第六節(jié)余弦定理和正弦定理高中總復習·數(shù)學課標要求

借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正

弦定理.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

余弦定理、正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則定理正弦定理余弦定理內容

＝

＝

a2＝b2＋c2－2bc

cos

A；b2＝

?；c2＝a2＋b2－2ab

cos

Cc2＋a2－2ac

cos

B

定理正弦定理余弦定理變形設△ABC外接圓半徑為R，則

＝

＝2R，a＝2R

sin

A，b＝2R

sin

B，c＝2R

sin

C；a∶b∶c＝sin

A∶

sin

B∶sin

Ccos

A＝

；cos

B＝

；cos

C＝

2.

在△ABC中，已知a，b和A時解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形

關系式a＝b

sin

Ab

sin

A＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)12113.

三角形的面積公式

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）在△ABC中，若sin

A＞sin

B，則A＞B.

（

√

）（2）當b2＋c2－a2＞0時，△ABC為銳角三角形.

（

×

）（3）在△ABC中，已知a，b，A，則三角形有唯一解.

（

×

）（4）在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶3.

（

×

）√×××

A.150°B.90°C.60°D.30°

√

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac

cos

B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2

（c＝－3舍去）.

2

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

利用正、余弦定理解三角形（師生共研過關）（1）求a的值；

（2）求sin

A的值.

解題技法利用正弦、余弦定理解題的技巧

A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°

√

A.1B.2C.

2

D.4√

判斷三角形的形狀（師生共研過關）

解題技法判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒

“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應關系；

“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內角和定理及誘導公式

推出角的關系.

A.

鈍角三角形B.

直角三角形C.

銳角三角形D.

等邊三角形

√

A.

等腰三角形或直角三角形B.

等腰直角三角形C.

等腰三角形D.

直角三角形√

與三角形面積有關的問題（師生共研過關）

（1）求∠A；

解題技法三角形面積問題的常見類型（1）求三角形面積，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及兩角和與差

的三角函數(shù)公式等，求出角與邊，再求面積；（2）已知三角形面積解三角形，常選用已知鄰邊求出其夾角，或利用已

知角求出角的兩邊間的關系；（3）已知與三角形面積有關的關系式，常選用關系式中的角作為面積公

式中的角，化為三角形的邊角關系，再解三角形.

A.

B.2

C.

D.3√

A.6B.8C.24D.48

√PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516171819202022232425

A.1B.

C.

D.2

√

A.

2

B.

C.

D.

2

√

A.

直角三角形B.

等腰三角形C.

等腰直角三角形D.

等腰或直角三角形√

A.

B.

C.

D.

√√√6.

〔多選〕在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結

論正確的是（

）A.

若A＝45°，a＝

，b＝

，則△ABC有兩解B.

若a2＋b2＜c2，則△ABC是鈍角三角形C.

若△ABC為銳角三角形，則sin

A＞cos

BD.

若

＝

，則△ABC為等腰三角形√√√

1

8.

在△ABC中，sin

A∶sin

B∶sin

C＝3∶2∶4，則cos

B＝

?.

（2）求△ABC的面積.

A.

B.

C.2D.

√

A.6B.9C.16D.24√

A.sin∠CDB＝

B.

△ABC的面積為8C.

△ABC的周長為8＋4

D.

△ABC為鈍角三角形√√√

13.

（情境創(chuàng)新）趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀

算經(jīng)》一書作序時，介紹了“趙爽弦圖”——由四個全等的直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖1所示.類比“趙爽弦圖”，可構

造如圖2所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼

成的一個大等邊三角形.在△ABC中，若AF＝1，F(xiàn)D＝2，則AB

＝

?.

（2）若點D是BC邊上一點，且AB⊥AD，CD＝2BD，求sin