初二數(shù)學(xué)《全等三角形》提優(yōu)卷一三角形全等證明中常見的輔助線一、連線構(gòu)造全等1.如圖，在R△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn)，且BD=BA，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線交AC于點(diǎn)E.求證:點(diǎn)E在∠ABC的平分線上.2.如圖，AB=AE，∠C=∠D，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則AF平分∠BAE，試說(shuō)明理由.二、倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等3.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線.求證:AB+AC>2AD.三、做取構(gòu)造全算4.如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AP于點(diǎn)D.求證:AD+BC=AB.

四、作量戰(zhàn)段構(gòu)造全等5.（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，求證:CD=BE.（2）如圖2，在△ABC中，仍然有條件“AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上.若∠ADC+∠AEB=180°，則CD與BE是否仍相等?若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)舉反例說(shuō)明.6.如圖，已知AD平分∠BAC，∠BAC+∠BDC=180°，若∠C是鈍角；求證:BD=CD.

二動(dòng)態(tài)問題中全等三角形一、平移型6.如圖①，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE=CF，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD.（1）求證:BD平分EF（即EG=FG）；（2）若將DE向右平移、將BF向左平移，得到圖②所示圖形，在其余條件不變的情況下，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.二、旋轉(zhuǎn)型7.如圖①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°.（1）求證:AC=BD，∠APB=50°；（2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=a，則AC與BD間的等量關(guān)系為_________，∠APB的度數(shù)為_________.8.如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于點(diǎn)M，BD交CE于點(diǎn)N，交AE于點(diǎn)O，求證:（1）∠AOB=120°；（2）CM=CN.9.如圖①，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O.（1）在圖①中，線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是_________；直線AC，BD相交成的角的度數(shù)是_________.（2）將圖①的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角，在圖②中畫出旋轉(zhuǎn)后的△OAB.（3）將圖①中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，連接AC，BD得到圖③，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立?作出判斷并說(shuō)明理由.若△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎?作出判斷，不必說(shuō)明理由. 三、動(dòng)點(diǎn)問題10.如圖①，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）.（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=1s時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等?請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系.（2）如圖②，將圖①中的“AC⊥AB，BD⊥AB″改為”∠CAB=∠DBA=60°，其他條件不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等?若存在，求出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案與解析1．【分析】可通過(guò)證明Rt△ABE≌Rt△DBE從而得到結(jié)論．【解答】證明：連接BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°．在Rt△ABE和Rt△DBE中∵，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴∠ABE＝∠DBE．∴點(diǎn)E在∠ABC的角平分線上．2．【分析】連接AC、AD．根據(jù)SAS易證△ABC≌△AED，得AC＝AD．根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可證結(jié)論．【解答】解：AF⊥CD理由如下：如圖，連接AC、AD．在△ABC與△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC＝AD．∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD；3．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系分別得出BD+AD＞AB、CD+AD＞AC，再根據(jù)中線的性質(zhì)即可得出AD+BD＞（AB+AC）．【解答】證明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC．∵AD是BC邊上的中線，BD＝CD，∴AD+BD＞（AB+AC）．4．【分析】首先在AB上截取AF＝AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可證得△DAE≌△FAE，繼而可證得∠EFB＝∠C，然后利用AAS證得△BEF≌△BEC，即可得BC＝BF，繼而證得AD+BC＝AB．【解答】證明：在AB上截取AF＝AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE＝∠FAE，在△DAE和△FAE中，∵，∴△DAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE＝∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠EFB＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC＝BF，∴AD+BC＝AF+BF＝AB．5．（1）【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠BDC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，再有公共邊BC，利用AAS可得△BCD≌△CBE，據(jù)此可得BD＝CE．【解答】證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD和△CBE中，∠BDC＝∠CEB，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴BD＝CE．（2）【分析】分別作CF⊥AB，BG⊥AC，先證得△FBC≌△GCB，得出CF＝BG，進(jìn)而證得△CFD≌△BGE即可證得CD＝BE．【解答】解：CD＝BE．證明如下：如圖2，分別作CF⊥AB，BG⊥AC，∴∠CBF＝90°，∠BGC＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△FBC和△GCB中，，∴△FBC≌△GCB（AAS）．∴CF＝BG，∵∠ADC+∠AEB＝180°，又∵∠BEG+∠AEB＝180°，∴∠ADC＝∠BEG，在△CFD和△BGE中，，∴△CFD≌△BGE（AAS），∴CD＝BE．6．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，∠BAC+∠BDC＝180°，可得∠B+∠C＝180°，求出∠C的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)，求出∠DAC＝∠ADC＝25°，根據(jù)AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠DAC＝50°，得到∠BDC＝130°，根據(jù)∠ADB＝∠BDC﹣∠ADC，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線于N，證明△DMB≌△DNC，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝50°，∴∠C＝130°，∵∵AC＝CD，∠C＝130°，∴∠DAC＝∠ADC＝（180°﹣∠C）÷2＝25°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝50°，∵∠BAC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝130°，∴∠ADB＝∠BDC﹣∠ADC＝130°﹣25°＝105°．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線于N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNC＝90，∵∠ACD+∠B＝180，∠ACD+∠DCN＝180，∴∠B＝∠DCN，在△BDM與△CDN中，，∴△DMB≌△DNC（AAS），∴BD＝CD．7．【分析】（1）△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角應(yīng)該在△COD的右邊；（2）的結(jié)論容易得到，AC＝BD，AC與BD相交成90°的角；（3）結(jié)論仍然成立，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到全等條件證明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以證明結(jié)論仍然成立．【解答】解：（1）如圖（a）【A，B字母位置互換扣（1分），無(wú)弧扣（1分），不連接AB扣（1分），扣完為止）】（2分）（2）AC＝BD；90（90°）（每空1分）（4分）（3）成立．如圖（b）．∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝∠AOD+∠DOB，即：∠COA＝∠DOB（或由旋轉(zhuǎn)得∠COA＝∠DOB），（5分）∵CO＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB，（6分）∴AC＝BD，（7分）延長(zhǎng)CA交OD于E，交BD于F，（下面的證法較多）∵△COA≌△DOB，∴∠ACO＝∠ODB，（8分）∵∠CEO＝∠DEF，∴∠COE＝∠EFD＝90°，∴AC⊥BD．（9分）旋轉(zhuǎn)更大角時(shí)，結(jié)論仍然成立．（10分）8．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，則可得到∠ACE＝∠DCB，根據(jù)全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB，于是有∠CAM＝∠CDN，由于∠ACD＝DAC＝∠BCE＝∠CBE＝60°，可得∠DCE＝60°，則AD∥CE，DC∥BE，利用平行線的性質(zhì)得到∠DAM＝∠AEC，∠NDC＝∠EBO，得出∠EBO＝∠CAM，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得；（2）根據(jù)全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN，則CM＝CN；（3）根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得到△MCN為等邊三角形，得出∠MNC＝∠ECB＝60°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得出MN∥AB．【解答】證明：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝DAC＝∠BCE＝∠CBE＝60°，∠ACB是一個(gè)平角，∴∠DCE＝60°，∴AD∥CE，DC∥BE，∵AD∥CE，∴∠DAM＝∠AEC，∵DC∥BE，∴∠NDC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠CAM∴∠AOB＝∠OEB+∠EBO＝∠AEC+∠CEB+∠EBO＝∠DAE+∠CEB+∠CAM＝∠DAC+∠CEB＝60°+60°＝120°；（2）在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM＝CN；（3）∵CM＝CN，∠DCE＝60°，∴△MCN為等邊三角形，∴∠MNC＝60°，∴∠MNC＝∠ECB＝60°，∴MN∥AB．9．【分析】（1）根據(jù)∠AOB＝∠COD＝50°求出∠AOC＝∠BOD，根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，推出∠APB＝∠AOB即可．（2）根據(jù)∠AOB＝∠COD＝α求出∠AOC＝∠BOD，根據(jù)SAS推出△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，推出∠APB＝∠AOB即可．【解答】證明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝50°．（2）解：AC＝BD，∠APB＝α，理由是：∵∠AOB＝∠COD＝α，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，∴∠APB＝∠AOB＝α，故答案為：相等，α．10．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，