對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念①概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a(a底數(shù)，N真數(shù)，log②兩個重要對數(shù)常用對數(shù)以10為底的對數(shù)，log10N自然對數(shù)以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù)，logeN③對數(shù)式與指數(shù)式的互化x=lo對數(shù)式指數(shù)式④結(jié)論(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)(2)lo特別地，lg10=1，lg1=0，lne=12對數(shù)的運(yùn)算如果a>0，a≠1,M>0,N>0,有①loga(MN)=log③logaMn=nlo⑤換底公式lo利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論①logab=1logb特別注意：logaMN≠lo3對數(shù)函數(shù)①對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)②圖像與性質(zhì)圖像a>10<a<1定義域(0,值域R過定點(diǎn)(1,0)奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,+∞在(0,+∞變化對圖像的影響在第一象限內(nèi)，α越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，α越大圖象越靠高．【題型一】對數(shù)的化簡與求值【典題1】求值2【解析】2==log=2?3+1=0．【典題2】若x,y,z∈R+，且3x=4y=12z【解析】令3x則x=log3k=lgklg3(利用換底公式，把數(shù)值化為同底，有利于x+yz求值去掉k∴x+y(∵x+yz∈(n,n+1)∵0<lg3lg4<1∴l(xiāng)g3∵lg4lg3<2,則x=lg3則n=4．鞏固練習(xí)1(★)已知函數(shù)f(x)=&3x(x≤0)【答案】1【解析】∵f(x)=&3x(x≤0)則f[f(12(★)lg22+lg5×lg20+【答案】102【解析】lg2＝lg22=lg2+lg5=1+1+100=102．3(★★)求值:lg8+lg125?lg2?lg5lg10【答案】?4【解析】lg8+lg125?lg2?lg54(★★)求值:2log2【答案】?3【解析】2=1=1＝?3．故答案為：?3．5(★★)若a>1，b>1且lg(1+b【答案】0【解析】∵a>1，b>1且lg(1+b∴1+ba=b∴l(xiāng)g(a?1)+lg(b?1)=lg[(a?1)(b?1)]=lg(ab?a?b+1)=lg1=0．故選：C．6(★★★)已知2a=7b=m，【答案】28【解析】∵2a=7b∵1a+∴m=27故答案為28．7(★★★)已知a>b>1，若logab+logba=5【答案】8【解析】∵log∴1∴2(logba)2∵a>b>1；∴l(xiāng)ogba>1；∴l(xiāng)o又ab∴b2b=bb2；∴b∴ab=8．故答案為：8．【題型二】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典題1】函數(shù)y=logA．B．C．D．【解析】方法1y=log因a>1，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得選B.方法2函數(shù)圖象變換左移1個單位去掉y故選B．【點(diǎn)撥】涉及對數(shù)函數(shù)型的函數(shù)y=f(x)，往往需要得到其圖象，方法有①利用要相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、對稱、翻轉(zhuǎn)變換得其圖象；②利用去掉絕對值得到分段函數(shù)得其圖象.【典題2】設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且2a=log12aA．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c【解析】分別作出四個函數(shù)y=(12)x,y=log12【點(diǎn)撥】①2a=log12a中②函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x【典題3】已知f(x)=&3|log3x|,0<x≤3&(x?4)(x?6),x>3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a<b<c<d，則思考痕跡已知條件f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，相當(dāng)于y=f(x)與一直線y=k相交于四個點(diǎn)，四點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a、b、c、d，所以想到數(shù)形結(jié)合.【解析】先畫出f(x)=&3|log∵a,b,c,d互不相同，不妨設(shè)a<b<c<d．且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c<4．由圖可知log3a=log3∴?log3a=log故abcd=c10?c=?(c?5)由二次函數(shù)的知識可知21<?c∴abcd的范圍為(21,24)．【點(diǎn)撥】遇到分段函數(shù)，經(jīng)常用數(shù)形結(jié)合的方法畫出函數(shù)圖象，注意一些關(guān)鍵的臨界值，比如x=3處.鞏固練習(xí)1(★)已知lga+lgb=0，函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵lga+lgb=0，∴ab=1則b=從而gx∴函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)同增同減結(jié)合選項(xiàng)可知選B，故答案為B2(★)已知圖中曲線C1,C2,C3,C4分別是函數(shù)A．a(chǎn)4<a3C．a(chǎn)2<a【答案】B【解析】選B.由已知圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系，再利用loga3(★★)已知函數(shù)f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，則a+5b的取值范圍是()A．(25，+∞) B．[25，+∞) C．(6,+∞) D．[6,+∞)【答案】C【解析】函數(shù)f(x)=|lnx|?f(x)=?lnx(0<x<1)又因?yàn)?<a<b，故0<a<1，b>1，又知道f(a)=f(b)，∴－lna=lnb，即1a∴設(shè)t=a+5b=a+5∵由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,t在(0,1)上單調(diào)遞減，∴t>1+5=6，即a+5b>6，故選：C．4(★★)已知函數(shù)f(x)=|loga|x?1||(a>0,a≠1)，若x1A．2 B．4C．8 D．隨a值變化【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=|log有圖可知，函數(shù)f(x)=|loga|x－1|又∵x1<則x1故選：B5(★★★)已知函數(shù)f(x)=|log2(x?1)|，A．x1x2<1【答案】C【解析】不妨設(shè)x1作出f(x)和g(x)的圖象，由圖象知x1<2，則f(x則f(x即(x1－1)(x2故選：C．6(★★★)已知函數(shù)f(x)=|log2x|,0<x≤8?14x+5,x>8，若【答案】8,20【解析】根據(jù)已知畫出函數(shù)圖象：不妨設(shè)a<b<c，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－log∴l(xiāng)og2(ab)解得ab=1，8<c<20，∴8<abc<20．故答案為(8,20)．7(★★★)已知函數(shù)f(x)=|log2x|，g(x)=12x，若對任意x∈[a,+∞)，總存在兩個x【答案】[2,+∞)【解析】f(x0)=1g(x)作出f(x)在[12∵對任意x∈[a,+∞)，總存在兩個x0∈[1∴0<2a≤1故答案為[2,+∞)．【題型三】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較對數(shù)式的大小【典題1】已知a=log27,b=log38A．c<b<a B．a(chǎn)<b<c C．b<c<a D．c<a<b【解析】由題意，可知a=log27∵1<log38∴c<b<a．故選A．【典題2】設(shè)a=log23A．b<a<cB．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【解析】∵a=log∴a,b,c的大小關(guān)系為c<b<a．故選D．【典題3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.5A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<c C．b<c<a D．c<a<b【解析】由題意，可知a=log52b=log∴b最大，a、c都小于1，(b,c還比較不出來，進(jìn)一步估值)∵a=log5∴a<c，(引入第三數(shù)12∴a<c<b，故選：A．【點(diǎn)撥】比較對數(shù)的大小，主要是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，具體方法有①把對數(shù)化為同底，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；②若不能化為同底，可對對數(shù)進(jìn)行估值，一般可以與0，1比較大小；③利用第三個數(shù)作為兩個數(shù)字大小比較的過渡.角度2求解對數(shù)型不等式和方程【典題1】方程log2(x?1)=2?【解析】∵log∴l(xiāng)og∴x?1=4x+1，解得檢驗(yàn)得x=?5∴方程log2(x?1)=2?故答案為{5【典題2】不等式log2(x2【解析】log∴0<x2?1<8解得?3<x<?1或1<x<3.【點(diǎn)撥】在處理對數(shù)的方程和不等式時不要忘記了“對數(shù)logax中真數(shù)角度3對數(shù)型函數(shù)綜合問題【典題1】函數(shù)y=log12【解析】∵t=x∴內(nèi)層函數(shù)的值域[8,+∞),而y=log12t在∴函數(shù)y=log12(【點(diǎn)撥】復(fù)合函數(shù)的值域先求內(nèi)層函數(shù)值域再求外層函數(shù).【典題2】已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足fx+2=?f(x)，當(dāng)x∈(0,1]時，fx=2【解析】函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0，由fx+2=?f(x)，可得f(x+2)=f(?x)，∴f(x)的有條對稱軸由fx+2=?f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期(注由以上已知，較容易畫出y=f(x)的圖象，作圖步驟如下①畫fx=2x－1,x∈(0,1)②④由周期T=4可得)作出在同一坐標(biāo)系中畫y=f(x)和g(x)=log注意到g(9)=1,g(?7)>1，(注意一些臨界的位置)從圖象不難看出，其交點(diǎn)個數(shù)7個．【點(diǎn)撥】①遇到函數(shù)綜合性質(zhì)問題(有單調(diào)性，對稱性，周期性等)，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法處理；②fx+a=fx+bfx+a=ffx+a=?ffx+a=1【典題3】設(shè)a>0，b>0，則下列敘述正確的是()A．若lna?2b>lnb?2a，則a>b B．若lna?2b>lnb－2a，則a<bC．若lna?2a>lnb?2b，則a>b D．若lna?2a>lnb－2b，則a<b【解析】方法1構(gòu)造函數(shù)法∵y=lnx與y=2x均為增函數(shù)，故f(x)=lnx+2x在(0,+∞)上為增函數(shù)，故f(a)>f(b)?a>b>0，即lna+2a>lnb+2b?a>b>0，即lna?2b>lnb?2a?a>b>0，故選A．方法2取特殊值排除法對于A、B，令a=1，b=1e，代入lna?2b>lnb?2a得而a>b，此時可排除選項(xiàng)B；對于選項(xiàng)C、D，令a=1，b=e，代入lna?2a>lnb?2b得?2>1?2e顯然成立，而a<b可排除選項(xiàng)C；令a=1，b=1e2，代入lna?2a>lnb?2b得?2>?2?2e故選A．【點(diǎn)撥】①方法1通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx+2x，利用其單調(diào)性進(jìn)行選項(xiàng)判斷.構(gòu)造函數(shù)的方法到了高二還經(jīng)常見，可以先熟悉先！②方法2“取特殊值排除法”，在取數(shù)時一定要滿足題目要求，盡量取容易計(jì)算的數(shù)值，要大膽嘗試，能排除一個是一個.【典題4】已知函數(shù)f(x)=log3(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)當(dāng)x∈[?12,12【解析】(1)要使函數(shù)f(x)=log自變量x須滿足1?x1+x>0，解得故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)；(2)由(1)得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f?x故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；(3)當(dāng)x∈[－12，12(注函數(shù)圖象如右圖，由y=2故u(x)=1?x1+x在[?又∵g(x)=f(x)=log故g(x)∈[?1,1]，故函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇?1,1]．【點(diǎn)撥】①遇到形如fx=a?gx+bc?gx②求復(fù)合函數(shù)的值域，要分清楚內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，分別對它們的單調(diào)性進(jìn)行分析再求值域，函數(shù)的定義域優(yōu)先考慮.【典題5】設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域的一個子集，若存在x0∈D，使得則稱x0是f(x)的一個“準(zhǔn)不動點(diǎn)”，也稱f(x)在區(qū)間D已知f(x)=log12(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的準(zhǔn)不動點(diǎn)；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在準(zhǔn)不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a=1時，可得fx=log可得4x+2x?1=當(dāng)a=1，函數(shù)f(x)的準(zhǔn)不動點(diǎn)為x0=0．(2)方法1由定義可得方程log12即方程4x+a?2x?1=2令2x=t，x∈[0,1]，則那問題(?)轉(zhuǎn)化為方程t2+a?1t?1=0在令gt=t所以y=gt在[1,2]上與x則只需要g1g2(一元二次方程根的分布問題，注意數(shù)形結(jié)合分析)要使t2其對稱軸x=?a2，在1≤t≤2上是遞增的，當(dāng)t=1時最小值，可得綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，1]．方法2與方法1同樣得到方程t2+a?1t?1=0在即a=1?t+1t在t∈[1,2]上有解，且a>1由?t=1?t+1t在t∈[1,2]上顯然是減函數(shù)，其值域?yàn)橛蒬t=1t?t在t∈[1,2]綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1]．【點(diǎn)撥】①在第二問中不要漏了4x②第二問的方法1是采取了“二次方程根的分布問題”的處理技巧，注意結(jié)合二次函數(shù)圖象進(jìn)行思考；方法2是采取分離參數(shù)法轉(zhuǎn)而求最值,鞏固練習(xí)1(★)若a=logA．c<b<a B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【答案】D【解析】log2∴b<a<c．故選：D．2(★★)設(shè)a=logA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b【答案】A【解析】a=log12c=l