第三節(jié)圓的方程高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程與一般方程.2.

能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測04.微突破隱圓問題03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修1.

圓的定義與方程

2.

點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M（x0，y0）與圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之間存在

著下列關(guān)系：（1）｜MC｜＞r?點M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；（2）｜MC｜＝r?點M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；（3）｜MC｜＜r?點M在

，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.圓外

圓上

圓內(nèi)

1.

以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑端點的圓的方程為（x－x1）（x

－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.2.

圓心在任一弦的垂直平分線上.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）確定圓的幾何要素是圓心與半徑.

（

√

）（2）方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.

（

×

）（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.

（

×

）（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝

C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.

（

√

）√××√2.

（人A選一P102復(fù)習(xí)參考題7題改編）若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－

10a＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A.

（－2，0）B.

（－∞，－2）∪（0，＋∞）C.

[－2，0]D.

（－∞，－2]∪[0，＋∞）解析：

由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得（x＋a）2＋（y－2a）2＝

5a2＋10a，由該曲線表示圓，可知5a2＋10a＞0，解得a＞0或a＜－2.√3.

（人A選一P85練習(xí)3題改編）已知圓C以P1P2為直徑，P1（4，9），

P2（6，3），則下列各點在圓C外的是（

）A.

M（6，9）B.

N（3，3）C.

Q（5，3）D.

R（4，4）

√4.

點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于

直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（

）A.

2

B.

C.3D.9

√5.

〔多選〕已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

圓心坐標(biāo)為C（－2，3）B.

圓心坐標(biāo)為C（2，－3）C.

半徑r＝13D.

半徑r＝

√√PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

求圓的方程（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.

已知點A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四點共

圓，則a＝

?.

2.

設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點（3，0）和（0，1）均在☉M上，則

☉M的方程為

?.

（x－1）2＋（y＋1）2＝5

3.

已知圓C的圓心坐標(biāo)是（0，m），若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于

點A（2，7），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.

x2＋（y－8）2＝5

練后悟通求圓的方程的兩種方法與圓有關(guān)的軌跡問題（師生共研過關(guān)）

（1）已知圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，點M是圓上的動點，

AM與圓相切，且｜AM｜＝2，則點A的軌跡方程是（

）A.

y2＝4xB.

x2＋y2－2x－2y－3＝0C.

x2＋y2－2y－3＝0D.

y2＝－4x√

解析：

因為圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圓心C（1，

1），半徑r＝1，因為點M是圓上的動點，所以｜MC｜＝1，又AM與圓

（x，y），則（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所

以點A的軌跡方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.（2）已知O為坐標(biāo)原點，點M（－3，4），動點N在圓x2＋y2＝4上運

動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.

解題技法求解與圓有關(guān)的軌跡（方程）的方法（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；（2）定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；（4）代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式

求解.提醒

要注意題目設(shè)問是求動點的軌跡還是動點的軌跡方程.

1.

點M與兩個定點O（0，0），P（2，0）的距離的比為3∶1，則點M的

軌跡方程為

?.

2.

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A（－1，0），B（3，0）.求：（1）直角頂點C的軌跡方程；

（2）直角邊BC的中點M的軌跡方程.

與圓有關(guān)的最值問題（定向精析突破）考向1

利用幾何性質(zhì)求最值

已知點（x，y）在圓（x－2）2＋（y＋3）2＝1上.

（2）求x＋y的最大值和最小值；

解題技法與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法考向2

利用對稱性求最值

已知A（0，2），點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－

4x－2y＝0上，則｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是

?.

解題技法

求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均為動點）且與圓C上動點

有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：（1）“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；（2）“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一

般要通過對稱性解決.考向3

建立函數(shù)關(guān)系求最值

12解題技法

根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)或基本不等式的性

質(zhì)求最值.

1.

（2023·全國乙卷文11題）已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，

則x－y的最大值是（

）A.1＋

B.4C.1＋3

D.7√

A.2B.

C.

D.0√

3.

方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0所表示的圓的面積的取值范圍

是

?.解析：由圓的方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0，變形得（x－k）

2＋（y－2）2＝－k2＋4k＋14，所以r2＝－k2＋4k＋14＝－（k－2）2＋

18≤18，所以0＜πr2≤18π，所以該圓的面積的取值范圍是（0，18π].（0，18π]

PART03微突破隱圓問題1.

有些時候，在題干中沒有直接給出圓方面的信息，要通過分析和轉(zhuǎn)化發(fā)

現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問

題為“隱圓”問題.2.

常見的“隱圓”類型（1）“定義圓”：在平面內(nèi)，{M｜｜MA｜＝r}，其中M為動點，A為

定點，r＞0為定值；（2）“斜率圓”：在平面內(nèi)，{M｜kMA·kMB＝－1}，其中M為動點，

A，B為定點，且點M的橫坐標(biāo)不等于A，B的橫坐標(biāo)；（3）“平方圓”：在平面內(nèi)，{M｜｜MA｜2＋｜MB｜2＝λ}，其中M

為動點，A，B為定點，λ為定值；

A.1

B.

C.

2D.

2

B√

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky

－2＝0相交于點P，則當(dāng)實數(shù)k變化時，點P到直線l：x－y－4＝0的距離

的最大值為

?；

（－

∞，2）（5）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝

1，點A（0，2），若圓C上存在點M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，

則實數(shù)a的取值范圍是

?.

[0，3]

1.

已知點A（－m，0），B（m，0），若圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝

0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的最大值是（

）A.4B.5C.6D.7

√

A.

B.

C.

D.

√

3.

設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－

m＋3＝0交于點P（x，y），則｜PA｜·｜PB｜的最大值是（

）A.4B.10C.5D.

√

PART04課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

（2024·廣州三模）設(shè)甲：實數(shù)a＜3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0

是圓，則甲是乙的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

√123456789101112131415161718192020222324252.

（2025·定西模擬）若點（2，1）在圓x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部，則

a的取值范圍是（

）A.

（

，＋∞）`B.

（－∞，

）C.

（－4，

）D.

（－∞，－4）∪（

，＋∞）√

3.

圓M：（x－2）2＋（y－1）2＝1與圓N關(guān)于直線x－y＝0對稱，則圓

N的方程為（

）A.

（x＋1）2＋（y＋2）2＝1B.

（x－2）2＋（y＋1）2＝1C.

（x＋2）2＋（y＋1）2＝1D.

（x－1）2＋（y－2）2＝1解析：

圓M：（x－2）2＋（y－1）2＝1的圓心為（2，1），半徑

為1，（2，1）關(guān)于直線x－y＝0的對稱點是（1，2），所以圓N的圓心

是（1，2），半徑是1，所以圓N的方程為（x－1）2＋（y－2）2＝1.

故選D.

√4.

若m∈R，已知直線l：（m－1）x－y＋2m＋1＝0與圓C：x2＋y2＝

16，則圓C上的點到直線l的距離的最小值是（

）A.0B.2C.6D.9

√5.

如圖，某個圓拱橋的水面跨度是20

m，拱頂離水面4

m；當(dāng)水面下降1

m

后，橋在水面的跨度為（

）A.

2

mB.20

mC.

4

mD.12

m

√6.

〔多選〕已知△ABC的三個頂點為A（－1，2），B（2，1），C

（3，4），則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是（

）A.

圓M的圓心坐標(biāo)為（1，3）B.

圓M的半徑為

C.

圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱D.

點（2，3）在圓M內(nèi)√√√

7.

若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點和點（4，0）且與直線y＝1相切，則圓C的方程

是

?.

8.

若圓C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0過坐

標(biāo)原點，則實數(shù)m的值為

?.解析：∵圓C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0過

坐標(biāo)原點，∴2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2，當(dāng)m＝2時，x2＋y2

＝0，不符合題意舍去，當(dāng)m＝1時，x2＋y2＋2x－2y＝0，即（x＋1）2＋

（y－1）2＝2，滿足題意，綜上所述，則實數(shù)m的值為1.1

9.

已知點P（2，2），圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交

于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標(biāo)原點.（1）求點M的軌跡方程；解：圓C：x2＋（y－4）2＝42，故圓心為C（0，4），半徑為4.（2）當(dāng)｜OP｜＝｜OM｜時，求l的方程及△POM的面積.

10.

點P（x，y）是直線2x＋y－5＝0上任意一點，O是坐標(biāo)原點，則以

OP為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A.

（0，0）和（1，1）B.

（0，0）和（2，2）C.

（0，0）和（1，2）D.

（0，0）和（2，1）

√11.

〔多選〕設(shè)有一組圓Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列

命題正確的是（

）A.

不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B.

所有圓Ck均不經(jīng)過點（3，0）C.

經(jīng)過點（2，2）的圓Ck有且只有一個D.

所有圓的面積均為4π√√√解析：

圓心坐標(biāo)為（k，k），在直線y＝x上，A正確；令（3－

k）2＋（0－k）2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜

0，∴2k2－6k