第一節(jié)集合高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.

了解集合的含義，了解空集與全集的含義，理解元素與集合的屬于

關(guān)系.2.

理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.

理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、

交集與補集.4.

能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運算.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、

、無序性；（2）集合的表示方法：

、

、圖示法；（3）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為

；不屬于，記為

?；（4）五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示

集，N表示非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集），Z表示

集，Q表示

集，R表示實數(shù)集.互異性

列舉法

描述法

∈

?

正整數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)

提醒

（1）解題時，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自

然數(shù)集（即非負(fù)整數(shù)集），包含0，而N*（N＋）表示正整數(shù)集，不包含0.2.

集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系

自然語言符號語言圖形語言子集集合A中

?

元素都是集合B

中的元素

?（或B?A）

或

任意一

個

A?B表示關(guān)系

自然語言符號語言圖形語言真子集集合A?B，但存在元素x∈B，

且x?A

?（或B?A）

集合相等集合A的任何一個元素都是集合B

的元素，同時集合B的任何一個

元素都是集合A的元素A＝B

A?B提醒

（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；（2）A?B

包含兩層含義：A?B或A＝B；（3）若A?B，要分A＝?或A≠?兩種情

況討論，不要忽略A＝?的情況.3.

集合的基本運算

類別表示

并集交集補集圖形語言

符號語言A∪B＝

?

?

?A∩B＝

?

?

??UA＝

?

?

?{x｜

x∈A，或x∈B}{x｜

x∈A，且x∈B}{x｜

x∈U，且x?A}

1.

子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.

2.

若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空

真子集有2n－2個.3.

等價關(guān)系：A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）任何一個集合都至少有兩個子集.

（

×

）（2）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，則A∩B＝{0，1}.

（

√

）（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.

（

×

）（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.

（

×

）（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.

（

×

）×√×××2.

（人A必修一P14習(xí)題4題改編）設(shè)集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－

4≤x≤1}，則（?RS）∪T＝（

）A.

{x｜－2＜x≤1}B.

{x｜x≤－4}C.

{x｜x≤1}D.

{x｜x≥1}解析：

因為S＝{x｜x＞－2}，所以?RS＝{x｜x≤－2}.而T＝{x｜

－4≤x≤1}，所以（?RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜

x≤1}.√3.

（人A必修一P35復(fù)習(xí)參考題8題改編）若集合M＝{（x，y）｜y＝

1}，集合N＝{（x，y）｜x＝0}，則M∩N＝（

）A.

{0，1}B.

{（0，1）}C.

{（1，0）}D.

{（0，1），（1，0）}解析：

集合M表示縱坐標(biāo)為1的點集，集合N表示橫坐標(biāo)為0的點集，

所以M∩N＝{（0，1）}，故選B.

√4.

已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實數(shù)x＝

?.解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.5.

（蘇教必修一P12習(xí)題7題改編）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝

{x｜1＜x≤2}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是

?.解析：由圖可知a＞2.1或4

（2，＋∞）

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

集合的基本概念（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.

已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1?A，2∈A，則（

）A.

a＞1B.

a≤2C.2＜a≤4D.2≤a＜4解析：

∵1?A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞

0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故選D.

√

A.4B.5C.8D.9

√

4.

若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且僅有一個元素，則滿足條件的實數(shù)k

的取值集合是

?.解析：若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且僅有一個元素，則方程x2＋2kx

＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k

的取值集合是{1，－1}.0

{1，－1}

練后悟通解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路集合間的基本關(guān)系（師生共研過關(guān)）

A.

M?NB.

N?MC.

M＝ND.

M∩N＝?A

（2）已知集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}，B＝{x｜（x＋2）（x－3）＜

0}，且A?B，則（

C

）A.

－1≤a≤2B.

－1＜a＜2C.

－2≤a≤1D.

－2＜a＜1C

解題技法1.

判斷集合間關(guān)系的常用方法2.

求參數(shù)的方法將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，表示為參數(shù)滿足的關(guān)

系.解決這類問題還要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解.提醒

當(dāng)B為A的子集時，易漏掉B＝?的情況.

1.

設(shè)全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}

的關(guān)系可表示為（

）解析：

因為N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，

2}，所以N是M的真子集.故選A.

√2.

（2025·南寧第一次適應(yīng)性測試）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝

{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是這樣一個集合：若集合C的各元素都

加上2，它就變成A的一個子集；若集合C的各元素都減去2，它就變成B

的一個子集.試寫出這樣的一個集合C＝

?.解析：逆向思維，即A中的元素都減去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，

B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合

D和集合E的公共元素所組成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故這樣的

集合C有7個，答案不唯一，如C＝{4，7}.{4，7}（答案不唯一）

集合的基本運算（定向精析突破）考向1

集合的運算

（1）（2024·新高考Ⅰ卷1題）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝

{－3，－1，0，2，3}，則A∩B＝（

A

）A.

{－1，0}B.

{2，3}C.

{－3，－1，0}D.

{－1，0，2}

A（2）（2025·貴陽摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B

＝{y｜y＝2x，x∈R}，則圖中陰影部分所對應(yīng)的集合為（

A

）A.

{x｜x＜－1}B.

{x｜x≤－1}C.

{x｜x≤0或x＞3}D.

{x｜0＜x≤3}解析：

因為B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而題圖

中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故陰影部分所對應(yīng)的集合為?R

（A∪B）＝（－∞，－1）.故選A.

A解題技法集合基本運算的方法技巧考向2

利用集合的運算求參數(shù)

A.

（－

，0）∪（1，＋∞）B.

（－

，0）C.

（－

，－1）∪（－

，0）D.

（－

，－1）√

解題技法利用集合的運算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍；（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之

間的關(guān)系，再列方程（組）求解.考向3

集合的新定義問題

〔多選〕對任意A，B?R，記A⊕B＝{x｜x∈A∪B，且

x?A∩B}，并稱A⊕B為集合A，B的對稱差.例如，A＝{1，2，3}，B

＝{2，3，4}，則A⊕B＝{1，4}.下列命題中，為真命題的是（

）A.

若A，B?R且A⊕B＝B，則A＝?B.

若A，B?R且A⊕B＝?，則A＝BC.

若A，B?R且A⊕B?A，則A?BD.

存在A，B?R，使得A⊕B＝（?RA）⊕（?RB）√√√解析：

對于A選項，因為A⊕B＝B，所以B＝{x｜x∈A∪B，且

x?A∩B}，所以A?B，且B中的元素不能出現(xiàn)在A∩B中，因此A＝?，

故A為真命題；對于B選項，因為A⊕B＝?，所以?＝{x｜x∈A∪B，且

x?A∩B}，所以A∪B與A∩B是相同的，所以A＝B，故B為真命題；對

于C選項，因為A⊕B?A，所以{x｜x∈A∪B，且x?A∩B}?A，所以

B?A，故C為假命題；對于D選項，若A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜x＞

1}，則A∪B＝R，A∩B＝{x｜1＜x＜2}，所以A⊕B＝{x｜x≤1或

x≥2}，?RA＝{x｜x≥2}，?RB＝{x｜x≤1}，所以（?RA）∪（?RB）

＝{x｜x≤1或x≥2}，（?RA）∩（?RB）＝?，所以（?RA）⊕（?RB）

＝{x｜x≤1或x≥2}，因此A⊕B＝（?RA）⊕（?RB），故D為真命題.

故選A、B、D.

解題技法

解答集合新定義問題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，準(zhǔn)確理解題目中的新定

義，依照新定義中某些限定條件，聯(lián)系所學(xué)過的知識找出解題的突破口.

1.

（2024·上饒一模）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x｜3x＞9}，B＝{x｜－

2≤x≤4}，則（?UA）∩B＝（

）A.

[－1，0）B.

（0，5）C.

[0，5]D.

[－2，2]解析：

A＝{x｜3x＞9}＝{x｜x＞2}，故?UA＝{x｜x≤2}，所以

（?UA）∩B＝{x｜－2≤x≤2}＝[－2，2].√2.

已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞

0}.若A∪B＝R，則a的取值范圍是（

）A.

（－∞，1）B.

（1，3）C.

[1，3]D.

[3，＋∞）

√3.

對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x?B}，A*B＝（A

－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B

＝

?.解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞

3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.{x｜－3≤x＜0或x＞3}

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

（2022·全國乙卷1題）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM

＝{1，3}，則（

）A.2∈MB.3∈MC.4?MD.5?M解析：

由題意知M＝{2，4，5}，故選A.

√12345678910111213142.

（2024·蘇州3月適應(yīng)性考試）已知集合A＝{－2，0，1，3}，B＝{－

1，0，1，2}，則A∩B的真子集個數(shù)為（

）A.2B.3C.4D.5解析：

因為A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，得到A∩B＝

{0，1}，所以A∩B的真子集個數(shù)為22－1＝3，故選B.

√12345678910111213143.

（2023·新高考Ⅱ卷2題）設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－

2}，若A?B，則a＝（

）A.2B.1C.

D.

－1解析：

由題意，得0∈B.

又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或

2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時，a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不

滿足A?B，舍去.當(dāng)2a－2＝0時，a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，

－1，0}，滿足A?B.

綜上所述，a＝1.故選B.

√12345678910111213144.

（2025·濰坊高考模擬考試）已知集合A＝{x｜log3（2x＋1）＝2}，集

合B＝{2，a}，其中a∈R.

若A∪B＝B，則a＝（

）A.1B.2C.3D.4解析：

法一（直接法）由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.由A∪B

＝B，得A?B，所以a＝4，故選D.

法二（排除法）由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.a＝1時，A∪B＝

{1，2，4}≠B，排除A；a＝2時不滿足集合元素的互異性，排除B；a＝3

時，A∪B＝{2，3，4}≠B，排除C.

故選D.

√1234567891011121314

A.

{x｜x＜2}B.

{x｜－2≤x＜1}C.

{x｜1＜x≤2}D.

{x｜－2≤x≤2}

√12345678910111213146.

已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，且A∩B中

只有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

（2，4]B.

（2，4）C.

（2，3]D.

[2，4]解析：

由題意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B

＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，由于A∩B中只有一個元

素，所以a＞0，B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，得2＜a≤4，故選A.

√12345678910111213147.

（創(chuàng)新命題設(shè)置）已知集合A，B與集合A·B的對應(yīng)關(guān)系如下表所示：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A·B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2

026，0，2

026}，B＝{－2

026，0，2

027}，試根據(jù)表中的規(guī)

律寫出A·B＝（

）A.

{2

026，2

027}B.

{－2

026，2

026}C.

{－2

026，2

027}D.

{2

026，－2

027}√1234567891011121314解析：

通過對表中集合關(guān)系的分析，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：集合A·B表示的

是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故當(dāng)A＝{－2

026，0，2

026}，B＝{－2

026，0，2

027}時，A·B＝{2

026，2

027}.12345678910111213148.

〔多選〕已知全集為U，集合A，B，C均為U的子集.若A∩B＝?，

A∩C≠?，B∩C≠?，則下列說法一定正確的是（

）A.

A??U（B∩C）B.

C??U（A∪B）C.

A∪B∪C＝UD.

A∩B∩C＝?解析：

由題意得A??UB，又?U（B∩C）＝

（?UB）∪（?UC），所以A??U（B∩C），故A

正確；符合題意的集合A，B，C及全集U的關(guān)系可

用如圖所示的Venn圖表示，由圖可知C不是?U（A∪B）的子集，故B錯誤；集合A∪B∪C與全集U不一定相等，故C錯誤；由A∩B＝?，可得

A∩B∩C＝?∩C＝?，故D正確.綜上，選A、D.

√√1234567891011121314

A.

B＝?RAB.

B＝?R（A∩B）C.

A＝?RBD.

A＝?R（A∩B）√√1234567891011121314

123456789101112131410.

已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素為2，則實數(shù)x＝

?.

1

123456789101112131411.

設(shè)I是全集，非空集合P，Q滿足P?Q?I，若含有P，Q的一個集合

運算表達(dá)式，使運算結(jié)果為空集，則這個運算表達(dá)式可以是

?

?.解析：由P?Q?I，可得Venn圖如圖所示，從而有P∩（?IQ）＝?.P∩

（?IQ）＝?（答案不唯一）

123456789101112131412.

某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂的講座，其中有85人聽了數(shù)學(xué)講

座，70人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，其中16人同時聽了數(shù)學(xué)、歷

史講座，12人同時聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時聽了歷史、音樂講座，5

人聽了全部講座，則聽講座的人數(shù)為

?.解析：設(shè)全年級同學(xué)是全集U，聽數(shù)學(xué)講座的人組

成集合A，聽歷史講座的人組成集合B，聽音樂講

座的人組成集合C，根據(jù)題意，用Venn圖表示，如

圖所示.由Venn圖可知，聽講座的人數(shù)為62＋7＋5

＋11＋4＋50＋45＝184.184

1234567891011121314

13.

（創(chuàng)新考法）設(shè)A（0，0），B（4，0），C（t＋4，4），D（t，

4）（t∈{0，1，2}）.記N（t）為?ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個

數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則N（t）的集合是

（

）A.

{9，10，11}B.

{9，10，12}C.

{9，11，12}D.

{10，11，12}√1234567891011121314解析：

如圖所示，當(dāng)t＝0時，?ABC1D1的四個頂

點是A（0，0），B（4，0），C1（4，4），D1（0，

4），符合條件的點有（1，1），（1，2），（1，

3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），

（3，2），（3，3），共9個，N（0）＝9，故選項D被排除掉；當(dāng)t＝1時，?ABC2D2的四個頂點是A（0，0），B（4，0），C2（5，4），D2（1，4），同理知N（1）＝12，故選項A被排除掉；當(dāng)t＝2時，?ABC3D3的四個頂點是A（0，0），B（4，0），C3（6，4），D3（2，4），同理知N（2）＝11，故選項B被