教考銜接2?比較大小有方法

真題展示【例】

（2020·全國(guó)Ⅲ卷12題）已知55＜84，134＜85.設(shè)

a

＝log53，

b

＝log85，

c

＝log138，則（

）A.

a

＜

b

＜

c

B.

b

＜

a

＜

c

C.

b

＜

c

＜

a

D.

c

＜

a

＜

b

真題溯源與解法探究1.真題溯源（教材原題）比較下列三個(gè)值的大?。簂og23，log34，log45.教材原題與真題雖然題目不同，但實(shí)質(zhì)均為對(duì)數(shù)比較大小類問(wèn)題.該

類問(wèn)題的設(shè)置主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理核心素養(yǎng)及必備的理性

思維及數(shù)學(xué)探究能力.求解此類問(wèn)題的一般思路為：（1）同底但不同真數(shù)，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較；（2）同真數(shù)但不同底，可通過(guò)作函數(shù)圖象或換底公式轉(zhuǎn)化解決；（3）真數(shù)不同底數(shù)也不同的，可將其轉(zhuǎn)化為（1）（2）兩種情況或借助中間量（如“1”“0”）等比較.此類試題簡(jiǎn)潔樸實(shí)，但蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的理性思維素養(yǎng)要求較高，有很高的拓廣探究?jī)r(jià)值.2.解法探究（以教材原題為例）

反思感悟

比較法是我們比較大小最常用的方法，換底通分后可以使用對(duì)數(shù)

的運(yùn)算法則，其中比差法的難點(diǎn)是利用基本不等式時(shí)要對(duì)式子進(jìn)行放

縮重構(gòu)，從而使兩項(xiàng)合為一項(xiàng)，達(dá)到了比較大小的目的.

反思感悟

中間值法是我們常見(jiàn)的求解對(duì)數(shù)大小比較的方法，對(duì)于既不同底

也不同真數(shù)的對(duì)數(shù)，其中間值的尋找不僅依靠數(shù)感、經(jīng)驗(yàn)、估算以及

邏輯推理，還需要不斷的嘗試，可能比較難以發(fā)現(xiàn).解法三（等價(jià)轉(zhuǎn)化法）

不妨先證：log23＞log34?證log827＞

log916，∵log827＞log927＞log916，∴l(xiāng)og23＞log34，再證log34＞

log45?證log2431024＞log256625，∵log2431024＞log2561024＞

log256625，∴l(xiāng)og34＞log45.綜上有：log23＞log34＞log45.反思感悟

通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等價(jià)變換提升數(shù)據(jù)的策略，使兩個(gè)數(shù)據(jù)變?yōu)榻?/p>

近而又立見(jiàn)分曉的數(shù)值，其難度是如何提升數(shù)據(jù)，即將底數(shù)、真數(shù)同

乘以某個(gè)數(shù)（擴(kuò)大相同的倍數(shù)），如log23→log827，log34→log916，

這些數(shù)據(jù)提升的“度”都需要良好的數(shù)感、目標(biāo)意識(shí)以及大膽的探索

精神.

技法拓展

A.

a

＞

b

＞

c

B.

c

＞

b

＞

a

C.

b

＞

a

＞

c

D.

b

＞

c

＞

a

反思感悟單調(diào)性法在比較大小時(shí)的應(yīng)用技巧

（3）底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log

ax

1和log

ax

2，利用對(duì)數(shù)函數(shù)

y

＝log

ax

的單調(diào)性比較大小.技法2

構(gòu)造函數(shù)法比較大小

A.

a

＜

b

＜

c

B.

c

＜

a

＜

b

C.

c

＜

b

＜

a

D.

a

＜

c

＜

b

反思感悟構(gòu)造函數(shù)法比較大小常見(jiàn)的構(gòu)造方法（1）同形構(gòu)造：根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造統(tǒng)一函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再

根據(jù)單調(diào)性來(lái)比較數(shù)的大?。唬?）不同形構(gòu)造：可以兩兩做差構(gòu)造新函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)

性，根據(jù)單調(diào)性來(lái)比較數(shù)的大小.技法3

放縮法比較大小【例3】

若

a

＝log43，

b

＝log54，

c

＝2－0.03，則

a

，

b

，

c

的大小關(guān)

系為（

）A.

c

＜

b

＜

a

B.

a

＜

c

＜

b

C.

b

＜

a

＜

c

D.

a

＜

b

＜

c

高考還可這樣考1.若

a

＞

b

＞

c

＞1且

ac

＜

b

2，則（

）A.log

ab

＞log

bc

＞log

ca

B.log

cb

＞log

ba

＞log

ac

C.log

bc

＞log

ab

＞log

ca

D.log

ba

＞log

cb

＞log

ac

A.

c

＜

b

＜

a

B.

a

＜

b

＜

c

C.

b

＜

c

＜

a

D.

b

＜

a

＜

c

3.已知

a

＝1010，

b

＝911，

c

＝119，則

a

，

b

，