24.4.1弧長和扇形面積第二十四章

圓人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********24.4.1弧長和扇形面積一、引入在生活中，我們常常會遇到與弧長和扇形面積相關(guān)的問題。比如，制作一個扇形的燈罩需要計算所用材料的面積，修建弧形的跑道需要知道跑道的長度。這些都涉及到弧長和扇形面積的計算。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)如何計算弧長和扇形面積。二、弧長公式（一）推導(dǎo)過程我們知道，圓的周長公式為\(C=2\pir\)（其中\(zhòng)(r\)為圓的半徑），圓的周長對應(yīng)的是圓心角為\(360^\circ\)的弧長。那么，圓心角為\(1^\circ\)的弧長就是圓周長的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{2\pir}{360}=\frac{\pir}{180}\)。因此，圓心角為\(n^\circ\)的弧長\(l\)的計算公式為：\(l=\frac{n\pir}{180}\)。（二）公式解讀在弧長公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)中，\(n\)表示圓心角的度數(shù)，\(r\)表示圓的半徑，\(l\)表示弧長。應(yīng)用公式時，要注意單位的統(tǒng)一，\(n\)的單位是度，\(r\)和\(l\)的單位要一致。三、扇形面積公式（一）扇形的定義由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。（二）面積公式推導(dǎo)圓的面積公式為\(S=\pir^2\)，圓的面積對應(yīng)的是圓心角為\(360^\circ\)的扇形面積。那么，圓心角為\(1^\circ\)的扇形面積就是圓面積的\(\frac{1}{360}\)，即\(\frac{\pir^2}{360}\)。因此，圓心角為\(n^\circ\)的扇形面積\(S\)的計算公式為：\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)。另外，扇形面積還可以通過弧長來表示。因為\(l=\frac{n\pir}{180}\)，所以\(\frac{n\pir}{360}=\frac{1}{2}l\)，代入扇形面積公式可得\(S=\frac{1}{2}lr\)（其中\(zhòng)(l\)為扇形的弧長，\(r\)為扇形所在圓的半徑）。（三）公式解讀扇形面積的兩個公式各有側(cè)重，\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)適用于已知圓心角和半徑的情況；\(S=\frac{1}{2}lr\)適用于已知弧長和半徑的情況，應(yīng)用時可根據(jù)具體條件選擇合適的公式。四、例題講解例題1：已知一個圓的半徑為6cm，求圓心角為\(60^\circ\)所對的弧長。解：根據(jù)弧長公式\(l=\frac{n\pir}{180}\)，其中\(zhòng)(n=60^\circ\)，\(r=6\)cm，可得：\(l=\frac{60\times\pi\times6}{180}=\frac{360\pi}{180}=2\pi\)（cm）所以，圓心角為\(60^\circ\)所對的弧長為\(2\pi\)cm。例題2：一個扇形的圓心角為\(120^\circ\)，所在圓的半徑為9cm，求這個扇形的面積。解：方法一：根據(jù)扇形面積公式\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)，其中\(zhòng)(n=120^\circ\)，\(r=9\)cm，可得：\(S=\frac{120\times\pi\times9^2}{360}=\frac{120\times\pi\times81}{360}=27\pi\)（\(cm^2\)）方法二：先求出扇形的弧長\(l\)，\(l=\frac{120\times\pi\times9}{180}=6\pi\)（cm）再根據(jù)\(S=\frac{1}{2}lr\)，可得\(S=\frac{1}{2}\times6\pi\times9=27\pi\)（\(cm^2\)）所以，這個扇形的面積為\(27\pi\)\(cm^2\)。五、課堂練習(xí)填空題（1）一個圓的半徑為5cm，圓心角為\(90^\circ\)所對的弧長為（

）cm。（2）一個扇形的弧長為\(4\pi\)cm，所在圓的半徑為6cm，則這個扇形的圓心角為（

）度。解答題（1）已知一個圓的半徑為10cm，求圓心角為\(150^\circ\)所對的弧長和該弧所在扇形的面積。（2）一個扇形的面積為\(10\pi\)\(cm^2\)，圓心角為\(72^\circ\)，求該扇形所在圓的半徑。六、課堂總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了弧長和扇形面積的計算。弧長公式是\(l=\frac{n\pir}{180}\)，它是根據(jù)圓心角與周角的比例關(guān)系推導(dǎo)出來的；扇形面積有兩個公式，分別是\(S=\frac{n\pir^2}{360}\)和\(S=\frac{1}{2}lr\)，可根據(jù)不同的已知條件選擇使用。掌握這些公式，能幫助我們解決生活中與弧長和扇形面積相關(guān)的實際問題。七、作業(yè)布置教材第XX頁習(xí)題24.4的第1-5題。一個圓形花壇的半徑為8m，現(xiàn)要在花壇周圍修建一條弧形的小路，小路所對的圓心角為\(60^\circ\)，求小路的長度和小路與花壇圍成的扇形的面積。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解圖片欣賞

如圖，在運動會的

4×100米比賽中，甲和乙分別在第

1

跑道和第

2

跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.情境引入圖片來源：新浪體育與弧長相關(guān)的計算問題1

半徑為

R的圓，周長是多少？OR問題2

下圖中各圓心角所對的弧長分別占圓周長的多少?OR90°OR45°ORn°合作探究OR180°(1)

圓心角是180°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(2)

圓心角是90°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(3)

圓心角是45°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的(4)

圓心角是

n°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的________.________.________.________.注意：用弧長公式進(jìn)行計算時，要注意公式中

n的意義．n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.知識要點弧長公式算一算

已知弧所對的圓心角為

60°，半徑是

4，則弧長為

．

例1

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度

L(單位：mm，精確到1mm).解：弧

AB的長為因此所要求的展直長度

L=2×700+500π≈2971(mm).

答：管道的展直長度約為

2971mm.700mm700mmR=900mm(100°ACBDO

一滑輪起重機裝置(如圖)，滑輪的半徑R=10cm，當(dāng)重物上升15.7cm時，滑輪的一條半徑

OA繞軸心

O逆時針方向旋轉(zhuǎn)多少度？(假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動，π取3.14)·OA解：設(shè)半徑

OA繞軸心

O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為

n°，則解得n≈90°.因此，滑輪旋轉(zhuǎn)的角度約為90°.練一練

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形概念學(xué)習(xí)與扇形面積相關(guān)的計算判斷：下列圖形是扇形嗎？√×××√練一練合作探究問題1

半徑為

r的圓,面積是多少？Or問題2下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？具體是多少呢?Or180°Or90°Or45°Orn°圓心角占

周角的比例扇形面積占

圓面積的比例扇形的面積=半徑為

r

的圓中，圓心角為

n°的扇形的面積①公式中

n的意義：n表示

1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過程記憶）.注意知識要點視頻：弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)視頻來源：洋蔥學(xué)院點擊視頻開始播放→

●O

ABDCEF●OABCD問題3

扇形的面積與哪些因素有關(guān)？

大小不變時，對應(yīng)的扇形面積與

有關(guān)，

越長，面積越大.圓心角半徑半徑圓的

不變時，扇形面積與

有關(guān)，

越大，面積越大.圓心角半徑圓心角總結(jié)：扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).問題

扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？想一想扇形的面積公式與什么公式類似？ABOO類比學(xué)習(xí)例2

如圖，圓心角為60°的扇形的半徑為10cm.求這個扇形的面積和周長（精確到0.01cm2和0.01cm）.Or60°解：∵n=60，r=10cm，∴該扇形的面積為該扇形的周長為1.已知扇形的半徑為

2cm，其弧長為

cm，則這個扇形的面積

S=

.2.已知扇形的圓心角為

120°，半徑為

2，則這個扇形的面積

S=

.練一練例3如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高

0.3m，求截面上有水部分的面積

(精確到

0.01m2).(1)O.BA

討論：(1)截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？陰影部分.(2)水面高

0.3m是指哪一條線段的長？這條線段應(yīng)該怎樣畫出來？過點

O作

OD⊥AB

于點

D，并延長

OD

交圓

O

于

C.則線段DC

的長為水面高.(3)要求圖中陰影部分面積，應(yīng)該怎么辦？S陰影

=S扇形

OAB

-

S△OABO.BAD(2)C∵OC＝0.6，DC＝0.3，∴OD＝OC-

DC＝0.3.∴OD＝DC.又AD⊥OC，∴AD是線段

OC的垂直平分線.∴AC＝AO＝OC.從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.O.BACD解：如圖，連接

OA、OB，過點

O作弦

AB

的垂線，垂足為

D，交

于點

C，連接

AC.在Rt△AOD中，OA=0.6m，OD=0.3m，∴AD=m.∴AB=2AD=m.∴截面上有水部分的面積為S=S扇形AOB

-

SΔOABO.BACD左圖：

S弓形

=S扇形

-

S三角形右圖：S弓形

=S扇形

+

S三角形OO弓形的面積

=扇形的面積

±

三角形的面積知識要點弓形的面積公式

2.某扇形的圓心角為

72°，面積為

5π，則此扇形的弧長為（）A．πB．2πC．3πD．4π1.已知弧所對的圓周角為90°，半徑是

4，則弧長為

.B4π3.如圖，∠ACB

是⊙O

的圓周角，若⊙O

的半徑為

10，∠ACB

=

45°，則扇形

AOB

的面積為（）A．5

πB．12.5

πC．20

πD．25

πD知識點1

弧長公式及其應(yīng)用

C

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A

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D

返回（