第3章傳統(tǒng)穩(wěn)健波束形成算法

3.1對(duì)角加載穩(wěn)健波束形成算法3.2特征空間穩(wěn)健波束形成算法3.3

LCMV波束形成器3.4協(xié)方差矩陣銳化（CMT）3.1對(duì)角加載穩(wěn)健波束形成算法

3.1.1算法描述

基于對(duì)角加載技術(shù)的穩(wěn)健波束形成算法在許多文獻(xiàn)中都被建模為如下的最優(yōu)化問(wèn)題：(3.1-1)即該算法通過(guò)對(duì)加載量電平σ2L的控制來(lái)增加人工白噪聲的方差，。

該最優(yōu)化問(wèn)題也可以仿照MVDR波束形成算法的求解思路和方法，即利用Lagrange乘數(shù)方法進(jìn)行求解，而且有(3.1-2)其中(3.1-3)表示加載協(xié)方差矩陣，I為單位矩陣，而σ2L為加載因子（或稱(chēng)為加載電平），用于控制加載量。對(duì)角加載電平是通過(guò)加載噪聲比（LNR）來(lái)度量的，且LNR的定義如下所示：

(3.1-4)

其中σ2L為加載電平（每陣元），而σ2n為每個(gè)陣元級(jí)的熱噪聲功率。一種在信號(hào)處理中的經(jīng)驗(yàn)選擇方法是選擇加載電平高于背景噪聲的（5～10）dB，即

10logσ2L=10logσ2n+η

(3.1-5)

其中η

為用戶(hù)定義的門(mén)限電平，并用相對(duì)于背景噪聲的dB形式進(jìn)行表示，即該式隱含著η=LNR。3.1.2性能分析

1.對(duì)角加載對(duì)檢測(cè)概率的影響

相對(duì)于輸出噪聲功率進(jìn)行歸一化，可得如下的最優(yōu)群不變檢驗(yàn)：(3.1-6)

現(xiàn)在令(3.1-7)(3.1-8)將上面的轉(zhuǎn)換式（3.1-7)和式（3.1-8)代入式（3.1-6）中，檢驗(yàn)量y

將變成：這樣，檢驗(yàn)量等于白化觀察數(shù)據(jù)x在單位白化導(dǎo)向矢量s上的投影。在式（3.1-8）中，x服從正態(tài)分布，而ssH為秩1的投影矩陣。因此，檢驗(yàn)量y

服從非中心卡平方分布χ2N(ρN)，其中非中心參數(shù)ρN為檢測(cè)器的廣義輸出信噪比，而且由下式給出：(3.1-10)因此，在假設(shè)H1下，檢驗(yàn)量y

的條件概率密度函數(shù)（PDF）為其中:I0(·)為第一類(lèi)零階修正Bessel函數(shù);U(·)表示單位階躍函數(shù)。如果令式(3.1-11)中的ρN等于零，則可得在H0假設(shè)下，檢驗(yàn)量y

的條件概率密度函數(shù)（PDF）為(3.1-11)(3.1-12)在已知導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣的條件下，虛警概率PFAN和檢測(cè)概率PDN分別由下述兩式給出：其中門(mén)限TN為對(duì)于給定虛警概率的檢測(cè)門(mén)限，而且由下式給出：(3.1-15)利用樣本協(xié)方差矩陣的特征分解（EVD）結(jié)果可得(3.1-16)因此，非中心參數(shù)ρN可以表示為(3.1-17)對(duì)于對(duì)角加載應(yīng)用，非中心參數(shù)ρDLN可由下式給出：(3.1-18)由于λi≥0（i=1,…，N），而且σ2L>0，所以非中心參數(shù)ρDLN<ρN。對(duì)于非中心卡平方分布，若非中心參數(shù)減小，則概率密度曲線(xiàn)的峰點(diǎn)升高，而且向左移動(dòng)。

2.對(duì)角加載對(duì)信噪比的影響

為了分析對(duì)角加載對(duì)波束形成器輸出信噪比的影響，應(yīng)該首先得到輸出信號(hào)中的有用信號(hào)和無(wú)用噪聲。為了分析方便，應(yīng)用復(fù)加權(quán)輸出，即y=wHx。

利用樣本協(xié)方差矩陣的特征分解結(jié)果，波束形成器輸出可以表示為(3.1-19)在式(3.1-19)中，vHix表示x和vi的內(nèi)積（i=1,…，N)，即x在vi上的投影；sHvi表示s和vi的內(nèi)積（i=1,…，N），

即vi在s上的投影。由于λ1≥λ2≥…≥λN>0，假設(shè)λ1，…，λk為信號(hào)子空間所對(duì)應(yīng)的特征值，即v1,…,vk

張成信號(hào)子空間，即s在v1,…，

vk上的投影為有用信號(hào)部分，而其余部分為干擾和噪聲的輸出部分。定義輸出的信噪比如下式所示：(3.1-20)同理，基于對(duì)角加載的輸出SNR為(3.1-21)對(duì)式（3.1-21）進(jìn)行變形，可得(3.1-22)要證明，只要證明即可。而該關(guān)系式必然滿(mǎn)足，這是因?yàn)?3.1-23)3.1.3仿真分析

1.對(duì)角加載對(duì)輸出信噪比的影響分析

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，即驗(yàn)證對(duì)角加載對(duì)輸出信噪比和檢測(cè)概率的影響，圖3.1-1～圖3.1-4分別給出了波束形成器輸出信號(hào)的時(shí)域和頻域波形，為了便于比較，圖中的曲線(xiàn)分別進(jìn)行了歸一化處理。圖3.1-1波束形成器的輸出信號(hào)時(shí)域波形（無(wú)信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）圖3.1-2波束形成器的輸出信號(hào)時(shí)域波形（有信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）圖3.1-3波束形成器的輸出信號(hào)頻域波形（無(wú)信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）圖3.1-4波束形成器的輸出信號(hào)頻域波形（有信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）

2.對(duì)角加載對(duì)波束形成器方向圖的影響分析

圖3.1-5和圖3.1-6分別給出了對(duì)角加載對(duì)波束形成器的方向圖影響分析，其中的加載因子選取為最大特征值。圖3.1-5給出了無(wú)信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)條件下波束形成器的方向圖，盡管對(duì)角加載對(duì)波束的指向改善不是很明顯，但是有效地降低了旁瓣電平。圖3.1-6給出了有信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)條件下波束形成器的方向圖，顯然對(duì)角加載對(duì)波束的指向性能具有一定的改善，同時(shí)也降低了旁瓣電平。圖3.1-5波束形成器的方向圖比較（無(wú)信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）圖3.1-6波束形成器的方向圖比較（有信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）為了分析加載電平對(duì)波束形成器性能的影響，圖3.1-7和圖3.1-8分別給出了加載電平對(duì)波束形成器的方向圖影響分析。其中加載電平的取值范圍為零到最大特征值的兩倍。從圖3.1-7可以看出，隨著加載電平的變化，波束指向的變化不明顯；但是隨著加載電平的增加，旁瓣電平逐漸降低。圖3.1-7加載電平對(duì)波束形成器方向圖的影響（無(wú)信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）圖3.1-8加載電平對(duì)波束形成器方向圖的影響（有信號(hào)訓(xùn)練數(shù)據(jù)）

3.2特征空間穩(wěn)健波束形成算法

3.2.1主分量波束形成算法

為了理論分析簡(jiǎn)單，考慮具有N個(gè)陣元的均勻線(xiàn)陣（uniformlineararray），P個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)分別從θ1、θ2、…、θP方向入射到天線(xiàn)陣列，因此第n個(gè)陣元的接收信號(hào)可以表示為(3.2-1)其中：si(t)表示第i個(gè)空間輻射信號(hào)，而且其對(duì)應(yīng)的方位角為θi（i=1,…,P），假設(shè)P個(gè)信號(hào)為不相關(guān)的，而且為零均值高斯隨機(jī)過(guò)程，且第i個(gè)信號(hào)的功率為σ2i；an(θi)=exp{jπ(n－1)sin(θi)}表示單位幅度信號(hào)從方位角θi達(dá)到陣列的第i個(gè)陣元上的陣列響應(yīng)，假設(shè)第一個(gè)陣元為參考陣元；nn(t)（n=1,…,N）為接收陣元的空間白高斯噪聲，且均值為零，方差為σ2n。

如果利用矢量的形式進(jìn)行表示，可得(3.2-2)其中：第i個(gè)信號(hào)的陣列響應(yīng)矢量為A(θi)=［a1(θi),a2(θi),…,aM(θi)］T，噪聲矢量為N(t)=［n1(θi),n2(θi),…,nM(θi)］T，信號(hào)源矢量為s(t)=［s1(t),s2(t),…,sP(t)］T，而信號(hào)源的陣列響應(yīng)矩陣為As=［A(θ1),A(θ2),…,A(θP)］。故x(t)的相關(guān)矩陣可以表示為其中：Ψs=diag{σ21,σ22,…,σ2P}；IN為N×N維的單位矩陣（identitymatrix）。如果令由X(t)張成的信號(hào)子空間（SignalSubspace，SS）和噪聲子空間（NoiseSubspace，NS）分別表示為Πs=range{As}和Πn=Πs，即Πn為Πs的補(bǔ)子空間（complementsubspace），假定信號(hào)源總數(shù)P<N，則對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，可得(3.2-4)其中：λ1≥λ2≥…≥λP+1=…=λN=σ2n為協(xié)方差矩陣R的特征值（eigenvalue）；ei表示相對(duì)于特征值λi的特征矢量（eigenvector）（i=1,…,N）；且Es=［e1,e2,…，eP］和En=［eP+1,eP+2,…，eN］相互正交，并分別張成對(duì)應(yīng)于協(xié)方差矩陣R的信號(hào)子空間和噪聲子空間；Λs=diag{λ1,λ2,…,λP}，

Λn=σ2nIN-P。因此，對(duì)于導(dǎo)向矢量sd，基于特征子空間的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器的最優(yōu)加權(quán)矢量為(3.2-5)其中假設(shè)導(dǎo)向矢量正確，即sd完全存在于信號(hào)子空間Es中。將上式利用每個(gè)特征值和特征矢量表示，可得(3.2-6)如果省略最優(yōu)權(quán)矢量中的常數(shù)項(xiàng)，則可得(3.2-7)3.2.2投影波束形成算法

定義一個(gè)投影的導(dǎo)向矢量為(3.2-8)基于投影方法（projectionmethod）的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器（PMB）的最優(yōu)加權(quán)矢量為(3.2-9)為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，通常省略常數(shù)因子vHR－1xv，因此可得(3.2-10)利用信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交性可得(3.2-11)即基于投影方法的穩(wěn)健算法和基于特征子空間的穩(wěn)健算法在本質(zhì)上是相同的，盡管表達(dá)形式不同，但是具有相同性能，即具有相同的穩(wěn)健性。3.2.3互譜特征子空間波束形成算法

MPDR波束形成器的設(shè)計(jì)原則是在無(wú)畸變約束條件下，使輸出功率最小。其中的無(wú)畸變約束條件為

wHs=1

(3.2-12)

結(jié)果得到的權(quán)矢量為

(3.2-13)

因此，輸出功率為(3.2-14)利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征分解表達(dá)式，可得(3.2-15)為了保持有Pc個(gè)特征矢量作為降秩的子空間的基，可以選擇在求和式中的最大的Pc個(gè)項(xiàng)，即此處的特征值和特征矢量中采用了下標(biāo)“（n）”，這是因?yàn)橄聵?biāo)n和已經(jīng)按照大小排序的特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量相聯(lián)系。(3.2-16)定義一個(gè)N×Pc矩陣ECS，該矩陣的列是在式（3.2-16)中選擇的Pc個(gè)特征矢量，然后在降秩的空間中應(yīng)用MPDR

波束形成器，即可得互譜波束形成器（crossspectrumbeamformer）的最優(yōu)加權(quán)矢量：(3.2-17)3.2.4主模式抑制波束形成算法

主模式抑制波束形成算法是增強(qiáng)型MPDR波束形成器的特殊情況，是由Abraham和Owsley提出的?？紤]數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征分解，并把結(jié)果分成兩項(xiàng)，即(3.2-18)其中假設(shè)特征值和特征矢量已經(jīng)經(jīng)過(guò)排序，即λ1≥λ2≥…≥λN，后面將會(huì)討論參數(shù)PM。利用N－PM個(gè)小特征值的平均值來(lái)代替這些特征值，形成一個(gè)修正的協(xié)方差矩陣，其中定義(3.2-19)當(dāng)然也可以利用下面的表達(dá)式來(lái)確定α，即(3.2-20)該式的優(yōu)點(diǎn)在于僅需要計(jì)算出PM個(gè)最大的特征值。因此，如果信號(hào)模型由一個(gè)平面波信號(hào)加上PM－1個(gè)平面波干擾組成，且存在空間不相關(guān)的噪聲（σ2nI），則當(dāng)統(tǒng)計(jì)量已知時(shí)，有

α=σ2n(3.2-21)

但是，當(dāng)利用有限的接收陣列數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)R時(shí)，或者在有空間相關(guān)的背景噪聲的情況下，則有α≠σ2n。修正的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為(3.2-22)因此，可以把主模式子空間（dominantmodesubspace）用一個(gè)N×PM的矩陣來(lái)表示：

EDM=［e1,e2,…，ePM］(3.2-23)正交的噪聲子空間為

E⊥DM=［ePM+1,ePM+2,…，eN］(3.2-24)故修正的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以重新表示為(3.2-25)通常把和PM個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量稱(chēng)為主模式（dominantmode）。它們是由信號(hào)、平面波干擾和空間擴(kuò)展干擾組成的相比于前面的降秩矩陣，此處的修正數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R是滿(mǎn)秩的，即通過(guò)特征值變換，并沒(méi)有降秩。因此可得R的逆矩陣為～～(3.2-26)其中P⊥DM是向正交于EDM的子空間進(jìn)行投影的投影矩陣，即e⊥DM的投影矩陣，同樣有(3.2-27)因此，可得主模式穩(wěn)健波束形成算法的最優(yōu)加權(quán)矢量為(3.2-28)從以上分析可得，對(duì)于sd完全包含于DM子空間中的特殊情況，在統(tǒng)計(jì)量已知，沒(méi)有信號(hào)失配，且PM已知的條件下，將會(huì)出現(xiàn)這種情況，即(3.2-29)因此上面的最優(yōu)權(quán)矢量表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為(3.2-30)3.2.5信號(hào)子空間及其維數(shù)的確定

根據(jù)前面的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征分解結(jié)果，假設(shè)了特征值和特征矢量將按照下述的降序形式排列，即

λ1≥λ2≥…≥λN

(3.2-31)

將按照降序排列的特征值模的平方用對(duì)數(shù)坐標(biāo)畫(huà)出，由于曲線(xiàn)的形狀類(lèi)似于字母“L”，因此稱(chēng)該曲線(xiàn)為L(zhǎng)-曲線(xiàn)，并用明確的膝點(diǎn)來(lái)表示噪聲和其它信號(hào)的特征值分界點(diǎn)。3.2.6特征子空間波束形成算法的性能分析

陣列輸出端信號(hào)功率與干擾加噪聲功率之比，即(3.2-32)其中w為最優(yōu)加權(quán)矢量，sd為有用信號(hào)導(dǎo)向矢量，σ2s為該有用信號(hào)功率，Ri,n為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。將干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣Ri,n用樣本協(xié)方差矩陣R代替，可以得到一種新的統(tǒng)計(jì)量，稱(chēng)為廣義SINR，簡(jiǎn)記為GSINR，即(3.2-33)如果令Rs=σ2ssdsHd表示有用信號(hào)的協(xié)方差矩陣，則有

R=Rs+Ri,n(3.2-34)即樣本協(xié)方差矩陣等于有用信號(hào)協(xié)方差矩陣Rs與干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Ri,n之和。因此可得SINR(output)和GSINR(output)之間的關(guān)系為(3.2-35)由于SINR(output)和GSINR(output)均取非負(fù)值，因此兩者具有相同的單調(diào)關(guān)系式，只是兩者的變化率不同而已，而且具有如下的關(guān)系式：(3.2-36)其中［·］′表示求導(dǎo)運(yùn)算。假設(shè)在求解加權(quán)矢量時(shí)，選取的信號(hào)子空間維數(shù)為M,

即最優(yōu)加權(quán)矢量為(3.2-37)其中利用特征矢量之間的正交性，可得(3.2-38)(3.2-39)顯然，wHsd=wHRw，因此有(3.2-40)由于前面在求解最優(yōu)權(quán)矢量時(shí)假設(shè)了導(dǎo)向矢量sd存在于信號(hào)子空間Es中，為了分析方便，令(3.2-41)其中a1,a2,…,aP為sd在基e1,e2,…,eP下的坐標(biāo)。因此GSINR(output)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為(3.2-42)3.2.7仿真分析

1.子空間維數(shù)獲取方法和性能分析的正確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證子空間及其維數(shù)獲取方法的正確性和有效性，圖3.2-1給出了樣本協(xié)方差矩陣特征值的分布曲線(xiàn)。顯然，信號(hào)和干擾所對(duì)應(yīng)的特征值比較大，噪聲所對(duì)應(yīng)的特征值比較小，而其分布相對(duì)比較集中。圖3.2-1樣本協(xié)方差矩陣特征值的分布曲線(xiàn)圖3.2-2給出了GSINR相對(duì)于子空間維數(shù)的變化曲線(xiàn)。顯然，當(dāng)選取的信號(hào)加干擾子空間維數(shù)小于真實(shí)值時(shí)，

隨著子空間維數(shù)選取值的遞增，GSINR先遞增。圖3.2-2GSINR相對(duì)于子空間維數(shù)的變化曲線(xiàn)

2.導(dǎo)向矢量失配條件下的算法穩(wěn)健性分析

為了分析算法在導(dǎo)向矢量失配時(shí)的穩(wěn)健性，圖3.2-3給出了ESB算法方向圖。為了便于比較分析，其中給出了理想條件下的樣本矩陣求逆（SMI）算法的處理結(jié)果，并標(biāo)注為Ideal-SMI，基于特征子空間的自適應(yīng)波束形成算法簡(jiǎn)記為ESB。圖3.2-3特征子空間波束形成算法方向圖波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對(duì)于樣本數(shù)量的變化如圖3.2-4所示。如果σ2s為信號(hào)功率，s為信號(hào)導(dǎo)向矢量，Ri,n為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣，而w為加權(quán)矢量，則由第1章的定義可知，陣列輸出信噪比為(3.2-43)如果利用R表示陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，則有(3.2-44)故式(3.2-43)可變形為(3.2-45)在仿真中利用陣列采樣數(shù)據(jù)很難獲得理想的Ri,n，然而樣本協(xié)方差矩陣R可以利用最大似然估計(jì)輕松獲取，因此可以利用式（3.2-45)計(jì)算陣列輸出SNR。為了簡(jiǎn)化，通常令σ2s=1，則式(3.2-45)的計(jì)算將更加簡(jiǎn)單，即(3.2-46)由圖3.2-4可以看出，其中ESB的SNR接近于Ideal-SMI，這是由于ESB的方向圖準(zhǔn)確地指向了信號(hào)的真實(shí)方向，而SMI的SNR最低，則是由于SMI的主瓣指向具有一定的偏差。圖3.2-4輸出SNR相對(duì)于樣本數(shù)量的變化波束形成算法的輸出SNR相對(duì)于信號(hào)方向失配的變化

如圖3.2-5所示。當(dāng)失配角度在［－7°,7°］的范圍之內(nèi)變化時(shí)，相對(duì)于SMI，ESB具有較高的SNR，而且接近于

Ideal-SMI。ESB的SNR高于SMI是由于ESB具有更準(zhǔn)確的波束指向。圖3.2-5輸出SNR相對(duì)于信號(hào)指向失配角的變化圖3.2-6給出了ESB輸出SNR相對(duì)于子空間維數(shù)的變化曲線(xiàn)。顯然，當(dāng)選擇的子空間及其維數(shù)小于真實(shí)值時(shí)，隨著選擇子空間維數(shù)的增加，輸出SNR也隨之增加；反之，當(dāng)選擇的子空間及其維數(shù)大于其真實(shí)值時(shí)，隨著選擇子空間維數(shù)的增加，輸出SNR逐漸減小；當(dāng)選擇的信號(hào)加干擾子空間維數(shù)等于陣列自由度時(shí)，ESB變?yōu)镾MI算法。圖3.2-6輸出SNR相對(duì)于子空間維數(shù)的變化3.3LCMV波束形成器

前面在介紹最小方差無(wú)畸變波束形成器時(shí)，應(yīng)用了一個(gè)線(xiàn)性約束，即

wHs=1(3.3-1)

其中s為有用信號(hào)的導(dǎo)向矢量，而w為波束形成器的加權(quán)矢量。本節(jié)將有用信號(hào)的無(wú)失真響應(yīng)等式約束條件推廣為利用一個(gè)N×Mc的約束矩陣C來(lái)定義一組線(xiàn)性約束條件，其中該矩陣的各列矢量是線(xiàn)性獨(dú)立的，即具有如下的形式：

CHw=g(3.3-2)

其中C稱(chēng)為約束矩陣，而g稱(chēng)為約束值矢量。因此，LCMV波束形成器是在該式的約束下，使下式的干擾和噪聲輸出功率最小：

Pn=wHRi,nw(3.3-3)

而LCMP波束形成器是在該式的約束下，使下式的波束形成器輸出功率最?。?/p>

Po=wHRxw(3.3-4)3.3.1典型約束條件

1.無(wú)畸變約束條件

如同前面介紹的，如果對(duì)某一空間信號(hào)感興趣，則當(dāng)其所對(duì)應(yīng)的陣列流型矢量為s時(shí)，要滿(mǎn)足條件：

wHs=1

(3.3-5)

該條件保證了導(dǎo)向矢量為s的信號(hào)將無(wú)畸變地通過(guò)濾波器。然而在實(shí)際應(yīng)用中信號(hào)的理想導(dǎo)向矢量sd往往不同于模型假設(shè)的值s，即存在一定的導(dǎo)向矢量失配。

一般情況下，如果令ci表示約束矩陣C的第i個(gè)約束條件，除非特別聲名，總是假定第一個(gè)約束條件是無(wú)畸變約束，即

c1=s

(3.3-6)

2.方向性約束條件

與無(wú)畸變響應(yīng)約束相類(lèi)似，一般的方向性約束條件為

wHs(θi)=gi，i=1,2,…,M0

(3.3-7)

其中s(θi)表示方向角為θi處的導(dǎo)向矢量，而gi為約束的復(fù)數(shù)值。在信號(hào)方向兩邊增加兩個(gè)約束條件：

wHs(θd－Δθ)=1(3.3-8)

wHs(θd+Δθ)=1(3.3-9)

其中Δθ表示方向角擴(kuò)展量。如果用矩陣符號(hào)表示，則約束矩陣是一個(gè)N×3矩陣：(3.3-10)(3.3-11)(3.3-1２)而且滿(mǎn)足還有一種選擇約束值的方法是，盡可能匹配常規(guī)波束方向圖的形狀，因此當(dāng)信號(hào)失配的程度不同時(shí)，選擇其他約束值可能會(huì)更加合適，即(3.3-13)其中Bc(θd－Δθ,θd)表示常規(guī)波束方向圖指向θd－Δθ,

在方向θd處的方向圖增益為1，而B(niǎo)c(θd+Δθ,θd)的意義同Bc(θd－Δθ,θd)。為了考慮失配是對(duì)稱(chēng)的情況，可以采用下面的約束值：(3.3-14)其中：(3.3-15)

3.零點(diǎn)約束條件

如果接收數(shù)據(jù)中存在從已知方向入射的干擾信號(hào)，則利用零點(diǎn)約束條件是比較合適的。在這種情況下，有

wHs(θi)=0,i=2,…,M0

(3.3-16)

其中s(θi)(i=2,…,M0)表示方向角為θi的干擾導(dǎo)向矢量。同樣，利用矩陣符號(hào)表示可得(3.3-17)(3.3-18)對(duì)于MVDR波束形成器，只有當(dāng)干擾和噪聲的功率之比σ2I/σ2n趨近于無(wú)窮大時(shí)，波束形成器的方向圖才能對(duì)方向性干擾形成一個(gè)完全的零點(diǎn)。

所以，可以采用如下的改進(jìn)約束條件：

wHs(θi)=εi,i=2,…,M0

(3.3-19)

其中εi的取值和相應(yīng)的σ2I/σ2n有關(guān)。如果以線(xiàn)性陣列為例，且假設(shè)場(chǎng)景中存在單個(gè)干擾源，則可以施加三個(gè)約束條件，即

CI=［s(θI),s(θI－Δθ),s(θI+Δθ)］(3.3-20)

其中CI為約束矩陣C中的零點(diǎn)約束部分，且(3.3-21)

4.導(dǎo)數(shù)約束條件

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)陣，其復(fù)數(shù)波束方向圖為

B(ω)=wHsω(ω)

(3.3-22)

其中ω為空間頻率。對(duì)式(3.3-22)求導(dǎo)，可得(3.3-23)其中導(dǎo)向矢量導(dǎo)數(shù)dω(ω)的元素為(3.3-24)式中，利用了對(duì)稱(chēng)的標(biāo)號(hào)表示方法。注意dω(ω)是反對(duì)稱(chēng)的。二階導(dǎo)數(shù)為(3.3-25)其中，利用對(duì)稱(chēng)的標(biāo)號(hào)時(shí)，導(dǎo)向矢量二階導(dǎo)數(shù)dω(ω)的元素為·(3.3-26)當(dāng)然，方向圖也可以利用方位角θ表示，有(3.3-27)(3.3-28)式中，利用了對(duì)稱(chēng)的標(biāo)號(hào)表示方法：(3.3-29)3.3.2最優(yōu)LCMV波束形成器

對(duì)于Mc個(gè)線(xiàn)性約束條件，約束方程可以表示為

CHw=g

(3.3-30)

其中w為N×1維的加權(quán)矢量，C為N×Mc維的約束矩陣，

g為Mc×1維的約束值矢量，而N為傳感器數(shù)量。對(duì)于第一種情況，在滿(mǎn)足式(3.3-30)的約束條件下，使得干擾和噪聲產(chǎn)生的輸出最小，即有如下最優(yōu)化問(wèn)題：(3.3-31)把這種情況稱(chēng)為線(xiàn)性約束最小方差（LCMV）波束形成器。在第二種情況下，同樣在滿(mǎn)足式（3.3-30)的線(xiàn)性約束條件下，使得輸出的功率最小，即(3.3-32)同樣，把這種情況稱(chēng)為線(xiàn)性約束最小功率（LCMP）波束形成器。這兩個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題可以利用Lagrange乘數(shù)方法進(jìn)行求解。第一種情況的最小化函數(shù)為(3.3-33)其中λ為Mc×1維的Lagrange乘數(shù)矢量，這是因?yàn)樵撟顑?yōu)化問(wèn)題采用了Mc個(gè)約束條件。對(duì)J(w)求關(guān)于w的復(fù)導(dǎo)數(shù)，并令結(jié)果為零，可得

Ri,nw+Cλ=0

(3.3-34)即有

w=－R－1i,nCλ

(3.3-35)

將所求的權(quán)矢量w代入約束條件中，可得

－CHR－1i,nCλ=g

(3.3-36)

解之，可得Lagrange乘數(shù)矢量λ為

λ=－(CHR－1i,nC)－1g

(3.3-37)將式（3.3-37)帶入上面獲得的權(quán)矢量w表達(dá)式中，可得第一種情況下的最優(yōu)加權(quán)矢量表達(dá)式：

w=R－1i,nC(CHR－1i,nC)－1g(3.3-38)

由于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Ri,n是滿(mǎn)秩的，同時(shí)約束矩陣

C的列又是滿(mǎn)秩的，所以式(3.3-38)中的求逆處理是可以保證存在的。3.3.3廣義旁瓣對(duì)消器

約束子空間是由一個(gè)N×Mc的矩陣C的列矢量定義的，而正交子空間是由一個(gè)N×(N－Mc)矩陣B的列矢量所定義的。B的列矢量是線(xiàn)性獨(dú)立的，所以每個(gè)列正交于C矩陣的每個(gè)列。故有

CHB=0(3.3-40)

其中0為一個(gè)Mc×(N－Mc)的零矩陣。首先，假設(shè)LCMP的最優(yōu)權(quán)矢量是已知的，即有

w0=w=R－1xC(CHR－1xC)－1g(3.3-41)

下面將處理器分解為兩個(gè)正交的分量，且具有如下的表達(dá)式：

w0=wc－wp

(3.3-42)

其中wc定義為w0向約束子空間的投影，而wp是w0向B的

投影。根據(jù)投影理論，向約束子空間的投影矩陣為

PC=C(CHC)－1CH(3.3-43)

且有

wc=PCw0(3.3-44)

如果將w0和PC的表達(dá)式代入式（3.3-44)，可得

wc=C(CHC)－1CH·R－1xC(CHR－1xC)－1g(3.3-45)

化簡(jiǎn)可得

wc=C(CHC)－1g(3.3-46)顯然，該式與Rx無(wú)關(guān)。因此在上面的w0權(quán)矢量分解中，

wc是w0的靜態(tài)分量。如果輸入是白噪聲，則有

w0=wc(3.3-47)

同樣，w0的第二個(gè)分量wp可以寫(xiě)成：

wp=B(BHB)－1BHw0=P⊥Cw0(3.3-48)

其中P⊥C表示C的正交補(bǔ)空間。因此有

wp=B(BHB)－1BH·R－1xC(CHR－1xC)－1g(3.3-49)圖3.3-1LCMP波束形成器的分解形式當(dāng)陣列接收數(shù)據(jù)為x(t)時(shí)，有

yb(t)=wHpx(t)

(3.3-50)

即yb(t)是把x(t)和B的子空間中包含的一個(gè)矩陣相乘得到

的。因而可以將分解形式的下支路分成如圖3.3-2所示的兩個(gè)部分。圖3.3-2阻塞矩陣和自適應(yīng)矩陣的級(jí)聯(lián)從圖3.3-2可以看出，第一個(gè)處理器對(duì)x(t)進(jìn)行處理得到一個(gè)(N－Mc)×1的矢量，由于CHB=0，故B的輸出并不包

含C空間的任何分量。因此，通常將B稱(chēng)為一個(gè)阻塞矩陣。由于第二個(gè)矩陣是對(duì)(N－Mc)×1的矢量進(jìn)行操作，因此得到y(tǒng)b(t)。其中wa可以利用上面的wp表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，即

wa=(BHB)－1BH·R－1xC(CHR－1xC)－1g(3.3-51)

顯然，該矩陣是隨著接收數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)變化的。將圖3.3-1和圖3.3-2結(jié)合起來(lái)，將得到如圖3.3-3所示的實(shí)現(xiàn)形式，它通常被稱(chēng)為廣義旁瓣對(duì)消器，這是因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)類(lèi)似

于經(jīng)典的旁瓣對(duì)消器。圖3.3-3廣義旁瓣對(duì)消器由于上面的處理器準(zhǔn)確地滿(mǎn)足了約束條件，而下面的處理器正交于C，所以對(duì)約束條件沒(méi)有影響，輸出功率為

Po=(wc－Bwa)HRx(wc－Bwa)(3.3-52)

對(duì)該式求關(guān)于wa的梯度，并令結(jié)果為零，可得

BHRx(wc－Bwa)=0(3.3-53)

化簡(jiǎn)可得

wa=(BHRxB)－1BHRxwc(3.3-54)構(gòu)造B的一個(gè)方法是確定P⊥C，即

P⊥C=I－C(CHC)－1CH(3.3-55)

該矩陣是N×N維的。然后對(duì)P⊥C進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化處理，并選擇標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣的前N－Mc個(gè)列矢量。結(jié)果得到的矩陣B滿(mǎn)足下面的Hermitarn性質(zhì)：

BHB=I(3.3-56)

該式意味著Rx的白噪聲經(jīng)過(guò)B后產(chǎn)生的分量也是白噪聲，方差也為σ2n。3.3.4LCMV波束形成器的性能分析

通常，波束形成器的輸出信號(hào)功率為

Ps=σ2s|wHsd|2(3.3-57)

其中σ2s為信號(hào)的平均功率。輸出的噪聲功率為

Pn=|wHRi,nw|=σ2n|wHρi,nw|(3.3-58)

其中σ2n為噪聲的平均功率，而ρi,n=Ri,n/σ2n表示利用噪聲平均功率歸一化后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，其中包含了白噪聲和任何加性干擾。因此陣列增益為(3.3-59)如果約束條件中只包含了一個(gè)無(wú)畸變約束，則式(3.3-59)中的分子為1，且陣列增益為

Ao=|wHρi,nw|－1(3.3-60)輸出的SNRo為

(3.3-61)由于在Ri,n和ρi,n中已經(jīng)包含了干擾，故將式（3.3-61）稱(chēng)為輸出SNR。

對(duì)于LCMV波束形成器，如果將

代入上面的陣列增益Ao表達(dá)式，可得(3.3-62)對(duì)于LCMP波束形成器，將

代入上面的陣列增益Ao表達(dá)式，可得(3.3-63)所以有(3.3-64)3.3.5仿真分析

1.基本性能的分析與比較

為了分析LCMV和LCMP兩種波束形成算法的基本性能，圖3.3-4給出了理想條件下的LCMV和LCMP方向圖。為了方便比較，圖3.3-5給出了理想條件下的MVDR和MPDR方向圖。圖3.3-4理想條件下的LCMV和LCMP方向圖圖3.3-5理想條件下的MVDR和MPDR方向圖圖3.3-6和圖3.3-7分別給出了LCMV和LCMP的輸出信噪比相對(duì)于輸入信噪比和干噪比的變化曲線(xiàn)。顯然，隨著輸入信噪比的增加，輸出信噪比線(xiàn)性增加；而干擾功率對(duì)波

束形成算法的影響較小，這是因?yàn)樵诶硐霔l件下，即協(xié)方差準(zhǔn)確已知時(shí)，波束形成算法具有良好的干擾抑制能力。圖3.3-6LCMV和LCMP的輸出信噪比相對(duì)于輸入信噪比的變化曲線(xiàn)圖3.3-7LCMV和LCMP的輸出信噪比相對(duì)于輸入干噪比的變化曲線(xiàn)圖3.3-8和圖3.3-9分別給出了LCMV和LCMP的方向圖相對(duì)于陣列快拍數(shù)的變化曲線(xiàn)。顯然，隨著陣列快怕數(shù)量的增加，兩種波束形成算法的性能逐漸改善。對(duì)于LCMV波束形成算法，快拍數(shù)量影響不是很明顯，然而對(duì)于LCMP波束形成算法，快拍數(shù)量直接決定算法的性能。圖3.3-8LCMV方向圖相對(duì)于陣列快拍數(shù)的變化曲線(xiàn)圖3.3-9LCMP方向圖相對(duì)于陣列快拍數(shù)的變化曲線(xiàn)為了進(jìn)一步分析陣列快拍數(shù)量對(duì)波束形成算法的影響，圖3.3-10給出了LCMV和LCMP波束形成算法的輸出信噪比相對(duì)于陣列快拍數(shù)的變化曲線(xiàn)。同樣可得出，陣列快拍數(shù)量對(duì)于LCMV影響較小，但是對(duì)于LCMP具有一定的影響。圖3.3-10LCMV和LCMP的輸出信噪比相對(duì)于陣列快拍數(shù)的變化曲線(xiàn)

2.方向性約束的分析與比較

圖3.3-11和圖3.3-12分別給出了LCMV和LCMP波束形成算法的主瓣展寬方向圖，其中應(yīng)用了相同的兩個(gè)附加約束條件，主瓣展寬后的方向圖標(biāo)注為ME-LCMV和ME-LCMP。為了便于比較，還分別給出了標(biāo)準(zhǔn)的LCMV和LCMP波束方向圖。圖3.3-11LCMV的主瓣展寬方向圖圖3.3-12LCMP的主瓣展寬方向圖

3.導(dǎo)數(shù)約束的分析與比較

圖3.3-13和圖3.3-14分別給出了LCMV和LCMP波束形成算法的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階導(dǎo)數(shù)約束方向圖，其中分別標(biāo)注為F-DC-LCMV和F-DC-LCMP。為了便于比較，還給出了標(biāo)準(zhǔn)的LCMV和LCMP波束方向圖。圖3.3-13LCMV的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-14LCMP的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-15和圖3.3-16分別給出了LCMV和LCMP波束形

成算法的信號(hào)導(dǎo)向矢量二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖，其中分別標(biāo)注為S-DC-LCMV和S-DC-LCMP。為了便于比較，還給出了一階導(dǎo)數(shù)約束的LCMV和LCMP波束方向圖，即F-DC-LCMV和F-DC-LCMP。圖3.3-15LCMV的信號(hào)導(dǎo)向矢量二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-16LCMP的信號(hào)導(dǎo)向矢量二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-17和圖3.3-18分別給出了LCMV和LCMP波束形

成算法的信號(hào)導(dǎo)向矢量三階導(dǎo)數(shù)約束方向圖，其中分別標(biāo)注為T(mén)h-DC-LCMV和Th-DC-LCMP。為了便于比較，還給出了二階導(dǎo)數(shù)約束的LCMV和LCMP波束方向圖，即S-DC-LCMV和S-DC-LCMP。圖3.3-17LCMV的信號(hào)導(dǎo)向矢量三階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-18LCMP的信號(hào)導(dǎo)向矢量三階導(dǎo)數(shù)約束方向圖為了進(jìn)一步研究多階導(dǎo)數(shù)約束波束形成算法的性能，圖3.3-19和圖3.3-20分別給出了LCMV和LCMP波束形成算法的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階和二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖，其中分別標(biāo)注為FS-DC-LCMV和FS-DC-LCMP。為了便于比較，還給出了二階導(dǎo)數(shù)約束的LCMV和LCMP波束方向圖，即S-DC-LCMV和S-DC-LCMP。圖3.3-19LCMV的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階和二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖圖3.3-20LCMP的信號(hào)導(dǎo)向矢量一階和二階導(dǎo)數(shù)約束方向圖

3.4協(xié)方差矩陣銳化（CMT）

在最優(yōu)的自適應(yīng)波束形成時(shí)，對(duì)于最簡(jiǎn)單的N陣元天線(xiàn)陣，主要目的是設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)的線(xiàn)性組合器，即復(fù)值加權(quán)矢量w，使得加性干擾和噪聲的期望功率最小，同時(shí)強(qiáng)加無(wú)失真約束使得給定導(dǎo)向矢量s的有用信號(hào)的輸出保持無(wú)失真，即(3.4-1)其中xI為干擾信號(hào)，且假設(shè)為零均值、寬平穩(wěn)的（widesensestationary）。該問(wèn)題的解通常由下式給出：(3.4-2)其中R為干擾信號(hào)的協(xié)方差矩陣，即R=E{xIxHI}。如果干擾信號(hào)為正態(tài)假設(shè)，則利用最大似然方法也

可以獲得所謂的樣本矩陣求逆（SampleMatrixInversion，SMI）解：(3.4-3)其中為R的最大似然估計(jì)（MaximumLikelihoodEstimation，MLE），而且由下式給出：(3.4-4)定義1：

M×N維矩陣A=(aij)與M×N維矩陣B=(bij)

的Hadamard積記做A

B，它仍然是一個(gè)M×N維矩陣，

且定義為

圖3.4-1給出了16陣元，陣元間距為半波長(zhǎng)的相控陣天線(xiàn)的自適應(yīng)方向圖，圖中標(biāo)注為CMT-MVDR。圖3.4-1具有理想?yún)f(xié)方差矩陣和-40dBChebyshev銳化的最優(yōu)自適應(yīng)方向圖圖3.4-2給出了當(dāng)利用2N=32個(gè)獨(dú)立同分布（i.i.d）快拍時(shí)的SMI波束形成器的典型方向圖。

選擇2N=32并不是任意的，Reed等人曾經(jīng)證明了在高斯和獨(dú)立同分布情況下，SMI的樣本支持大約為2N時(shí)，信噪比的損失大約為3dB。圖3.4-2利用2N個(gè)樣本估計(jì)協(xié)方差矩陣的最優(yōu)自適應(yīng)方向圖為了補(bǔ)救該損失，可以通過(guò)樣本協(xié)方差矩陣的對(duì)角加載來(lái)實(shí)現(xiàn)，即(3.4-5)(3.4-6)其中對(duì)于該場(chǎng)景，如果選擇加載因子σ2L為10dB，將會(huì)獲得如圖3.4-3所示的方向圖。圖3.4-3具有10dB對(duì)角加載的最優(yōu)自適應(yīng)方向圖通過(guò)利用Hadamard乘積的定義以及式(3.4-6)，可以將該對(duì)角加載重新描述為(3.4-7)(3.4-8)其中其中D為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為σ2Ldiag{R}，而表示Hadamard除法，即(3.4-9)

Mailloux-Zatman(MZ)零槽展寬方法是通過(guò)如下對(duì)原始協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的：

(3.4-10)

其中TMZ為一般的實(shí)值正定矩陣，而且它的第mn個(gè)元素為(3.4-11)其中Δ>0，而且sinc(x)=sin(πx)/(πx)。3.4.1協(xié)方差矩陣銳化

定理1（Schur乘積引理）：如果M×N維矩陣A、

B都是正定的（或是半正定的），則它們的HadamardA

B也是正定的（或是半正定的）。如果A是正定的，B是半正定的，而且具有非零的對(duì)角元素，則A

B是正定的。定義2：如果令PN表示N×N維的復(fù)值半正定協(xié)方差矩陣空間，則對(duì)于PN中的任意給定的元素R，即R∈PN，一個(gè)相關(guān)的CMT矩陣T一定滿(mǎn)足T∈PN，而且確保合成的矩陣R°T∈PN。定義3：一個(gè)歸一化對(duì)角同源（NDH）相關(guān)矩陣C滿(mǎn)足T∈PN，具有附加的特性di=1,i:i=1,…,N，其中di表示C的第i個(gè)對(duì)角項(xiàng)。

定理2：令A(yù)∈PNC，B∈PN分別為任意給定的NDH相關(guān)、半正定矩陣，則(3.4-12)其中λi(A

B)表示半正定矩陣A

B的第i個(gè)特征值，通常

特征值是以降序的形式給出的，即λ1≥λ2≥…≥λN，

而λi(B)也有相同的定義。如果B是正定的，則有(3.4-13)定理3：如果給定一個(gè)正定協(xié)方差矩陣R和一個(gè)CMT矩陣T∈PN，T既可以是正定的，也可以是具有非零對(duì)角元素的半正定矩陣，則線(xiàn)性組合加權(quán)矢量wT滿(mǎn)足：(3.4-14)利用定理3的解釋?zhuān)旅嬉牖旌螩MT將對(duì)角加載和MZ方法進(jìn)行統(tǒng)一。利用Kolmogorov存在性定理，可以將隨機(jī)過(guò)程z與TDL聯(lián)系起來(lái)，即(3.4-15)其中，e=(1,1,…,1)T，而

為復(fù)值的零均值白噪聲過(guò)程，且具有對(duì)角協(xié)方差矩陣cov(

)=D∈PN，這是因?yàn)?3.4-16)~表達(dá)式z=e+n

同時(shí)也使得基于對(duì)角加載旁瓣控制的零槽或零陷展寬機(jī)理變得更加清晰，即將相干相位“抖動(dòng)dithered）”導(dǎo)向矢量引入到e中。對(duì)于更加特殊的情況，假設(shè)N個(gè)陣元的均勻線(xiàn)陣，且具有波長(zhǎng)歸一化的陣元間距d/λ，使得e為一個(gè)隨機(jī)矢量過(guò)程e

，且由下式給出：(3.4-17)~

e相應(yīng)的協(xié)方差矩陣可以計(jì)算如下：

該式和TMZ的表達(dá)式相同，因此也建立了TMZ的正定特性（當(dāng)且僅當(dāng)Δ=0時(shí)，TMZ為半正定的）。這樣，MZ銳化等價(jià)于均勻分布相干相位抖動(dòng)的引入，同時(shí)也提供了另一種不同的解釋思路。(3.4-18)~(3.4-19)假設(shè)ω和n

是不相關(guān)的。式(3.4-19)的主要影響是引入了一個(gè)相干相位抖動(dòng)，而該相位抖動(dòng)進(jìn)一步增大了與發(fā)射機(jī)之間的角度擴(kuò)展。對(duì)于干擾，該相位抖動(dòng)會(huì)使自適應(yīng)方向圖的干擾置零的角度展寬。圖3.4-4清楚地顯示了該效果，其中應(yīng)用了一個(gè)小的抖動(dòng)量Δ=0.8rad。~圖3.4-4具有10dB對(duì)角加載和Mailloux-ZatmanCMT的最優(yōu)自適應(yīng)方向圖3.4.2CMT銳化損失

損失的評(píng)價(jià)是通過(guò)最優(yōu)SINRopt與CMT實(shí)現(xiàn)時(shí)的SINRT來(lái)計(jì)算的，即