3.4.4選擇合適的方法解方程組第3章

一次方程與方程組【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級上冊

授課教師：********班級：********時(shí)間：********3.4.4選擇合適的方法解方程組匯報(bào)人：[教師姓名]匯報(bào)班級：[具體班級]知識回顧前面我們學(xué)習(xí)了兩種解二元一次方程組的方法——代入消元法和加減消元法。代入消元法是將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示后代入另一個(gè)方程；加減消元法是通過將兩個(gè)方程相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)。這兩種方法各有特點(diǎn)，在實(shí)際解題中，我們需要根據(jù)方程組的具體情況選擇合適的方法，以提高解題效率。學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)一步鞏固代入消元法和加減消元法的解題步驟和適用條件。能根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)，靈活選擇代入消元法或加減消元法求解，提高解題的準(zhǔn)確性和效率。培養(yǎng)觀察、分析和判斷能力，體會數(shù)學(xué)方法的靈活性和多樣性。方法對比與選擇技巧代入消元法適用情況當(dāng)方程組中存在一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或-1時(shí)，優(yōu)先考慮代入消元法。此時(shí)，用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示該未知數(shù)會非常簡便，能減少計(jì)算量。例如：方程組\(\begin{cases}y=2x-3\\3x+2y=8\end{cases}\)中，第一個(gè)方程里\(y\)的系數(shù)是1，適合用代入消元法。加減消元法適用情況當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，直接使用加減消元法，可快速消去該未知數(shù)。當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，或通過簡單變形（兩邊同乘一個(gè)數(shù)）能使同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，選擇加減消元法更合適。例如：方程組\(\begin{cases}2x+3y=11\\5x-3y=1\end{cases}\)中，\(y\)的系數(shù)分別是3和-3，互為相反數(shù)，適合用加減消元法；方程組\(\begin{cases}3x+4y=16\\5x-6y=33\end{cases}\)通過變形可使\(y\)的系數(shù)變?yōu)?2和-12，也適合用加減消元法。例題解析例1：解方程組\(\begin{cases}x-2y=3\\3x+y=2\end{cases}\)分析：第二個(gè)方程中\(zhòng)(y\)的系數(shù)是1，適合用代入消元法。解：由②得：\(y=2-3x\)③把③代入①得：\(x-2(2-3x)=3\)\(\begin{align*}x-4+6x&=3\\7x&=7\\x&=1\end{align*}\)把\(x=1\)代入③得：\(y=2-3??1=-1\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\)例2：解方程組\(\begin{cases}4x+5y=19\\4x-3y=3\end{cases}\)分析：兩個(gè)方程中\(zhòng)(x\)的系數(shù)都是4，相等，適合用加減消元法。解：①-②得：\(\begin{align*}(4x+5y)-(4x-3y)&=19-3\\8y&=16\\y&=2\end{align*}\)把\(y=2\)代入②得：\(4x-3??2=3\)\(\begin{align*}4x-6&=3\\4x&=9\\x&=\frac{9}{4}\end{align*}\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=2\end{cases}\)例3：解方程組\(\begin{cases}3x-2y=5\\5x+4y=12\end{cases}\)分析：\(y\)的系數(shù)分別是-2和4，成倍數(shù)關(guān)系，把第一個(gè)方程兩邊同乘2，可使\(y\)的系數(shù)變?yōu)?4和4，適合用加減消元法。解：①×2得：\(6x-4y=10\)③②+③得：\(\begin{align*}5x+4y+6x-4y&=12+10\\11x&=22\\x&=2\end{align*}\)把\(x=2\)代入①得：\(3??2-2y=5\)\(\begin{align*}6-2y&=5\\-2y&=-1\\y&=\frac{1}{2}\end{align*}\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}\)例4：解方程組\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}\)分析：先將方程組去分母化為整數(shù)系數(shù)方程組，再觀察選擇方法。解：原方程組去分母（兩邊同乘12和6的最小公倍數(shù)12）得：\(\begin{cases}4x+3y=12&a?

\\6x-4y=-12&a??\end{cases}\)觀察發(fā)現(xiàn)，\(x\)和\(y\)的系數(shù)無明顯簡單關(guān)系，選擇消去\(y\)：①×4得：\(16x+12y=48\)③②×3得：\(18x-12y=-36\)④③+④得：\(\begin{align*}34x&=12\\x&=\frac{6}{17}\end{align*}\)把\(x=\frac{6}{17}\)代入①得：\(4??\frac{6}{17}+3y=12\)\(\begin{align*}\frac{24}{17}+3y&=12\\3y&=12-\frac{24}{17}\\3y&=\frac{204-24}{17}\\3y&=\frac{180}{17}\\y&=\frac{60}{17}\end{align*}\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{6}{17}\\y=\frac{60}{17}\end{cases}\)易錯(cuò)點(diǎn)分析代入時(shí)漏乘系數(shù)：例如，將\(y=2x-1\)代入\(3x+2y=5\)時(shí)，誤寫成\(3x+2x-1=5\)，遺漏系數(shù)2與\(2x\)的乘法。加減時(shí)符號錯(cuò)誤：例如，方程組\(\begin{cases}2x+3y=7\\3x-3y=8\end{cases}\)相加時(shí)，誤算為\(5x=-1\)，忽略\(-3y\)與\(+3y\)相加為0的正確結(jié)果。變形后系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤：例如，將方程\(2x-5y=3\)兩邊同乘3時(shí)，誤寫成\(6x-5y=9\)，忘記給\(-5y\)乘3。實(shí)戰(zhàn)練習(xí)解下列方程組，選擇合適的方法：（1）\(\begin{cases}y=3x-1\\2x+3y=8\end{cases}\)（2）\(\begin{cases}3x+2y=10\\5x-2y=6\end{cases}\)（3）\(\begin{cases}4x-3y=5\\2x+5y=12\end{cases}\)（4）\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5\\3x-2y=6\end{cases}\)已知方程組\(\begin{cases}ax+by=2\\bx+ay=-3\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值，并用合適的方法解方程組\(\begin{cases}a(x+y)+b(x-y)=2\\b(x+y)+a(x-y)=-3\end{cases}\)課堂總結(jié)方法選擇核心：觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，系數(shù)為1或-1優(yōu)先用代入法；系數(shù)相等、相反或易變形為上述情況優(yōu)先用加減法。解題原則：盡量避免復(fù)雜計(jì)算（如分?jǐn)?shù)運(yùn)算），選擇步驟最少、最不易出錯(cuò)的方法。檢驗(yàn)習(xí)慣：解完方程組后，務(wù)必將結(jié)果代入原方程組檢驗(yàn)，確保解的正確性。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信你能根據(jù)方程組的特點(diǎn)快速判斷并選擇最優(yōu)解法，讓解方程組的過程更高效、更準(zhǔn)確。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解復(fù)習(xí)回顧交流：1.用代入法、加減法解方程組的基本思路、具體步驟各是什么?基本思路：消元二元一元轉(zhuǎn)化代入法：變形代入求解回代寫解加減法：變形加減求解回代寫解交流：2.用代入法、加減法解題時(shí)各應(yīng)注意些什么？用代入法解二元一次方程組的變形技巧：1.當(dāng)方程組中含有用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的關(guān)系式時(shí)，直接代入；2.當(dāng)方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1或﹣1時(shí)，選擇系數(shù)為1或﹣1的方程進(jìn)行變形；3.當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)都不是1或﹣1時(shí)，一般選擇未知數(shù)系數(shù)的絕對值小的方程變形.交流：2.用代入法、加減法解題時(shí)各應(yīng)注意些什么？用加減法解二元一次方程組的變形技巧：1.當(dāng)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等時(shí)，直接相加減消去該未知數(shù)；2.當(dāng)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，消去該未知數(shù)；3.當(dāng)兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都成整數(shù)倍或者系數(shù)的絕對值既不相等，也不成整數(shù)倍時(shí)，常消去系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)較小的那個(gè)未知數(shù).探索新知例4：解方程組：【教材P115例4】2(x-150)=5(3y+50)，①②10%·x+6%·y=8.5%×800.加減法？代入法？2(x-150)=5(3y+50)，①②10%·x+6%·y=8.5%×800.解：將原方程組化簡，得③+④×5，得27x=17550.x=650.將x=650代入④得，5×650+3y=3400.y=50.所以解方程組：練一練解：原方程組整理得②-①，得4y=-16，解得y=-4.將y=-4代入①，得2x+4=16，解得x=6.故原方程組的解為（1）（2）隨堂練習(xí)1.解下列方程組：（3）（4）【教材P115練習(xí)第1題】（1）解：將原方程組化簡，得②×3，得18x-9y=12.③③-①，得10x=10.x=1.把x=1代入②，得6-3y=4.y=.所以（2）解：將原方程組化簡，得②×3，得12m+n=24.③③-①，得5m=0.m=0.把m=0代入①，得n=24.所以（3）解：①+②，得16(x+y)=64，即x+y=4.③①-②，得2(x-y)=-4，即x-y=-2.④③+④，得2x=2.x=1.把x=1代入③，得1+y=4.y=3.所以①②（4）解：將原方程組化簡，得②-①，得y=20-60.y=-40.把y=-40代入①，得x-40=60.x=100.所以2.解方程組：解：設(shè)x+y=A，x-y=B，則原方程組可變形為解得所以解得我們把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，這種解方程組的方法叫作“換元法”.3.已知關(guān)于x，y的二元一次方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0，不論m取何值，方程總有一個(gè)固定不變的解，這個(gè)解是多少？解：不論m取何值，方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0總有一個(gè)固定不變的解，與m的值無關(guān)，則這個(gè)解滿足2x+y-1=0，因而3x-2y+9=0，解方程組得解法1

代入消元法1.(12分)［2025年1月合肥期末］用代入消元法解下列方程組.

解