數(shù)列知識點歸納與總結一、數(shù)列的基本概念（一）數(shù)列的定義數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作$\{a_n\}$，其中$a_n$稱為數(shù)列的第$n$項（通項），$n$稱為項數(shù)。有序性：數(shù)列中的項與項數(shù)一一對應，順序不同則為不同數(shù)列（如$1,2,3$與$3,2,1$是不同數(shù)列）；可重復性：數(shù)列中的項可以重復（如常數(shù)列$2,2,2,\dots$）。（二）數(shù)列的表示方法1.通項公式：用含$n$的表達式直接表示第$n$項，即$a_n=f(n)$（$n\inN^*$）。例：等差數(shù)列通項$a_n=a_1+(n-1)d$，等比數(shù)列通項$a_n=a_1q^{n-1}$。2.遞推公式：通過前一項或前幾項表示后項的關系式。例：斐波那契數(shù)列遞推式$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geq3$，$F_1=F_2=1$）。3.列表法：逐項列出數(shù)列的項（如$a_1,a_2,a_3,\dots$）。4.圖像法：以項數(shù)$n$為橫坐標、$a_n$為縱坐標，在平面直角坐標系中描點（離散點）。（三）數(shù)列的分類1.按項數(shù)分：有限數(shù)列：項數(shù)有限（如$1,3,5,7$，共4項）；無限數(shù)列：項數(shù)無限（如自然數(shù)數(shù)列$1,2,3,\dots$）。2.按增減性分：遞增數(shù)列：對任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}>a_n$（如$2,4,6,8,\dots$）；遞減數(shù)列：對任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}<a_n$（如$10,8,6,4,\dots$）；常數(shù)列：對任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}=a_n$（如$5,5,5,\dots$）；擺動數(shù)列：數(shù)列增減無固定規(guī)律（如$1,-1,1,-1,\dots$）。3.按有界性分：有界數(shù)列：存在常數(shù)$M>0$，使得對任意$n\inN^*$，有$|a_n|\leqM$（如$(-1)^n$，有界于1）；無界數(shù)列：不存在上述常數(shù)$M$（如$n^2$，隨$n$增大而無限增大）。二、等差數(shù)列（一）等差數(shù)列的定義若數(shù)列$\{a_n\}$從第二項起，每一項與前一項的差為常數(shù)，則稱$\{a_n\}$為等差數(shù)列，該常數(shù)稱為公差，記作$d$（$d\inR$）。定義的數(shù)學表達式：$a_{n+1}-a_n=d$（$n\inN^*$，$d$為常數(shù)）。（二）等差數(shù)列的通項公式1.基本形式：通過累加法推導（$a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$），得：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$為數(shù)列首項，$d$為公差，$n$為項數(shù)。2.推廣形式：若已知第$m$項$a_m$，則第$n$項可表示為：$$a_n=a_m+(n-m)d$$（三）等差數(shù)列的性質1.等差中項：若$a,b,c$成等差數(shù)列，則$b$稱為$a$與$c$的等差中項，且$b=\frac{a+c}{2}$（即$2b=a+c$）。2.項的對稱性：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\inN^*$），則$a_m+a_n=a_p+a_q$；特別地，當$m+n=2k$時，$a_m+a_n=2a_k$（$a_k$為$a_m$與$a_n$的等差中項）。3.公差的性質：公差$d=a_{n+1}-a_n=\frac{a_n-a_m}{n-m}$（$n\neqm$）；若$d>0$，數(shù)列遞增；$d<0$，數(shù)列遞減；$d=0$，數(shù)列為常數(shù)列。（四）等差數(shù)列的前$n$項和1.求和公式：公式1（倒序相加法推導）：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（適用于已知首項$a_1$和末項$a_n$）；公式2（代入通項公式）：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$（適用于已知首項$a_1$和公差$d$）。2.和的性質：前$n$項和$S_n$是關于$n$的二次函數(shù)（$d\neq0$時），形式為$S_n=An^2+Bn$（無常數(shù)項），其中$A=\fracz3jilz61osys{2}$，$B=a_1-\fracz3jilz61osys{2}$；若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，則$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$成等差數(shù)列，公差為$n^2d$；若等差數(shù)列$\{a_n\}$的項數(shù)為$2k$，則$S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})$，且$S_{偶}-S_{奇}=kd$（$S_{偶}$為偶數(shù)項和，$S_{奇}$為奇數(shù)項和）；若項數(shù)為$2k-1$，則$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（$a_k$為中間項），且$S_{奇}-S_{偶}=a_k$。三、等比數(shù)列（一）等比數(shù)列的定義若數(shù)列$\{a_n\}$從第二項起，每一項與前一項的比為非零常數(shù)，則稱$\{a_n\}$為等比數(shù)列，該常數(shù)稱為公比，記作$q$（$q\inR$且$q\neq0$）。定義的數(shù)學表達式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$n\inN^*$，$q$為非零常數(shù)）。（二）等比數(shù)列的通項公式1.基本形式：通過累乘法推導（$a_n=a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdot\dots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}$），得：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$為數(shù)列首項（$a_1\neq0$），$q$為公比（$q\neq0$）。2.推廣形式：若已知第$m$項$a_m$，則第$n$項可表示為：$$a_n=a_mq^{n-m}$$（三）等比數(shù)列的性質1.等比中項：若$a,b,c$成等比數(shù)列，則$b$稱為$a$與$c$的等比中項，且$b^2=ac$；注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，且有兩個（互為相反數(shù)），如$2$與$8$的等比中項為$\pm4$。2.項的對稱性：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\inN^*$），則$a_ma_n=a_pa_q$；特別地，當$m+n=2k$時，$a_ma_n=a_k^2$（$a_k$為$a_m$與$a_n$的等比中項）。3.公比的性質：公比$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}$（$n\neqm$，$a_m,a_n$同號）；若$|q|>1$且$a_1\neq0$，數(shù)列遞增或遞減（取決于$a_1$的符號）；$|q|<1$，數(shù)列趨近于0（收斂）；$q=1$，常數(shù)列；$q=-1$，擺動數(shù)列。（四）等比數(shù)列的前$n$項和1.求和公式：當$q=1$時，數(shù)列為常數(shù)列，$S_n=na_1$；當$q\neq1$時，通過錯位相減法推導，得：$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$（適用于已知首項$a_1$和公比$q$）。2.和的性質：若數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$q\neq-1$，則$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$成等比數(shù)列，公比為$q^n$；若$q=-1$，則當$n$為偶數(shù)時，$S_n=0$；當$n$為奇數(shù)時，$S_n=a_1$；等比數(shù)列的前$n$項和$S_n$滿足$S_n=a_1+qS_{n-1}$（$n\geq2$）。四、特殊數(shù)列與遞推關系（一）常見特殊數(shù)列1.斐波那契數(shù)列：定義：$F_1=1$，$F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geq3$）；通項公式（比內公式）：$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$；應用：自然中的花瓣數(shù)、樹枝生長、黃金分割等。2.調和數(shù)列：定義：$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$（無通項公式，前$n$項和趨近于無窮大）。3.平方數(shù)列：$1^2,2^2,3^2,\dots,n^2$，前$n$項和$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。（二）遞推數(shù)列的類型及解法遞推數(shù)列是指通過遞推公式表示的數(shù)列，常見類型及解法如下：1.累加法（差分數(shù)列）：形式：$a_n-a_{n-1}=f(n)$（$n\geq2$，$f(n)$可求和）；解法：$a_n=a_1+\sum_{k=2}^nf(k)$；例：$a_1=1$，$a_n-a_{n-1}=2n-1$，則$a_n=1+\sum_{k=2}^n(2k-1)=1+(n^2-1)=n^2$。2.累乘法（商數(shù)列）：形式：$\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)$（$n\geq2$，$f(n)$可求積）；解法：$a_n=a_1\cdot\prod_{k=2}^nf(k)$；例：$a_1=2$，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，則$a_n=2\cdot\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}=2\cdotn=2n$。3.線性遞推（一階齊次/非齊次）：形式1（齊次）：$a_n=pa_{n-1}$（$p\neq0$），解為等比數(shù)列$a_n=a_1p^{n-1}$；形式2（非齊次）：$a_n=pa_{n-1}+q$（$p\neq1$，$q$為常數(shù)）；解法：待定系數(shù)法，設$a_n+k=p(a_{n-1}+k)$，展開得$k=\frac{q}{p-1}$，轉化為等比數(shù)列$\{a_n+k\}$；例：$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}+1$，設$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$，則$a_n+1=2^n$，故$a_n=2^n-1$。4.分式遞推：形式：$a_n=\frac{pa_{n-1}}{qa_{n-1}+r}$（$p,q,r\neq0$）；解法：取倒數(shù)，轉化為線性遞推：$\frac{1}{a_n}=\frac{r}{p}\cdot\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{q}{p}$；例：$a_1=1$，$a_n=\frac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+2}$，取倒數(shù)得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n-1}}$，故$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{n+1}{2}$，即$a_n=\frac{2}{n+1}$。5.指數(shù)遞推：形式：$a_n=a_{n-1}^k\cdotb^n$（$k,b>0$）；解法：取對數(shù)，轉化為線性遞推：$\lna_n=k\lna_{n-1}+n\lnb$；例：$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}^2\cdot3^n$，取對數(shù)得$\lna_n=2\lna_{n-1}+n\ln3$，設$b_n=\lna_n$，則$b_n=2b_{n-1}+n\ln3$，用待定系數(shù)法求解。五、數(shù)列求和的常用方法（一）直接法適用于等差、等比數(shù)列或已知通項公式且可直接求和的數(shù)列，直接代入對應求和公式。例：求$3+5+7+\dots+(2n+1)$，這是首項$a_1=3$、末項$a_n=2n+1$、公差$d=2$的等差數(shù)列，和為$S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$。（二）分組求和法將數(shù)列拆分為若干個等差或等比數(shù)列，分別求和后相加。例：求$1+3+2+6+3+9+\dots+n+3n$，拆分為奇數(shù)項和偶數(shù)項：奇數(shù)項：$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$；偶數(shù)項：$3+6+9+\dots+3n=3(1+2+\dots+n)=\frac{3n(n+1)}{2}$；總和：$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{3n(n+1)}{2}=2n(n+1)$。（三）錯位相減法適用于等差數(shù)列×等比數(shù)列的形式（即$a_n=b_nc_n$，其中$\{b_n\}$為等差數(shù)列，$\{c_n\}$為等比數(shù)列）。例：求$S_n=1×2+2×22+3×23+…+n×2^n$，設$S_n=1×2+2×22+3×23+…+n×2^n$，兩邊乘2得$2S_n=1×22+2×23+…+(n-1)×2^n+n×2^{n+1}$，兩式相減得$-S_n=2+22+23+…+2^n-n×2^{n+1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n×2^{n+1}=2^{n+1}-2-n×2^{n+1}$，故$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。（四）裂項相消法將通項拆分為兩個相鄰項的差，求和時中間項抵消，只剩首尾項。常見裂項形式：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$（如$k=1$時，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）；$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$。例：求$S_n=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$，通項裂項：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求和：$S_n=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。（五）倒序相加法適用于首尾對稱項之和為常數(shù)的數(shù)列（如等差數(shù)列）。例：求$S_n=1+2+3+\dots+n$，倒序得$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\dots+1$，兩式相加得$2S_n=(1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)=n(n+1)$，故$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。（六）并項求和法適用于相鄰項可合并為常數(shù)或規(guī)律項的數(shù)列（如擺動數(shù)列）。例：求$S_n=1-2+3-4+\dots+(-1)^{n+1}n$，當$n$為偶數(shù)時，$S_n=(1-2)+(3-4)+…+(n-1-n)=-\frac{n}{2}$；當$n$為奇數(shù)時，$S_n=(1-2)+(3-4)+…+(n-2-(n-1))+n=-\frac{n-1}{2}+n=\frac{n+1}{2}$；綜上，$S_n=\begin{cases}-\frac{n}{2},&n為偶數(shù),\\\frac{n+1}{2},&n為奇數(shù).\end{cases}$六、數(shù)列的實際應用（一）等差數(shù)列的應用1.單利計算：本金$P$元，年利率$r$，$n$年后本利和為$A_n=P(1+nr)$（等差數(shù)列，公差$Pr$）。2.等差數(shù)列項數(shù)問題：從1開始的連續(xù)奇數(shù)和為$n^2$（如$1+3+5=9=3^2$）。3.線性增長問題：如每月固定存入金額的儲蓄（零存整取）、勻速行駛的車輛行駛距離等。（二）等比數(shù)列的應用1.復利計算：本金$P$元，年利率$r$，每年復利一次，$n$年后本利和為$A_n=P(1+r)^n$（等比數(shù)列，公比$1+r$）。2.人口增長：假設人口年增長率為$r$，初始人口為$N_0$，$n$年后人口為$N_n=N_0(1+r