第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.

在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表

法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.

通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

函數(shù)的概念及其表示（1）函數(shù)的概念（2）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法和列

表法；（3）同一個(gè)函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的

相同，并且

?

完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一

個(gè)函數(shù).提醒若兩個(gè)函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系相同，這兩個(gè)函數(shù)不一定是同一個(gè)函

數(shù)，如：y＝x2（x≥0）與y＝x2.解析法

定義域

對應(yīng)關(guān)系

2.

分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的

取值區(qū)間，有著不同

的

，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).提醒分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定

義域的并集，值域是各段值域的并集.不同

對應(yīng)關(guān)系

3.

復(fù)合函數(shù)對于兩個(gè)函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x），如果通過中間變量u，y可以表

示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x）的

?

，記作y＝f（g（x））.提醒函數(shù)f（g（x））的定義域是x的取值范圍，而不是g（x）的取值

范圍.復(fù)合

函數(shù)

1.

直線x＝a與函數(shù)y＝f（x）的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).2.

在函數(shù)的定義中，非空實(shí)數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽

的子集.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù).

（

×

）（2）對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.

（

×

）

（4）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

（

×

）××√×2.

（人A必修一P66例3改編）下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的為（

）A.

f（x）＝x－1，g（x）＝

B.

f（x）＝

，g（x）＝xC.

f（x）＝

，g（x）＝x

D.

f（x）＝x2－2x－1，g（s）＝s2－2s－1√

A.62B.63C.64D.65

√4.

（蘇教必修一P106例3改編）已知函數(shù)f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜

1≤x≤5}，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?/p>

）A.

{－1，1，3，5，7}B.

（－1，7）C.

[1，7]D.

{1，3，5，7}解析：

由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，

f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函數(shù)f（x）的值域

為{－1，1，3，5，7}.√

A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

（x≠0）C.

f（x）＝

（x≠0，－1）D.

f（x）＝

（x≠－1）

√PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

函數(shù)的定義域（師生共研過關(guān)）

A.

（

，＋∞）B.

［

，1）∪（1，＋∞）C.

（

，1）∪（1，＋∞）D.

［

，＋∞）C

A.

（－∞，－2）∪（－2，3]B.

（－∞，－2）∪（－2，1]C.

［－

，－2）∪（－2，0]D.

［－

，－2］C

解題技法1.

求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子（運(yùn)

算）有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域

應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2.

求復(fù)合函數(shù)定義域的方法

如果函數(shù)f（x）＝ln（－2x＋a）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?），那么實(shí)數(shù)a＝

（

）A.

－2B.

－1C.1D.2

√函數(shù)的解析式（師生共研過關(guān)）

求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（1－sin

x）＝cos2x，求f（x）的解析式；解：

（換元法）

設(shè)1－sin

x＝t，t∈[0，2]，則sin

x＝1－t，∵f（1－sin

x）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].

（3）已知f（x）是一次函數(shù)且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f

（x）的解析式；

（4）已知f（x）滿足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解：

（解方程組法）

∵2f（x）＋f（－x）＝3x，

①∴將x用－x替換，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，

②由①②解得f（x）＝3x.解題技法求函數(shù)解析式的4種方法

1.

已知f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，則f（x）＝

?.

x2－5x＋9

2.

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，則f

（x）＝

?.

2x2－x＋1

3.

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝2f（x）.若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

f（x）＝x（1－x），則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f（x）＝

?.

分段函數(shù)（定向精析突破）考向1

分段函數(shù)求值

0

解題技法分段函數(shù)求值的策略

先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析

式求值.當(dāng)出現(xiàn)f（f（a））的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.考向2

與分段函數(shù)有關(guān)方程、不等式的求解

－3

2

[1－

解題技法與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解思路

解與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式，當(dāng)自變量取值不確定時(shí)，往往要

分類討論求解；當(dāng)自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，只需依據(jù)

自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解.

A.

－3B.

－1C.1D.3解析：

因?yàn)閒（1）＝21＝2，所以f（a）＋2＝0，所以f（a）＝－2，

當(dāng)a≤0時(shí)，f（a）＝a＋1＝－2，解得a＝－3；當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＝2a

＝－2，無解.綜上，a＝－3.√

（－∞，1]

PART03課時(shí)·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

（0，2]B.

（－∞，2）C.

（－∞，0）∪（0，2]D.

[2，＋∞）

123456789101112131415√2.

若f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2），則（

）A.

f（x）＝

＋2x＋

（0＜x＜2）B.

f（x）＝

＋2x＋

（－1＜x＜3）C.

f（x）＝4x2＋2x－3（0＜x＜2）D.

f（x）＝4x2＋2x－3（－1＜x＜3）

√1234567891011121314153.

網(wǎng)購女鞋時(shí)，常常會(huì)看到一張女鞋尺碼對照表如下，第一行是我們習(xí)慣

稱呼的“鞋碼”（單位：號(hào)），第二行是腳長（單位：mm），請根據(jù)表

中數(shù)據(jù)，思考：網(wǎng)店正好有一款“32號(hào)”的女鞋在搞打折活動(dòng)，那么適合

購買這款鞋的腳長的取值范圍是（

）鞋碼3536373839腳長225230235240245A.

[201，205]B.

[206，210]C.

[211，215]D.

[216，220]√123456789101112131415解析：

設(shè)“腳長”為y，“鞋碼”為x，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)x與y滿足y＝5x

＋50的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)x＝32時(shí)，y＝5×32＋50＝210，故選B.

123456789101112131415

A.

（0，4]B.

[0，4）C.

[4，＋∞）D.

[0，4]

√123456789101112131415

A.14B.16C.2D.6

√1234567891011121314156.

（新定義）〔多選〕十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉引入了“倒函數(shù)”概

念：若函數(shù)f（x）滿足f（x）·f（－x）＝1，則稱f（x）為“倒函數(shù)”.

下列函數(shù)為“倒函數(shù)”的是（

）A.

f（x）＝1B.

f（x）＝x2C.

f（x）＝exD.

f（x）＝ln

x√√123456789101112131415解析：

對于A，f（x）＝1，則f（－x）＝1，所以f（x）·f（－x）

＝1，故A正確；對于B，f（x）＝x2，則f（2）·f（－2）＝16，故B錯(cuò)

誤；對于C，f（x）＝ex，則f（－x）＝e－x，所以f（x）·f（－x）＝

ex·e－x＝e0＝1，故C正確；對于D，f（x）＝ln

x定義域?yàn)椋?，＋∞），

則當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，－x∈（－∞，0），此時(shí)f（－x）無意義，故D

錯(cuò)誤.故選A、C.

123456789101112131415

A.

f（x）的定義域?yàn)镽B.

f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?）C.

若f（x）＝3，則x＝－

D.

f（x）＜1的解集為（－1，1）√√123456789101112131415

1234567891011121314158.

已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出：x123f（x）231x123g（x）321則f（g（1））的值為

；滿足f（g（x））＞g（f（x））的x的值

是

?.1

2

123456789101112131415解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.當(dāng)x＝1時(shí)，f（g

（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不滿足f（g（x））＞g（f

（x））；當(dāng)x＝2時(shí)，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）

＝1，滿足f（g（x））＞g（f（x））；當(dāng)x＝3時(shí)，f（g（3））＝f

（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不滿足f（g（x））＞g（f

（x）），∴當(dāng)x＝2時(shí)，f（g（x））＞g（f（x））成立.1234567891011121314159.

求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足f（f（x））＝25x＋12，求f

（x）的解析式；

123456789101112131415

123456789101112131415

10.

（2025·德陽模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x＋y）

－2f（x－y）＋f（x）－2f（y）＝y(tǒng)－2，則f（2

026）＝（

）A.0B.1C.2

026D.2

027解析：

令x＝y(tǒng)＝0可得－2f（0）＝－2，所以f（0）＝1，再令x＝0可

得f（y）－2f（－y）＋f（0）－2f（y）＝y(tǒng)－2，即－f（y）－2f（－

y）＝y(tǒng)－3

①，將上式中的y全部換成－y可得－f（－y）－2f（y）＝

－y－3

②，聯(lián)立①②可得f（y）＝y(tǒng)＋1，所以f（2

026）＝2

026＋1＝

2

027，故選D.

√123456789101112131415

A.

（1，2]B.

［0，

］C.

（

，2］D.

（

，2）√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

f（x）的值域?yàn)閇0，1]B.

f（x）的定義域?yàn)镽C.

?x∈R，f（f（x））＝1D.

任取一個(gè)非零有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意x∈R恒成立√√√123456789101112131415

123456789101112131415

解析：當(dāng)x＋2＜0，即x＜－2時(shí)，則f（x）＋f（x＋2）＝－x－（x＋

2）＝－2x－2＞2，解得x＜－2；當(dāng)x＋2≥0，x＜0，即－2≤x＜0時(shí)，

則f（x）＋f（x＋2）＝－x＋（x＋2）2＞2，即x2＋3x＋2＞0，解得－1

＜x＜0；當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＋f（x＋2）＝x2＋（x＋2）2≥22＝4＞2恒

成立；綜上所述，不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解集為（－∞，－2）

∪（－1，＋∞）.（－∞，－2）∪（－1，＋∞）

12345678910111213141514.

函數(shù)f（x）＝x2－4x－4在區(qū)間[t，t＋1]上的最小值記為g（t），求

g（t）的表達(dá)式.解：∵f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，∴f（x）在（－∞，2]上單

調(diào)遞減，在[2，＋∞）上單調(diào)遞增.①當(dāng)t＋1≤2，即t≤1時(shí)，f（x）在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，其最小值為g

（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7；123456789101112131415

②當(dāng)t≥2時(shí)，f（x）在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，其最小值為g（t）＝f

（t）＝t2－4t－4；123456789101112131415

15.

（概念深度理解）給定k∈