2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之圓（一）一．選擇題（共18小題）1．（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°2．（2025?綏化）在⊙O中，如果75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，那么⊙O的半徑是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．（2025?山西）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別以點(diǎn)B，C為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BA，CA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D，E．若BC＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣84．（2025?山西）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接AD，CD．若AC=BC，則∠A．30° B．45° C．60° D．75°5．（2025?新疆）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，則∠BOC＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．（2025?湖南）如圖，北京市某處A位于北緯40°（即∠AOC＝40°），東經(jīng)116°，三沙市海域某處B位于北緯15°（即∠BOC＝15°），東經(jīng)116°．設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線圈上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的劣弧長(zhǎng)約為（）A．572πR（千米） B．1C．536πR（千米） D．7．（2025?宜賓）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB＝8，OC＝5，則OD的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C．6 D．58．（2025?福建）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C．AB∥PC，且交⊙O于點(diǎn)B．若∠P＝30°，則∠BCP的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．（2025?德陽）六方鋼也稱六角棒，是鋼材的一種，其截面為正六邊形．六方鋼可以通過切割、鉆孔、車削等方式進(jìn)行加工，廣泛應(yīng)用于各種建筑結(jié)構(gòu)和工程結(jié)構(gòu)，如房梁、橋梁柱、輸電塔等．在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，興趣小組對(duì)六方鋼截面圖（如圖所示）的性質(zhì)進(jìn)行研究，測(cè)得邊長(zhǎng)AB＝1，那么圖中四邊形GCHF的面積是（）A．233 B．3 C．23 10．（2025?甘肅）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，連接BD，若∠ABC＝70°，則∠A．20° B．35° C．55° D．70°11．（2025?山東）在中國(guó)古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個(gè)正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π12．（2025?廣安）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為90°的扇形，若圓錐的母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的底面圓的半徑為（）A．54 B．53 C．513．（2025?云南）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90°，母線長(zhǎng)為40cm，則該圓錐的底面圓的半徑為（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm14．（2025?上海）在銳角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圓O的半徑長(zhǎng)為5，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓和⊙O相交，那么⊙D的半徑長(zhǎng)可以是（）A．2 B．5 C．8 D．1015．（2025?涼山州）下列說法正確的是（）A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若am＜bm，則a＜b C．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 D．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧16．（2025?南充）如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個(gè)組合圖形，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，那么矩形的面積是（）A．12 B．83 C．16 D．17．（2025?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點(diǎn)A，OD交⊙O于點(diǎn)C，AE⊥OD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，若CD＝4，則PE+PF的最小值是（）A．4 B．27 C．6 D．18．（2025?重慶）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．100°二．填空題（共2小題）19．（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為．20．（2025?北京）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，太陽光線GD所在直線經(jīng)過地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為°．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之圓（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共18小題）題號(hào)1234567891011答案CADBCCACACD題號(hào)12131415161718答案ABBCBCB一．選擇題（共18小題）1．（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AC，BC為⊙O的弦，連接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，則∠BCO的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系得∠ACB=12∠AOB＝20°，再根據(jù)∠OCA＝30°即可得出∠【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB=12∠∵∠OCA＝30°，∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2025?綏化）在⊙O中，如果75°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2.5πcm，那么⊙O的半徑是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】設(shè)⊙O的半徑是rcm，由弧長(zhǎng)公式得到75πr180=2.5π，求出r＝6，即可得到⊙【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是rcm，∴75πr180=2.5∴r＝6，∴⊙O的半徑是6cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式：l=nπr180（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為3．（2025?山西）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別以點(diǎn)B，C為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BA，CA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D，E．若BC＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；等腰直角三角形．【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】D【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC=22BC=22，進(jìn)而由S陰影BC＝2（S扇形BCD﹣S【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴AB=AC=2∴S陰影BC故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2025?山西）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接AD，CD．若AC=BC，則∠A．30° B．45° C．60° D．75°【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)已知易得：∠AOC＝∠BOC＝90°，然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接OC，∵AC=BC，AB為⊙∴∠AOC＝∠BOC=12∠∴∠D=12∠故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2025?新疆）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，則∠BOC＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理得到∠ADC＝∠BDC＝30°，再根據(jù)圓周角定理即可得到∠BOC＝60°．【解答】解：連接BD，∵CD是⊙O的直徑，AB是弦，AB⊥CD，∴∠ADC＝∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2025?湖南）如圖，北京市某處A位于北緯40°（即∠AOC＝40°），東經(jīng)116°，三沙市海域某處B位于北緯15°（即∠BOC＝15°），東經(jīng)116°．設(shè)地球的半徑約為R千米，則在東經(jīng)116°所在經(jīng)線圈上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的劣弧長(zhǎng)約為（）A．572πR（千米） B．1C．536πR（千米） D．【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式分別計(jì)算劣弧AC和BC的長(zhǎng)度并求差即可．【解答】解：AC=40360×2πR=80360πR（千米），BC=AB=AC?BC=80360πR∴點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的劣弧長(zhǎng)約為536πR故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．7．（2025?宜賓）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB＝8，OC＝5，則OD的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C．6 D．5【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】由垂徑定理求出AD=12AB＝4，由勾股定理即可求出【解答】解：∵半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，∴AD=12AB∵OA＝OC＝5，∴OD=O故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到AD=12AB，由勾股定理求出8．（2025?福建）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C．AB∥PC，且交⊙O于點(diǎn)B．若∠P＝30°，則∠BCP的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】C【分析】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠AOP，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∵AB∥PC，∴∠OAB＝∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BCP＝60°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．（2025?德陽）六方鋼也稱六角棒，是鋼材的一種，其截面為正六邊形．六方鋼可以通過切割、鉆孔、車削等方式進(jìn)行加工，廣泛應(yīng)用于各種建筑結(jié)構(gòu)和工程結(jié)構(gòu)，如房梁、橋梁柱、輸電塔等．在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，興趣小組對(duì)六方鋼截面圖（如圖所示）的性質(zhì)進(jìn)行研究，測(cè)得邊長(zhǎng)AB＝1，那么圖中四邊形GCHF的面積是（）A．233 B．3 C．23 【考點(diǎn)】正多邊形和圓；三角形的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為M，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB=180°?120°∴AM=12AB=12，BM＝FM在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°，∴BG=33BC∴FG＝BF﹣BG=3∴四邊形GCHF的面積為FG?BC=2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．10．（2025?甘肅）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，連接BD，若∠ABC＝70°，則∠A．20° B．35° C．55° D．70°【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝110°，根據(jù)AB=BC得到∠ADB＝∠BDC，即可得到∠【解答】解：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，∵AB=∴∠ADB＝∠BDC=12∠故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝110°解答．11．（2025?山東）在中國(guó)古代文化中，玉璧寓意宇宙的廣闊與秩序，也經(jīng)常被視為君子修身齊家的象征．如圖是某玉璧的平面示意圖，由一個(gè)正方形的內(nèi)切圓和外接圓組成．已知內(nèi)切圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算；正方形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】D【分析】如圖：連接AB、DC相交于O，由正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，AC＝BC＝4，OA＝OB，再運(yùn)用勾股定理可得AB=22，則OA=OB=【解答】解：如圖：連接AB、DC相交于O，∵正方形的內(nèi)切圓的半徑是2，∴AC＝BC＝4，OA＝OB，∴AB=AC2∴圖中陰影部分的面積是π?(22故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的內(nèi)切圓、外切圓、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．12．（2025?廣安）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為90°的扇形，若圓錐的母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的底面圓的半徑為（）A．54 B．53 C．5【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，由題意得：2πr=90π×5解得r=5∴該圓錐的底面圓的半徑為54故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．13．（2025?云南）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90°，母線長(zhǎng)為40cm，則該圓錐的底面圓的半徑為（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)列式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，則2πr=90π×40解得r＝10，即圓錐的底面圓的半徑為10cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．14．（2025?上海）在銳角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圓O的半徑長(zhǎng)為5，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓和⊙O相交，那么⊙D的半徑長(zhǎng)可以是（）A．2 B．5 C．8 D．10【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系．【答案】B【分析】根據(jù)題意，等腰△ABC的外接圓半徑為5，由等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求得OD＝3；當(dāng)⊙D與⊙O相交時(shí)，圓心距需滿足條件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入數(shù)值求解r的范圍，進(jìn)而確定選項(xiàng)．【解答】解：如圖，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，銳角三角形ABC中，AB＝AC，∴外接圓心O在AD上，連接OB，由勾股定理得：OD=O設(shè)以D為圓心的圓的半徑為r，⊙D，⊙O相交應(yīng)滿足：|5﹣r|＜OD＜5+r，即|5﹣r|＜3＜5+r，解得：2＜r＜8，在此范圍的半徑只有選項(xiàng)B，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的條件等知識(shí)，掌握兩圓相交的條件是關(guān)鍵．15．（2025?涼山州）下列說法正確的是（）A．若|a|＝|b|，則a＝b B．若am＜bm，則a＜b C．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形 D．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧【考點(diǎn)】垂徑定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；正方形的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】C【分析】互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值也相等，據(jù)此可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有當(dāng)m＞0時(shí)，原式才正確，據(jù)此可判斷B；根據(jù)正方形的判定定理可判斷C；根據(jù)垂徑定理可判斷D．【解答】解；A、若|a|＝|b|，則a＝±b，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、若am＜bm（m＞0），則a＜b，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法正確，符合題意；D、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)，正方形的判定定理，垂徑定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2025?南充）如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個(gè)組合圖形，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，那么矩形的面積是（）A．12 B．83 C．16 D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)矩形和正六邊形的性質(zhì)可得∠ACB＝60°，然后解直角三角形可得AB，AC，BF，DE，從而得到AF=23，AE【解答】解：如圖，∵是正六邊形與矩形疊拼成的一個(gè)組合圖形，且正六邊形的邊長(zhǎng)為2，∴∠BCD＝120°，∠A＝90°，BC＝CD＝2，∴∠ACB＝60°，∴AB=BC×sin∠ACB=2×32=同理BF=3，DE∴AF=23，AE∴矩形的面積是AE×AF=4×23故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形和正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2025?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于點(diǎn)A，OD交⊙O于點(diǎn)C，AE⊥OD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，若CD＝4，則PE+PF的最小值是（）A．4 B．27 C．6 D．【考點(diǎn)】圓周角定理；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，PF，OF，由垂徑定理得AC=CF=BF，進(jìn)而得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得當(dāng)E，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，PE+【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)M，連接PM，PF，OF，∵AE⊥OD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)，∴AC=∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，∴點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M，∴PM＝PF，∴PE+PF＝PE+PM≥EM，當(dāng)E，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，最小值為EM的長(zhǎng)，∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，∴∠D＝30°，∴OD＝2OA，∵CD＝4，∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4，∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OE=1∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握弧、圓心角的關(guān)系，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．18．（2025?重慶）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．100°【考點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】直接利用圓周角定理求解．【解答】解：∵∠AOB和∠C都對(duì)AB，∴∠C=12∠AOB故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．二．填空題（共2小題）19．（2025?長(zhǎng)沙）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，則OA的長(zhǎng)為6．【考點(diǎn)】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】6．【分析】由垂徑定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的長(zhǎng)．【解答】解：∵OC⊥AB于點(diǎn)C，∴AB＝2AC＝2×3＝6，∴OA＝AB＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是由垂徑定理推出AB＝2AC．20．（2025?北京）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，太陽光線GD所在直線經(jīng)過地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為43°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】43．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OFH，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OFI＝90°，進(jìn)而求出∠IFH．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切線，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案為：43．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．3．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．4．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．9．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?0．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．11．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．12．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．13．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．14．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的