專題09一次函數(shù)

考點01正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1．（2025·吉林長春·中考真題）已知點A3,y1、B3,y2在同一正比例函數(shù)ykxk0的圖象上，則下

列結(jié)論正確的是（）

A．y1y2B．y1y2C．y20D．y10

【答案】A

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可求解，掌握反比例

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵點A3,y1、B3,y2在同一正比例函數(shù)ykxk0的圖象上，

∴y13k，y23k，

∴y1y2，

∵k0，

∴正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，當(dāng)x0時y0，當(dāng)x0時y0，

∵303，

∴y10，y20，

∴選項A正確，選項B、C、D錯誤，

故選：A．

2．（2025·江西·中考真題）在趣味跳高比賽中，規(guī)定跳躍高度與自己身高的比值最大的同學(xué)為獲勝者．甲、

乙、丙、丁四位同學(xué)的跳躍高度與他們身高的關(guān)系示意圖如圖所示，則獲勝的同學(xué)是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】A

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

【詳解】解：如圖，

y

根據(jù)題意得k，

x

∴ykx，

根據(jù)正比例函數(shù)的意義，k值越大，圖象越陡，反之圖象越陡，k值越大，

∴觀察圖象，跳躍高度與自己身高的比值最大的同學(xué)為甲，

故選：A．

3．（2024·天津·中考真題）若正比例函數(shù)ykx的圖象經(jīng)過第一、第三象限，則k的值可以等于（填

一個即可）．

【答案】2（答案不唯一）

【分析】本題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：在正比例函數(shù)ykx中，當(dāng)k0時，y隨x的增

大而增大，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k0時，y隨x的增大而減小，圖象經(jīng)過第二、四象限．據(jù)此解答

即可．

【詳解】解：∵正比例函數(shù)ykx的圖象經(jīng)過第一、三象限，

∴k0，

∴k的值可以等于2．

故答案為：2（答案不唯一）．

4．（2024·陜西·中考真題）一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A2,m和點Bn,6，若點A與點B關(guān)于原點對

稱，則這個正比例函數(shù)的表達(dá)式為（）

11

A．y3xB．y3xC．yxD．yx

33

【答案】A

【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖象，坐標(biāo)與中心對稱，根據(jù)關(guān)于原點對稱的兩個點的橫縱坐標(biāo)均互為相

反數(shù)，求出A,B的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可．

【詳解】解：∵點A與點B關(guān)于原點對稱，

∴m6,n2，

∴A2,6，B2,6，

設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：ykxk0，把A2,6代入，得：k3，

∴y3x；

故選A．

、、、、、

5．（2023·四川廣安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點A1A2A3A4在x軸的正半軸上，點B1B2B3

3△、△、△

在直線yxx0上，若點A1的坐標(biāo)為2,0，且A1B1A2A2B2A3A3B3A4均為等邊三角形．則

3

點B2023的縱坐標(biāo)為．

【答案】220223

3

【分析】過點A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點M，過點B1作B1Cx軸于點C，先求出

3

A1OM30，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A1B1OA12，然后解直角三角形可得B1C

的長，即可得點B1的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點B2,B3,B4的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一般規(guī)律，由此

即可得．

3

【詳解】解：如圖，過點A1作A1Mx軸，交直線yxx0于點M，過點B1作B1Cx軸于點C，

3

A12,0，

OA12，

2323

當(dāng)時，23，即，

x2yM2,,A1M

333

A1M3

tanA1OM，

A1O3

A1OM30，

A1B1A2是等邊三角形，

A2A1B160,A1A2A1B1，

OB1A130A1OM，

A1B1OA12，

33

BCABsin602，即點B1的縱坐標(biāo)為2，

11122

23

同理可得：點B2的縱坐標(biāo)為2，

2

33

點B3的縱坐標(biāo)為2，

2

43

點B4的縱坐標(biāo)為2，

2

n3n1

歸納類推得：點Bn的縱坐標(biāo)為223（n為正整數(shù)），

2

202312022

則點B2023的縱坐標(biāo)為2323，

故答案為：220223．

【點睛】本題考查了點坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點，

正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．

考點02一次函數(shù)的圖象

k

1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)ykxkk0與y的大致圖象為

x

（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷，即

可求解．

【詳解】解：∵ykxkk0

當(dāng)k0時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，

當(dāng)k0時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限

k

A.一次函數(shù)中k0，則當(dāng)x0時，函數(shù)y圖象在第四象限，不合題意，

x

B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，

k

一次函數(shù)中k0，則當(dāng)x0時，函數(shù)y圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，

x

故選：C．

2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y2x3的圖象是（）

A．B．C．

D．

【答案】D

3

【分析】依據(jù)一次函數(shù)y2x3的圖象經(jīng)過點0，3和，0，即可得到一次函數(shù)y2x3的圖象經(jīng)過一、

2

三、四象限．

3

【詳解】解：一次函數(shù)y2x3中，令x0，則y=3；令y0，則x，

2

3

∴一次函數(shù)y2x3的圖象經(jīng)過點0，3和，0，

2

∴一次函數(shù)y2x3的圖象經(jīng)過一、三、四象限，

故選：D．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象是與坐標(biāo)軸不平行的一條直線．

3．（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知m20252025m2025，則一次函數(shù)y1mxm的圖象不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象特點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)

2025

m20252025m2025可得m20251m，從而可得0m1，再可得1m0，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖

象特點即可得．

【詳解】解：∵m20252025m2025，

∴m202520251m，

2025

當(dāng)m0時，m20250，20251m0，與m20251m矛盾，

2025

當(dāng)m0時，m20250，2025m0，與m20251m矛盾，

2025

當(dāng)m1時，m20250，20251m0，與m20251m矛盾，

2025

當(dāng)m1時，m20251，20251m0，與m20251m矛盾，

∴0m1，

∴1m0，

∴一次函數(shù)y1mxm的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，

故選：D．

4．（2020·湖北荊州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x＋1的圖象是()

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】觀察一次函數(shù)解析式，確定出k與b的符號，利用一次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷即可．

【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，

∴圖象過一、二、三象限，

故選C．

【點睛】此題主要考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．（2024·四川·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx1的圖象不經(jīng)過的象限為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【分析】本題考查一次函數(shù)的圖像，掌握根據(jù)k，b的符號正確判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．根

據(jù)k，b的符號判斷直線所經(jīng)過的象限，然后確定必不經(jīng)過的象限即可．

【詳解】解：∵由已知，得：k10,b10，

∴圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

∴圖象不經(jīng)過第四象限．

故選：D．

6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）一次函數(shù)ykx1k0，若y隨x的增大而減小，則它的圖象不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象當(dāng)k＜0時，一定經(jīng)過二、四象限且y隨x的增大而減小，結(jié)合b=-1即可得出

結(jié)論．

【詳解】解：∵一次函數(shù)ykx1k0，若y隨x的增大而減小，

∴k＜0，

∴圖象一定過第二、四象限，

∵b=-1，

∴該一次函數(shù)一定過第二、三、四象限，不過第一象限，

故選：A．

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

7．（2025·天津·中考真題）將直線y3x1向上平移m個單位長度，若平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第

一象限，則m的值可以是（寫出一個即可）．

【答案】2（答案不唯一，滿足m1即可）

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)直線經(jīng)過的象限，求參數(shù)的范圍，根據(jù)平移規(guī)則求出新的解

析式，根據(jù)圖象經(jīng)過第三、第二、第一象限，得到k0,b0，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由題意，平移后的解析式為：y3x1m，

∵平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第一象限，

∴m10，

∴m1；

∴m的值可以是2；

故答案為：2（答案不唯一，滿足m1即可）

8．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yk1xb1與yk2xb2（其

中k1k20，k1，k2，b1，b2為常數(shù)）的圖象分別為直線l1，l2．下列結(jié)論正確的是（）

A．b1b20B．b1b20C．k1k20D．k1k20

【答案】A

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直接利用一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限以及與y軸的交點位

置再判斷即可．

【詳解】解：由一次函數(shù)l1：yk1xb1的圖象可得：

k10，b11，

由一次函數(shù)l2：yk2xb2的圖象可得：

k20，b21，

∴b1b20，b1b20，k1k20，k1k20，

正確的結(jié)論是A，符合題意，

故選A．

9．（2023·山東臨沂·中考真題）對于某個一次函數(shù)ykxb(k0)，根據(jù)兩位同學(xué)的對話得出的結(jié)論，錯

誤的是（）

1

A．k0B．kb0C．kb0D．kb

2

【答案】C

【分析】首先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定k，b的符號，再確定一次函數(shù)ykxb(k0)系數(shù)的符號，判斷

出函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限．

【詳解】解：∵一次函數(shù)ykxb的圖象不經(jīng)過第二象限，

∴k0，b0，故選項A正確，不符合題意；

∴kb0，故選項B正確，不符合題意；

∵一次函數(shù)ykxb的圖象經(jīng)過點(2，0)，

∴2kb0，則b2k，

∴kbk2kk0，故選項C錯誤，符合題意；

∵b2k，

1

∴kb，故選項D正確，不符合題意；

2

故選：C．

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決此類題目的關(guān)鍵是確定k、b的正負(fù)．

10．（2023·青海西寧·中考真題）一次函數(shù)y2x4的圖象與x軸交于點A，且經(jīng)過點Bm,4．

(1)求點A和點B的坐標(biāo)；

(2)直接在上圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y2x4的圖象；

(3)點P在x軸的正半軸上，若ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo)．

【答案】(1)A2,0,B4,4

(2)見解析

(3)P坐標(biāo)是6,0，225,0

【分析】（1）令y0得出點A的坐標(biāo)是2,0，把Bm,4代入y2x4，即可求解；

（2）畫出經(jīng)過A,B的直線，即可求解；

（3）根據(jù)等腰三角形的定義，勾股定理，即可求解．

【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y2x4的圖象與x軸交于點A，

∴令y0

2x40解得x2

∴點A的坐標(biāo)是2,0

∵點Bm,4在一次函數(shù)y2x4的圖象上

把Bm,4代入y2x4，

得2m44，

∴m4，

∴點B的坐標(biāo)是4,4；

（2）解：如圖所示，

（3）解：如圖所示，當(dāng)BABP時，P16,0;

∵A2,0，B4,4，

2

∴AB42225，

當(dāng)ABAP時，P2225,0

∴符合條件的點P坐標(biāo)是6,0，225,0.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，畫一次函數(shù)圖象，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握以上知

識是解題的關(guān)鍵．

11．（2025·陜西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，過點1,0，0,2的直線向上平移3個單位長度，平移

后的直線經(jīng)過的點的坐標(biāo)可以是（）

A．1,3B．1,3C．3,2D．3,2

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，先根據(jù)點1,0，0,2，求出這條直線的

解析式為y2x2，結(jié)合平移的性質(zhì)，得平移后的直線解析式為y2x5，再將每個選項進(jìn)行驗證，即

可作答．

【詳解】解：設(shè)過點1,0，0,2的直線解析式為ykxbk0，

把點1,0，0,2分別代入ykxb，

0kb

得，

20b

k2

∴，

b2

∴y2x2，

∵過點1,0，0,2的直線向上平移3個單位長度，

∴平移后的直線解析式為y2x232x5，

當(dāng)x1時，則y2153，

即1,3在直線y2x2上，故B選項符合題意，故A選項不符合題意；

當(dāng)x3時，則y2351，

即3,-1在直線y2x2上，故D選項不符合題意；

當(dāng)x3時，則y23511，

即-3,11在直線y2x2上，故C選項不符合題意；

故選：B

考點03一次函數(shù)的性質(zhì)

1．（2023·湖南益陽·中考真題）關(guān)于一次函數(shù)yx1，下列說法正確的是（）

A．圖象經(jīng)過第一、三、四象限B．圖象與y軸交于點0,1

C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小D．當(dāng)x1時，y0

【答案】B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．

【詳解】解：由題意可得：k0,b0，

∴一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故A、C錯；

當(dāng)x0時，y1，

∴圖象與y軸交于點0,1，故B正確；

當(dāng)x1時，y0，

∵函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，

∴當(dāng)x1時，y0，故D錯誤；

故選：B．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2．（2024·湖南長沙·中考真題）對于一次函數(shù)y2x1，下列結(jié)論正確的是（）

A．它的圖象與y軸交于點0,1B．y隨x的增大而減小

1

C．當(dāng)x時，y0D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限

2

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可得到答案．

【詳解】解：A.當(dāng)x0時，y1，即一次函數(shù)y2x1的圖象與y軸交于點0,1，說法正確；

B.一次函數(shù)y2x1圖象y隨x的增大而增大，原說法錯誤；

1

C.當(dāng)x時，y0，原說法錯誤；

2

D.一次函數(shù)y2x1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，原說法錯誤；

故選A．

3．（2023·湖南·中考真題）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A．y2x1B．yx4C．y2xD．yx1

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系判斷即可．

【詳解】解：由一次函數(shù)、正比例函數(shù)增減性知，x系數(shù)小于0時，y隨x的增大而減小，

yx1，10

故只有D符合題意，

故選：D．

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4．（2025·山東東營·中考真題）一次函數(shù)ykx2k0的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x1時y的值

可以是（）

A．3B．2C．1D．1

【答案】A

【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的

增減性可得k的取值范圍，再把x1代入函數(shù)ykx2(k0)，從而判斷函數(shù)值y的取值范圍，即可得出

結(jié)果．

【詳解】解：∵一次函數(shù)ykx2(k0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，

∴k0，

∴當(dāng)x1時，yk22，

選項中只有3符合要求，

故選：A．

5．（2024·四川南充·中考真題）當(dāng)2x5時，一次函數(shù)y(m1)xm21有最大值6，則實數(shù)m的值為

（）

A．3或0B．0或1C．5或3D．5或1

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及解一元二次方程，分兩種情況，當(dāng)m10時和當(dāng)m10，

根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)列出關(guān)于m的一元二次方程，求解即可得出答案．

【詳解】解：當(dāng)m10即m1時，一次函數(shù)y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x5時，y6，

即5(m1)m216，

整理得：m25m0

解得：m0或m5（舍去）

當(dāng)m10即m1時，一次函數(shù)y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x2時，y6，

即2(m1)m216，

整理得：m22m30

解得：m3或m1（舍去）

綜上，m0或m3，

故選：A

=+

6．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）點A1,y1、B2,y2在一次函數(shù)y3x1的圖像上，則y1y2（用“”、

“”或“”填空）．

【答案】<

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)k30，可知一次函數(shù)值y隨著x的增大而增大，再

比較x值的大小，可得答案．

【詳解】∵一次函數(shù)y=3x+1中，k30，

∴一次函數(shù)值y隨著x的增大而增大．

∵12，

∴y1y2．

故答案為：．

7．（2023·湖北十堰·中考真題）已知點Ax1,y1在直線y3x19上，點Bx2,y2,Cx3,y3在拋物線

2

yx4x1上，若y1y2y3且x1x2x3，則x1x2x3的取值范圍是（）

A．12x1x2x39B．8x1x2x36

C．9x1x2x30D．6x1x2x31

【答案】A

【分析】設(shè)直線y3x19與拋物線yx24x1對稱軸左邊的交點為P，設(shè)拋物線頂點坐標(biāo)為Q，求得其

坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象分析出x1的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出x2x3224，進(jìn)而即可求解．

【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線y3x19與拋物線yx24x1對稱軸左邊的交點為P，設(shè)拋物線頂點坐

標(biāo)為Q

y3x19

聯(lián)立2

yx4x1

x5x4

解得：或

y4y31

∴P5,4，

2

由yx24x1x25，則Q2,5，對稱軸為直線x2，

設(shè)my1y2y3，則點A,B,C在ym上，

∵y1y2y3且x1x2x3，

∴A點在P點的左側(cè)，即x15，x22x3，

當(dāng)m5時，x2x3

對于y3x19，當(dāng)y5，x8，此時x18，

∴x18，

∴8x15

∵對稱軸為直線x2，則x2x3224，

∴x1x2x3的取值范圍是12x1x2x39，

故選：A．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合熟練掌握是解題的關(guān)鍵．

考點04一次函數(shù)與方程（組）、不等式

1．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點，

若OA2，OB1，則關(guān)于x的方程kxb0的解為．

【答案】x2

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，難度不大，認(rèn)真分析題意即可．

根據(jù)一次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)可得出答案．

【詳解】解：∵OA2，

∴A(2,0)，

∵一次函數(shù)ykxb的圖象與x軸交于點A(2,0)，

∴當(dāng)y0時，x2，即kxb0時，x2，

∴關(guān)于x的方程kxb0的解是x2．

故答案為：x2．

2．（2024·廣東·中考真題）已知不等式kxb0的解集是x2，則一次函數(shù)ykxb的圖象大致是（）

A．B．C．

D．

【答案】B

【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)

ykxb的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當(dāng)x2函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．

【詳解】解∶∵不等式kxb0的解集是x2，

∴當(dāng)x2時，y0，

觀察各個選項，只有選項B符合題意，

故選：B．

3．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，直線yaxba0過點A0,3，B4,0，則不等式axb0的

解集是（）

A．x4B．x4C．x3D．x3

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，找出使函數(shù)圖象在x軸上方的自變量的取值范圍即可．

【詳解】解：∵B4,0，

∴當(dāng)x4時，axb0，

故選：B．

【點睛】本題主要考查對一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系的理解和掌握，能正確觀察圖象得出答案

是解此題的關(guān)鍵．

k

4．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線yaxba0與雙曲線yk0交于點A2,4和點Bm,2，

x

k

則不等式0axb的解集是（）

x

A．2x4B．2x0

C．x<2或0x4D．2x0或x>4

【答案】B

【分析】利用數(shù)形相結(jié)合，借助圖象求出不等式的解集即可．

k

【詳解】解：∵把A2,4，直線yaxba0與雙曲線yk0交于點A2,4和點Bm,2，

x

∴當(dāng)2x0時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，

k

∴不等式0axb的解集是：2x0，

x

故選：B．

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形相結(jié)

合的思想是解此題的關(guān)鍵．

5．（2023·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1axb(a0)與y2mxn(m0)的圖

象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．y1隨x的增大而增大

B．bn

C．當(dāng)x2時，y1y2

axybx2

D．關(guān)于x，y的方程組的解為

mxyny3

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、y1隨x的增大而增大，故選項A正確；

B、由圖象可知，一次函數(shù)y1axb(a0)的圖象與y軸的交點在y2mxn(m0)的圖象與y軸的交點的

下方，即bn，故選項B正確；

C、由圖象可知：當(dāng)x2時，y1y2，故選項C錯誤；

D、由圖象可知，兩條直線的交點為2,3，

axybx2

∴關(guān)于x，y的方程組的解為；

mxyny3

故選項D正確；

故選C．

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從

函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握圖象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．

3

6．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點Px,y在直線yx4上，坐標(biāo)x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，則點P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

3

yx4

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組4，求

5x6y33

出點P的坐標(biāo)即可判斷．

3

yx4

【詳解】解∶聯(lián)立方程組4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐標(biāo)為6,，

2

∴點P在第四象限，

故選∶D．

考點05一次函數(shù)的實際應(yīng)用

1．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發(fā)展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑

煙”較嚴(yán)重的燃油公交車．新能源公交車有A型和B型兩種車型，若購買A型公交車3輛，B型公交車1輛，

共需260萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需360萬元．

(1)求購買A型和B型新能源公交車每輛各需多少萬元？

(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的A型和B型新能源公交車每輛年均載客量分別為70萬人次和100萬人次．公司準(zhǔn)

備購買10輛A型、B型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過650萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，

請設(shè)計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．

【答案】(1)購買A型新能源公交車每輛需60萬元，購買B型新能源公交車每輛需80萬元；

(2)方案為購買A型公交車8輛，

B型公交車2輛時．線路的年均載客總量最大，最大在客量為760萬人．

【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式及一次函數(shù)的應(yīng)用，注意理解題意，找出題目蘊(yùn)含的

數(shù)量關(guān)系，列出方程組及一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，根據(jù)“購買A型公交車3輛，B型公

交車1輛，共需260萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需360萬元”列出方程組解決問題即

可；

（2）設(shè)購買A型公交車a輛，則B型公交車10a輛，由“公司準(zhǔn)備購買10輛A型、B型兩種新能源公交

車，總費(fèi)用不超過650萬元”列出不等式求得a的取值，再求出線路的年均載客總量為w與a的關(guān)系式，根

據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)購買A型新能源公交車每輛需x萬元，購買B型新能源公交車每輛需y萬元，

3xy260

由題意得：，

2x3y360

x60

解得，

y80

答：購買A型新能源公交車每輛需60萬元，購買B型新能源公交車每輛需80萬元；

（2）解：設(shè)購買A型公交車a輛，則B型公交車10a輛，該線路的年均載客總量為w萬人，

由題意得60a8010a650，

解得：a7.5，

∵a10，

∴7.5a10，

∵a是整數(shù)，

∴a8，9，10；

∴線路的年均載客總量為w與a的關(guān)系式為w70a10010a30a1000，

∵300，

∴w隨a的增大而減小，

∴當(dāng)a8時，線路的年均載客總量最大，最大載客量為w3081000760（萬人次）

∴1082（輛）

∴購買方案為購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛，此時線路的年均載客總量最大時，且為760萬人次，

2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）學(xué)校通過勞動教育促進(jìn)學(xué)生樹德、增智、強(qiáng)體、育美全面發(fā)展，計

劃組織八年級學(xué)生到“開心”農(nóng)場開展勞動實踐活動．到達(dá)農(nóng)場后分組進(jìn)行勞動，若每位老師帶38名學(xué)生，

則還剩6名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生．勞動實踐結(jié)束后，學(xué)校

在租車總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現(xiàn)有甲、乙兩種大型

客車，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車乙型客車

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

(1)參加本次實踐活動的老師和學(xué)生各有多少名？

(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；

(3)學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費(fèi)用是多少？

【答案】(1)參加本次實踐活動的老師有6名，學(xué)生有234名

(2)6

(3)學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元

【分析】（1）設(shè)參加本次實踐活動的老師有x名，根據(jù)“若每位老師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒老師

帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生”列出方程求解即可；

（2）根據(jù)每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，得出汽車總數(shù)不超過6輛，根據(jù)要

2346

保證所有師生都有車坐，得出汽車總數(shù)不少于6輛，即可解答；

45

（3）設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車6a輛，列出不等式組，解得4a5.1，設(shè)租車費(fèi)用為y元，得

出y120a1680，根據(jù)一次函數(shù)增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．

【詳解】（1）解：設(shè)參加本次實踐活動的老師有x名，

38x640x6，

解得：x6，

∴38x63866234，

答：參加本次實踐活動的老師有6名，學(xué)生有234名；

（2）解：∵每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，

∴汽車總數(shù)不超過6輛，

∵要保證所有師生都有車坐，

234616

∴汽車總數(shù)不少于（輛），則汽車總數(shù)最少為6輛，

453

∴共需租車6輛，

故答案為：6．

（3）解：設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車6a輛，

400a2806a2300

，

45a306a240

解得：4a5.1，

∵a為整數(shù)，

∴a4或a5，

方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；

方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；

設(shè)租車費(fèi)用為y元，

y400a2806a120a1680，

∵1200，

∴y隨a的增大而增大，

∴當(dāng)a4時，y最小，y120416802160，

綜上：學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出方程、不等式組、一次函數(shù)表達(dá)式．

3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽禮盒的進(jìn)價比肉粽禮盒

的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用2500元購進(jìn)的肉粽和用2000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價；

(2)商家計劃只購買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個廠家可供選擇，兩個廠家針對價格相同的

豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：

A廠家：一律打8折出售．

B廠家：若一次性購買禮盒數(shù)量超過25盒，超過的部分打7折．該商家計劃購買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A

廠家購買應(yīng)付y1元，去B廠家購買應(yīng)付y2元，其函數(shù)圖象如圖所示：

①分別求出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系；

②若該商家只在一個廠家購買，怎樣買劃算？

【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為50元和40元

40x0x25且x為整數(shù)

(2)①y132x（x0且x為整數(shù)）；y2；②購買粽子禮盒少于75盒，去A

28x300x25且x為整數(shù)

廠家購買劃算；購買粽子禮盒等于75盒，去A廠家或B廠家購買一樣劃算；購買粽子禮盒多于75盒，去B

廠家購買劃算

【分析】（1）設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價為a10元，列分式方程求解即可；

x75

（2）①根據(jù)售價與數(shù)量、單價間的關(guān)系即可列一次函數(shù)得解；②由y1y2得32x28x300，解得，結(jié)

合圖象即可得解．

【詳解】（1）解：設(shè)每盒豆沙粽的進(jìn)價為a元，則每盒肉粽的進(jìn)價為a10元

20002500

aa10

方程兩邊乘aa10，得2000a102500a

解得a40

檢驗：當(dāng)a40時，aa100

∴a40是原方程的解

a1050

答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價分別為50元和40元．

（2）解：①y14080%x32x（x0且x為整數(shù)）

當(dāng)0x25且x為整數(shù)時，y240x

當(dāng)x25且x為整數(shù)時，y2100040x100070%28x300

40x0x25且x為整數(shù)

∴y2

28x300x25且x為整數(shù)

②當(dāng)x25且x為整數(shù)，

y1y2時32x28x300

x75

由圖象可知：購買粽子禮盒少于75盒，去A廠家購買劃算；購買粽子禮盒等于75盒，去A廠家或B廠家

購買一樣劃算；購買粽子禮盒多于75盒，去B廠家購買劃算．

【點睛】本題考查了求一次函數(shù)得解析式，分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，正確找出等量關(guān)

系列分式方程是解題的關(guān)鍵．

4．（2025·山東煙臺·中考真題）2025年6月5日是第54個“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決

定購買甲、乙兩種太陽能路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng)．已知購買1盞甲種路燈和2

盞乙種路燈共需220元，購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費(fèi)用少140元．

(1)求甲、乙兩種路燈的單價；

1

(2)該社區(qū)計劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的，請通過計算設(shè)計

3

一種購買方案，使所需費(fèi)用最少．

【答案】(1)甲、乙兩種路燈的單價分別為60元，80元

(2)購買甲種路燈10盞，購買乙種路燈30盞，費(fèi)用最少

【分析】本題考查了二元一次方程組以及一元一次不等式、一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等

式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；

（1）設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為x,y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；

（2）設(shè)購買甲種路燈m盞，則購買乙種路燈40m盞，列出不等式，求得m10，設(shè)購買費(fèi)用為n元，

得出n20m3200，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．

【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為x,y元，根據(jù)題意得，

x2y220

3x1404y

x60

解得：

y80

答：甲、乙兩種路燈的單價分別為60，80元

（2）解：設(shè)購買甲種路燈m盞，則購買乙種路燈40m盞，根據(jù)題意得，

1

m40m

3

解得：m10

設(shè)購買費(fèi)用為n元，根據(jù)題意得，n60m8040m20m3200

∵200

∴當(dāng)m取得最大值時，n取得最小值，

∴m10時，40m401030（盞）n3000，

即購買甲種路燈10盞，購買乙種路燈30盞，費(fèi)用最少，

答：購買甲種路燈10盞，購買乙種路燈30盞，費(fèi)用最少．

5．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某廠家生

產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進(jìn)小號“龍辰

辰”的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網(wǎng)店在

該廠家購進(jìn)了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，小號“龍

辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全部售出，

則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元．

【答案】551260

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x15元，根據(jù)題意建立分式

方程，解方程即可得；設(shè)購進(jìn)小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進(jìn)大號“龍辰辰”的數(shù)量為60a個，先求

出a的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為w元，建立w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可

得．

【詳解】解：設(shè)大號“龍辰辰”的單價為x元，則小號“龍辰辰”的單價為x15元，

24002200

由題意得：1.5，

x15x

解得x55，

經(jīng)檢驗，x55是所列分式方程的解，

所以大號“龍辰辰”的單價為55元，小號“龍辰辰”的單價為40元．

設(shè)購進(jìn)小號“龍辰辰”的數(shù)量為a個，則購進(jìn)大號“龍辰辰”的數(shù)量為60a個，

1

由題意得：060aa，

2

解得40a60，

設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤為w元，

則w6040a60130%5560a3a1380，

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40a60內(nèi)，w隨a的增大而減小，

則當(dāng)a40時，w取得最大值，最大值為34013801260，

即該網(wǎng)店所獲最大利潤為1260元，

故答案為：55；1260．

6．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）2025年春晚舞臺上的機(jī)器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完

美融合．為滿足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動“機(jī)器人走進(jìn)校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里

一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個互動區(qū)，機(jī)器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時出發(fā)開始表

演，機(jī)器人甲沿“勤學(xué)路”以20米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時停留4.5分鐘（與師生熱情互動）

后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進(jìn)，機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)

時接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機(jī)器人同時到達(dá)C區(qū)．機(jī)器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙

行進(jìn)的時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象信息解答下列問題：

(1)A，C兩區(qū)相距__________米，a__________；

(2)求線段EF所在直線的函數(shù)解析式；

(3)機(jī)器人乙行進(jìn)的時間為多少分時，機(jī)器人甲、乙相距30米？（直接寫出答案即可）

【答案】(1)240,7.5

(2)y15x135

(3)7分或11分或13分

【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和從函數(shù)圖象獲取信息，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)圖象可直接進(jìn)行求解A、C兩區(qū)之間的距離，然后再結(jié)合甲的行進(jìn)情況可求解a；

（2）求出E9,0，由圖象可得F15,90，設(shè)直線EF的解析式為ykxbk0，進(jìn)而問題可求解；

（3）由題意可分三種情況分別進(jìn)行求解即可．

【詳解】（1）解：由題意可得，A，C兩區(qū)相距為15090240（米），

150

由題意可知，a表示甲到達(dá)B區(qū)的時間，則