第五講有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算

3.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，則先算括號里面的.

難點(diǎn)分析：

1.

有理數(shù)的混合運(yùn)算需要運(yùn)用多種法則，較復(fù)雜的符號判別和運(yùn)算順序是本講的難點(diǎn).

2.

由乘方的定義可推出有關(guān)冪的運(yùn)算的公式，如am?an=am+n，在進(jìn)行冪的運(yùn)算或比較大小時(shí)，要靈活運(yùn)用這些公式.&1&

計(jì)算：

&2&

&2&

思路點(diǎn)撥：先算括號內(nèi)或者直接運(yùn)用分配律來計(jì)算都可以.

&4&

&2&

思路點(diǎn)撥：先相乘，再加減或者直接逆用分配律來計(jì)算.

&6&

&2&

思路點(diǎn)撥：先算乘方，再算乘除，最后相加減.

&9&

&2&

思路點(diǎn)撥：由于3個(gè)冪的底數(shù)與指數(shù)都不相同，觀察發(fā)現(xiàn)，它們的指數(shù)有最大公約數(shù)111，所以可將3個(gè)冪都轉(zhuǎn)化為指數(shù)是111

的冪的形式，然后只需比較它們的底數(shù)即可.

方法歸納

本題主要考查了冪的大小的比較方法.一般說來，比較幾個(gè)冪的大小，可以把它們的底數(shù)變?yōu)橄嗤?，或者把它們的指?shù)變?yōu)橄嗤?，再分別比較它們的指數(shù)或底數(shù).易錯(cuò)誤區(qū)

當(dāng)冪的底數(shù)和指數(shù)都不同時(shí)，不能直接比較出大小.&11&

閱讀理解：

（1）用特例驗(yàn)證上述等式是否成立.

&14&

&2&

思路點(diǎn)撥：根據(jù)（1）中的各數(shù)的值找出規(guī)律即可解答.

&15&

逆用（2）中的規(guī)律計(jì)算即可.

方法歸納

本題考查的是有理數(shù)的乘方及規(guī)律的歸納總結(jié).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)（1）中各數(shù)的特點(diǎn)找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答.易錯(cuò)誤區(qū)

冪的運(yùn)算要特別注意概念，弄清底數(shù)、指數(shù)和運(yùn)算法則，還要注意結(jié)果的符號.

我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，十進(jìn)制數(shù)要用10個(gè)數(shù)碼（又叫數(shù)字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制數(shù)，只要2個(gè)數(shù)碼：0和1，如二進(jìn)制數(shù)110=1×22+1×21+0×20，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的6；110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的53.那么二進(jìn)制中的數(shù)101011等于十進(jìn)制數(shù)中的哪個(gè)數(shù)？（提示：非零有理數(shù)的零次冪都為1）

認(rèn)真觀察給出的兩個(gè)式子：110=1×22+1×21+0×20和110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，得出規(guī)律再計(jì)算即可.101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43.解答本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，按照規(guī)律進(jìn)行計(jì)算.最右邊的數(shù)字乘20，不是乘21，20=1.

BA.1

B.2

C.3

D.2023

閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22024的值.解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22024①，將等式兩邊同時(shí)乘2得2S=2+22+23+24+…+22024+22025②，②-①得S=22025-1，即S=1+2+22+23+24+…+22024=22025-1.請你仿照此法計(jì)算：（1）1+2+22+23+24+…+210.思路點(diǎn)撥：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210，兩邊同時(shí)乘2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值.解題過程：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210①，將等式兩邊同時(shí)乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211②，②-①得S=211-1，即S=1+2+22+23+24+…+210=211-1.（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）.思路點(diǎn)撥：同理可得到所求式子的值.

本題考查了有理數(shù)的乘方，題中求和的方法通常被稱為錯(cuò)位相減法.

使用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要注意避免出現(xiàn)多項(xiàng)、漏項(xiàng)等項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)導(dǎo)致的錯(cuò)誤，還要注意求最后的結(jié)果時(shí)不要漏乘系數(shù).

定義：如果10b=n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記b=d（n）.（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知d（10）=1，d（102）=2，那么d（103）=

.思路點(diǎn)撥：根據(jù)新定義即可得到答案.解題過程：（1）根據(jù)題意可得，d（103）表示：10b=103，得b=3.故答案為：3.3

-50.954-0.523

（3）下表中與數(shù)x對應(yīng)的勞格數(shù)d（x）有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)并改正.x1.5356891227d（x）3a-b+c2a-ba+c1+a-b-c3-3a-3c4a-2b3-b-2c6a-3b思路點(diǎn)撥：根據(jù)（2）中的運(yùn)算性質(zhì)可以解答本題.

解題過程：若d（3）≠2a-b，則d（9）=2d（3）≠4a-2b，d（27）=3d（3）≠6a-3b，從而表中至少有三個(gè)勞格數(shù)是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾，所以d（3）=2a-b，d（9）=4a-2b，d（27）=6a-3b都是正確的.若d（5）≠a+c，則d（2）=d（10）-d（5）=1-d（5）≠1-a-c，所以d（8）=3d（2）≠3-3a-3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a-b-c，此時(shí)表中也至少有三個(gè)勞格數(shù)是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾，所以d（5）=a+c，d（6）=1+a-b-c，d（8）=3-3a-3c都是正確的.所以表中只有d（1.5）和d（12）的值是錯(cuò)誤的，應(yīng)糾正為：d（1.5）=d（3）+d（5）-d（10）=2a-b+a+c-1=3a-b+c-1，d（12）=d（3）+2d（2）=2a-b+2（1-a-c）=2-b-2c.

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確新定義和運(yùn)算性質(zhì).

解答（3）時(shí)要注意靈活變換，并運(yùn)用反證法說明哪些數(shù)據(jù)是正確的.C1.若a2=1，b是2的相反數(shù)，則a+b的值為（）.A.-3 B.-1 C.-1或-3 D.1或-3

C

C

（第4題）D

A5.【赤峰】8月份是新學(xué)期開學(xué)準(zhǔn)備季，東風(fēng)和百惠兩書店對學(xué)習(xí)用品和工具書實(shí)施優(yōu)惠銷售.優(yōu)惠方案分別是：在東風(fēng)書店購買學(xué)習(xí)用品或工具書累計(jì)花費(fèi)60元后，超出部分按50%收費(fèi)；在百惠書店購買學(xué)習(xí)用品或工具書累計(jì)花費(fèi)50元后，超出部分按60%收費(fèi).郝愛同學(xué)準(zhǔn)備買價(jià)值300元的學(xué)習(xí)用品和工具書，她在哪家書店消費(fèi)更優(yōu)惠（

）.A.

東風(fēng)

B.

百惠

C.

兩家一樣

D.

不能確定

8.計(jì)算：

[答案]

32

[答案]

-

36

9.計(jì)算：

[答案]

868

[答案]

42

[答案]

-16

[答案]

2910.一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們做了一個(gè)找朋友的游戲：有六個(gè)同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)分別藏在六張大紙牌的后面，如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)所持的紙牌的前面分別寫有六道算式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；[-（-2）2×（-3）2]3.游戲規(guī)定：所持算式的值相等的兩人是朋友.如果現(xiàn)在由同學(xué)A來找他的朋友，他可以找誰呢？說說你的看法.【答案】B：63+63=2×63；C：（63）3=69；D：（2×62）×（3×63）=6×65=66；E：（22×32）3=［（2×3）2］3=66；F：［-（-2）2×（-3）2］3=（-22×32）3=［-（2×3）2］3=-66，所以A可以找D，E.

C

D

13.某公園劃船項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：船型兩人船（限乘兩人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每艘船租金（元/時(shí)）90100130150

某班18名同學(xué)一起去該公園劃船，若每人劃船的時(shí)間均為1小時(shí)，則租船的總費(fèi)用最低為_

____元.

14.計(jì)算：

B

CA.7

B.8

C