人教版平行四邊形單元學(xué)能測(cè)試試題一、選擇題1.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊AB上,AE＝1,若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則△PAE周長(zhǎng)的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.62．如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒3cm的速度沿折線A-B-C-D方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P,Q停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,若△BPQ的面積為20cm2,則滿足條件的t的值有（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3．已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD＝90°,BC＝CD＝2AD,E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn),連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)P,連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q,連結(jié)AF,則下列結(jié)論不正確的是（）A.CP平分∠BCD B.四邊形ABED為平行四邊形C.CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分 D.△ABF為等腰三角形4．如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC′,連接BC′,E為BC′的中點(diǎn),連接CE,則CE的最大值為().A.
B.
C.
D.
5．平行四邊形的對(duì)角線分別為x、y,一邊長(zhǎng)為12,則x、y的值可能是()A.8與14 B.10與14 C.18與20 D.4與286．如圖,在平行四邊形
中,
,
,
,點(diǎn)
是折線
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與
、
重合)．則
的面積的最大值是()A.
B.1 C.
D.
7．如圖,在
中,
,依次是
上的五個(gè)點(diǎn),并且
,在三個(gè)結(jié)論：（1）
；（2）
；（3）
之中,正確的個(gè)數(shù)是（）A.
B.
C.
D.
8．如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn),四邊形AECF是菱形,且菱形AECF的周長(zhǎng)為20,BD為24,則四邊形ABCD的面積為（）A.24 B.36 C.72 D.1449．如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且BE＝1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為（）A.0.5 B.2.5 C.
D.110．如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④
PD=EF．其中正確結(jié)論的番號(hào)是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②④二、填空題11.如圖,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值為.12.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=5,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1,點(diǎn)P是線段DB上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí),點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_____.13.如圖,動(dòng)點(diǎn)
分別在正方形
的邊
上,
,過點(diǎn)
作
,垂足為
,連接
,若
,則線段
長(zhǎng)的最小值為_________.14.如圖,在等邊
和等邊
中,
在直線
上,
連接
,則
的最小值是______.15.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E.F分別在邊AD.BC上.將該紙片沿EF折疊,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在邊DC上,折痕EF與AG交于點(diǎn)Q,點(diǎn)K為GH的中點(diǎn),則隨著折痕EF位置的變化,△GQK周長(zhǎng)的最小值為____.16.如圖,在矩形ABCD中,∠ACB=30°,BC=2
,點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與B,C重合),連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)AG=a,則點(diǎn)G到BC邊的距離為_____(用含a的代數(shù)式表示),
ADG的面積的最小值為_____.17.菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,∠ABC=60°,以AB為腰在菱形外作底角為45°的等腰△ABE,連結(jié)AC,CE,則△ACE的面積為___________.18．如圖,在
中,D是AB上任意一點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),過C作
,交DE的延長(zhǎng)線于F,連BF,CD,若
,
,
,則
_________．19.如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC.BD相交于點(diǎn)O,AB=OB,E為AC上一點(diǎn),BE平分∠ABO,EF⊥BC于點(diǎn)F,∠CAD=45°,EF交BD于點(diǎn)P,BP=
,則BC的長(zhǎng)為_______.20.李剛和常明兩人在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上進(jìn)行折紙創(chuàng)編活動(dòng).李剛拿起一張準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形紙片對(duì)常明說:"我現(xiàn)在折疊紙片(圖①),使點(diǎn)D落在AB邊的點(diǎn)F處,得折痕AE,再折疊,使點(diǎn)C落在AE邊的點(diǎn)G處,此時(shí)折痕恰好經(jīng)過點(diǎn)B,如果AD=
,那么AB長(zhǎng)是多少?"常明說;"簡(jiǎn)單,我會(huì).AB應(yīng)該是_____".常明回答完,又對(duì)李剛說：“你看我的創(chuàng)編（圖②）,與你一樣折疊,可是第二次折疊時(shí),折痕不經(jīng)過點(diǎn)B,而是經(jīng)過了AB邊上的M點(diǎn),如果AD=
,測(cè)得EC=3BM,那么AB長(zhǎng)是多少？”李剛思考了一會(huì),有點(diǎn)為難,聰明的你,你能幫忙解答嗎？AB=_____.三、解答題21.如圖,在
中,
,過點(diǎn)
的直線
,
為
邊上一點(diǎn),過點(diǎn)
作
,交直線
于
,垂足為
,連接
、
(1)當(dāng)
在
中點(diǎn)時(shí),四邊形
是什么特殊四邊形?說明你的理由;(2)當(dāng)
為
中點(diǎn)時(shí),
等于度時(shí),四邊形
是正方形.22．如圖,在菱形ABCD中,AB＝2cm,∠ADC＝120°．動(dòng)點(diǎn)E.F分別從點(diǎn)B.D同時(shí)出發(fā),都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A.C運(yùn)動(dòng),連接AF、CE,分別取AF、CE的中點(diǎn)G、H．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(0＜t＜4)．(1）求證:AF∥CE;（2）當(dāng)t為何值時(shí),△ADF的面積為
cm2;（3）連接GE、FH．當(dāng)t為何值時(shí),四邊形EHFG為菱形．23.正方形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,O,D重合),連接CP并延長(zhǎng),分別過點(diǎn)D,B向射線作垂線,垂足分別為點(diǎn)M,N.(1)補(bǔ)全圖形,并求證:DM＝CN;(2)連接OM,ON,判斷
OMN的形狀并證明.24．如圖,在平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α≤90°）,分別交線段BC,AD于點(diǎn)E,F,連接BF．(1)如圖1,在旋轉(zhuǎn)的過程中,求證:OE＝OF;(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90°時(shí),判斷四邊形ABEF的形狀,并證明你的結(jié)論;（3）若AB＝1,BC＝
,且BF＝DF,求旋轉(zhuǎn)角度α的大小.25．如圖所示,四邊形
是正方形,
是
延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)
,且直角頂點(diǎn)
在
邊上滑動(dòng)(點(diǎn)
不與點(diǎn)
重合),另一直角邊與
的平分線
相交于點(diǎn)
．(1)求證:;(2)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)
在
邊的中點(diǎn)位置時(shí),猜想
與
的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(3)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)
在
邊(除兩端點(diǎn))上的任意位置時(shí),猜想此時(shí)
與
有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想．26.已知如圖1,四邊形
是正方形,
.
如圖1,若點(diǎn)
分別在邊
上,延長(zhǎng)線段
至
,使得
,若
求
的長(zhǎng);
如圖2,若點(diǎn)
分別在邊
延長(zhǎng)線上時(shí),求證:

如圖3,如果四邊形
不是正方形,但滿足
且
,請(qǐng)你直接寫出
的長(zhǎng).27.共頂點(diǎn)的正方形ABCD與正方形AEFG中,AB=13,AE=5
.(1)如圖1,求證:DG=BE;(2)如圖2,連結(jié)BF,以BF、BC為一組鄰邊作平行四邊形BCHF.①連結(jié)BH,BG,求
的值;②當(dāng)四邊形BCHF為菱形時(shí),直接寫出BH的長(zhǎng)．28.類比等腰三角形的定義,我們定義:有三條邊相等的凸四邊形叫做"準(zhǔn)等邊四邊形".(1)已知:如圖1,在"準(zhǔn)等邊四邊形"ABCD中,BC≠AB,BD⊥CD,AB=3,BD=4,求BC的長(zhǎng);（2）在探究性質(zhì)時(shí),小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形.請(qǐng)你判斷此結(jié)論是否正確,若正確,請(qǐng)說明理由；若不正確,請(qǐng)舉出反例；（3）如圖2,在△ABC中,AB=AC=
,∠BAC=90°．在AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得以A,B,C,P為頂點(diǎn)的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．若存在,請(qǐng)求出該“準(zhǔn)等邊四邊形”的面積；若不存在,請(qǐng)說明理由．29.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,點(diǎn)E在邊AD所在的直線上,連接CE,以CE為邊,作正方形CEFG(點(diǎn)C.E.F、G按逆時(shí)針排列),連接BF.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),BF的長(zhǎng)為;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí),若AE=1,求BF的長(zhǎng);(提示:過點(diǎn)F作BC的垂線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.)(3)當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí),若AE=4,請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng).30.已知:正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF（AE＜AD),連接DE.BF,P是DE的中點(diǎn),連接AP.將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1）如圖①,當(dāng)△AEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí),則線段AP與線段BF的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為.（2）當(dāng)△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí),證明：第（1）問中的結(jié)論仍然成立.（3）若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記,請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】連接AC.CE,CE交BD于P,此時(shí)AP+PE的值最小,求出CE長(zhǎng),即可求出答案.【詳解】解:連接AC.CE,CE交BD于P,連接AP、PE,∵四邊形ABCD是正方形,∴OA＝OC,AC⊥BD,即A和C關(guān)于BD對(duì)稱,∴AP＝CP,即AP+PE＝CE,此時(shí)AP+PE的值最小,所以此時(shí)△PAE周長(zhǎng)的值最小,∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊AB上,AE＝1,∴∠ABC＝90°,BE＝4﹣1＝3,由勾股定理得:CE＝5,∴△PAE的周長(zhǎng)的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6,故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對(duì)稱——最短路徑問題,知識(shí)點(diǎn)比較綜合,屬于較難題型.2．B解析：B【解析】【分析】過A作AH⊥DC,由勾股定理求出DH的長(zhǎng).然后分三種情況進(jìn)行討論:即①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上,②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上,③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上,根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置,可以確定t的值.【詳解】解:過A作AH⊥DC,∴AH=BC=8cm,DH=
=
=6.i）當(dāng)P在AB上時(shí),即
時(shí),如圖,
,解得：
；ii)當(dāng)P在BC上時(shí),即
＜t≤6時(shí),BP=3t-10,CQ=16-2t,
,化簡(jiǎn)得:3t2-34t+100=0,△=-44＜0,∴方程無實(shí)數(shù)解.iii)當(dāng)P在線段CD上時(shí),若點(diǎn)P在線段CD上,若點(diǎn)P在Q的右側(cè),即6≤t≤
,則有PQ=34-5t,
,
＜6(舍去);若點(diǎn)P在Q的左側(cè)時(shí),即
,則有PQ=5t-34,
;t=7.8.綜上所述：滿足條件的t存在,其值分別為
,t2=7.8．故選B．【點(diǎn)睛】本題是平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題,解決問題時(shí),一定要變動(dòng)為靜,將其轉(zhuǎn)化為常見的幾何問題,再進(jìn)行解答.3．C解析：C【解析】【分析】A.根據(jù)邊角邊"證明△BCF≌△DCE,然后利用"角邊角"證明△BEP≌△DFP,再利用"邊角邊"證明△BCP≌△DCP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCP=∠DCP;B.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABED為平行四邊形;C.連接QD,利用"邊角邊"證明△BCQ和△DCQ全等,根據(jù)全等三角形的面積相等判斷出S△BCQ=S△DCQ,判斷出CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等.D.根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=DE,再求出AB=BF,從而得到△ABF為等腰三角形；【詳解】解:∵BC=CD,E.F分別是BC.CD邊的中點(diǎn),∴BE=CE=CF=DF,在△BCF和△DCE中,，∴△BCF≌△DCE(SAS),∴DE=BF,∠CBF=∠CDE,∠BFC=∠DEC,∴180°-∠BFC=180°-∠DEC,即∠BEP=∠DFP,在△BEP和△DFP中,，∴△BEP≌△DFP(ASA),∴BP=DP,在△BCP和△DCP中,，∴△BCP≌△DCP(SAS),∴∠BCP=∠DCP,∴CP平分∠BCD,故A選項(xiàng)結(jié)論正確;∵BC=2AD,E是BC的中點(diǎn),∴BE=AD,又∵AD∥BC,∴四邊形ABED為平行四邊形,故B選項(xiàng)結(jié)論正確;∴AB=DE,又∵DE=BF(已證),∴AE=BF,∴△ABF為等腰三角形,故D選項(xiàng)結(jié)論正確;連接QD,在△BCQ和△DCQ中,，∴△BCQ≌△DCQ(SAS),∴S△BCQ=S△DCQ,∴CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等,故C選項(xiàng)結(jié)論不正確．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于多次證明三角形全等.4．B解析：B【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接CM,EM,當(dāng)CE＝CM+EM時(shí),CE的值最大,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′＝AC＝2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到EM
AC′＝1,根據(jù)勾股定理得到AB＝2
,即可得到結(jié)論.【詳解】取AB的中點(diǎn)M,連接CM,EM,∴當(dāng)CE＝CM+EM時(shí),CE的值最大.∵將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC′,∴AC′＝AC＝2.∵E為BC′的中點(diǎn),∴EM
AC′＝1.∵∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,∴AB＝2
,∴CM
AB
,∴CE＝CM+EM
．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),三角形的中位線的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.5．C解析：C【分析】如下圖,將平行四邊形ABCD向上平移,得到平行四邊形ADEF,使得BC與AD重合,在△BDF中,利用三角形三邊關(guān)系可得到x+y與x－y的取值范圍,從而得到結(jié)論.【詳解】如下圖,將平行四邊形ABCD向上平移,得到平行四邊形ADEF,使得BC與AD重合,連接BD,DF根據(jù)題意,設(shè)AB=12,BD=x,DF=y則AF=AB=12,BF=24∴在△BDF中,BD+FD＞BF,即:x+y＞24在△BDF中,BD－FD＜BF,即：x－y＜24滿足條件的只有C選項(xiàng)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系,解題關(guān)鍵是將題干中已知線段和需要求解的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中去.6．D解析：D【分析】分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),高一定,底邊BE最大時(shí)面積最大;②當(dāng)E在CD上時(shí),△ABE的面積不變;③當(dāng)E在AD上時(shí),E與D重合時(shí),△ABE的面積最大,根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.【詳解】解:分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),E與C重合時(shí),△ABE的面積最大,如圖1,過A作AF⊥BC于F,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠C+∠B=180°,∵∠C=120°,∴∠B=60°,Rt△ABF中,∠BAF=30°,∴BF=
AB=1,AF=
,∴此時(shí)△ABE的最大面積為:
×4×
=2
;②當(dāng)E在CD上時(shí),如圖2,此時(shí),△ABE的面積=
S?ABCD=
×4×
=2
；③當(dāng)E在AD上時(shí),E與D重合時(shí),△ABE的面積最大,此時(shí),△ABE的面積=2
,綜上,△ABE的面積的最大值是2
;故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì),三角形的面積,含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,并運(yùn)用分類討論的思想解決問題.7．B解析：B【分析】先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可得
是
的角平分線,
是
的角平分線,結(jié)論(2)正確.再利用結(jié)論(2)可得
,
即可判斷結(jié)論(1)(3)錯(cuò)誤,【詳解】解:設(shè)
,則
,，
,
,
,
在
中,
，，∴，，同理可得:
,，∴，，故(2)正確;∵
,
,∴
,即
,∴所以
與
不垂直,故(1)不正確;∵，，∴
,即
,∴故(3)不正確;故選：
.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理等,證明
是
的角平分線,
是
的角平分線是解題關(guān)鍵.8．C解析：C【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD,AO＝OC,EO＝OF,再求出BO＝OD,證明四邊形ABCD是菱形,根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長(zhǎng)AE,根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分求出OE,然后利用勾股定理列式求出AO,再求出AC,最后根據(jù)四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解.【詳解】解:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,∵四邊形AECF是菱形,∴AC⊥BD,AO＝OC,EO＝OF,又∵點(diǎn)E.F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn),∴BE＝FD,∴BO＝OD,∵AO＝OC,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD為菱形;∵四邊形AECF為菱形,且周長(zhǎng)為20,∴AE＝5,∵BD＝24,點(diǎn)E.F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn),∴EF＝8,OE＝
EF＝
×8＝4,由勾股定理得,AO＝
＝
＝3,∴AC＝2AO＝2×3＝6,∴S四邊形ABCD＝
BD?AC＝
×24×6＝72;故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì),主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì),勾股定理以及利用菱形對(duì)角線求面積的方法,熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.9．B解析：B【分析】由題意分析可知,點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn),G為從動(dòng)點(diǎn),所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系,得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡,之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.【詳解】由題意可知,點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng),如圖,將ΔEFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合,得到ΔEFB?ΔEHG,從而可知ΔEBH為等邊三角形,點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上,如圖,作CM⊥HN,則CM即為CG的最小值,作EP⊥CM,可知四邊形HEPM為矩形,則.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段極值問題,構(gòu)造圖形計(jì)算,是極值問題中比較典型的類型.分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn),通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等,從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡,是解本題的關(guān)鍵.10．C解析：C【分析】過P作PG⊥AB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件,證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF;在此基礎(chǔ)上,根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì),在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得
,即可得到答案.【詳解】證明:過P作PG⊥AB于點(diǎn)G,∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),∴GP=EP,在△GPB中,∠GBP=45°,∴∠GPB=45°,∴GB=GP,同理,得PE=BE,∵AB=BC=GF,∴AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,∴AG=PF,∴△AGP≌△FPE,∴AP=EF;故①正確;延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H,∴∠PAG=∠PFH,∵∠APG=∠FPH,∴∠PHF=∠PGA=90°,即AP⊥EF;故③正確;∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn),∠ADP=45度,∴當(dāng)∠PAD=45度或67.5度或90度時(shí),△APD是等腰三角形,除此之外,△APD不是等腰三角形,故②錯(cuò)誤.∵GF∥BC,∴∠DPF=∠DBC,又∵∠DPF=∠DBC=45°,∴∠PDF=∠DPF=45°,∴PF=EC,∴在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,∴
,故④錯(cuò)誤．∴正確的選項(xiàng)是①③;故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),垂直的判定,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用.本題難度較大,綜合性較強(qiáng),在解答時(shí)要認(rèn)真審題.二、填空題11.2
【詳解】由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,所以如果連接DE,交AC于點(diǎn)P,那PE+PB的值最小.在Rt△CDE中,由勾股定理先計(jì)算出DE的長(zhǎng)度,即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點(diǎn)P,連接BD.∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,∴DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值,∵AB=4,E是BC的中點(diǎn),∴CE=2,在Rt△CDE中,DE=2
．考點(diǎn):(1)、軸對(duì)稱-最短路線問題;(3)、正方形的性質(zhì).12.2
【解析】分析:過O點(diǎn)作OE⊥CA于E,OF⊥BC于F,連接CO,如圖,易得四邊形OECF為矩形,由△AOP為等腰直角三角形得到OA=OP,∠AOP=90°,則可證明△OAE≌△OPF,所以AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分∠ACP,從而可判斷當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí),點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段,接著證明CE=
(AC+CP),然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)OC的長(zhǎng),從而計(jì)算它們的差即可得到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí),點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).詳解：過O點(diǎn)作OE⊥CA于E,OF⊥BC于F,連接CO,如圖,∵△AOP為等腰直角三角形,∴OA=OP,∠AOP=90°,易得四邊形OECF為矩形,∴∠EOF=90°,CE=CF,∴∠AOE=∠POF,∴△OAE≌△OPF,∴AE=PF,OE=OF,∴CO平分∠ACP,∴當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí),點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段,∵AE=PF,即AC-CE=CF-CP,而CE=CF,∴CE=
(AC+CP),∴OC=
CE=
(AC+CP),當(dāng)AC=2,CP=CD=1時(shí),OC=
×(2+1)=
,當(dāng)AC=2,CP=CB=5時(shí),OC=
×(2+5）=
,∴當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí),點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=
-
=2
．故答案為2
.點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動(dòng)過程中不變的幾何量,從而判定軌跡的幾何特征,然后進(jìn)行幾何計(jì)算．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．13．【分析】連結(jié)AC,取OC中點(diǎn)M,連結(jié)

MB,MG,則MB,MG為定長(zhǎng),利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可.【詳解】連接AC,交EF于O,∵AD∥BC,∴∠EAO＝∠FCO,∠AEO＝∠CFO,∵AE＝CF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OA＝OC,∴O是正方形的中心,∵AB＝BC＝4,∴AC＝4
,OC＝2
,取OC中點(diǎn)M,連結(jié)

MB,MG,過點(diǎn)M作MH⊥BC于H,∵M(jìn)C＝
OC＝
,∴MH＝CH＝1,∴BH＝4?1＝3,由勾股定理可得MB＝
＝
,在Rt△GOC中,M是OC的中點(diǎn),則MG＝
OC＝
,∵BG≥BM?MG＝
?
,當(dāng)B,M,G三點(diǎn)共線時(shí),BG最小＝
?
,故答案為：
?
.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)到AD,BC的中點(diǎn)時(shí),MG最小是解決本題的關(guān)鍵.14．【分析】如圖,延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接TW,DW,過點(diǎn)W作WK⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問題轉(zhuǎn)化為求DT+DW的最小值.【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接TW,DW,過點(diǎn)W作WK⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于K.∵△ABC,△DEF都是等邊三角形,BC=3DE=3,∴BC=AB=3,DE=1,∠ACB=∠EDF=60°,∴DE∥TC,∵DE=BT=1,∴四邊形DEBT是平行四邊形,∴BE=DT,∴BD+BE=BD+AD,∵B,W關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴CB=CW=3,∠ACW=∠ACB=60°,DB=DW,∴∠WCK=60°,∵WK⊥CK,∴∠K=90°,∠CWK=30°,∴CK=
CW=
,WK=
CK=
,∴TK=1+3+
=
,∴TW=
=
,∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW,∴BD+BE≥
,∴BD+BE的最小值為
,故答案為
.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題,等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形,平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,屬于中考填空題中的壓軸題.15.3+3
.【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.證明QM＝QK,QG＝DQ,求出DQ＋QM的最小值即可解決問題.【詳解】取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.∵四邊形ABCD是正方形,∴AD＝AB＝6,∠DAM＝∠ADG＝90°,∵AM＝BM＝3,∴DM＝
＝3
,∵GK＝HK,AB,GH關(guān)于EF對(duì)稱,∴QM＝QK,∵∠ADG＝90°,AQ＝QG,∴DQ＝AQ＝QG,∵△QGK的周長(zhǎng)＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM.又∵DQ+QM≥DM,∴DQ+QM≥3
,∴△QGK的周長(zhǎng)的最小值為3+3
,故答案為3+3
.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問題,解題的關(guān)鍵是取AB的中點(diǎn)M,確定QG＋QK＝QD＋QM,屬于中考常考題型.16.

【分析】先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長(zhǎng),作輔助線,構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn):當(dāng)GE⊥BC時(shí),AG最小,即
最小,可計(jì)算
的值,從而得結(jié)論.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∵∠ACB=30°,BC=2
,∴AB=2,AC=4,∵AG=
,∴CG=
,如圖1,過G作MH⊥BC于H,交AD于M,Rt△CGH中,∠ACB=30°,∴GH=
CG=
,則點(diǎn)G到BC邊的距離為
,∵HM⊥BC,AD∥BC,∴HM⊥AD,∴∠AMG=90°,∵∠B=∠BHM=90°,∴四邊形ABHM是矩形,∴HM=AB=2,∴GM=2﹣GH=
=
,∴S△ADG
,當(dāng)
最小時(shí),△ADG的面積最小,如圖2,當(dāng)GE⊥BC時(shí),AG最小,即a最小,∵FG是AE的垂直平分線,∴AG=EG,∴，∴，∴△ADG的面積的最小值為
,故答案為：
,
．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理,確定△ADG的面積最小時(shí)點(diǎn)G的位置是解答此題的關(guān)鍵.17.9或
.【分析】分兩種情況畫圖,利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理矩形計(jì)算即可.【詳解】解:①如圖1,延長(zhǎng)EA交DC于點(diǎn)F,∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為24,∴AB=BC=6,∵∠ABC=60°,∴三角形ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,當(dāng)EA⊥BA時(shí),△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB=AC=6,∠EAC=90°+60°=150°,∴∠FAC=30°,∵∠ACD=60°,∴∠AFC=90°,∴CF=
AC=3,則△ACE的面積為:
AE×CF=
×6×3=9；②如圖2,過點(diǎn)A作AF⊥EC于點(diǎn)F,由①可知:∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°,∵AB=BE=BC=6,∴∠BEC=∠BCE=15°,∴∠AEF=45°-15°=30°,∠ACE=60°-15°=45°,∴AF=
AE,AF=CF=
AC=
,∵AB=BE=6,∴AE=
,∴EF=
,∴EC=EF+FC=則△ACE的面積為:
EC×AF=
.故答案為：9或
.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).18．4【分析】證明CF∥DB,CF=DB,可得四邊形CDBF是平行四邊形,作EM⊥DB于點(diǎn)M,解直角三角形即可.【詳解】解:∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EBD.∵E是BC中點(diǎn),∴CE=BE.∵∠CEF=∠BED,∴△CEF≌△BED(ASA).∴CF=BD.∴四邊形CDBF是平行四邊形.作EM⊥DB于點(diǎn)M,∵四邊形CDBF是平行四邊形,
,∴BE=
,DF=2DE,在Rt△EMB中,EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1,在Rt△EMD中,∵∠EDM=30°,∴DE=2EM=2,∴DF=2DE=4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,19．4【分析】過點(diǎn)E作EM∥AD,由△ABO是等腰三角形,根據(jù)三線合一可知點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),可證得EM=
AD=
BC,根據(jù)已知可求得∠CEF=∠ECF=45°,從而得∠BEF=45°,△BEF為等腰直角三角形,可得BF=EF=FC=
BC,因此可證明△BFP≌△MEP(AAS),則EP=FP=
FC,在Rt△BFP中,利用勾股定理可求得x,即得答案.【詳解】過點(diǎn)E作EM∥AD,交BD于M,設(shè)EM=x,∵AB=OB,BE平分∠ABO,∴△ABO是等腰三角形,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn),BE⊥AO,∠BEO=90°,∴EM是△AOD的中位線,又∵ABCD是平行四邊形,∴BC=AD=2EM=2x,∵EF⊥BC,∠CAD=45°,AD∥BC,∴∠BCA=∠CAD=45°,∠EFC=90°,∴△EFC為等腰直角三角形,∴EF=FC,∠FEC=45°,∴∠BEF=90°-∠FEC=45°,則△BEF為等腰直角三角形,∴BF=EF=FC=
BC=x,∵EM∥BF,∴∠EMP=∠FBP,∠PEM=∠PFB=90°,EM=BF,則△BFP≌△MEP(ASA),∴EP=FP=
EF=
FC=
x,∴在Rt△BFP中,
,即：，解得:
,∴BC=2
=4,故答案為：4.【點(diǎn)睛】考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三線合一的應(yīng)用,平行線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理求三角形邊長(zhǎng),熟記圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.20.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出,四邊形AFED為正方形,CE=GE=BF,
,即
,得出AB=AE,繼而可得解;（2）結(jié)合（1）可知,
,因?yàn)镋C=3BM,所以有
,求出BM,繼而可得解．【詳解】解:(1)由折疊的性質(zhì)可得,CE=GE=BF,
,即
,∴AB=AE,∵∴．(2)結(jié)合(1)可知,
,∴，∵EC=3BM,∴∴∴．故答案為:
;
.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于折疊的綜合題目,主要考查折疊的性質(zhì),弄清題意,結(jié)合圖形找出線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題21.(1)四邊形
是菱形,理由見解析;(2)
【分析】(1)先證明
,得出四邊形
是平行四邊形,再"根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半"證出
,得出四邊形
是菱形;（2）先求出
,再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出
,即可證出結(jié)論．【詳解】解:當(dāng)點(diǎn)
是
的中點(diǎn)時(shí),四邊形
是菱形;理由如下:∵，，∵，，，∵
,即
,
四邊形
是平行四邊形,；
為
中點(diǎn),，，∵，
四邊形
是平行四邊形,∵
,
為
中點(diǎn),，
四邊形
是菱形;(2)當(dāng)
時(shí),四邊形
是正方形;理由如下:∵
,
,，∵四邊形
是菱形,，，
四邊形
是正方形.故答案為：
.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì);根據(jù)題意證明線段相等和直角是解決問題的關(guān)鍵.22.（1）見解析；（2）t＝2；（3）t＝1.【分析】(1)由菱形的性質(zhì)可得AB＝CD,AB∥CD,可求CF＝AE,可得結(jié)論;(2)由菱形的性質(zhì)可求AD＝2cm,∠ADN＝60°,由直角三角形的性質(zhì)可求AN＝
DN＝
cm,由三角形的面積公式可求解;（3）由菱形的性質(zhì)可得EF⊥GH,可證四邊形DFEM是矩形,可得DF＝ME,由直角三角形的性質(zhì)可求AM＝1,即可求解．【詳解】證明:(1)∵動(dòng)點(diǎn)E.F分別從點(diǎn)B.D同時(shí)出發(fā),都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A.C運(yùn)動(dòng),∴DF＝BE,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴CF＝AE,∴四邊形AECF是平行四邊形,∴AF∥CE;（2）如圖1,過點(diǎn)A作AN⊥CD于N,∵在菱形ABCD中,AB＝2cm,∠ADC＝120°,∴AD＝2cm,∠ADN＝60°,∴∠NAD＝30°,∴DN＝
AD＝1cm,AN＝
DN＝
cm,∴S△ADF＝
×DF×AN＝
×
t×
＝
,∴t＝2;（3）如圖2,連接GH,EF,過點(diǎn)D作DM⊥AB于M,∵四邊形AECF是平行四邊形,∴FA＝CE,∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn),點(diǎn)H是CE的中點(diǎn),∴FG＝CH,∴四邊形FGHC是平行四邊形,∴CF∥GH,∵四邊形EHFG為菱形,∴EF⊥GH,∴EF⊥CD,∵AB∥CD,∴EF⊥AB,又∵DM⊥AB,∴四邊形DFEM是矩形,∴DF＝ME,∵∠DAB＝60°,∴∠ADM＝30°,∴AM＝
AD＝1cm,∵AM+ME+BE＝AB,∴1+
t+
t＝2,∴t＝1.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了菱形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.23．（1）見解析；（2）
MON為等腰直角三角形,見解析【分析】(1)如圖1,由正方形的性質(zhì)得CB＝CD,∠BCD＝90°,再證明∠BCN＝∠CDM,然后根據(jù)"AAS"證明△CDM≌△CBN,從而得到DM＝CN;（2）如圖2,利用正方形的性質(zhì)得OD＝OC,∠ODC＝∠OCB＝45°,∠DOC＝90°,再利用∠BCN＝∠CDM得到∠OCN＝∠ODM,則根據(jù)“SAS”可判斷△OCN≌△ODM,從而得到ON＝OM,∠CON＝∠DOM,所以∠MON＝∠DOC＝90°,于是可判斷△MON為等腰直角三角形．【詳解】(1)證明:如圖1,∵四邊形ABCD為正方形,∴CB＝CD,∠BCD＝90°,∵DM⊥CP,BN⊥CP,∴∠DMC＝90°,∠BNC＝90°,∵∠CDM+∠DCM＝90°,∠BCN+∠DCM＝90°,∴∠BCN＝∠CDM,在△CDM和△CBN中，∴△CDM≌△CBN,∴DM＝CN;(2)解：△OMN為等腰直角三角形.理由如下:如圖2,∵四邊形ABCD為正方形,∴OD＝OC,∠ODC＝∠OCB＝45°,∠DOC＝90°,∵∠BCN＝∠CDM,∴∠BCN﹣45°＝∠CDM﹣45°,即∠OCN＝∠ODM,在△OCN和△ODM中，∴△OCN≌△ODM,∴ON＝OM,∠CON＝∠DOM,∴∠MON＝∠DOC＝90°,∴
MON為等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì):正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角;正方形的兩條對(duì)角線相等,互相垂直平分,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì);兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形,同時(shí),正方形又是軸對(duì)稱圖形,有四條對(duì)稱軸.也考查全等三角形的判定與性質(zhì).24．（1）證明見解析；（2）平行四邊形,理由見解析；（3）45°【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出∠OAF＝∠OCE,OA＝OC,進(jìn)而判斷出△AOF≌△COE,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出∠BAC＝∠AOF,得出AB∥EF,即可得出結(jié)論;（3）先求出AC＝2,進(jìn)而得出A＝1＝AB,即可判斷出△ABO是等腰直角三角形,進(jìn)一步判斷出△BFD是等腰三角形,利用等腰三角形的三線合一得出∠BOF＝90°,即可得出結(jié)論．【詳解】(1)證明:在?ABCD中,AD∥BC,∴∠OAF＝∠OCE,∵OA＝OC,∠AOF＝∠COE,∴△AOF≌△COE(ASA),∴OE＝OF;(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí),四邊形ABEF是平行四邊形,理由:∵AB⊥AC,∴∠BAC＝90°,∵∠AOF＝90°,∴∠BAC＝∠AOF,∴AB∥EF,∵AF∥BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形;(3)在Rt△ABC中,AB＝1,BC＝
,∴AC＝
＝2,∴OA＝1＝AB,∴△ABO是等腰直角三角形,∴∠AOB＝45°,∵BF＝DF,∴△BFD是等腰三角形,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB＝OD,∴OF⊥BD(等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高),∴∠BOF＝90°,∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°.【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題,主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),判斷出△ABO是等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵.25．（1）詳見解析；（2）
,理由詳見解析；（3）
,理由詳見解析【分析】(1)根據(jù)
,等量代換即可證明;(2)DE=EF,連接NE,在DA邊上截取DN=EB,證出△DNE≌△EBF即可得出答案;(3)在
邊上截取
,連接
,證出
即可得出答案.【詳解】(1)證明:∵
,∴，∴;(2)理由如下:如圖,取
的中點(diǎn)
,連接
,∵四邊形
為正方形,∴，∵分別為中點(diǎn)∴，∴又∵∴∴，又∵
,
平分
∴．∴在和中，∴(3).理由如下:如圖,在
邊上截取
,連接
,∵四邊形
是正方形,
,∴，∴
為等腰直角三角形,∵∴，∵
平分
,
,∴，∴，在和中∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),解決本題的關(guān)鍵就是求證△DNE≌△EBF.26.（1）
；（2）見解析；（3）
【分析】(1)先用SAS證
ABG≌
ADF,可得AG=AF,∠BAG=∠DAF,又可證∠EAG=∠EAF,故可用SAS證
GAE≌
FAE,EF=GE,即EF長(zhǎng)度可求;(2)在DF上取一點(diǎn)G,使得DG=BE,連接AG,先用SAS證
ABE≌
ADG,可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,又可證∠EAF=∠GAF,故可用SAS證
AEF≌
AGF,可得EF=GF,且DG=BE,故EF=DF-DG=DF-BE;（3）在線段DF上取BE=DG,連接AG,求證∠ABE=∠ADC,即可用SAS證
ABE≌
ADG,可得AE=AG,∠BAE=∠DAG,又可證∠EAF=∠GAF,故可用SAS證
AEF≌
AGF,可得EF=GF,設(shè)BE=x,則CE=7+x,EF=18-x,根據(jù)勾股定理：
,即可求得BE的長(zhǎng)度．【詳解】解:(1)證明:如圖1所示,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在
ABG和
ADF中,∴
ABG≌
ADF(SAS),∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°,且∠EAF=45°,∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF,在
GAE和
FAE中,∴
GAE≌
FAE(SAS),∴EF=GE=GB+BE=2+3=5;（2）如下圖所示,在DF上取一點(diǎn)G,使得DG=BE,連接AG,∵四邊形ABCD是正方形,故AB=AD,∠ABE=∠ADG=90°,在
ABE和
ADG中,∴
ABE≌
ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠BAG+∠DAG=90°,故∠BAG+∠BAE=90°,∵∠EAF=45°,故∠GAF=45°,∠EAF=∠GAF=45°,在
AEF和
AGF中,∴
AEF≌
AGF(SAS),∴EF=GF,且DG=BE,∴EF=DF-DG=DF-BE;(3)BE=5,如下圖所示,在線段DF上取BE=DG,連接AG,∵∠BAD=∠BCD=90°,故∠ABC+∠ADC=180°,且∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ABE=∠ADC,在
ABE和
ADG中,∴
ABE≌
ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠BAG+∠DAG=90°,故∠BAG+∠BAE=90°,∵∠EAF=45°,故∠GAF=45°,∠EAF=∠GAF=45°,在
AEF和
AGF中,∴
AEF≌
AGF(SAS),∴EF=GF,設(shè)BE=x,則CE=BC+BE=7+x,EF=GF=DC+CF-DG=DC+CF-BE=18-x,在直角三角形ECF中,根據(jù)勾股定理:
,即:
,解得x=5,∴BE=x=5.【點(diǎn)睛】本題主要考察了全等三角形的證明及性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵在于添加輔助線,找出全等三角形,并用對(duì)應(yīng)邊/對(duì)應(yīng)角相等的定理,解決該題.27.（1）證明見解析；（2）①
；②BH的長(zhǎng)為17
或7
.【分析】(1)證
,即可得出結(jié)論;(2)①連接
,延長(zhǎng)
交
于
,設(shè)
與
的交點(diǎn)為
,證
,得
,
,證
為等腰直角三角形,即得結(jié)論;②分兩種情況,證出點(diǎn)
、
、
在一條直線上,求出
,則
,由勾股定理求出
,求出
,即可得出答案．【詳解】(1)∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,∴AD=AB=CB,AG=AE,∠DAB=∠GCE=90°,∴∠DAB﹣∠GAF=∠GCE﹣∠GAF,即∠DAG=∠BAE,在△DAG和△BAE中,，∴△DAG≌△BAE(SAS),∴DG=BE;（2）①連接GH,延長(zhǎng)HF交AB于N,設(shè)AB與EF的交點(diǎn)為M,如圖2所示：∵四邊形BCHF是平行四邊形,∴HF
BC,HF=BC=AB.∵BC⊥AB,∴HF⊥AB,∴∠HFG=∠FMB,又AG
EF,∴∠GAB=∠FMB,∴∠HFG=∠GAB,在△GAB和△GFH中,，∴△GAB≌△GFH(SAS),∴GH=GB,∠GHF=∠GBA,∴∠HGB=∠HNB=90°,∴△GHB為等腰直角三角形,∴BH
BG,∴；②分兩種情況:a、如圖3所示:連接AF、EG交于點(diǎn)O,連接BE.∵四邊形BCHF為菱形,∴CB=FB.∵AB=CB,∴AB=FB=13,∴點(diǎn)B在AF的垂直平分線上.∵四邊形AEFG是正方形,∴AF=EG,OA=OF=OG=OE,AF⊥EG,AE=FE=AG=FG,∴點(diǎn)G、點(diǎn)E都在AF的垂直平分線上,∴點(diǎn)B.E.G在一條直線上,∴BG⊥AF.∵AE=5
,∴AF=EG
AE=10,∴OA=OG=OE=5,∴OB
12,∴BG=OB+OG=12+5=17,由①得:BH
BG=17
;b、如圖4所示:連接AF、EG交于點(diǎn)O,連接BE,同上得：點(diǎn)B.E.G在一條直線上,OB=12,BG=OG+OB﹣OG=12﹣5=7,由①得:BH
BG=7
;綜上所述：BH的長(zhǎng)為17
或7
.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),熟練掌握正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.28．（1）5；（2）正確,證明詳見解析；（3）存在,有四種情況,面積分別是：
,
,
,
【分析】(1)根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度,(2)根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形判斷,（3）有四種情況,作輔助線,將四邊形分成兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形或兩個(gè)三角形,相加可得結(jié)論.【詳解】(1)∵BD⊥CD∴∠BDC=90°,BC>CD∵在“準(zhǔn)等邊四邊形”ABCD中,BC≠AB,∴AB=AD=CD=3,∵BD=4,∴BC=,(2)正確.如圖所示:∵AB=AD∴ΔABD是等腰三角形.∵AC⊥BD.∴AC垂直平分BD.∴BC=CD∴CD=AB=AD=BC∴四邊形ABCD是菱形.(3)存在四種情況,
如圖2