第7章離散信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析7.1Z變換7.2Z變換的性質(zhì)7.3逆Z變換7.4應(yīng)用Z變換分析LTI離散系統(tǒng)7.5應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)H(z)分析LTI離散系統(tǒng)特性7.1Z變換

7.1.1從拉普拉斯變換到Z變換

在3.6節(jié)中知道理想已取樣信號為

(7.1-1)

式中Ts為取樣周期(或間隔)。對上式取雙邊拉氏變換，并考慮代入關(guān)系，得取樣信號fs(t)的雙邊拉氏變換為

(7.1-2)令并代入上式，則上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用Fb(z)表示，即

(7.1-3)

上式稱為序列f(kTs)的雙邊Z變換。比較式(7.1-3)與式(7.1-2)可見，當(dāng)時，序列的雙邊變換Fb(z)就等于取樣信號f(kTs)的雙邊拉氏變換，即

(7.1-4)

顯然，復(fù)變量z與s的關(guān)系是

(7.1-5)

(7.1-6)式(7.1-4)～式(7.1-6)反映了連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)以及s域與z域間的重要關(guān)系。若將f(kTs)中的Ts歸一化處理，即令其

為1，則有

(7.1-7)7.1.2Z變換定義

考慮離散序列f(k)可能為更一般的序列，即為全序域(k=0，±1，±2，…，±∞)有定義的序列，定義序列f(k)的雙邊Z變換為

(7.1-8)研究離散系統(tǒng)問題時，一般所加的序列信號總有開始時刻，常把開始時刻記為k=0，特別是對于給定系統(tǒng)起始狀態(tài)及所加因果信號條件，而欲求的是k≥0區(qū)間的系統(tǒng)響應(yīng)，這種情況，定義單邊Z變換分析更為簡便。序列f(k)的單邊Z變換定義為

(7.1-9)7.1.3收斂域

由數(shù)學(xué)知識知，f(k)z－k≤|f(k)z－k|，若滿足

(7.1-10)

則即式(7.1-8)和式收斂，F(xiàn)b(z)存在。

1.因果序列

因果序列是在實際的工程離散系統(tǒng)分析與設(shè)計中最常用到的一類序列信號。設(shè)有界因果序列

則雙邊Z變換

(7.1-11)根據(jù)根值判定法，為使式(7.1-11)收斂，應(yīng)滿足

所以由上式解得

(7.1-12)

結(jié)論：有界因果序列的單、雙邊Z變換象函數(shù)、收斂域均相同，其收斂域為|z|>ρ1圓外部的z平面。

若展開式(7.1-11)，有

顯然，上式為z的負(fù)冪次諸項之和，可見z=∞象函數(shù)亦收斂。所以，有界因果序列的Z變換象函數(shù)收斂域亦可書寫為

(7.1-13)

2.反因果序列

在理論問題研究中也會遇到反因果序列。設(shè)有界反因果序列

則雙邊Z變換

(7.1-14)將上式中的k代換為－k，則有

(7.1-15)

因為f2(k)為反因果序列，所以f2(－k)為因果序列。交換上式求和限并考慮f2(0)=0，改寫上式，得

(7.1-16)為使式(7.1-16)收斂，應(yīng)滿足

解上式得

(7.1-17)

結(jié)論：有界反因果序列的雙邊Z變換象函數(shù)Fb(z)的收斂域為|z|<ρ2圓內(nèi)部的z平面。

若展開式(7.1-14)，有

顯然，上式為z的正冪次諸項之和，可見z=0象函數(shù)亦收斂。所以，有界反因果序列的Z變換象函數(shù)收斂域亦可書寫為

(7.1-18)

3.雙邊序列

雙邊序列可看做由反因果部分及因果部分構(gòu)成，設(shè)雙邊序列

則雙邊Z變換

(7.1-19)假設(shè)ρ2>ρ1，若滿足

(7.1-20)

(Ⅰ)、(Ⅱ)兩部分均收斂，這是雙邊序列存在雙邊Z變換的收斂域。

結(jié)論：有界雙邊序列的雙邊Z變換Fb(z)的收斂域為z平面上大于ρ1圓、小于ρ2圓的環(huán)狀區(qū)域。

4.有限長序列

設(shè)有限長序列

則雙邊Z變換

(7.1-21)

結(jié)論：有限長序列的雙邊Z變換其收斂域至少是0<|z|<∞。7.1.4常用函數(shù)的Z變換對

1.單位序列

設(shè)f(k)=δ(k)，則

簡記為

(7.1-22)

2.單位階躍序列

設(shè)f(k)=ε(k)，則若|z|>1，上式級數(shù)收斂，有

簡記為

(7.1-23)

3.反因果階躍序列

設(shè)f(k)=ε(－k－1)，則若|z|<1，上式級數(shù)部分收斂，有

簡記為

(7.1-24)

4.因果指數(shù)序列

設(shè)f(k)=bkε(k)，b為實常數(shù)，則若|bz－1|<1，即|z|>|b|，上式級數(shù)收斂，有

簡記為

(7.1-25)

5.反因果指數(shù)序列

設(shè)f(k)=akε(－k－1)，a為實常數(shù)，則若即|z|<|a|，上式級數(shù)部分收斂，有

簡記為

(7.1-26)

6.因果虛指數(shù)序列

設(shè)f(k)=ejβkε(k)，β為實常數(shù)，則若|ejβz－1|<1，即|z|>1，上式級數(shù)收斂，有

簡記為

(7.1-27)

7.反因果虛指數(shù)序列

設(shè)f(k)=ejβkε(－k－1)，β為實常數(shù)，則雙邊Z變換為若|e－jβz|<1，即|z|<1，上式級數(shù)部分收斂，有

簡記為

(7.1-28)

8.雙邊指數(shù)序列

設(shè)f(k)=akε(－k－1)+bkε(k)，a、b均為實常數(shù)且|a|>|b|，由式(7.1-25)、式(7.1-26)可得該序列的雙邊Z變換為

簡記為

(7.1-29)考慮式(7.1-25)，得該雙邊序列的單邊Z變換為

(7.1-30)

須知：因單邊Z變換定義式是對k從0到∞求和，所以任何雙邊序列k<0的函數(shù)部分對求單邊Z變換無貢獻(xiàn)。

9.門序列

與連續(xù)門函數(shù)相對應(yīng)，這里不妨稱它為門序列，以gN(k)表示，式中N為正偶實整數(shù)。其圖形如圖7.1-1所示。顯然，門序列g(shù)N+1(k)是橫跨縱軸兩邊的有限長序列，該序列的雙、單邊Z變換不相同。應(yīng)用等比級數(shù)公式，得雙邊Z變換為

(7.1-31)其單邊Z變換為

(7.1-32)圖7.1-1門序列7.1.5逆Z變換公式

任何數(shù)學(xué)的變換工具，一定有變換亦有反變換，否則無應(yīng)用價值，Z變換也不例外。雙邊Z變換的變換公式為

(7.1-33)

對式(7.1-33)兩端乘zn－1，有對上式兩端作z平面內(nèi)的逆時針方向圍線積分，得

式中c為在收斂域內(nèi)選取的逆時針積分路徑。交換上式右端求和與積分的次序，得

(7.1-34)由復(fù)變函數(shù)柯西定理，知

(7.1-35)

將式(7.1-35)代入式(7.1-34)，右端雖有無窮多項求和，但只有n=k一項不為零，所以解得將上式中n再代換為k即得

(7.1-36)

單邊Z變換的逆變換公式可以說與雙邊Z變換的逆變換公式相同，但要注明k≥0區(qū)間，即

(7.1-37)

7.2Z變換的性質(zhì)

7.2.1線性性質(zhì)

若

(7.2-1)

例7.2-1

已知雙邊序列f(k)=2kε(－k－1)+(0.5)kε(k)，求雙邊Z變換Fb(z)。

解設(shè)f1(k)=2kε(－k－1)，f2(k)=(0.5)kε(k)，由常用函數(shù)變換對，得由線性性質(zhì)，得

收斂域為ROC1與ROC2的相交部分，即ROC：0.5<|z|<2。f(k)、Fb(z)收斂域的圖形分別如圖7.2-1(a)、(b)所示。圖7.2-1雙邊指數(shù)序列及它的象函數(shù)收斂域

例7.2-2

雙邊序列f(k)=－(－0.5)kε(－k－1)+ε(k)，試判別該序列是否存在雙邊Z變換。若不存在，請說明理由；若存在，請求出雙邊Z變換。

解設(shè)f1(k)=－(－0.5)kε(－k－1)，f2(k)=ε(k)，則由常用函數(shù)變換對，得

因ROC1與ROC2無收斂域的公共區(qū)域，如圖7.2-2所示，所以和序列f(k)不存在雙邊Z變換。圖7.2-2ROC1與ROC2無公共收斂域7.2.2移位(序)性質(zhì)

1.雙邊Z變換的時移性質(zhì)

設(shè)

(7.2-2)

式中，m為正實整常數(shù)。當(dāng)f(k±m(xù))取“＋”號時序列左移m單位，取“－”號時序列右移m單位。

證明

令k+m=n，則k=n－m，代入上式，有

(7.2-3)

同理可證

(7.2-4)

例7.2-3

圖7.2-3所示序列f(k)，求其雙邊Z變換Fb(z)并標(biāo)明收斂域。

解將f(k)改寫為單位階躍序列移位函數(shù)之差，即圖7.2-3例7.2-3用圖由常用函數(shù)變換對并考慮時移性質(zhì)，得

由線性性質(zhì)，得這個例子也可將f(k)改寫為單位序列移位函數(shù)之和，即

應(yīng)用單位序列Z變換及雙邊Z變換移位性質(zhì)，得

2.單邊Z變換移位性質(zhì)

雙邊Z變換的定義式是從k=－∞到∞求和，序列無論左移位或右移位有限個單位，序列非零值的區(qū)間總是在k=－∞到∞之內(nèi)，移位不會帶來“信息”丟失，所以雙邊Z變換移位性質(zhì)形式上比較簡單。而單邊Z變換就不同了。如圖7.2-4(a)、(b)所畫f(k)的幾種移位圖形所示。圖7.2-4序列移位示意圖

(1)單邊Z變換右移位性質(zhì)形式。

證明設(shè)

(7.2-5)再令上式第一項中的n=k－m，有n=－m時k=0，n=－1時，k=m－1，n＋m=k，代入上式，得考慮右移1、2位用得更多一些，將m=1，2分別代入式(7.2-5)，得

(7.2-6)

(7.2-7)

由式(7.2-5)可看出，若序列為因果序列，則單邊Z變換右移位性質(zhì)有更簡潔的形式，即

(7.2-8)

(2)單邊Z變換左移位性質(zhì)形式。

(7.2-9)

證明

例7.2-4

求圖7.2-5所示因果周期序列f(k)=δN(k)×ε(k)的單邊Z變換F(z)。

解將f(k)寫為單位序列移位函數(shù)和的形式表示，即

由δ(k)常用Z變換對及移位性質(zhì)，得

再應(yīng)用線性性質(zhì)及等比級數(shù)求和公式，可得圖7.2-5單邊周期序列

例7.2-5

求圖7.2-6(a)所示因果周期序列f(k)(虛線為包絡(luò)線)的單邊Z變換F(z)。

解由圖(a)可見周期N=4，令第一個周期序列為f1(k)，如圖(b)所示。將f1(k)寫為圖7.2-6例7.2-5用圖由δ(k)常用Z變換對及移位性質(zhì)，得

而序列f(k)可看作為由f1(k)以4為周期向右延拓而成的因果周期序列，所以f(k)可書寫為因f1(k)為因果序列，所以

故得7.2.3z域尺度變換性質(zhì)(序列乘ak)

若

(7.2-10)

證明考慮所以收斂域變?yōu)閨a|ρ1<|z|<|a|ρ2。式(7.2-10)表明，序列時域指數(shù)加權(quán)，反映的是對應(yīng)的z域象函數(shù)尺度展縮。

特例：若a=－1，套式(7.2-10)，有

(7.2-11)

從z域看，F(xiàn)b(－z)是Fb(z)的反折函數(shù)，所以這一特例情況也可稱為z域反折性。

例7.2-6

序列f(k)=4(2)－kε(k－2)，求該序列的Z變換F(z)。

解改寫f(k)為由常用函數(shù)變換對及時移性質(zhì)，得

由z域尺度變性，得7.2.4時域卷積定理

若

(7.2-12)

如果Fb1(z)·Fb2(z)存在，則收斂域至少是Fb1(z)與Fb2(z)收斂域的相交部分。

證明

交換上式求和次序，并考慮移位性質(zhì)，得

例7.2-7

已知序列

設(shè)

解由指數(shù)常用Z變換對，得

由時域卷積定理，得

(二者相交部分)

例7.2-8

已知序列f1(k)=

f2(k)=2kε(－k－1),設(shè)f(k)=f1(k)*f2(k)，求Fb(z)。

解由常用函數(shù)變換對，得

考慮ρ2>ρ1，由時域卷積定理，得7.2.5z域微分性質(zhì)

z域微分性質(zhì)討論的是序列乘k后的情況，又稱時域線性加權(quán)性質(zhì)。

若

(7.2-13)

證明

上式兩端對z微分并交換右端求和與微分次序，有對上式兩端同乘-z并對照雙邊Z變換定義式，得

若遇k2f(k)(可稱為時域二次方加權(quán)),可將它寫為k×kf(k),視為線性加權(quán)再線性加權(quán)，雷同上述證明過程可得

(7.2-14)

例7.2-9

序列f(k)=(k+1)ε(k)的圖形如圖7.2-7所示，求它的Z變換F(z)。

解

由常用函數(shù)變換對，知圖7.2-7例7.2-9用圖由z域微分性質(zhì)，得

再應(yīng)用線性性質(zhì)得本例也可應(yīng)用時域卷積定理求解。由常用函數(shù)卷積形式，將f(k)改寫為

所以

與上面方法求解的結(jié)果相同。若f(k)=k2ε(k)，可參照式(7.2-14)求得它的Z變換:7.2.6z域積分性質(zhì)

z域積分性質(zhì)討論的是序列除k+m后的情況。

設(shè)f(k)Fb(z)，ρ1<|z|<ρ2，且k＋m>0，m為整數(shù)，則

(7.2-15)

如遇特殊情況：m=0，且k>0，則有

(7.2-16)

證明

上式兩端同除zm+1，有對上式兩端作換元移動積分并交換等式右端求和、積分次序，得對照變換公式，得

例7.2-10

已知序列

求其Z變換F(z)。

解改寫序列的表達(dá)式為

由常用函數(shù)變換對并考慮時移性質(zhì)，得再由z域積分性質(zhì)，得7.2.7時域反折(轉(zhuǎn))性質(zhì)

設(shè)序列

(7.2-17)

證明

令上式中n=－k并考慮求和的上、下限交換并不改變符號，所以有

上式收斂域是這樣導(dǎo)出的，由

例7.2-11

已知序列f(k)=akε(k)(a為非零的實常數(shù))，求序列f(－k)、f(－k－1)的雙邊Z變換。

解由常用變換對，知應(yīng)用反折性質(zhì)，得

再由時移性質(zhì)，得7.2.8累和性質(zhì)(部分和性質(zhì))

若

(7.2-18)

證明由時域卷積定理，得

若f(k)為因果序列，則有

(7.2-19)

例7.2-12

已知序列

求單邊Z變換F(z)。

解由常用函數(shù)卷積，知

由累和性質(zhì)，得7.2.9初值定理

若

則序列初值為

(7.2-20a)

(7.2-20b)

(7.2-20c)如果M=0，即f(k)為因果序列，這時序列的初值為

(7.2-21a)

(7.2-21b)

(7.2-21c)

證明因k＜M時f(k)=0，所以

(7.2-22)

上式兩端同乘zM并取z→∞極限，得若將式(6.2-22)中第一項移至左端后兩邊同乘zM+1，再取z→∞的極限，得

即

同理可證其他各項。7.2.10終值定理

若k＜M時f(k)=0，又

則序列的終值為

(7.2-23a)

或?qū)憺?/p>

(7.2-23b)

證明因k＜M時f(k)=0，所以由定義式分別寫f(k)、f(k－1)的變換式為

(7.2-24)

(7.2-25)式(7.2-24)減式(7.2-25)，得對上式取z→1的極限，并交換求極限的次序，得故得

例7.2-13

因果序列的Z變換象函數(shù)

求序列的初值f(0)、f(1)、f(2)。

解由初值定理，得

例7.2-14

因果序列的Z變換象函數(shù)如下，可否應(yīng)用終值定理？如果能用，求出序列終值f(∞)；如果不能用，請說明理由。

解對因果序列，當(dāng)象函數(shù)F(z)的收斂域包含z平面上的單位圓時，方可應(yīng)用終值定理，否則不能用。

(1)

收斂域包含單位圓，所以

(2)

收斂域不包含單位圓，故不能應(yīng)用終值定理求f(∞)?；蛘哒f，這種情況下序列的終值無界。

7.3逆Z

變換

前已述及，任何一種數(shù)學(xué)變換工具不僅有變換，也一定有逆變換，而且是一對一的變換，否則無使用的價值。為了方便討論問題，把變換式、逆變換式重寫在這里。

(7.3-1)

(7.3-2)7.3.1查表法

例7.3-1

已知Z變換

解表面上看，似乎本書末附錄7的常用函數(shù)Z變換對表各欄中沒有與F(z)一樣的函數(shù)形式，其實對F(z)的函數(shù)形式稍加變換(配系數(shù)、拆項等)，就可找到與表中對應(yīng)的欄目，然后套用之，即得到欲求的原序列f(k)。令上式中第一項為F1(z)，第二項為F2(z)，即

查本書末附錄7的常用函數(shù)Z變換對表，F(xiàn)1(z)與序號5欄目相對應(yīng)，令a=2，即得再應(yīng)用線性與時移性質(zhì)，便得到

所以7.3.2冪級數(shù)展開法

如果就按定義式將象函數(shù)展開，即

例7.3-2

已知象函數(shù)

求原序列f(k)。

解由給出的象函數(shù)收斂域可知f(k)應(yīng)為因果序列，用

按降冪次排列的分母多項式z2－z－2去除分子多項式z2，將Fb(z)展開為z的負(fù)冪次級數(shù)和(觀察商式)。如這樣，便得f(k)的數(shù)值解：若本問題的象函數(shù)收斂域標(biāo)為|z|<1，則判斷序列f(k)應(yīng)為反因果序列，用按升冪次排列的分母多項式－2－z+z2去除分子多項式z2，將Fb(z)展開為z的正冪次級數(shù)和，展開式從略，其結(jié)果為若本問題的象函數(shù)收斂域標(biāo)為1<|z|<2，則判斷序列f(k)應(yīng)為雙邊序列，可先將Fb(z)部分分式展開為由所標(biāo)收斂域可判定：上式第一項為對應(yīng)因果序列部分的象函數(shù)，第二項為對應(yīng)反因果序列部分的象函數(shù)。對第一項展開為z的負(fù)冪次級數(shù)和，對第二項展開為z的正冪次級數(shù)和，這樣便可得到雙邊序列f(k)的數(shù)值解。其實，部分分式展開后就可應(yīng)用常用函數(shù)變換對，直接寫出f(k)的閉式解：對于一些特殊函數(shù)形式的象函數(shù)，可用常用冪級數(shù)公式展開，求原序列f(k)。如：

(7.3-3)

(7.3-4)

(7.3-5)

例

7.3-3

已知象函數(shù)

解展開F(z)為

對照單邊Z變換公式，得7.3.3部分分式展開法

設(shè)有理分子象函數(shù)為

(7.3-6)

式中，A(z)、B(z)分別為Fb(z)的分母和分子多項式。為討論

問題方便，對分母多項式最高次項系數(shù)歸一化處理，即令

an=1，改寫上式

(7.3-7)這里明確：用部分分式展開法求逆Z變換只適用于有理真分式象函數(shù)(m<n)。若遇Fb(z)為假分式情況，可先將分子、分母多項式相除，得一個多項式(商式)加上一個真分式，即

(7.3-8)

上式中多項式的逆Z變換容易得到。例如，對于如下多項式，它對應(yīng)的時域序列就可應(yīng)用常用變換對及時移性質(zhì)很容易直接寫出：下面重點討論象函數(shù)為真分式情況下如何用部分分式法求逆Z變換。設(shè)真分式象函數(shù)

(7.3-9)

1.F(z)有單階極點

考慮到常用離散指數(shù)序列Z變換對的形式：

所以常將

(7.3-10)當(dāng)Fb(z)有z=0的零點時，式中K0=0，而

(7.3-11)

整理式(7.3-10)，有

(7.3-12)若式(7.3-9)的收斂域標(biāo)為：|z|>ρ1=|zi|max，則序列為因果序列，由式(7.3-12)得

(7.3-13)

若式(7.3-9)的收斂域標(biāo)為：|z|<ρ2=|zi|min>0，則序列為反因果序列，式(7.3-12)中K0=0，這時序列

(7.3-14)若式(7.3-9)的收斂域標(biāo)為：ρ1<|z|<ρ2，則序列為雙邊序列，究竟有哪些項屬因果序列部分，又有哪些項屬反因果序列部分，這要看各極點所處的位置。若設(shè)|z1|<ρ1，處于環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)以內(nèi)，則對應(yīng)的時域序列為因果序列部分，即

(7.3-15)

若設(shè)|z2|>ρ2，處于環(huán)狀收斂域外環(huán)以外，則對應(yīng)的時域序列為反因果序列部分，即

(7.3-16)設(shè)K1=|K1|ejθ，則K2=K*1=|K1|e－jθ，所以展開項寫為

(7.3-17)若收斂域|z|>α，則兩展開項對應(yīng)的時域函數(shù)為因果序列，即

(7.3-18)若收斂域|z|<α，則兩展開項對應(yīng)的時域函數(shù)為反因果序列，類似上式的推導(dǎo)過程，可得

(7.3-19)

例7.3-4

求下列象函數(shù)的逆Z變換。

解

(1)F(z)不是真分式，但F(z)/z就是真分式了。部分分式展開為所以

整理得

由給定的收斂域，判定原序列為因果序列，應(yīng)用常用函數(shù)變換對得

(2)所以

整理得由給定的收斂域，判定原序列為反因果序列，應(yīng)用常用函數(shù)變換對得

(3)部分分式展開式同(2)，但收斂域不同。由本題標(biāo)注的收斂域判定：極點z=1/2在環(huán)狀收斂域外環(huán)外，對應(yīng)反因果序列；極點z=1/3在環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)內(nèi)，對應(yīng)因果序列。

例7.3-5

已知象函數(shù)

求原序列f(k)。

解令分母多項式

對式中

套式(7.3-18)，得

2.F(z)有重階極點

設(shè)z=z1為F(z)的r重極點，即

(7.3-20)

將Fb(z)/z部分分式展開為

(7.3-21)可以推導(dǎo)證明上式中的展開系數(shù)K1i(i=1，2，…，r)按下式計算得到:

(7.3-22)

式(7.3-21)兩端同乘z，得

(7.3-23)若收斂域|z|>|z1|=ρ1，由常用函數(shù)變換對知

(7.3-24)

由z域微分性質(zhì)，得

(7.3-25)式(7.3-24)與式(7.3-25)相加，得

(7.3-26)

式(7.3-24)左端與式(7.3-26)左端相乘，由時域卷積定理知二式右端卷積，有對上式右端應(yīng)用等差數(shù)列求和公式，得

(7.3-27)

觀察式(7.3-27)，其左端是“3次方”函數(shù)，右端分式的分母是2的階乘，分子是k＋1、k＋2兩項因式相乘。按此規(guī)律類推，歸納得左端是“r次方”函數(shù)時右端對應(yīng)的時域序列為

(7.3-28)應(yīng)用因果序列時移特性，對式(7.3-28)左端乘z－(r－1)，可得右端序列延時r－1個單位的序列：

(7.3-29)

考慮k=0，1，…，r－2時，上式右端序列值均為零，故上式可等效改寫為

(7.3-30)若收斂域|z|<|z1|=ρ2，類同以上過程推導(dǎo)，可得反因果序列變換對

(7.3-31)

如果z1為共軛復(fù)二重極點，一定亦有z*1也為共軛復(fù)二重極點，這樣可將Fb(z)/z展開為

(7.3-32)式中K11、K12、K11′、K12′亦按式(7.3-22)計算。這里應(yīng)明確：K11與K11′，K12與K12′呈共軛復(fù)系數(shù)，即有K11′=K*11,K12′=K*12。設(shè)

(7.3-33)

則

(7.3-34)將式(7.3-33)、式(7.3-34)代入式(7.3-32)并整理，得

(7.3-35)若收斂域為|z|>|z1|=α，則按式(7.3-30)作逆Z變換并應(yīng)用歐拉公式推導(dǎo)，分別得

(7.3-36)

(7.3-37)所以式(7.3-35)的逆Z變換為若收斂域為|z|<|z1|=α，則按式(7.3-31)作逆Z變換并應(yīng)用歐拉公式推導(dǎo)，分別得

(7.3-38)

(7.3-39)故得式(7.3-35)的逆Z變換為

例7.3-6

已知Z變換象函數(shù)為

求下列三種收斂域情況的原序列f(k)。

(1)|z|>2；

(2)|z|<1；

(3)1<|z|<2。

解先對Fb(z)/z進(jìn)行部分分式展開，即

(7.3-40)式中將K11、K12、K2代入式(7.3-40)并整理得

(7.3-41)

(1)因收斂域為|z|>2，原序列應(yīng)為因果序列，所以由常用變換對即寫得

(2)因收斂域為|z|<1，原序列應(yīng)為反因果序列，所以由常用變換對即寫得

(3)因收斂域為1<|z|<2，原序列應(yīng)為雙邊序列，考慮極點z=1在環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)以內(nèi)，所以式(7.3-41)中第三項對應(yīng)的時域序列為因果序列；極點z=2在環(huán)狀收斂域外環(huán)之外，故式(7.3-41)中第一、二項對應(yīng)的時域序列為反因果序列。據(jù)此分析，應(yīng)用常用變換對寫得對于象函數(shù)Fb(z)本身就是真分式的情況(分子中z的最高階次數(shù)m小于分母中z的最高階次數(shù)n)，也可直接對Fb(z)進(jìn)行部分分式展開。設(shè)Fb(z)均為相異單階極點，則展開式為

(7.3-42)

式中展開系數(shù)的確定方法如同拉氏逆變換時部分分式展開系數(shù)的確定方法一樣，即

(7.3-43)若收斂域|z|>|zi|，則有

所以式(7.3-42)的原序列為

(7.3-44)若收斂域|z|<|zi|，則有

則得式(7.3-42)這時的原序列為

(7.3-45)

例7.3-7已知Z變換象函數(shù)

求原序列f(k)。

解本問題的Fb(z)是真分式，可對Fb(z)直接進(jìn)行部分分式展開:式中

所以

(7.3-46)

對這個問題的處理當(dāng)然亦可采用對Fb(z)/z進(jìn)行部分分式展開的方法，即整理上式，得

故得

(7.3-47)*7.3.4留數(shù)法

反變換積分式中的Fb(z)zk－1，一般是z的有理函數(shù)，其奇點都是孤立奇點(極點)。選取的積分路徑是在Fb(z)收斂域內(nèi)且包含坐標(biāo)原點的一條逆時針方向的閉合單圍線c，如圖

7.3-1所示。圖中ρ1，ρ2分別為Fb(z)環(huán)狀收斂域的內(nèi)半徑與外半徑，收斂域為圖7.3-1選取圍線積分路徑c為討論問題方便，將Fb(z)分為兩部分，即

式中，F(xiàn)1(z)的收斂域為|z|>ρ1，對應(yīng)因果時域序列f1(k)；F2(z)的收斂域為|z|<ρ2，對應(yīng)反因果時域序列f2(k)?？紤]F1(z)的收斂域為|z|>ρ1，所以它的極點在半徑為ρ1的圓上或圓內(nèi)，即圍線c的內(nèi)部區(qū)域，根據(jù)留數(shù)定理可知，因果序列f1(k)等于Fb(z)zk－1在積分閉圍線c內(nèi)的極點留數(shù)之和，即

(7.3-48)考慮F2(z)的收斂域為|z|<ρ2，所以它的極點在半徑為ρ2的圓上或圓外，即圍線c的外部區(qū)域，根據(jù)留數(shù)定理可知，

反因果序列f2(k)等于Fb(z)zk－1在積分閉圍線c外的極點留數(shù)之和，即

(7.3-49)由以上結(jié)果歸納，得

(7.3-50)若Fb(z)zk－1在z=z1處有一階極點，則其留數(shù)為

(7.3-51)

若Fb(z)zk－1在z=z2處有r階重極點，則其留數(shù)為

(7.3-52)

例7.3-8

已知雙邊Z變換象函數(shù)

求原序列f(k)。

解這個問題采用留數(shù)法求解。改寫象函數(shù)形式為由上式及已知的收斂域可知：極點z1=1/2在環(huán)狀收斂域外環(huán)之外，對應(yīng)反因果序列；極點z2=1/3在環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)之內(nèi)，對應(yīng)因果序列。分別求Fb(z)zk－1在兩個極點的留數(shù)為故得

7.4應(yīng)用Z變換分析LTI離散系統(tǒng)

如同拉氏變換在線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的作用一樣，Z變換在線性離散系統(tǒng)分析中充當(dāng)著重要的角色。Z變換將描述離散系統(tǒng)的時域差分方程變換為z域的代數(shù)方程，將時域描述的離散系統(tǒng)框圖變換為z域框圖，便于問題的分析與求解；特別是單邊Z變換能將系統(tǒng)的起始狀態(tài)自然地包含于象函數(shù)方程中，既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可一舉求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。7.4.1應(yīng)用Z變換解差分方程

設(shè)LTI系統(tǒng)的輸入為f(k)，輸出為y(k)，描述n階離散系統(tǒng)的后向差分方程的一般形式可寫為

(7.4-1)令對方程式(7.4-1)兩端取單邊Z變換。應(yīng)用單邊Z變換右移位性質(zhì)，方程左端y(k－i)項的Z變換為

(7.4-2)

考慮f(k)是在k=0時接入的(視為因果信號)，f(－1)、f(－2)、…、f(－m)均等于零，所以方程右端f(k－j)的Z變換為

(7.4-3)將式(7.4-2)、式(7.4-3)代入式(7.4-1)并應(yīng)用Z變換的線性性質(zhì)，得

即解得

(7.4-4)觀察上式可見，式中(Ⅰ)部分只與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)，與輸入無關(guān)，是零輸入響應(yīng)的象函數(shù)Yx(z)，將其逆Z變換即得yx(k)；式中(Ⅱ)部分只與系統(tǒng)的輸入有關(guān)，與起始狀態(tài)無關(guān)，是零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)Yf(z)，將其逆Z變換即得yf(k)。若求系統(tǒng)的全響應(yīng)只需將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加，即

(7.4-5)

例7.4-1

描述LTI離散系統(tǒng)的差分方程為

(7.4-6)

已知輸入f(k)=ε(k)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(－1)=1，y(－2)=－2。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(k)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)及全響應(yīng)y(k)。

解對式(7.4-6)兩端取單邊Z變換，有

解得代入已知的起始狀態(tài)并整理上式，得分別對Yx(z)、Yf(z)部分分式展開取逆Z變換：由常用Z變換對，分別得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)為

全響應(yīng)為

例7.4-2

描述LTI離散系統(tǒng)的差分方程為

已知輸入f(k)=(－2)kε(k)，初始條件y(0)=9，y(1)=－33，求零輸入響應(yīng)yx(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。

解本問題給定的是初始條件，即全響應(yīng)在k=0、k=1時刻的值，這兩個數(shù)值不僅與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)，也與k=0時所加的輸入有關(guān)。因此，在對后向差分方程取單邊Z變換并應(yīng)用時移性質(zhì)時，不能代這兩個數(shù)據(jù)。遇到這種情況，一般有兩種處理辦法：其一，是由給定的方程形式、輸入序列及初始條件y(0)、y(1)遞推出起始條件y(－1)、y(－2)，然后按例7.4-1的過程求解；其二，是先假設(shè)系統(tǒng)處于零狀態(tài)，對方程取單邊Z變換，解得Yf(z)，作逆Z變換得yf(k)，再求出yf(0)、yf(1)，然后依據(jù)式(7.4-5)關(guān)系求出再按時域方法設(shè)出零輸入響應(yīng)函數(shù)形式

式中，λ1，λ2為方程的兩個相異特征根。最后應(yīng)用yx(0)、yx(1)定出Cx1、Cx2，求得yx(k)。設(shè)零狀態(tài)，對方程取單邊Z變換，得

解得部分分式展開

整理，有逆變換得

(7.4-7)

令k=0，1分別代入上式解得由式(7.4-5)關(guān)系解得

由已知差分方程寫得特征方程為

解得特征根λ1=－1，λ2=－3。設(shè)零輸入響應(yīng)函數(shù)為

(7.4-8)

將yx(0)、yx(1)代入式(7.4-8)，解得：Cx1=2，Cx2=3，所以零輸入響應(yīng)為對原差分方程左移兩位，得

(7.4-9)

對上式取單邊Z變換，注意方程兩端應(yīng)用左移位形式，得解得上式中(Ⅰ)部分為零輸入響應(yīng)象函數(shù)，特別注意這部分不僅與y(0)、y(1)有關(guān)，也與f(0)、f(1)有關(guān)；(Ⅱ)部分為零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)?？紤]將f(0)=1，f(1)=－2，y(0)=9，y(1)=－33，F(xiàn)(z)=z/(z+2)代入上式并整理，得

(7.4-10)對式(7.4-10)中的Yx(z)、Yf(z)分別作逆Z變換，得

例7.4-3

描述LTI離散系統(tǒng)的差分方程為

已知輸入f(k)=6ε(k)，起始條件y(－1)=－18，y(－2)=－60，求零輸入響應(yīng)yx(k)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)、暫態(tài)響應(yīng)ytr(k)和穩(wěn)態(tài)

響應(yīng)yss(k)。

解對方程取Z變換，解得

將已知的起始條件及F(z)=6z/(z－1)代入上式并整理，得

(7.4-11)對式(7.4-11)中Yx(z)、Yf(z)分別作部分分式展開，有由常用函數(shù)Z變換對，分別寫得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)為全響應(yīng)為

(7.4-12)式(7.4-12)表明了各種響應(yīng)之間的蘊含關(guān)系。就本例而言，當(dāng)k→∞時系統(tǒng)的自由響應(yīng)趨于零，而系統(tǒng)的強迫響應(yīng)為有界常數(shù)3，所以本問題的自由響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)，強迫響應(yīng)就是輸入階躍函數(shù)時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。暫態(tài)響應(yīng)包含著零輸入響應(yīng)的全部及零狀態(tài)響應(yīng)中的一部分；零狀態(tài)響應(yīng)包含著穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的全部及暫態(tài)響應(yīng)中的一部分。一般而言，若因果系統(tǒng)的所有特征根模值都小于1，它的自由響應(yīng)均隨k增大而衰減，若系統(tǒng)在有界周期函數(shù)(如正弦周期函數(shù)或常數(shù))作用下的強迫響應(yīng)為有界穩(wěn)定函數(shù)或常數(shù)，則這時系統(tǒng)的自由響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)，這時的強迫響應(yīng)就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。據(jù)此分析，本例系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分別為7.4.2系統(tǒng)函數(shù)

1.系統(tǒng)函數(shù)H(z)的三種定義

在第5章離散信號與系統(tǒng)分析中已經(jīng)知道，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列f(k)與系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)的卷積(和)，即

(7.4-13)

由Z變換時域卷積定理，得

(7.4-14)上式中H(z)是單位序列響應(yīng)h(k)的Z變換，若為因果系統(tǒng)，則有

(7.4-15)

由式(7.4-14)也可得到

(7.4-16)式(7.4-15)、式(7.4-16)是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的兩種定義形式。其實，從式(7.4-13)聯(lián)系式(7.4-15)還可推導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)的第

三種形式的定義，即

(7.4-17)

證明設(shè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并考慮f(k)=zk

，則

所以

2.H(z)的一般形式

由式(7.4-4)可知零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)

(7.4-18)由式(7.4-14)不難得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的一般表示形式

(7.4-19)

例7.4-4

描述LTI因果離散系統(tǒng)的差分方程為

(1)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)；

(2)若

求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。

解

(1)設(shè)零狀態(tài)，對方程取Z變換，有

解得部分分式展開

整理得所以，由常用函數(shù)變換對，直接寫得單位序列響應(yīng)為

(2)改寫f(k)表達(dá)式，即

聯(lián)系單位序列響應(yīng)定義及系統(tǒng)的線性、時不變性，可得系統(tǒng)輸入f(k)時的零狀態(tài)響應(yīng)為7.4.3應(yīng)用Z變換分析框圖描述的LTI離散系統(tǒng)

不妨先對各種離散系統(tǒng)中所用的諸如數(shù)乘器、加法器、單位延時器的輸入、輸出取Z變換，并利用線性、移位等性質(zhì)，得到這些運算部件的z域模型，如表7.4-1所示。

例7.4-5

某LTI因果離散系統(tǒng)的時域框圖如圖7.4-1(a)所示。

(1)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)；

(2)若輸入f(k)=ε(k)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)；

(3)若起始條件y(－1)=0，y(－2)=0.5，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(k)。圖7.4-1例7.4-5用圖

解

(1)設(shè)零狀態(tài)，畫z域框圖模型如圖7.4-1(b)所示。在圖(b)中，設(shè)左端加法器輸出為X(z)，從左至右兩個延時單元的輸出分別為z－1X(z)，z－2X(z)。由左端加法器輸出端列出象函數(shù)方程為

解得

(7.4-20)由右端加法器輸出端列象函數(shù)方程為

(7.4-21)

將式(7.4-20)代入式(7.4-21)，得式中系統(tǒng)函數(shù)

(7.4-22)

部分分式展開為整理得

由常用Z變換對寫得

(2)

由式(7.4-14)、式(7.4-22)得部分分式展開上式

整理上式，得對上式作逆Z變換，并應(yīng)用常用Z變換對，得

(3)由H(z)表達(dá)式對應(yīng)寫系統(tǒng)的輸入輸出差分方程。(注意：若應(yīng)用z的負(fù)冪次表示的H(z)分式，可直接寫后向差分方程；若應(yīng)用z的正冪次表示的H(z)分式，可直接寫前向差分方程。)由式(7.4-22)寫得該系統(tǒng)的后向差分方程為因零輸入響應(yīng)滿足齊次差分方程，令上式中f(k)=0，將y(k)換為yx(k)，有

(7.4-23)

對上式取單邊Z變換，并考慮yx(－1)=y(－1)，yx(－2)=y(－2)關(guān)系，得代入已知的起始條件，解得

對上式取逆Z變換，得7.4.4s域與z域的關(guān)系

拉氏變換中應(yīng)用的復(fù)變量s對應(yīng)的復(fù)平面簡稱為s平面，

Z變換中應(yīng)用的復(fù)變量z對應(yīng)的復(fù)平面簡稱為z平面，這兩種復(fù)平面間具有什么樣的關(guān)系呢？這里作進(jìn)一步的討論。在本章的7.1節(jié)中明確過s變量與z變量的關(guān)系，即

(7.4-24a)

(7.4-24b)

式中T為取樣周期。如果將s表示為直角坐標(biāo)形式，有

(7.4-25)

將z表示為極坐標(biāo)形式，有

(7.4-26)將式(7.4-25)、式(7.4-26)代入式(7.4-24a)，得

比較上式兩端，可得

(7.4-27a)

(7.4-27b)理論上講，在z平面上的一點z=ρejθ，映射到s平面將有無窮多點，即

(7.4-28)

上述分析討論的由s平面到z平面的映射關(guān)系如圖7.4-2

所示。圖7.4-2s平面與z平面的映射關(guān)系7.5應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)H(z)分析LTI離散系統(tǒng)特性

7.5.1由H(z)的零極點看系統(tǒng)的時域特性

為了討論問題方便，不妨將7.4節(jié)中得到的n階系統(tǒng)函數(shù)的一般形式重書寫在這里，即

(7.5-1)若將上式展開并整理，有

(7.5-2)一般，集總參數(shù)LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是如上式表示的復(fù)變量z的有理分式，它是式中z的有理多項式B(z)與A(z)之比。顯然，分子多項式B(z)=0的根ζj(j=1，2，…，m)稱為H(z)的零點；分母多項式A(z)=0的根pi(i=1，2，…，n)稱為H(z)的極點。為簡化，取式(7.5-2)中分母多項式中an=1并將B(z)、A(z)因式分解，改寫式(7.5-2)得

(7.5-3)

1.在單位圓|z|=1內(nèi)的極點

若H(z)有一個實極點p1=a，|a|<1，則H(z)的分母A(z)一

定有z－a因子，H(z)的部分分式展開式中一定有一項為

A1z/(z－a),該項所對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量為h1(k)=A1(a)kε(k);若H(z)有一對共軛復(fù)極點z2，3=αe±jβ(0<α<1)，則H(z)的分母A(z)一定有(z－αejβ)(z－αe－jβ)因子，H(z)的部分分式展開式中一定有兩項，設(shè)A2=|A2|ejj2

并考慮A3=A*2，經(jīng)逆Z變換并應(yīng)用歐拉公式化簡，得這兩項所對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量h2，3(k)=2|A2|αkcos(βk+j2)。因|α|<1，所以不管是實一階極點還是共軛復(fù)一階極點，其所對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量，當(dāng)k→∞時均趨于零。同理分析，在單位圓內(nèi)的二階及更高階極點所對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量，當(dāng)k→∞時也均趨于零。

2.在單位圓|z|=1上的極點

若H(z)在單位圓上的實一階極點，如p4=1，p5=－1，相應(yīng)H(z)的部分分式展開式中有這兩項分式，則對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量分別為

3.在單位圓|z|=1外的極點

若H(z)在單位圓外的實一階極點，如p8=a，|a|>1，相應(yīng)H(z)的部分分式展開式中有分式項，則對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量為h8(k)=A8(a)kε(k)；若H(z)在單位圓外的一階共軛復(fù)極點p9，10(k)=αe±jβ，所對應(yīng)的單位序列響應(yīng)分量為圖7.5-1H(z)的極點與所對應(yīng)的h(k)分量7.5.2因果離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與朱里準(zhǔn)則

1.系統(tǒng)的因果性

在1.2節(jié)中已建立了系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性的基本概念。簡言之，零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)于所加輸入信號之前的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，用數(shù)學(xué)式表述，即

(7.5-4)

聯(lián)系在5.2節(jié)中定義的單位序列響應(yīng)

(7.5-5)考慮單位序列δ(k)定義，它只在k=0時刻有值1，k＜0時δ(k)=0，所以用h(k)就可以判定系統(tǒng)的因果性，即：若

(7.5-6)

則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。式(7.5-6)是判定離散系統(tǒng)因果性的充分必要條件。既然由h(k)能判定系統(tǒng)的因果性，那么由它的z域變換函數(shù)H(z)也應(yīng)該可以判定系統(tǒng)的因果性。從本章7.1節(jié)講Z變換收斂域時就清楚，因果序列收斂域一定是z平面上

(7.5-7)

圓的外部區(qū)域。即是說，從給定系統(tǒng)函數(shù)H(z)所標(biāo)注的收斂域就可判定系統(tǒng)的因果性。

例7.5-1

由下列系統(tǒng)函數(shù)及標(biāo)定的收斂域，試判別系統(tǒng)的因果性。

解

(1)系統(tǒng)函數(shù)滿足式(7.5-7)，對此問題ρ1=0.75，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

(2)系統(tǒng)不滿足式(7.5-7)，所以該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。根據(jù)所標(biāo)定的收斂域|z|<ρ2，對此問題ρ2=1，該系統(tǒng)是反因果系統(tǒng)。

(3)系統(tǒng)不滿足式(7.5-7)，所以該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。根據(jù)所標(biāo)定的收斂域ρ1<|z|<ρ2，對此問題ρ1=0.6，ρ2=0.9，該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，或說是雙邊系統(tǒng)。

2.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在1.2節(jié)中講述系統(tǒng)分類時曾給BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)下過定義：當(dāng)|f(k)|≤Mf時，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)有|yf(k)|≤My，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。在5.4中我們知道，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列與系統(tǒng)單位序列響應(yīng)的卷積(和)，即

(7.5-8)

若按BIBO穩(wěn)定，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

(7.5-9)

證明考慮|f(k)|≤Mf，則上式改寫為

欲得到|yf(k)|≤My，必須滿足上式中若系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可改寫為

(7.5-10)

例7.5-2

某LTI因果離散系統(tǒng)的差分方程為

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(2)求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)；

(3)判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，并說明理由。

解

(1)設(shè)零狀態(tài)，對方程取Z變換，有

解得

(7.5-11)

(2)改寫上式為兩項分式

應(yīng)用常用函數(shù)Z變換對，得

(3)由式(7.5-11)可知H(z)有一在單位圓內(nèi)的二階重極點p1，2=－0.5，故判定該因果離散系統(tǒng)穩(wěn)定。

例7.5-3

圖7.5-2(a)所示為因果離散系統(tǒng)時域框圖，圖中K為實常數(shù)。試分析討論K在何數(shù)值范圍內(nèi)取值，方能保證該系統(tǒng)穩(wěn)定。圖7.5-2例7.5-3用圖

解設(shè)零狀態(tài)，畫z域框圖并設(shè)左端加法器的輸出為X(z),如圖7.5-2(b)所示。從兩個加法器輸出端分別列寫z域代數(shù)方程為

由以上兩式解得系統(tǒng)函數(shù)為

(7.5-12)令上式分母多項式等于零，解得H(z)的極點為

(7.5-13)對式(7.5-13)做分析：

①當(dāng)1－4K≥0，即K≤1/4時為實極點，為使極點在單位圓內(nèi)，必須同時滿足兩個不等式，即綜合上述兩式，若極點為實極點且又保證在單位圓內(nèi)，K必須大于零，即

(7.5-14)②當(dāng)1－4K＜0，即K＞1/4時為復(fù)極點，式(7.5-13)可改寫為

為使極點在單位圓內(nèi)，必須|p1，2|<1，即

(7.5-15)

綜合式(7.5-14)和式(7.5-15)結(jié)果可知，當(dāng)0<K<1時該系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.朱里準(zhǔn)則判別因果系統(tǒng)穩(wěn)定性

若系統(tǒng)是高階的，又無上機解算條件，用手工解算求出極點是非常困難的，甚至解不出，這種情況該如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性呢？朱里提出了一種無需解出極點就可知全部極點是否均在單位圓內(nèi)的列表方法，稱之為朱里準(zhǔn)則。設(shè)H(z)的分母多項式A(z)為

(7.5-16)由A(z)系數(shù)排朱里陣列如下：表中第3、5、…等奇數(shù)行各元素按以下規(guī)則計算：

(7.5-17)

(7.5-18)根據(jù)以上規(guī)則，依次計算奇數(shù)行各元素的值，直到計算出第2n-1行各元素為止。

朱里根據(jù)上述排出的陣列表總結(jié)出判別H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)的充分和必要條件為

(7.5-19)

例7.5-4

已知因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試判據(jù)該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

判別

H(z)的分母多項式為A(z)=12z3－16z2+7z－1，對

A(z)的系數(shù)排朱里陣列表，得由式(7.5-17)分別計算c2、c1、c0，得根據(jù)朱里準(zhǔn)則，由于

可知H(z)的極點全部在z平面單位圓內(nèi)，所以該因果系統(tǒng)穩(wěn)定。7.5.3由H(z)看系統(tǒng)的頻率特性

連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)是系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換?；蛘呃斫鉃?，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含虛軸，將變量s限制在s平面虛軸上取值(s=jω)，這時的s域系統(tǒng)函數(shù)即成了頻響函數(shù)，即

(7.5-20)與之對應(yīng)，離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)(這里ω是數(shù)字角頻率，單位為弧度)是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)的傅里葉變換。也可理解為，若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含z平面上的單位圓，將變量z限制在單位圓上取值(z=ejω)，這時的z域系統(tǒng)函數(shù)即成了頻響函數(shù)，即

(7.5-21)若從雙邊Z變換定義式做如上的變量代換，即得到離散序列的傅里葉變換定義式

(7.5-22)

將式(7.5-3)中的z代換為ejω，得

(7.5-23)在z平面上，復(fù)數(shù)可以用矢量表示，令

(7.5-24a)

(7.5-24b)

式(7.5-24a)稱為極點矢量，式(7.5-24b)稱為零點矢量。式中

Ai、Bj分別是極點矢量與零點矢量的模，θi、ψj分別是極點矢量與零點矢量的輻角，如圖7.5-3所示。圖7.5-3頻響的幾何圖示將式(7.5-24)代入式(7.5-23)得

(7.5-25)由上式寫得系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性分別為