新人教版高中數(shù)學(xué)集合習(xí)題集引言集合是高中數(shù)學(xué)的“邏輯起點(diǎn)”，是構(gòu)建函數(shù)、不等式、概率等知識(shí)體系的基礎(chǔ)工具。新人教版教材以“元素-集合-關(guān)系-運(yùn)算”為主線，強(qiáng)調(diào)集合語言的嚴(yán)謹(jǐn)性與應(yīng)用價(jià)值。本習(xí)題集緊扣教材核心，分基礎(chǔ)鞏固（覆蓋基本概念）、能力提升（聚焦解題技巧）、思維拓展（培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)）三個(gè)層級，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)內(nèi)化集合知識(shí)，突破易錯(cuò)點(diǎn)，提升綜合應(yīng)用能力。一、集合的含義與表示核心概念回顧1.元素與集合：元素是集合的基本單位，用小寫字母表示（如\(a\)）；集合用大寫字母表示（如\(A\)），元素與集合的關(guān)系為“屬于（\(\in\)）”或“不屬于（\(\notin\)）”。2.常用數(shù)集：自然數(shù)集（\(N\)）、正整數(shù)集（\(N^*\)或\(N_+\)）、整數(shù)集（\(Z\)）、有理數(shù)集（\(Q\)）、實(shí)數(shù)集（\(R\)）。3.表示方法：列舉法：逐一列出元素（如\(\{1,2,3\}\)）；描述法：用“\(\{x\midx\)滿足的條件\(\}\)”表示（如\(\{x\midx>0\}\)）；Venn圖：用封閉圖形直觀表示集合關(guān)系。（一）基礎(chǔ)鞏固題1.元素與集合的關(guān)系判斷下列結(jié)論正確的是（）①\(0\inN\)；②\(\sqrt{2}\notinQ\)；③\(-1\inZ\)；④\(\pi\inR\)A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④2.集合的表示方法用合適的方法表示下列集合：（1）小于5的正整數(shù)組成的集合；（2）所有偶數(shù)組成的集合；（3）方程\(x^2-4=0\)的解組成的集合。（二）能力提升題3.描述法的理解集合\(A=\{x\midy=\sqrt{x-1}\}\)，集合\(B=\{y\midy=\sqrt{x-1}\}\)，則\(A\)與\(B\)的關(guān)系是（）A.\(A=B\)B.\(A\subseteqB\)C.\(B\subseteqA\)D.無包含關(guān)系4.集合中的元素個(gè)數(shù)集合\(C=\{x\midx\inN\)，且\(x^2-2x-3\leq0\}\)，則\(C\)中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6（三）思維拓展題5.實(shí)際問題中的集合表示某班有50名學(xué)生，其中參加數(shù)學(xué)競賽的有28人，參加物理競賽的有23人，兩項(xiàng)都參加的有10人。用集合表示：（1）只參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生；（2）只參加物理競賽的學(xué)生；（3）至少參加一項(xiàng)競賽的學(xué)生。二、集合間的基本關(guān)系核心概念回顧1.子集：若對任意\(x\inA\)，都有\(zhòng)(x\inB\)，則\(A\subseteqB\)（\(A\)是\(B\)的子集）。2.真子集：\(A\subseteqB\)且\(B\)中存在元素不屬于\(A\)，則\(A\subsetB\)（\(A\)是\(B\)的真子集）。3.相等：\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)。4.空集：\(\emptyset\)，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集（如\(\emptyset\subseteqA\)，\(\emptyset\subsetA\)（\(A\neq\emptyset\)））。（一）基礎(chǔ)鞏固題6.集合間關(guān)系判斷設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{1,2,3,4\}\)，\(C=\{x\midx\)是6的約數(shù)\(\}\)，則下列關(guān)系正確的是（）A.\(A\subsetB\)B.\(A\subsetC\)C.\(B\subsetC\)D.\(C\subsetB\)7.子集個(gè)數(shù)計(jì)算集合\(D=\{a,b,c\}\)，則其所有子集的個(gè)數(shù)為（），真子集個(gè)數(shù)為（）。（二）能力提升題8.含參數(shù)的子集問題已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midax-1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的值。9.集合相等的應(yīng)用若集合\(M=\{2,a,b\}\)，\(N=\{2a,2,b^2\}\)，且\(M=N\)，求\(a,b\)的值。（三）思維拓展題10.集合的劃分若集合\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，用兩個(gè)子集\(A,B\)滿足\(A\cupB=U\)，\(A\capB=\emptyset\)，則這樣的劃分方式有多少種？（注：需說明\(A=\emptyset\)與\(B=\emptyset\)是否視為不同劃分。）三、集合的基本運(yùn)算核心概念回顧1.并集：\(A\cupB=\{x\midx\inA\)或\(x\inB\}\)（合并兩個(gè)集合的所有元素，去重）。2.交集：\(A\capB=\{x\midx\inA\)且\(x\inB\}\)（兩個(gè)集合的公共元素）。（一）基礎(chǔ)鞏固題11.并集與交集計(jì)算設(shè)集合\(A=\{1,3,5\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\cupB=\)（），\(A\capB=\)（）。12.補(bǔ)集計(jì)算（二）能力提升題13.Venn圖的應(yīng)用如圖（虛擬），\(U\)為全集，\(A,B\)為\(U\)的子集，陰影部分表示的集合是（）14.含參數(shù)的集合運(yùn)算已知集合\(A=\{x\mid-1<x<3\}\)，\(B=\{x\midm<x<m+1\}\)，若\(A\cupB=A\)，求\(m\)的取值范圍。（三）思維拓展題15.集合運(yùn)算與不等式結(jié)合設(shè)全集\(U=R\)，集合\(A=\{x\midx^2-4x+3<0\}\)，\(B=\{x\midx^2-ax+a-1<0\}\)，若\(A\capB=A\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。四、集合的綜合應(yīng)用（一）基礎(chǔ)鞏固題16.集合與函數(shù)定義域函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}\)的定義域用集合表示為（）。17.集合與不等式不等式\(x^2-5x+6\leq0\)的解集用集合表示為（）。（二）能力提升題18.集合與實(shí)際問題某超市進(jìn)了一批商品，其中食品類有15種，日用品類有10種，其中有2種商品既是食品又是日用品。求這批商品的總數(shù)。19.集合與邏輯已知集合\(A=\{x\midx>2\}\)，\(B=\{x\midx>a\}\)，若\(A\subsetB\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。（三）思維拓展題20.集合的創(chuàng)新應(yīng)用定義集合運(yùn)算：\(A\otimesB=\{z\midz=xy(x+y),x\inA,y\inB\}\)，若\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{3,4\}\)，求\(A\otimesB\)的所有元素之和。五、答案與詳細(xì)解析一、集合的含義與表示1.D解析：0是自然數(shù)（\(0\inN\)），\(\sqrt{2}\)是無理數(shù)（\(\sqrt{2}\notinQ\)），-1是整數(shù)（\(-1\inZ\)），\(\pi\)是實(shí)數(shù)（\(\pi\inR\)），均正確。2.（1）\(\{1,2,3,4\}\)（列舉法）；（2）\(\{x\midx=2k,k\inZ\}\)（描述法）；（3）\(\{-2,2\}\)（列舉法）。3.C解析：\(A\)是函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域（\(x\geq1\)），\(B\)是函數(shù)的值域（\(y\geq0\)），故\(B\subseteqA\)。4.B解析：解不等式\(x^2-2x-3\leq0\)得\(-1\leqx\leq3\)，又\(x\inN\)，故\(x=0,1,2,3\)，共4個(gè)元素。5.設(shè)\(U\)為全班學(xué)生，\(A\)為參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生，\(B\)為參加物理競賽的學(xué)生，則：（3）至少參加一項(xiàng)：\(A\cupB\)。二、集合間的基本關(guān)系6.A解析：\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{1,2,3,4\}\)，故\(A\subsetB\)；\(C=\{1,2,3,6\}\)，\(A\subsetC\)不成立（6?A），\(B\subsetC\)不成立（4?C），\(C\subsetB\)不成立（6?B）。7.8；7解析：\(n\)個(gè)元素的集合子集個(gè)數(shù)為\(2^n\)，真子集個(gè)數(shù)為\(2^n-1\)。8.\(a=0\)或1或\(\frac{1}{2}\)解析：\(A=\{1,2\}\)，\(B\subseteqA\)。若\(B=\emptyset\)，則\(ax-1=0\)無解，故\(a=0\)；若\(B=\{1\}\)，則\(a\cdot1-1=0\)，故\(a=1\)；若\(B=\{2\}\)，則\(a\cdot2-1=0\)，故\(a=\frac{1}{2}\)。9.\(a=0,b=1\)或\(a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2}\)解析：由\(M=N\)，得兩種情況：①\(a=2a\)，\(b=b^2\)→\(a=0\)，\(b=0\)或1（\(b=0\)時(shí)\(M=\{2,0,0\}\)，不符合元素互異性，舍去），故\(a=0,b=1\)；②\(a=b^2\)，\(b=2a\)→代入得\(a=(2a)^2\)→\(4a^2-a=0\)→\(a=0\)或\(\frac{1}{4}\)，\(a=0\)時(shí)\(b=0\)（舍去），\(a=\frac{1}{4}\)時(shí)\(b=\frac{1}{2}\)，驗(yàn)證符合條件。三、集合的基本運(yùn)算11.\(\{1,2,3,4,5\}\)；\(\{3\}\)12.\(\{2,4\}\)13.C14.\(-1\leqm\leq2\)解析：\(A\cupB=A\)等價(jià)于\(B\subseteqA\)，故\(m\geq-1\)且\(m+1\leq3\)，解得\(-1\leqm\leq2\)。四、集合的綜合應(yīng)用16.\(\{x\midx\geq2\)且\(x\neq3\}\)解析：定義域需滿足\(x-2\geq0\)（根號(hào)內(nèi)非負(fù)）且\(x-3\neq0\)（分母不為0）。17.\(\{x\mid2\leqx\leq3\}\)解析：解不等式\((x-2)(x-3)\leq0\)，得\(2\leqx\leq3\)。18.23種解析：總數(shù)=食品類+日用品類-交集=\(15+10-2=23\)（容斥原理）。19.\(a<2\)解析：\(A\subsetB\)即\(A\)是\(B\)的真子集，故\(a<2\)（若\(a=2\)，則\(A=B\)，不是真子集）。五、思維拓展題10.32種；\(A=\emptyset\)與\(B=\emptyset\)視為不同劃分解析：每個(gè)元素有兩種選擇（屬于\(A\)或?qū)儆赲(B\)），共\(2^5=32\)種。題目中\(zhòng)(A,B\)是有序子集（如\(A=\emptyset,B=U\)與\(A=U,B=\emptyset\)是不同的劃分），故共32種。15.\(a\geq4\)解析：\(A=\{x\mid1<x<3\}\)，\(A\capB=A\)等價(jià)于\(A\subseteqB\)。\(B=\{x\mid(x-1)(x-(a-1))<0\}\)，其解集為區(qū)間：若\(a-1>1\)（\(a>2\)），則\(B=(1,a-1)\)，需\(a-1\geq3\)→\(a\geq4\)；若\(a-1\leq1\)（\(a\leq2\)），則\(B\)無法包含\(A=(1,3)\)。故\(a\geq4\)。20.110解析：計(jì)算所有可能的\(xy(x+y)\)：\(x=1,y=3\)：\(1\times3\times(1+3)=12\)；\(x=1,y=4\)：\(1\times4\times(1+4)=20\)；\(x=2,y=3\)：\(2\times3\times(2+3