2.1等式與不等式性質(zhì)（第2課時(shí)）等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)是第2章第1節(jié)第2課時(shí)，在學(xué)生已掌握實(shí)數(shù)大小比較基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)研究等式的五條基本性質(zhì)、不等式的七條基本性質(zhì)及其推論，并運(yùn)用這些性質(zhì)完成簡單的不等式證明、大小比較與取值范圍求解，為后續(xù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等內(nèi)容奠基。內(nèi)容解析地位：承前——鞏固初中等式運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)；啟后——為“基本不等式”?“一元二次不等式”奠基。特點(diǎn)：符號化程度高，條件限制細(xì)（如乘負(fù)數(shù)需變號），易因“跳步”而擴(kuò)大范圍或方向顛倒。方法：類比等式性質(zhì)提出猜想→反例或演繹驗(yàn)證→抽象成符號語言→應(yīng)用到大小比較與范圍求解，形成“條件—性質(zhì)—結(jié)論”的思維鏈。教學(xué)目標(biāo)1.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的問題．2.進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大?。?3.通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質(zhì)。目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：本節(jié)內(nèi)容雖然相對具體，但性質(zhì)多、條件細(xì)，容易混淆。首先從“大小關(guān)系”這一基本事實(shí)出發(fā)，分清“條件”與“結(jié)論”——如給定a>b，條件是兩實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，結(jié)論是它們經(jīng)過加、乘、乘方等運(yùn)算后大小關(guān)系是否保持；然后依據(jù)“運(yùn)算對象”與“運(yùn)算符號”的特征，歸納出等式五條、不等式七條共十二種典型命題形式，并借助數(shù)軸或符號推演判斷其真假。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步總結(jié)出“同向可加、同正可乘、乘負(fù)反向、乘方保序”等變化規(guī)律，形成“條件—運(yùn)算—結(jié)論”三位一體的知識網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生在上一節(jié)中，已會(huì)用“作差法”比較實(shí)數(shù)大小，對用符號語言刻畫大小關(guān)系并不陌生；等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的探究正是“實(shí)數(shù)大小比較”的自然延伸。教材中大量生活實(shí)例（如促銷方案、糖水問題）及幾何背景（如周長固定的圓與正方形面積比較）均源于生活，為學(xué)生提供了豐富的直觀支撐和建模素材，也為本節(jié)內(nèi)容的深入理解與應(yīng)用奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，它是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)，有著重要的實(shí)際意義.同時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)也為學(xué)生以后順利學(xué)習(xí)基本不等式起到重要的鋪墊.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：不等式的七條性質(zhì)及其推論的理解與應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：①準(zhǔn)確使用“同向可加”?“同正可乘”等性質(zhì)進(jìn)行不等式證明；②求代數(shù)式取值范圍時(shí)避免“范圍擴(kuò)大”。課堂導(dǎo)入:“一杯奶茶到底加幾分糖才公平？”教師現(xiàn)場點(diǎn)單兩杯同款奶茶：?A杯：標(biāo)注“半糖”，實(shí)際含糖25g；?B杯：標(biāo)注“全糖”，實(shí)際含糖30g。提問：如果“半糖”真的只應(yīng)該是“全糖的一半”，那么A杯應(yīng)該含糖多少？現(xiàn)有的25g與15g之間的大小關(guān)系說明了什么？——這背后就是“等式”與“不等式”在生活中的沖突！今天我們就來研究：當(dāng)“應(yīng)該=”變成“實(shí)際≠”時(shí)，我們能用哪些數(shù)學(xué)性質(zhì)來刻畫和解決這類“大小差異”。【設(shè)計(jì)意圖】以現(xiàn)場奶茶糖量的“等式”理想與“不等式”現(xiàn)實(shí)制造認(rèn)知沖突，迅速抓住學(xué)生注意力，讓學(xué)生意識到“等式性質(zhì)”與“不等式性質(zhì)”是解決生活“缺斤少兩”問題的鑰匙，為整節(jié)課奠定問題驅(qū)動(dòng)的主線?！窘虒W(xué)建議】1.課前準(zhǔn)備：兩杯貼有標(biāo)簽的透明塑料杯（或一次性杯），杯壁用記號筆寫上“半糖25g”“全糖30g”，并貼好電子秤讀數(shù)照片。2.課堂操作：先展示→現(xiàn)場稱重→拋出“應(yīng)該=15g”的預(yù)期，引出“25g≠15g”的不等事實(shí)；板書“15?=25”與“25>15”兩個(gè)式子，追問“我們能用哪些數(shù)學(xué)性質(zhì)解釋或利用這種大小關(guān)系？”順勢切入新課。探究點(diǎn)1：不等式性質(zhì)的“等式遷移”小組任務(wù)：將等式五條性質(zhì)的“＝”改為“＞”，猜想是否仍成立，并舉正例或反例。思考請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性．你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？等式有下面的基本性質(zhì)：可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運(yùn)算的角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中保持的不變性．運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì)．【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與建模素養(yǎng)，讓學(xué)生在沖突中體會(huì)條件的重要性?！窘虒W(xué)建議】教師巡視收集反例，現(xiàn)場拍照投屏，制造認(rèn)知沖突。探究點(diǎn)2：不等式“條件—結(jié)論”雙列表師生共同完成“性質(zhì)—條件—結(jié)論—易錯(cuò)點(diǎn)”四列表：如“乘負(fù)數(shù)方向變”一欄用紅筆圈條件，藍(lán)筆寫結(jié)論，形成顏色錨定。類比等式的性質(zhì)1，2，我們可以猜想不等式有如下性質(zhì)：我們來證明性質(zhì)2：由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)知類比等式的性質(zhì)3～5，可以猜想不等式還有如下性質(zhì)：這就是說，不等式兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向．如圖2.15，把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)與同時(shí)沿相同方向移動(dòng)相等的距離，得到另兩個(gè)點(diǎn)與，與和與的左右位置關(guān)系不會(huì)改變．用不等式的語言表示，就是上述性質(zhì)3．從不同角度描述不等式的性質(zhì)，可以加深理解．對其他不等式的性質(zhì)，你能用文字語言表述嗎？這表明，不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號后移到不等號的另一邊．這就是說，不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向．利用這些基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出其他一些常用的不等式的性質(zhì)．例如，利用性質(zhì)2，3可以推出：利用性質(zhì)4和性質(zhì)2可以推出：實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)和不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)．知識梳理不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正注意點(diǎn)：(2)不等式只有加法和乘法運(yùn)算,沒有減法和除法運(yùn)算.【設(shè)計(jì)意圖】構(gòu)建可視化知識網(wǎng)絡(luò)，降低記憶負(fù)荷。【教學(xué)建議】要求學(xué)生用手勢比劃方向，強(qiáng)化肌肉記憶。典例分析證明：方法一：證明:方法二：證明:方法三：反思感悟(1)利用不等式的性質(zhì)對不等式的證明其實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形，變形要等價(jià)，同時(shí)要注意性質(zhì)適用的前提條件．(2)用作差法證明不等式和用作差法比較大小的方法原理一樣，變形后判斷符號時(shí)要注意充分利用題目中的條件．【答案】C【知識點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.故選：C【答案】A【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.故選：A.【答案】C【知識點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)、特殊值法是兩種常用方法，但在利用特殊值法時(shí)取特殊值時(shí)要全面．4.下列命題正確的是

（

）【答案】C【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】利用不等式的性質(zhì)，對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可得出正確選項(xiàng).故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若ac＞bc＞0，則a＞b B．若a＞b＞0，則ac＞bcC．若ac2＞bc2，則a＞b D．若a＞b，則ac2＞bc2【答案】C【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】本題可根據(jù)不等式的性質(zhì)以及運(yùn)用特殊值法進(jìn)行代入排除即可得到正確結(jié)果．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用以及特殊值法的應(yīng)用，著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6.下列命題中，是真命題的是（

）【答案】D【知識點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法，逐項(xiàng)驗(yàn)證可得出答案.故選：D.【答案】C【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】利用不等式的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，考查利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立，除了利用不等式的性質(zhì)之外，也可以利用特殊值法來進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.【答案】D【知識點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.故選：D.【答案】C【知識點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小故選C.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用作差法比較代數(shù)式的值的大小，作差法常運(yùn)用的步驟是：作差、通分、分解因式或配方，關(guān)鍵在于能判斷每一個(gè)因式的符號，屬于基礎(chǔ)題.10.(多選題）已知<<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)+b<abC．|a|>|b| D．a(chǎn)b<b2【答案】BD【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?lt;<0，所以b<a<0.故A錯(cuò)誤；因?yàn)閎<a<0，所以a+b<0，ab>0，所以a+b<ab，故B正確；因?yàn)閎<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閎<a<0，所以ab>0，即abb2=b(ab)<0，所以ab<b2成立，故D正確.故選：BD.1.多選題（2223高一上·河南濮陽·期中）下列不等式中不成立的是（

）【答案】AC【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)特值，不等式的性質(zhì)及作差法逐項(xiàng)分析即得.故選：AC.2.多選題（1920高二上·山東泰安·期末）對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有以下四個(gè)命題，其中正確的是（

）【答案】BD【知識點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小故選：BD【點(diǎn)睛】此題考查不等式比較大小，一般可通過特值法證偽判錯(cuò)，屬于簡單題目.【知識點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】用作差法，結(jié)合二次函數(shù)知識即可判斷【答案】AD【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】對A，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；對B，利用基本不等式；對C，利用不等式的性質(zhì)；對D，利用基本不等式.進(jìn)行判斷即可.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用已知函數(shù)及基本不等式的應(yīng)用，求解時(shí)注意基本不等式成立的條件，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．1．知識清單：(1)等式的性質(zhì)．(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用．2．方法歸納：作差比較法、賦值法、不等式性質(zhì)法．3．常見誤區(qū)：注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性．【設(shè)計(jì)意圖】通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容，鞏固所學(xué)知識。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，加深對集合概念的理解?！窘虒W(xué)建議】教師通過提問和講解，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成知識體系。(1)整理本節(jié)課的題型；(2)課本P39的練習(xí)1~3題；(3)課本P42的練習(xí)1~2題；(4)課本習(xí)題2.1的3、4、5、6、7、8題.附教材P42復(fù)習(xí)鞏固1．舉出幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中與不等式有關(guān)的例子．2．某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資500萬元；方案B為第一年投資100萬元，以后每年投資10萬元．列出不等式表示“經(jīng)過n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．3．比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?．一個(gè)大于50且小于60的兩位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2．試用不等式表示上述關(guān)系，并求這個(gè)兩位數(shù)（用和分別表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字）．綜合運(yùn)用8．下列不等式中成立的是（）8．答案：B9．證明：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積．并據(jù)此說明，人們通常把自來水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因．9．證明：設(shè)周長為，則圓的半徑為，正方形的邊長為，原因：自來水管的橫截面是圓形的，可以最大面積地使水通過，減少阻力．拓廣探索12．火車站有某公司代運(yùn)的甲種貨物1530，乙種貨物1150．現(xiàn)計(jì)劃用A，B兩種型號的貨廂共50節(jié)運(yùn)送這批貨物．已知35甲種貨物和15乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂，25甲種貨物和35乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂，據(jù)此安排A，B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬元，每節(jié)B型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.8萬元，哪種方案的運(yùn)費(fèi)較少？所以共有三種方案，方案一：安排A型貨廂28節(jié)，B型貨廂22節(jié)；方案二：安排A型貨廂29節(jié)