第7頁（共38頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量及其運(yùn)算（2025年7月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?奉賢區(qū)期末）如圖，在邊長為2的正四面體P﹣ABC中，N是△ABC的中心，則下列正確的是（）A．PA→?BC→=4C．PN→=132．（2025春?南京校級月考）若空間向量a→=（2，1，0），b→=（1，0，1），則向量A．（4，﹣1，0） B．（﹣1，0，﹣1） C．（﹣2，1，0） D．（1，0，1）3．（2025春?普陀區(qū)校級期末）已知空間向量a→，b→，且AB→=a→+2b→，BC→=-5A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D4．（2025春?河南月考）在四面體OABC中，AM→=MBA．12a→+2C．23a→+5．（2025春?虹口區(qū)校級月考）已知正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面為邊長為2，高為3，則集合={x|x=A1B1→?AiBj→，i∈{1，2，3，4，5，6}A．1 B．2 C．4 D．86．（2025?黃山校級一模）已知正方體ABCD﹣EFGH的棱長為1，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足AP→=34ABA．56 B．18112 C．306 7．（2025?楊浦區(qū)校級模擬）在正四棱錐P﹣ABCD中，PF→=FD→，PE→=2EBA．35 B．45 C．34 8．（2025春?江蘇校級期中）若a→=(2，0，A．（2，0，﹣3） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，﹣1） D．（2，1，﹣3）二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?寧遠(yuǎn)縣校級月考）下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．任意向量a→，b→，若a→?b→=0B．若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足OC→=13OA→+2C．空間中任意向量a→，bD．若a→∥b→（多選）10．（2025春?浙江月考）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1，∠A1AB=∠AA．四邊形B1BDD1為矩形 B．AA1→在AC．點(diǎn)B到直線AC1的距離為63D．若直線D1P與直線AB所成的角為π3，則點(diǎn)P（多選）11．（2025春?宜春校級期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個(gè)向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．點(diǎn)M（3，2，1）關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，2，1）（多選）12．（2025春?鹽城月考）下列說法正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→B．單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直 C．將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓 D．若空間向量a→，b→三．填空題（共4小題）13．（2025?甘肅校級模擬）如圖，在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，底面四邊形ABCD是菱形，AB＝a，AA′＝b，∠A′AB＝∠A′AD＝2∠BAD＝120°，則A′C的長為，直線BD′與直線AC所成角的余弦值為．（結(jié)果用a，b表示）14．（2025?上海校級模擬）已知空間向量a→=(1，-1，0)，b→=(0，15．（2025春?德州月考）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，AC=22，AA1=2，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PM|．當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面BB1C16．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）已知O（0，0，0），A（1，2，1），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QA→?QB→取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是四．解答題（共4小題）17．（2025春?南京校級月考）已知向量a→（1）求|a（2）求(a（3）求向量(a18．（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）已知空間中三點(diǎn)A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），設(shè)a→=AB（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→為一組鄰邊的平行四邊形的面積19．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．（1）設(shè)a→=(-2，0，-8)，b（2）求AB→、AC→的夾角θ，以及AB→、AC20．（2024秋?銅官區(qū)校級期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求AE的長．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量及其運(yùn)算（2025年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DDCDAADD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABABDBCDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025春?奉賢區(qū)期末）如圖，在邊長為2的正四面體P﹣ABC中，N是△ABC的中心，則下列正確的是（）A．PA→?BC→=4C．PN→=13【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】設(shè)基底為PA→【解答】解：在邊長為2的正四面體P﹣ABC中，N是△ABC的中心，設(shè)基底為PA→，PB→，PC→對于A：BC→=PC→-PB對于B：AB→=PB→-對于C、D：延長CN交AB于M，易得M為AB的中點(diǎn)，由于N是△ABC的中心，如下圖所示：可得CNCM又PN→=1，PN→=13PA故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的基底，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2025春?南京校級月考）若空間向量a→=（2，1，0），b→=（1，0，1），則向量A．（4，﹣1，0） B．（﹣1，0，﹣1） C．（﹣2，1，0） D．（1，0，1）【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】結(jié)合投影向量的求解，即可求解．【解答】解：空間向量a→=（2，1，0），b→=（1，則a→?b故向量a→在向量b→上的投影向量的坐標(biāo)是故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?普陀區(qū)校級期末）已知空間向量a→，b→，且AB→=a→+2b→，BC→=-5A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；平面向量的相等與共線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加法，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵BC→=-5a→+6b→，CD∴BD→∵AB→=a∴BD→=2AB→，即A，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的加法，以及向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?河南月考）在四面體OABC中，AM→=MBA．12a→+2C．23a→+【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解【解答】解：連接MN，NB，由已知得NM→=NO→+故選：D．【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?虹口區(qū)校級月考）已知正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面為邊長為2，高為3，則集合={x|x=A1B1→?AiBj→，i∈{1，2，3，4，5，6}A．1 B．2 C．4 D．8【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積公式及運(yùn)算律計(jì)算求解．【解答】解：正六棱柱A1A2A3A4A5A6﹣B1B2B3B4B5B6的底面為邊長為2，高為3，由題意得知：A1B1⊥平面B1B2B3，所以A1所以A1同理：A1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（2025?黃山校級一模）已知正方體ABCD﹣EFGH的棱長為1，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足AP→=34ABA．56 B．18112 C．306 【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】分別以AB、AD、AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系，可得向量AB→和AP→的坐標(biāo)，可以分別計(jì)算出它們的長度．然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到AB→?AP→=34，再用向量的夾角公式得到cos【解答】解：分別以AB、AD、AE為x軸、y軸、z軸作出空間直角坐標(biāo)系如圖∵正方體ABCD﹣EFGH的棱長為1∴AB∵AP∴AP可得|∵ABAB→∴cos根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin∴P點(diǎn)到直線AB的距離為|故選：A．【點(diǎn)評】本題以正方體中的向量為載體，著重考查了空間向量的數(shù)量積、長度公式和夾角公式的應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025?楊浦區(qū)校級模擬）在正四棱錐P﹣ABCD中，PF→=FD→，PE→=2EBA．35 B．45 C．34 【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由PC→=PA【解答】解：正四棱錐P﹣ABCD中，PF→=FD→，PE→因?yàn)镻C→所以PC→因?yàn)镻F→=FD所以PC→又PG→=λ所以PG→因?yàn)锳，E，F(xiàn)，G共面，所以3λ2(λ故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量共面的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2025春?江蘇校級期中）若a→=(2，0，A．（2，0，﹣3） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，﹣1） D．（2，1，﹣3）【考點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案．【解答】解：由題可得：a→故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?寧遠(yuǎn)縣校級月考）下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．任意向量a→，b→，若a→?b→=0B．若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足OC→=13OA→+2C．空間中任意向量a→，bD．若a→∥b→【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】分類討論；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念判斷AC的真假；根據(jù)三點(diǎn)共線的有關(guān)結(jié)論判斷B的真假；分類討論說明D的真假．【解答】解：對A：因?yàn)閍→?b則|a→|=0或|即a→=0→或b→對B：因?yàn)镺C→=13OA→+23OB→，而對C：因?yàn)閮蓚€(gè)向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，a→?b→，b→故(a→?b→)?cc→與a所以(a→?對D：當(dāng)b→≠0→時(shí)，對任意向量a→，c→，a→∥b→故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?浙江月考）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1，∠A1AB=∠AA．四邊形B1BDD1為矩形 B．AA1→在AC．點(diǎn)B到直線AC1的距離為63D．若直線D1P與直線AB所成的角為π3，則點(diǎn)P【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影；空間中點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】利用基向量求解出BD→?BB1→=0即可判斷選項(xiàng)A；利用基向量求出AA1→?AC1→，|AC1→|，然后由投影向量的定義求解即可判斷選項(xiàng)B；由基向量求得AB→?AC1→，然后由空間點(diǎn)到直線的向量求法求解即可；由異面直線所成的角得到∠C1D1P=π3或∠C1D1P=【解答】解：對于A，由已知條件得：BD→?所以BD⊥BB1，故四邊形B1BDD1為矩形，故A正確；對于B，AA故|A故AA1→在AC1對于C，AB→所以AB→所以點(diǎn)B到直線AC1的距離為|AB→|對于D，因?yàn)锳B∥C1D1，所以直線D1P與直線AB所成的角即為∠C1D1P或其補(bǔ)角，由直線D1P與直線AB所成角為π3，所以∠C1所以點(diǎn)P在以D1為頂點(diǎn)，D1C1或D1C1的反向延長線為軸，D1P為母線的圓錐面上，又P∈平面ABCD，所以P的軌跡是平面ABCD截圓錐面所得的圖形，因?yàn)镃1D1∥平面ABCD，平行于軸的平面截圓錐所得曲線為雙曲線，所以P點(diǎn)軌跡為雙曲線，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的投影向量，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?宜春校級期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個(gè)向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．點(diǎn)M（3，2，1）關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，2，1）【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】利用空間中四點(diǎn)共面的推論可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對于A選項(xiàng)：因?yàn)閷臻g中任意一點(diǎn)O有OP→=12OA→+13OB→+1對于B選項(xiàng)，已知兩個(gè)向量a→=(1，m，3)，b→=(5，-1，n)，且a→∥b→，設(shè)a→=kb→，即（1對于C選項(xiàng)，若a→⊥b→，且a→=(x對于D選項(xiàng)，點(diǎn)M（3，2，1）關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，2，1），故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的充要條件，點(diǎn)關(guān)于面的對稱問題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2025春?鹽城月考）下列說法正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→B．單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直 C．將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓 D．若空間向量a→，b→【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；平面向量的相等向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的加法計(jì)算判斷A，再根據(jù)基底定義判斷B，根據(jù)單位向量判斷C，應(yīng)用向量相等判斷D．【解答】解：若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→+BC單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直，B正確；空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故C錯(cuò)誤；a→=b→，故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025?甘肅校級模擬）如圖，在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，底面四邊形ABCD是菱形，AB＝a，AA′＝b，∠A′AB＝∠A′AD＝2∠BAD＝120°，則A′C的長為b2+3a2+2ab，直線BD′與直線AC所成角的余弦值為b3(【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】b2+3a2【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出，A'C→=A'【解答】解：利用向量的線性運(yùn)算：A'則A＝b2+a2+a2+2abcos60°+2abcos60°+2a2cos60°＝b2+3a2+2ab，所以|A由AC→=AB所以|AC|BD=bAC→?所以|cos則直線BD′與直線AC所成角的余弦值為b3(故答案為：b2+3a【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2025?上海校級模擬）已知空間向量a→=(1，-1，0)，b→=(0，【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解．【解答】解：a→=(1，-1則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，c→=λa→故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的共面定理，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?德州月考）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，AC=22，AA1=2，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PM|．當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面BB1C【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】2π4【分析】根據(jù)題給條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y，z），根據(jù)|PA（1）當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，令x＝0，化簡等式即可得到點(diǎn)P的軌跡方程，即可求其運(yùn)動(dòng)路徑的長度．（2）當(dāng)點(diǎn)P在空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可求得點(diǎn)P的軌跡為球，利用坐標(biāo)表示PA1→【解答】解：因?yàn)锳B=BC=2，AC=22，所以∠ABC＝90°，AB⊥BC，則A1B1⊥B1C1，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1，A1B如圖：以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以B1A1，B1C1，BB1的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則A(2設(shè)P（x，y，z），當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則P（0，y，z），因?yàn)閨PA則4+化簡得2y2+2則點(diǎn)P的軌跡是以(0，0，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的長度為圓的周長l=2當(dāng)點(diǎn)P在空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，|則(2化簡得(所以點(diǎn)P在球心為(12，PAPA1→?PC1→=(2-x)(-x)+(-y)(2-y)+z2（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2最大值的幾何意義為點(diǎn)P到點(diǎn)（1，1，0）距離的最大值的平方．又點(diǎn)P到點(diǎn)（1，1，0）距離的最大值d為球心(12，0，2)到點(diǎn)（1即d=(1-所以d2=(故答案為：2π4；【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，曲線的方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）已知O（0，0，0），A（1，2，1），B（2，1，2），P（1，1，2），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QA→?QB→取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，1，【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1，1，2）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設(shè)Q（x，y，z），點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則存在實(shí)數(shù)λ，使得OQ→P（1，1，2），則Q（λ，λ，2λ），A（1，2，1），B（2，1，2），則QA→=(1-λ所以QA→?QB→=（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（1﹣2λ）（2﹣2λ）＝6（λ2﹣2λ+1故當(dāng)λ＝1時(shí)，QA→?QB→取最小值，此時(shí)點(diǎn)Q（1，故答案為：（1，1，2）．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?南京校級月考）已知向量a→（1）求|a（2）求(a（3）求向量(a【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）6；（2）6；（3）π2【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的坐標(biāo)表示求解；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（3）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∵a→∴a→∴|a（2）a→則(a（3）a→∴(a則(a所以向量(a→+5【點(diǎn)評】本題考查了向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，是基礎(chǔ)題．18．（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）已知空間中三點(diǎn)A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），設(shè)a→=A（1）若|c→|＝3，且c→∥BC→（2）求以a→、b→為一組鄰邊的平行四邊形的面積【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)題意，求出BC→的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法，可以設(shè)c→=tBC→=（2t，t，﹣（2）根據(jù)題意，求出AB→、AC→的坐標(biāo)，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得cosA，進(jìn)而求出sinA，又由S＝|AB→||AC→|【解答】解：（1）根據(jù)題意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），則BC→=（2，1，﹣若c→∥BC→，設(shè)c→=tBC→=（2t又由|c→|＝3，則4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1故c→=（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，（2）根據(jù)題意，a→=AB→=（﹣1，﹣1，0），b→=則|AB→|=1+1+0=2，|AC→|=1+4則cosA＝cos＜AB→，AC→＞=故S＝|AB→||AC→|×sinA=【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及空間向量的平行，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024秋?寶山區(qū)校級期末）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4）．（1）設(shè)a→=(-2，0，-8)，b（2）求AB→、AC→的夾角θ，以及AB→、AC【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）平行；（2）π3；7【分析】（1）直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量間的共線；（2）首先利用向量的夾角公式求出cosθ=【解答】解：（1）設(shè)A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），故b→故a→=-2b→，故（2）由于A（0，2，3）、B（﹣2，1，6）、C（1，﹣1，5）、D（3，3，4），所以AB→=(-2，-1，3)，故cosθ=cos由于θ∈[0，π]，所以θ=所以sinθ=故S=【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024秋?銅官區(qū)校級期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求AE的長．【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）a→+b→+1【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則，即可求解．（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，將AE→【解答】解：（1）AB→=a→，AD→（2）∵AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴|＝25+9+4+0+（20+12）?cos60°＝54，∴|AE【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的相等與共線【知識點(diǎn)的認(rèn)識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識結(jié)合考察．2．平面向量的相等向量【知識點(diǎn)的認(rèn)識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識結(jié)合考察．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，點(diǎn)E寫出與AE→解：∵在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，點(diǎn)E∴與AE→相等的向量為EB→和3．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：4．空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±5．空間向量的加減運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A1【解題方法點(diǎn)撥】﹣逐分量運(yùn)算：按照向量的分量進(jìn)行加減運(yùn)算．【命題方向】﹣向量運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的加法和減法運(yùn)算．6．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計(jì)算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．7．空間向量的共線與共面【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．滿足這證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．8．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa