高中物理競賽中的相對運(yùn)動與勻變速問題：核心概念、解題策略與經(jīng)典案例分析一、引言相對運(yùn)動是高中物理競賽中連接不同參考系、簡化運(yùn)動分析的核心工具，而勻變速運(yùn)動（包括直線與曲線）是競賽題的基礎(chǔ)模型。兩者的結(jié)合題（如追及相遇、滑塊木板、平拋相對運(yùn)動等）因綜合性強(qiáng)、矢量性突出、臨界條件隱蔽，成為競賽中的高頻考點(diǎn)。本文將從核心概念出發(fā)，系統(tǒng)梳理解題策略，并通過經(jīng)典案例分析，幫助讀者掌握這類問題的解決方法。二、核心概念回顧相對運(yùn)動的本質(zhì)是同一慣性系下物體運(yùn)動狀態(tài)的矢量差，關(guān)鍵是明確“相對”的定義（如A相對B的運(yùn)動，即A的絕對運(yùn)動減去B的絕對運(yùn)動）。以下是核心矢量關(guān)系：1.位移的相對性物體A相對于物體B的位移，等于A相對于慣性系（如地面）的位移減去B相對于同一慣性系的位移：\[\vec{s}_{AB}=\vec{s}_A-\vec{s}_B\]說明：\(\vec{s}_{AB}\)的物理意義是“從B指向A的位移”（若\(\vec{s}_{AB}=0\)，則A與B位置重合）。2.速度的相對性物體A相對于物體B的速度，等于A相對于慣性系的速度減去B相對于同一慣性系的速度：\[\vec{v}_{AB}=\vec{v}_A-\vec{v}_B\]推論：多物體相對速度遵循鏈?zhǔn)椒▌t（如\(\vec{v}_{AC}=\vec{v}_{AB}+\vec{v}_{BC}\)）。3.加速度的相對性物體A相對于物體B的加速度，等于A相對于慣性系的加速度減去B相對于同一慣性系的加速度：\[\vec{a}_{AB}=\vec{a}_A-\vec{a}_B\]關(guān)鍵結(jié)論：若\(\vec{a}_{AB}=0\)（如兩平拋物體），則A相對B做勻速直線運(yùn)動；若\(\vec{a}_{AB}\neq0\)（如滑塊與木板），則A相對B做勻變速直線/曲線運(yùn)動。4.勻變速相對運(yùn)動的公式若A相對B做勻變速運(yùn)動（\(\vec{a}_{AB}\)恒定），則運(yùn)動學(xué)公式與絕對運(yùn)動形式一致，只需將絕對量替換為相對量：\[\vec{v}_{AB}(t)=\vec{v}_{AB0}+\vec{a}_{AB}t\quad\text{（速度公式）}\]\[\vec{s}_{AB}(t)=\vec{v}_{AB0}t+\frac{1}{2}\vec{a}_{AB}t^2\quad\text{（位移公式）}\]\[v_{AB}^2(t)-v_{AB0}^2=2\vec{a}_{AB}\cdot\vec{s}_{AB}\quad\text{（速度-位移公式）}\]說明：\(\vec{v}_{AB0}\)為t=0時A相對B的初速度，\(\vec{s}_{AB}\)為t時間內(nèi)A相對B的位移。三、解題策略與步驟解決相對運(yùn)動與勻變速結(jié)合題的核心是“選對參考系、算對相對量、用對公式”，具體步驟如下：1.明確研究目標(biāo)確定題目要求（如相遇時間、相對位移、軌跡形狀等），聚焦關(guān)鍵物理量。2.選擇慣性參考系優(yōu)先選擇地面（最常用的慣性系），或選擇運(yùn)動狀態(tài)簡單的物體（如勻速運(yùn)動的汽車、靜止的桌面），避免選加速參考系（需引入慣性力，增加復(fù)雜度）。3.計算相對初速度與相對加速度根據(jù)定義，計算研究對象相對于參考物體的初速度（\(\vec{v}_{AB0}=\vec{v}_{A0}-\vec{v}_{B0}\)）和相對加速度（\(\vec{a}_{AB}=\vec{a}_A-\vec{a}_B\)），注意矢量方向（可通過坐標(biāo)系分解簡化）。4.判斷相對運(yùn)動性質(zhì)若\(\vec{a}_{AB}=0\)：相對運(yùn)動為勻速直線運(yùn)動；若\(\vec{a}_{AB}\neq0\)：相對運(yùn)動為勻變速直線/曲線運(yùn)動（取決于\(\vec{v}_{AB0}\)與\(\vec{a}_{AB}\)的方向關(guān)系）。5.應(yīng)用相對運(yùn)動公式根據(jù)相對運(yùn)動性質(zhì)，選擇對應(yīng)的運(yùn)動學(xué)公式（如位移公式、速度公式），結(jié)合臨界條件（如相遇時\(\vec{s}_{AB}=0\)、共速時\(\vec{v}_{AB}=0\)）建立方程。6.驗證與討論解出結(jié)果后，需驗證是否符合物理邏輯（如時間是否為正、位移是否合理），并討論多解情況（如追及問題的兩次相遇）。四、經(jīng)典競賽案例分析以下案例覆蓋競賽中常見的相對運(yùn)動與勻變速結(jié)合題型，按“題目→分析→解答→總結(jié)”的結(jié)構(gòu)展開，重點(diǎn)突出解題思路。案例1：追及相遇問題——加速度不同的兩物體題目：甲、乙兩物體沿同一直線同向運(yùn)動（乙在甲后方），初始時甲速度\(v_1=2\,\text{m/s}\)、加速度\(a_1=1\,\text{m/s}^2\)；乙速度\(v_2=5\,\text{m/s}\)、加速度\(a_2=0.5\,\text{m/s}^2\)，初始間距\(s_0=4\,\text{m}\)。求乙追上甲的時間及相遇次數(shù)。分析研究對象：乙（追者）、甲（被追者）；慣性系：地面；相對量定義：乙相對甲的位移\(s_{乙甲}=s_乙-s_甲\)（追上時\(s_{乙甲}=s_0\)）；相對初速度：\(v_{乙甲0}=v_2-v_1=5-2=3\,\text{m/s}\)（向右為正，乙初速度更大）；相對加速度：\(a_{乙甲}=a_2-a_1=0.5-1=-0.5\,\text{m/s}^2\)（乙加速度更小，相對減速）；相對運(yùn)動性質(zhì)：勻減速直線運(yùn)動（\(v_{乙甲0}\)與\(a_{乙甲}\)方向相反）。解答根據(jù)相對位移公式：\[s_{乙甲}=v_{乙甲0}t+\frac{1}{2}a_{乙甲}t^2\]代入追上條件\(s_{乙甲}=4\,\text{m}\)：\[4=3t-0.25t^2\]整理為二次方程：\[t^2-12t+16=0\]解得：\[t=\frac{12\pm\sqrt{144-64}}{2}=6\pm2\sqrt{5}\]計算數(shù)值：\(t_1\approx10.47\,\text{s}\)，\(t_2\approx1.53\,\text{s}\)（均為正，說明兩次相遇）?？偨Y(jié)關(guān)鍵點(diǎn)追及問題的核心是相對位移等于初始間距；二次方程的正解數(shù)代表相遇次數(shù)（\(\Delta>0\)兩次，\(\Delta=0\)一次，\(\Delta<0\)無解）；共速時刻（\(v_{乙甲}=0\)）是相對位移最大的時刻（本題中\(zhòng)(t_0=\frac{v_{乙甲0}}{|a_{乙甲}|}=6\,\text{s}\)，最大相對位移\(s_{max}=9\,\text{m}>4\,\text{m}\)，故能追上兩次）。案例2：滑塊木板模型——相對位移的計算題目：質(zhì)量為\(M\)的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為\(m\)的滑塊以初速度\(v_0\)沿木板表面向右滑上木板，滑塊與木板間動摩擦因數(shù)為\(\mu\)。求：（1）共速時間；（2）滑塊相對木板的位移。分析研究對象：滑塊（\(m\)）、木板（\(M\)）；慣性系：地面（光滑，無摩擦力）；受力與加速度：滑塊：受滑動摩擦力\(f=\mumg\)（向左），加速度\(a_1=-\mug\)；木板：受滑動摩擦力\(f'=\mumg\)（向右），加速度\(a_2=\frac{\mumg}{M}\)；相對量定義：相對初速度\(v_{滑木0}=v_0-0=v_0\)（滑塊初速度，木板靜止）；相對加速度\(a_{滑木}=a_1-a_2=-\mug-\frac{\mumg}{M}=-\mug(1+\frac{m}{M})\)；共速條件\(v_{滑木}=0\)（滑塊與木板絕對速度相等）。解答（1）共速時間\(t\)：滑塊絕對速度：\(v_滑=v_0+a_1t=v_0-\mugt\)；木板絕對速度：\(v_木=0+a_2t=\frac{\mumg}{M}t\)；共速時\(v_滑=v_木\)：\[v_0-\mugt=\frac{\mumg}{M}t\impliest=\frac{v_0}{\mug(1+\frac{m}{M})}\]（2）相對位移\(s_{滑木}\)：方法一（絕對位移差）：滑塊位移：\(s_滑=v_0t-\frac{1}{2}\mugt^2\)；木板位移：\(s_木=\frac{1}{2}a_2t^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mumg}{M}t^2\)；相對位移：\[s_{滑木}=s_滑-s_木=v_0t-\frac{1}{2}\mug(1+\frac{m}{M})t^2\]代入\(t\)的表達(dá)式，得：\[s_{滑木}=\frac{v_0^2}{2\mug(1+\frac{m}{M})}\]方法二（相對運(yùn)動公式）：共速時相對末速度\(v_{滑木t}=0\)，用速度-位移公式：\[0-v_{滑木0}^2=2a_{滑木}s_{滑木}\impliess_{滑木}=\frac{v_0^2}{2\mug(1+\frac{m}{M})}\]總結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)滑塊木板模型的核心是兩者加速度不同，導(dǎo)致相對滑動；相對加速度等于滑塊加速度減去木板加速度（矢量差）；相對位移可通過絕對位移差或相對運(yùn)動公式計算（后者更簡潔）；共速時刻是相對滑動的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（之后兩者相對靜止）。案例3：平拋運(yùn)動中的相對運(yùn)動——曲線到直線的轉(zhuǎn)化題目：勻速行駛的汽車（速度\(v\)，相對地面）上，司機(jī)以相對車豎直向上的初速度\(v_0\)拋出小球。求：（1）小球相對車的軌跡；（2）小球相對地面的軌跡；（3）小球相對車的加速度。分析研究對象：小球、汽車；慣性系：地面（汽車勻速，也是慣性系）；運(yùn)動分析：汽車：勻速直線運(yùn)動（\(a_車=0\)）；小球：相對地面做斜上拋運(yùn)動（初速度\(v_球地0=v\)（水平）\(+v_0\)（豎直），加速度\(a_球地=-g\)（豎直向下））。解答（1）相對車的軌跡：設(shè)地面坐標(biāo)系（\(x\)軸水平向右，\(y\)軸豎直向上），\(t=0\)時汽車與小球均在原點(diǎn)。汽車位移：\(x_車=vt\)，\(y_車=0\)；小球位移：\(x_球=vt\)（水平勻速），\(y_球=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)（豎直勻變速）；相對車的位移：\[x_{球車}=x_球-x_車=0\quad,\quady_{球車}=y_球-y_車=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\]結(jié)論：軌跡為豎直直線（沿汽車窗口豎直線），運(yùn)動性質(zhì)為豎直上拋。（2）相對地面的軌跡：消去\(t\)（\(t=\frac{x_球}{v}\)），得：\[y_球=\frac{v_0}{v}x_球-\frac{g}{2v^2}x_球^2\]結(jié)論：軌跡為拋物線（斜上拋運(yùn)動的典型軌跡）。（3）相對車的加速度：\[a_{球車}=a_球地-a_車地=-g-0=-g\]結(jié)論：大小為\(g\)，方向豎直向下（與相對車的豎直上拋運(yùn)動加速度一致）?？偨Y(jié)關(guān)鍵點(diǎn)勻速參考系（如汽車）下，相對運(yùn)動的加速度等于絕對加速度（因參考系加速度為零）；相對軌跡由相對位移的坐標(biāo)關(guān)系決定（本題中水平方向相對位移為零，僅保留豎直方向運(yùn)動）；曲線運(yùn)動的相對運(yùn)動可能簡化為直線運(yùn)動（如平拋相對勻速車為豎直上拋）。案例4：多物體相對運(yùn)動——速度的鏈?zhǔn)絺鬟f題目：A、B、C三個物體在同一直線上運(yùn)動，A相對B的速度為\(v_1\)，B相對C的速度為\(v_2\)，C相對地面的速度為\(v_3\)。求A相對地面的速度\(v_A\)。分析核心邏輯：多物體相對速度遵循鏈?zhǔn)椒▌t（\(\vec{v}_{AC}=\vec{v}_{AB}+\vec{v}_{BC}\)）；定義：\(\vec{v}_{AB}=\vec{v}_A-\vec{v}_B\)（A相對B），\(\vec{v}_{BC}=\vec{v}_B-\vec{v}_C\)（B相對C），\(\vec{v}_{C地}=\vec{v}_C-0=v_3\)（C相對地面）。解答由鏈?zhǔn)椒▌t：\[\vec{v}_{A地}=\vec{v}_{AB}+\vec{v}_{BC}+\vec{v}_{C地}\]代入數(shù)值（假設(shè)方向相同，取正號）：\[v_A=v_1+v_2+v_3\]總結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)多物體相對速度的傳遞需逐次疊加（矢量和）；若方向相反，需取負(fù)號（如B相對C向左運(yùn)動，\(v_2\)為負(fù)）；可推廣到\(n\)個物體：\(\vec{v}_{A1}=\vec{v}_{A2}+\vec{v}_{A2A3}+\cdots+\vec{v}_{An1}\)（1為地面參考系）。五、常見誤區(qū)與避坑指南1.矢量符號錯誤：相對速度公式\(\vec{v}_{AB}=\vec{v}_A-\vec{v}_B\)易記反，正確記憶：“A相對B的速度=A的絕對速度-B的絕對速度”（如甲相對乙的速度，是甲減乙）。2.忽略相對加速度的矢量性：滑