相互之間沒有影響，所以只有當上述三個角均為直角時，三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和最大，此時PA，PB，PC兩兩垂直，以其為長方體的三條棱長得出一個長方體，則三棱錐P-ABC與該長方體有共同的外接球，故球O的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(22＋\r(6)2＋\r(6)2)＝2，所以三棱錐P-ABC的體積與球O的體積的比值是eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2×\r(6)×\r(6),\f(4,3)π×23)＝eq\f(3,16π).]11．從點P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點，若OP＝eq\r(3)，則球的體積為()A.eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(4π,3) D．eq\f(8π,3)C[設OP交平面ABC于O′，由題得△ABC和△PAB為正三角形，所以O′A＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(3),3)AP.因為AO′⊥PO，OA⊥PA，所以eq\f(OP,OA)＝eq\f(AP,AO′)，eq\f(AO′,AB)＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(AO′,AP)＝eq\f(\r(3),3)，所以OA＝eq\f(OP·O′A,AP)＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝1，即球的半徑為1，所以其體積為eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π.選C.]12．(2017·開封模擬)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1A.eq\f(40π,3) B．eq\f(40\r(30)π,27)C.eq\f(320\r(30)π,27) D．20π由題意可得，球心O為O1O2的中點．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，所以BC＝eq\r(7).由正弦定理可得，△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(2\r(7),\r(3))，所以r＝eq\f(\r(7),\r(3))＝eq\f(\r(21),3).而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝eq\f(1,2)BB1＝1，設直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半徑為R，由球的截面的性質可得R2＝r2＋d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),3)))eq\s\up20(2)＋12＝eq\f(10,3)，所以球的體積為V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(40\r(30)π,27).故選B.]13．(2017·惠州模擬)已知一個平放的棱長為4的三棱錐內有一小球O(重量忽略不計)，現從該三棱錐頂端向內注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時，小球與該三棱錐各側面均相切(與水面也相切)，則球的表面積等于()【導學號：07804062】A.eq\f(7,6)π B．eq\f(4,3)πC.eq\f(2,3)π D．eq\f(1,2)πC[由題意，沒有水的部分的體積是正四面體體積的eq\f(1,8)，∵正四面體的各棱長均為4，∴正四面體體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×42×eq\r(16－\f(16,3))＝eq\f(16\r(2),3)，∴沒有水的部分的體積是eq\f(2\r(2),3)，設其棱長為a，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(2\r(2),3)，∴a＝2，設小球的半徑為r，則4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22r＝eq\f(2\r(2),3)，∴r＝eq\f(\r(6),6)，∴球的表面積S＝4π·eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)π.故選C.]14．(2017·寧德三模)已知正△ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是()圖8-19A.eq\f(7,4)π B．2πC.eq\f(9,4)π D．3πC[設正△ABC的中心為O1，連接O1A，O1O，O1E，OE∵O1是正△ABC的中心，A，B，C三點都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半徑R＝2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O＝1，∴Rt△O1OA中，O1A＝eq\r(OA2－OO\o\al(2,1))＝eq\r(3)，又∵E為AB的中點，△ABC是等邊三角形，∴AE＝AO1cos30°＝eq\f(3,2).∵過E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，∴當截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．此時截面圓的半徑r＝eq\f(3,2)，可得截面面積為S＝πr2＝eq\f(9π,4).故選C.]二、填空題15．(2017·鄭州二模)正方體的八個頂點中，有四個恰好為一個正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為________．eq\r(3)[如圖，四面體A-BCD的所有棱均為正方體的面對角線，設正方體的棱長為a，則正方體的表面積為6a2，正四面體的棱長均為eq\r(2)a，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2，則eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]16．(2017·南昌一模)如圖8-20，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉一周，則所得的幾何體的表面積為________．圖8-20(eq\r(2)＋3)π[根據題意可知，此旋轉體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示．則所得幾何體的表面積為圓錐側面積、圓柱的側面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π.]17．(2017·武漢4月模擬)在四面體P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC＝1，則該四面體體積的最大值為________．eq\f(\r(3),12)[由題意知，△PBC的面積為定值，如圖，當PA垂直于平面PBC時，該四面體的體積最大，Vmax＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).]18．(2017·山東日照一模)現有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為________.【導學號：07804063】eq\f(\r(6),3π)[設球的半徑為R，正方體的棱長為a.由題意得當正方體體積最大時，a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up20(2)＝R2，∴R＝eq\f(\r(6),2)a，∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為eq\f(a3,\f(1,2)×\f(4,3)πR3)＝eq\f(a3,\f(2,3)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))eq\s\up20(3))＝eq\f(\r(6),3π).]19．(2016·寧夏銀川一中月考)已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，則四棱錐C1-B1EDF【導學號：07804064】eq\f(1,6)a3[法一：(直接法)如圖所示，連接A1C1，B1D1交于點O1，連接B1D，EF，過O1作O1H⊥B1D于H.因為EF∥A1C1，且A1C1?平面B1EDF，EF?平面B1所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，所以O1H⊥平面B1EDF，所以O1H等于四棱錐C1-B1EDF的高．因為△B1O1H∽△B1DD1，所以O1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a.所以VC1-B1EDF＝eq\f(1,3)S四邊形B1EDF·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·EF·B1D·O1H＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3.法二：(體積分割法)連接EF，B1D.設B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\