成都市第八中學七年級下冊數(shù)學期末試卷測試卷（解析版）一、解答題1．如圖，直線HDGE，點A在直線HD上，點C在直線GE上，點B在直線HD、GE之間，∠DAB＝120°．（1）如圖1，若∠BCG＝40°，求∠ABC的度數(shù)；（2）如圖2，AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，比較∠B，∠F的大??；（3）如圖3，點P是線段AB上一點，PN平分∠APC，CN平分∠PCE，探究∠HAP和∠N的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．如圖，直線AB∥直線CD，線段EF∥CD，連接BF、CF．（1）求證：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；（2）連接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求證：CE平分∠BCD；（3）在（2）的條件下，G為EF上一點，連接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度數(shù)．3．已知直線，點P為直線、所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點E在射線上，過點E作，作，點G在直線上，作的平分線交于點H，若，，求的度數(shù)．4．已知：如圖，直線AB//CD，直線EF交AB，CD于P，Q兩點，點M，點N分別是直線CD，EF上一點（不與P，Q重合），連接PM，MN．（1）點M，N分別在射線QC，QF上（不與點Q重合），當∠APM+∠QMN=90°時，①試判斷PM與MN的位置關(guān)系，并說明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度數(shù)．（提示：過N點作AB的平行線）（2）點M，N分別在直線CD，EF上時，請你在備用圖中畫出滿足PM⊥MN條件的圖形，并直接寫出此時∠APM與∠QMN的關(guān)系．（注：此題說理時不能使用沒有學過的定理）5．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．二、解答題6．（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學知識有，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，問如何放置平面鏡，可使反射光線b正好垂直照射到井底?（即求與水平線的夾角）（3）如圖3，直線上有兩點A、C，分別引兩條射線、．，，射線、分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設時間為t，在射線轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．7．如圖，AB⊥AK，點A在直線MN上，AB、AK分別與直線EF交于點B、C，∠MAB+∠KCF=90°．（1）求證：EF∥MN；（2）如圖2，∠NAB與∠ECK的角平分線交于點G，求∠G的度數(shù)；（3）如圖3，在∠MAB內(nèi)作射線AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以點C為端點作射線CP，交直線AQ于點T，當∠CTA=60°時，直接寫出∠FCP與∠ACP的關(guān)系式．8．已知，如圖①，∠BAD=50°，點C為射線AD上一點（不與A重合），連接BC．（1）[問題提出]如圖②，AB∥CE，∠BCD=73°，則：∠B=．（2）[類比探究]在圖①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并用平行線的性質(zhì)說明理由．（3）[拓展延伸]如圖③，在射線BC上取一點O，過O點作直線MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E點，OF平分∠BON交AD于F點，交AD于G點，當C點沿著射線AD方向運動時，∠FOG的度數(shù)是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個不變的值．9．長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，如圖，燈A射線自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且（1）求a、b的值；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動45秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，當燈B射線第一次到達時運動停止，問A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行?（3）如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達之前．若射出的光束交于點C，過C作交于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．10．問題情境（1）如圖1，已知，，，求的度數(shù)．佩佩同學的思路：過點作，進而，由平行線的性質(zhì)來求，求得________．問題遷移（2）圖2．圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖2，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由；拓展延伸（3）當點在，兩點之間運動時，若，的角平分線，相交于點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．三、解答題11．如圖，直線，、是、上的兩點，直線與、分別交于點、，點是直線上的一個動點（不與點、重合），連接、．（1）當點與點、在一直線上時，，，則_____．（2）若點與點、不在一直線上，試探索、、之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．12．如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使∠BON＝30°，如圖③，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒30°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第____________秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．（直接寫出結(jié)果）13．（1）如圖1所示，△ABC中，∠ACB的角平分線CF與∠EAC的角平分線AD的反向延長線交于點F；①若∠B＝90°則∠F＝；②若∠B＝a，求∠F的度數(shù)（用a表示）；（2）如圖2所示，若點G是CB延長線上任意一動點，連接AG，∠AGB與∠GAB的角平分線交于點H，隨著點G的運動，∠F+∠H的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．14．模型與應用.（模型）（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（應用）（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數(shù)為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）15．在中，，，點在直線上運動（不與點、重合），點在射線上運動，且，設．（1）如圖①，當點在邊上，且時，則__________，__________；（2）如圖②，當點運動到點的左側(cè)時，其他條件不變，請猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當點運動到點的右側(cè)時，其他條件不變，和還滿足（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？請在圖③中畫出圖形，并給予證明．（畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）【參考答案】一、解答題1．（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由見解析．【分析】（1）過點B作BMHD，則HDGEBM，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABM與∠CBM，便可求得最后解析：（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由見解析．【分析】（1）過點B作BMHD，則HDGEBM，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABM與∠CBM，便可求得最后結(jié)果；（2）過B作BPHDGE，過F作FQHDGE，由平行線的性質(zhì)得，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分線的性質(zhì)和已知角的度數(shù)分別求得∠HAF，∠FCG，最后便可求得結(jié)果；（3）過P作PKHDGE，先由平行線的性質(zhì)證明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，再根據(jù)角平分線求得∠NPC與∠PCN，由后由三角形內(nèi)角和定理便可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）過點B作BMHD，則HDGEBM，如圖1，∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；（2）過B作BPHDGE，過F作FQHDGE，如圖2，∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，∵∠DAB＝120°，∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，∴∠ABC＞∠AFC；（3）過P作PKHDGE，如圖3，∴∠APK＝∠HAP，∠CPK＝∠PCG，∴∠APC＝∠HAP+∠PCG，∵PN平分∠APC，∴∠NPC＝∠HAP+∠PCG，∵∠PCE＝180°﹣∠PCG，CN平分∠PCE，∴∠PCN＝90°﹣∠PCG，∵∠N+∠NPC+∠PCN＝180°，∴∠N＝180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG＝90°﹣∠HAP，即：∠N＝90°﹣∠HAP．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線性質(zhì)和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．2．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進而解答即可；（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠FBE＝35°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，進而解答即可；（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABF＝∠BFE，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；（2）∵BE⊥EC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ECD＝∠BCE，∴CE平分∠BCD；（3）設∠BCE＝β，∠ECF＝γ，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE＝β，∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，∴∠EFC＝β﹣γ，∵∠BFC＝∠BCF，∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，∵∠FBG＝2∠ECF，∴∠FBG＝2γ，∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣β，∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，整理得：2γ+β＝55°，∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答．3．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）見解析；（3）55°【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可證得∠A+∠C+∠APC=360解析：（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）見解析；（3）55°【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可證得∠A+∠C+∠APC=360°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠APC=∠A+∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先證∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根據(jù)∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．【詳解】解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°如圖1所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ=180°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ=180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；（2）∠APC=∠A+∠C，如圖2，作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C=∠CPQ，∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，∴∠APC=∠A-∠C；（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，∵∠APC=30°，∠PAB=140°，∴∠PCD=110°，∵AB∥CD，∴∠PQB=∠PCD=110°，∵EF∥BC，∴∠BEF=∠PQB=110°，∵EF∥BC，∴∠BEF=∠PQB=110°，∵∠PEG=∠PEF，∴∠PEG=∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH=∠BEG，∴∠PEH=∠PEG-∠GEH=∠FEG-∠BEG=∠BEF=55°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．4．（1）①PM⊥MN，理由見解析；②∠EPB的度數(shù)為125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM-∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)得到∠APM=∠PMQ，再根據(jù)已知條解析：（1）①PM⊥MN，理由見解析；②∠EPB的度數(shù)為125°；（2）∠APM+∠QMN=90°或∠APM-∠QMN=90°．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)得到∠APM=∠PMQ，再根據(jù)已知條件可得到PM⊥MN；②過點N作NH∥CD，利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求得∠MNH=35°，即可求解；（2）分三種情況討論，利用平行線的性質(zhì)即可解決．【詳解】解：（1）①PM⊥MN，理由見解析：∵AB//CD，∴∠APM=∠PMQ，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∴PM⊥MN；②過點N作NH∥CD，∵AB//CD，∴AB//NH∥CD，∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，∵PA平分∠EPM，∴∠EPA=∠MPA，∵∠APM+∠QMN=90°，∴∠EPA+∠MNH=90°，即∠ENH+∠MNH=90°，∴∠MNQ+∠MNH+∠MNH=90°，∵∠MNQ=20°，∴∠MNH=35°，∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ+∠MNH=55°，∴∠EPB=180°-55°=125°，∴∠EPB的度數(shù)為125°；（2）當點M，N分別在射線QC，QF上時，如圖：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠APM+∠QMN=90°；當點M，N分別在射線QC，線段PQ上時，如圖：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，∴∠PMQ-∠QMN=90°，∴∠APM-∠QMN=90°；當點M，N分別在射線QD，QF上時，如圖：∵PM⊥MN，AB//CD，∴∠PMQ+∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，∴∠APM+90°-∠QMN=180°，∴∠APM-∠QMN=90°；綜上，∠APM+∠QMN=90°或∠APM-∠QMN=90°．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，同位角相等等知識是解題的關(guān)鍵．5．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．解析：（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；（2）結(jié)合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結(jié)合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點睛】考核知識點：平行線的判定和性質(zhì)．熟練運用平行線性質(zhì)和判定，添加適當輔助線是關(guān)鍵．二、解答題6．（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反解析：（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1=∠2，然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù)，再加上40°即可得解；（3）分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等列式計算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖1，∵∠3=∠4，∴∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠6，∴a∥b(內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）如圖2：∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1=∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為40°，b垂直照射到井底，∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，∴∠1＝×50°=25°，∴MN與水平線的夾角為：25°+40°=65°，即MN與水平線的夾角為65°，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）存在．如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠ACD=∠BAC，即115-3t=105-t，解得t=5；如圖②，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即295-3t=105-t，解得t=95；如圖③，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，∠BAC=t°-105°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即3t-295=t-105，解得t=95，此時t＞105，∴此情況不存在．綜上所述，t為5秒或95秒時，CD與AB平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．7．（1）見解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定義可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠KAN=∠K解析：（1）見解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【分析】（1）有垂直定義可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，從而判斷兩直線平行；（2）設∠KAN=∠KCF=α，過點G作GH∥EF，結(jié)合角平分線的定義和平行線的判定及性質(zhì)求解；（3）分CP交射線AQ及射線AQ的反向延長線兩種情況結(jié)合角的和差關(guān)系分類討論求解．【詳解】解：（1）∵AB⊥AK∴∠BAC=90°∴∠MAB+∠KAN=90°∵∠MAB+∠KCF=90°∴∠KAN=∠KCF∴EF∥MN（2）設∠KAN=∠KCF=α則∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α∠KCB=180°－∠KCF=180°－α∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α過點G作GH∥EF∴∠HGC=∠FCG=90°＋α又∵MN∥EF∴MN∥GH∴∠HGA=∠GAN=45°＋α∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45°（3）①當CP交射線AQ于點T∵∴又∵∴由（1）可得：EF∥MN∴∵∴∵，∴∴即∠FCP+2∠ACP=180°②當CP交射線AQ的反向延長線于點T，延長BA交CP于點G，由EF∥MN得∴又∵，，∴∵，∴∴∴由①可得∴∴綜上，∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差關(guān)系，準確理解題意，正確推理計算是解題關(guān)鍵．8．（1）；（2），見解析；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出的度數(shù)，利用內(nèi)錯角相等可求出角的度數(shù)；（2）過點作∥，類似（1）利用平行線的性質(zhì)，得出三個角的關(guān)系；（3）運用解析：（1）；（2），見解析；（3）不變，【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出的度數(shù)，利用內(nèi)錯角相等可求出角的度數(shù)；（2）過點作∥，類似（1）利用平行線的性質(zhì)，得出三個角的關(guān)系；（3）運用（2）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，可求出的度數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】（1）因為∥，所以，因為∠BCD=73°，所以，故答案為：（2），如圖②，過點作∥，則，．因為，所以，（3）不變，設，因為平分，所以．由（2）的結(jié)論可知，且，則：．因為∥，所以，因為平分，所以．因為∥，所以，所以．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練運用平行線的性質(zhì)證明角相等，通過等量代換等方法得出角之間的關(guān)系．9．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不發(fā)生變化，【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（2）分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．（3）由參數(shù)表示，即可判斷．【詳解】解析：（1），；（2）15秒或63秒；（3）不發(fā)生變化，【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（2）分三種情形，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．（3）由參數(shù)表示，即可判斷．【詳解】解：（1）∵,∴,，；（2）設燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，①當時，，解得；②當時，，解得；③當時，，解得，（不合題意）綜上所述，當t=15秒或63秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設燈轉(zhuǎn)動時間為秒，，，又，，而，，，即．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，非負數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．10．（1）；（2）①，②，理由見解析；（3）【分析】（1）過點作，則，由平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）①過點作的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得與，之間的數(shù)量關(guān)系；②過作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即解析：（1）；（2）①，②，理由見解析；（3）【分析】（1）過點作，則，由平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）①過點作的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得與，之間的數(shù)量關(guān)系；②過作，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，即可得到；（3）過和分別作的平行線，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到與，之間的數(shù)量關(guān)系為．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則，由平行線的性質(zhì)可得，，又∵，，∴，故答案為：；（2）①如圖2，與，之間的數(shù)量關(guān)系為；過點P作PM∥FD，則PM∥FD∥CG，∵PM∥FD，∴∠1=∠α，∵PM∥CG，∴∠2=∠β，∴∠1+∠2=∠α+∠β，即：，②如圖，與，之間的數(shù)量關(guān)系為；理由：過作，∵，∴，∴，，∴；（3）如圖，由①可知，∠N=∠3+∠4，∵EN平分∠DEP，AN平分∠PAC，∴∠3=∠α，∠4=∠β，∴，∴與，之間的數(shù)量關(guān)系為．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是過拐點作平行線，利用平行線的性質(zhì)得出結(jié)論．三、解答題11．（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)題意，當點與點、在一直線上時，作出圖形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出解析：（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)題意，當點與點、在一直線上時，作出圖形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出=60°，計算∠PFD即可；（2）根據(jù)點P是動點，分三種情況討論：①當點P在AB與CD之間時；②當點P在AB上方時；③當點P在CD下方時，分別求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）當點與點、在一直線上時，作圖如下，∵AB∥CD，∠FHP=60°，，∴=∠FHP=60°，∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，∴∠PFD=120°，故答案為：120°；（2）滿足關(guān)系式為∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．證明：根據(jù)點P是動點，分三種情況討論：①當點P在AB與CD之間時，過點P作PQ∥AB，如下圖，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，即∠EPF=∠AEP+∠CFP；②當點P在AB上方時，如下圖所示，∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，∵AB∥CD，∴∠CFP=∠EQP，∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；③當點P在CD下方時，∵AB∥CD，∴∠AEP=∠EQF，∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，綜上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之間滿足的關(guān)系式為：∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，故答案為：∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論問題．12．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內(nèi)角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.【分析】（1）在△CEN中，用三角形內(nèi)角和定理即可求出；（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求出∠CEN的度數(shù).（3）畫出圖形，求出在MN⊥CD時的旋轉(zhuǎn)角，再除以30°即得結(jié)果.【詳解】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，∴∠BON＝∠N，∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°，∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°－45°=135°；（3）如圖，MN⊥CD時，旋轉(zhuǎn)角為360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒時，直線MN恰好與直線CD垂直．【點睛】本題以學生熟悉的三角板為載體，考查了三角形的內(nèi)角和、平行線的判定和性質(zhì)、垂直的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，前兩小題難度不大，難點是第（3）小題，解題的關(guān)鍵是畫出適合題意的幾何圖形，弄清求旋轉(zhuǎn)角的思路和方法，本題的第一種情況是將旋轉(zhuǎn)角∠DOM放在四邊形DOMF中，用四邊形內(nèi)角和求解，第二種情況是用周角減去∠DOM的度數(shù).13．（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不變，是定值180°．【分析】（1）①②依據(jù)AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依據(jù)∠CAE是△ABC解析：（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不變，是定值180°．【分析】（1）①②依據(jù)AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依據(jù)∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根據(jù)∠CAD是△ACF的外角，即可得到∠F=∠CAD-∠ACF=∠CAE-∠ACB=（∠CAE-∠ACB）=∠B；（2）由（1）可得，∠F=∠ABC，根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠H=90°+∠ABG，進而得到∠F+∠H=90°+∠CBG=180°．【詳解】解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，故答案為45°；②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，∵∠AGB與∠GAB的角平分線交于點H，∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣∠ABG）＝90°+∠ABG，∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，∴∠F+∠H的值不變，是定值180°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)的綜合運用，熟練運用定理是解題的關(guān)鍵．14．（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【應用】（2）分別過E點，F(xiàn)點，G點，H點作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解題方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°