第5章不確定集約束穩(wěn)健波束形成算法

5.1導向矢量不確定集約束的穩(wěn)健Capon波束形成算法5.2穩(wěn)健的LSMI波束形成算法5.3基于線性干擾參數(shù)約束的穩(wěn)健LSMI波束形成算法5.4通用信號模型穩(wěn)健波束形成算法5.5穩(wěn)健的最小方差波束形成算法5.1導向矢量不確定集約束的穩(wěn)健

Capon波束形成算法

5.1.1穩(wěn)健的Capon波束形成算法

假設傳感器天線陣是由M個陣元組成的，若用R表示天線陣列接收數(shù)據(jù)的理論協(xié)方差矩陣，則R為正定矩陣（即R>0），且具有如下形式：(5.1-1)在實際應用中，R通常由樣本協(xié)方差矩陣代替，且有(5.1-2)其中N表示快拍的數(shù)量，而xn表示第n個快拍。（1）確定如下線性約束二次最優(yōu)化問題的解w0：(5.1-3)（2）利用wH0Rw0估計信號功率σ20。

上面最優(yōu)化問題的解可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行推導，即將該解帶入wH0Rw0中可得σ20的估計值：(5.1-4)(5.1-5)然而在實際應用中，準確的導向矢量a0是不可能獲得的，但是可以通過已知的經(jīng)驗知識將a0限制在如下的橢圓不確定集內，即

(5.1-6)

其中a（即a

為有用信號的假定導向矢量）和C（且C>0）為給定參數(shù)。因此，可以將穩(wěn)健Capon波束形成算法重新描述成下面的不需計算中間結果a和w的穩(wěn)健σ20估計問題，即(5.1-7)該最優(yōu)化問題可以描述為協(xié)方差矩陣擬和問題，即對于給定不確定集中的a和R，求解最大的SOI項σ2aHa，使其成為R的一部分，并使R的剩余協(xié)方差矩陣為半正定。因此式(5.1-7)可以簡化為(5.1-8)由于C>0，因此可以對C進行如下形式的矩陣分解，即

(5.1-9)其中對于某些ε>0，有(5.1-10)令故式(5.1-8)可以重寫成：(5.1-11)(5.1-12)因此，不失一般性，C=εI時的最優(yōu)化問題，即為求解下面的在球形不確定集約束下的二次最優(yōu)化問題：(5.1-13)其中ε為導向矢量的球形不確定集約束參數(shù)。5.1.2穩(wěn)健Capon波束形成算法的求解

對于該最優(yōu)化問題，最優(yōu)解顯然取在約束集合的邊界上，故可將上式等價轉化為具有二次等式約束的二次最優(yōu)化問題，即(5.1-14)而在等式約束下，可以最大限度地避免平凡解a=0的出現(xiàn)，除非ε=‖a‖2，即此時a=0位于約束集合的邊界上。對于該等式約束最優(yōu)化問題，可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行有效求解,且有(5.1-14)其中λ為Lagrange乘數(shù)。求解式(5.1-15)關于a的偏導數(shù)，并令其等于零，可得最優(yōu)解，即利用矩陣求逆引理(I－R)－1=I+(I－R)－1R=I+(R－1－I)－1，可得(5.1-16)(5.1-17)如果將式(5.1-17)帶入前面的w0=R－1a0/(aH0R－1a0)，即可得到穩(wěn)健Capon波束形成算法的最優(yōu)加權矢量，即(5.1-18)因此該波束形成算法也屬于對角加載類算法。而最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ可以通過求解約束方程獲得，即(5.1-19)通過分析上面的求解過程可以發(fā)現(xiàn)，應用矩陣求逆前的最優(yōu)解表達式中,λ≠0，而應用矩陣求逆后的最優(yōu)解表達式中,當λ=0時,。5.1.3最優(yōu)Lagrange乘數(shù)的求解

為了利用約束方程求解λ，可對協(xié)方差矩陣R進行特征分解，得

R=U·Σ·UH

(5.1-20)

其中U=［u1,u2,…,uM]為R的特征矢量矩陣，而對角矩陣Σ=［γ1,γ2,…,γM]為相應的特征值矩陣，且假設γ1≥γ2≥…≥γM。故可得約束方程的另一種表示形式：(5.1-21)為了便于分析，令(5.1-22)顯然，當λ≥0時，有(5.1-23)進行化簡，可得由于λ≥0，因此必須有ε≤η。當λ≥0時，g(λ)為λ單調減函數(shù)，而且有(5.1-25)當ε>η時，同樣從約束方程的表達式可以看出，此時的λ必須為負，即λ<0時，方程兩邊才可能相等。其實將約束方程中的g(λ)展開可得(5.1-26)由于h(λ)=1+λ·γm(m=1,…,M)為M個過(0,1)和(－1/γm,0)點的直線，由于－1/γ1≥－1/γ2≥…≥－1/γM，因此，當－1/γ1≤λ≤0時，g(λ)也為單調減函數(shù)。5.1.4仿真分析

1.穩(wěn)健性分析

圖5.1-1給出了信號導向矢量失配存在時的方向圖，其中IdealCapon表示理想條件（無失配）下Capon算法的方向圖，Capon表示失配條件下的方向圖，RobustCapon表示穩(wěn)健算法的方向圖。圖5.1-1Capon波束形成算法的方向圖

2.漸進性分析

為了分析Lagrange乘數(shù)對波束形成算法的影響以及求解的正確性，圖5.1-2給出了信號功率相對于Lagrange乘數(shù)的變化。從圖中可以看出，只有在最優(yōu)Lagrange乘數(shù)（即

λ=－0.2234）處，信號的功率最大。因此最優(yōu)Lagrange乘數(shù)的求解是該算法的關鍵。然而文獻只考慮正的λ值，故不可能取得最優(yōu)的性能改善。圖5.1-2信號功率相對于Lagrange乘數(shù)的變化圖5.1-3給出了信號功率相對于約束參數(shù)的變化。其中子圖（a）為文獻中的求解方法，即只考慮ε<η的約束條件，而子圖（b）為本節(jié)提出的算法。通過比較可知，子圖（a）為子圖（b）的前邊一小部分。圖5.1-3信號功率相對于約束參數(shù)的變化從子圖（b）所示的曲線變化可以看出，隨著約束參數(shù)的增加，信號功率逐漸增大，但是在較小的約束參數(shù)取值區(qū)間，信號功率升高得比較迅速，當約束參數(shù)大于一定數(shù)值后，信號功率增加得比較緩慢，而且趨近于一恒定的常數(shù)。這是因為隨著約束參數(shù)的增加，波束逐漸指向信號的真實方向，而且當約束參數(shù)大于一定的數(shù)值后，波束形成算法的指向性能將會趨于恒定。圖5.1-4給出了最優(yōu)Lagrange乘數(shù)相對于約束參數(shù)的變化，其中子圖（a）和子圖（b）的分析和解釋同圖5.1-3。從圖中可以看出，對于較小的約束參數(shù)，最優(yōu)Lagrange

乘數(shù)為正值，對于較大的約束參數(shù)，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)為負值。圖5.1-4約束參數(shù)變化時的最優(yōu)Lagrange乘數(shù)圖5.1-5給出了信號功率相對于樣本數(shù)量的變化。從圖中的曲線變化可以看出，RobustCapon的信號功率要明顯高于Capon，而且還稍微高于IdealCapon，尤其在小樣本條件下，這是由于其具有更低的旁瓣電平。圖5.1-5信號功率相對于樣本數(shù)量的變化圖5.1-6給出了信號功率相對于信號失配角的變化。從圖中可以看出，隨著信號方向失配的變化，信號功率曲線也相應地進行變化，然而RobustCapon幾乎和IdealCapon具有相同的變化曲線，且遠遠高于Capon，而Capon隨著失配角的增加，信號功率逐漸降低。另外在仿真中，RobustCapon的方向圖準確地指向了實際的信號方向。圖5.1-6信號功率相對于信號失配角的變化5.2穩(wěn)健的LSMI波束形成算法

5.2.1加載樣本矩陣求逆（LSMI）波束形成算法

1.基于最差性能最優(yōu)的自適應波束形成算法

在實際的波束形成應用中，假定的信號導向矢量和其實際值之間或多或少存在一定的失配（誤差），但是導向矢量誤差e的?？梢酝ㄟ^某些已知（人為指定）的常數(shù)ε>0進行約束：

‖e‖≤ε

(5.2-1)當導向矢量誤差的模由上面的約束進行限制時，實際的信號導向矢量c將屬于下面的集合：

A(ε)={(c|c=a+e,‖e‖≤ε}

(5.2-2)

其中a表示估計的（假設的）信號導向矢量。為了獲得良好的穩(wěn)健性，應該對所有屬于集合A(ε)的矢量強加一個約束，即陣列響應的絕對值應該不小于1，故有

|wHc|≥1,c∈A(ε)

(5.2-3)因此，該穩(wěn)健的自適應波束形成算法可以表示為如下所述的約束最小化問題：(5.2-4)其中為樣本協(xié)方差矩陣。將上面的穩(wěn)健波束形成算法與樣本矩陣求逆（SMI）算法進行比較，可以看出，該波束形成算法為SMI算法的改進形式。對于每一個確定的選擇c∈A(ε)，條件|wHc|≥1表示對w的一個非線性、非凸的約束。由于在集合A(ε)中將會

存在無限多個矢量c，所以也就存在無限個這樣的約束條件。因此，該穩(wěn)健波束形成算法是一個半無限非凸的二次問題。為了求解該穩(wěn)健的波束形成算法，必須首先將半無限非凸約束轉化為對應于最差條件下的單一約束。尤其是該穩(wěn)健波束形成算法可以被等價地描述如下：(5.2-5)根據(jù)實際信號導向矢量集合A(ε)的定義，可以將式(5.2-5)的約束條件改寫為其中集合D(ε)的定義如下：

D(ε)={e|‖e‖≤ε}

(5.2-7)應用三角不等式、Cauchy-Schwarz不等式以及不等式關系‖e‖≤ε，可得

|wHa+wHe|≥|wHa|－|wHe|≥|wHa|－ε‖w‖(5.2-8)而且還容易證明：

|wHa+wHe|=|wHa|－ε‖w‖(5.2-9)當且僅當ε足夠小，且滿足：(5.2-10)其中：

j=angle{wHa}(5.2-11)值得注意的是，此處要求|wHa|≥ε‖w‖，否則穩(wěn)健波束形成器的白噪聲增益將變得不充足。故結合式(5.2-8)和式(5.2-9)，可得(5.2-12)這樣半正定非凸（Semi-definitenonconvex）二次約束問題式(5.2-5)可以重新描述為下面的具有單一非線性約束的二次最小化問題：(5.2-13)該波束形成算法中的非線性約束仍然是非凸的，這是由于約束條件的左邊帶有絕對值符號。但是通過觀察目標函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，當加權矢量w進行任意的相位旋轉時，該目標函數(shù)保持不變。如果w0為式(5.2-13)的最優(yōu)解，則通過旋轉w0，可使其相位滿足wHa為實數(shù)，而且此時并不影響目標函數(shù)的取值。這樣，不失一般性，可以選擇w使其滿足：

Re{wHa}≥0

(5.2-14)

Im{wHa}=0

(5.2-15)

利用上面的分析結果，應用Re{wHa}≥0，并將

Im{wHa}=0作為附加約束，則最優(yōu)化問題式(5.2-13)中的約束條件可以重新改寫為

wHa≥ε‖w‖+1

(5.2-16)根據(jù)Im{wHa}=0，由式（5.2-16)可推出Re{wHa}≥0。由于約束條件式(5.2-14)可以由式(5.2-15)進行解釋和保證，故該約束條件可以不必加在最小化問題式(5.2-13)中。因此，上面的波束形成算法可以被重新表示為(5.2-17)

2.加載樣本矩陣求逆（LSMI）波束形成算法及其求解為了闡明上面的最優(yōu)化問題式(5.2-17)，并對其進行有效的求解，注意到式(5.2-5)中的約束條件等價于：(5.2-18)即式(5.2-17)描述的波束形成算法對應于最差性能條件下輸出SINR最大的最優(yōu)化問題。式(5.2-17)的最優(yōu)化問題可以簡化描述為(5.2-19)該最優(yōu)化問題可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解。式(5.2-19)的解可以通過最小化如下所示的函數(shù)獲得，即(5.2-20)其中λ為Lagrange乘數(shù)。對H(w,λ)求相對于參數(shù)w的梯度，并令梯度函數(shù)等于零，可得最優(yōu)的加權矢量：(5.2-21)對式(5.2-21)應用矩陣求逆定理，可得最優(yōu)加權矢量的表達式為(5.2-2２)5.2.2Lagrange乘數(shù)的求解

利用上面的最優(yōu)加權矢量表達式，可得：(5.2-23)(5.2-24)令(5.2-25)求函數(shù)x(λ)關于參數(shù)λ的導數(shù)，即(5.2-26)因此，wHa和wHw可以重新表示如下：(5.2-27)(5.2-28)將式(5.2-27)和式(5.2-28)代入式(5.2-19)中的等式約束條件，并經(jīng)過簡單數(shù)學處理，可以得到關于參數(shù)λ的微分方程：求解該微分方程，可以得到函數(shù)x(λ)的解，即(5.2-29)(5.2-30)其中C為任意常數(shù)。為了分析的方便，令任意常數(shù)C=0，后面將會進行詳細的分析和證明，C的取值并不影響最優(yōu)加載電平的求解。因此，可得關于Lagrange乘數(shù)λ的方程如下所示：(5.2-31)為了求解該方程，首先對樣本協(xié)方差矩陣進行特征分解（EVD），即其中λi(i=1,2，…，N)和ui(i=1,2，…，N)分別為的特征值和特征矢量，N為陣列的自由度。因此，可得加載樣本協(xié)方差矩陣的求逆結果：(5.2-33)(5.2-32)所以，式(5.2-31)可以重新表示為如果可以找到滿足式(5.2-34)的Lagrange乘數(shù)λ，則該Lagrange乘數(shù)λ就是滿足式(5.2-19)中的等式約束的最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ。為了確定Lagrange乘數(shù)λ的取值范圍，假設特征值（特征矢量）按照如下所示的降序進行排列，即

λ1≥λ2≥…≥λN

(5.2-35)

對式(5.2-34)左邊的表達式進行放大和縮小，可以得到如下結論：(5.2-36)(5.2-37)為了分析方便，令(5.2-38)以及(5.2-39)注意到y(tǒng)1(λ)和y2(λ)分別為λ∈R的單調減函數(shù)，而且y1(λ)也是其表達式分母中的每一個變量的單調減函數(shù)。因此，可以得到：以及(5.2-40)(5.2-41)

(1)如果λ>0，利用式(5.2-41)可得：

為了求解該不等式組，必須針對η和ε2的大小關系進行討論。所以當λ>0時，將分別針對η>ε2和η≤ε2兩種情況進行討論。(5.2-42)①如果η>ε2，利用式(5.2-42)可得：(5.2-43)即得Lagrange乘數(shù)的取值范圍：(5.2-44)為了討論在該區(qū)間解的存在性，由y1(λ)和y2(λ)的表達式可得：(5.2-45)(5.2-46)②如果η≤ε2，當取等號時，顯然無解，但是當λ→+∞時，不僅滿足式(5.2-41)，而且還滿足方程(5.2-34)。當取小于號時，利用式(5.2-42)可得：(5.2-47)由于λ>0，因此，沒有解存在并且滿足方程式(5.2-34)。

(2)如果λ<0，則有下面的討論結果：

由于λ<0，所以必須針對λ1+λε2和λN+λε2分別取正負號時進行討論。

①如果λ1+λε2<0，則有λN+λε2<0，因此，利用式(5.2-41)可得(5.2-48)（a)如果η≥ε2，當取等號時，顯然無解，但是當λ→－∞時，不僅滿足式(5.2-41)，而且還滿足方程(5.2-34)。當取大于號時，利用式(5.2-48)可得：(5.2-49)由于λ<0，因此，沒有解存在并且滿足方程式(5.2-34)。（b)如果η<ε2，利用式(5.2-48)可得(5.2-50)由于λ1+λε2<0λ<－λ1／ε2，故可得(5.2-51)又因為(5.2-53)所以，必須針對上面兩種條件分別討論，故有下面的討論結果。

·

如果利用式(5.2-51)可得同樣，可得：(5.2-54)(5.2-55)(5.2-56)

·

如果利用式(5.2-51)可得：同樣，可得(5.2-57)(5.2-58)(5.2-59)②如果λ1+λε2>0，并且λN+λε2<0，則有(5.2-60)由于λ<0，因此，沒有解存在并且滿足方程(5.2-34)。③如果λ1+λε2>0，并且λN+λε2>0，則有(5.2-61)由于λ<0，因此，沒有解存在并且滿足方程(5.2-34)。5.2.3最優(yōu)負加載和約束參數(shù)選取的討論

在前面的分析中，為了簡化，令式(5.2-30)中的常數(shù)C=0。其實對式(5.2-30)利用樣本協(xié)方差矩陣的特征分解結果可得(5.2-62)顯然，當ε≥0時，式(5.2-62)左邊表達式為ε的減函數(shù)，即當C大于零且ε=ε1時的解如果等于無常數(shù)C方程中ε=ε2時的解，則必滿足ε2<ε1，反之亦然。因此常數(shù)

C存在時方程的求解等價于無常數(shù)C時方程的求解，只是對應于不同的ε。故常數(shù)C的存在與否，并不影響方程的求解，只是對于相同的ε，不同的C對應于不同的解。由于ε為人為指定的誤差約束參數(shù)，故理論上可以取大于零的所有值，然而對于小的模約束參數(shù)，導向矢量誤差不在該約束條件之內，或者相對而言約束條件比較弱，但是對于較大的約束參數(shù)，導向矢量誤差滿足約束條件，即約束是起作用的。通過上面的分析可得，當ε→∞時，最優(yōu)加載電平λε2→－λ1（但是λε2<－λ1），即當約束參數(shù)逐漸增大時，最優(yōu)加載電平的取值趨于一常數(shù)，即最優(yōu)加載電平不隨約束參數(shù)的變化而變化。這是因為接收數(shù)據(jù)中的誤差是一定的，故最優(yōu)的加載電平是唯一的，而約束參數(shù)是人為指定的參數(shù)，故最優(yōu)加載電平不應隨約束參數(shù)的變化而變化。5.2.4仿真分析

1.波束形成算法的穩(wěn)健性分析

1)信號方向失配存在時的情況

SMI波束形成算法的方向圖比較結果如圖5.2-1所示。由于信號存在指向失配，即存在導向矢量誤差，因而SMI波束形成算法的主瓣指向偏離了真實的信號方向。圖5.2-1SMI波束形成算法的方向圖

SMI波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于樣本數(shù)量的變化如圖5.2-2所示。仿真中信噪比的計算利用了公式(5.2-63)其中σ2s為信號功率，s為信號導向矢量，R為陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，而w為加權矢量。為了簡化仿真，設置σ2s=1。從圖5.2-2中的曲線變化可以看出，LSMI的SNR相對于SMI要高很多，大約有5dB，這是由于LSMI的方向圖準確

地指向了信號的真實方向，而SMI的指向具有一定的偏差。圖5.2-2中LSMI的SNR起伏較大是由模約束參數(shù)的選擇引起的，其中模約束參數(shù)始終選擇為假定信號導向矢量模值的5倍，但是協(xié)方差矩陣不同，因而最優(yōu)Lagrange乘數(shù)的求解結果也就不同，進而影響輸出的SNR。圖5.2-2樣本數(shù)量變化時的輸出SNR

SMI波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于信號方向失配的變化如圖5.2-3所示。從圖中可以看出，隨著信號方向失配的變化，SNR曲線也相應地進行變化。顯然隨

著失配角的增加，SNR迅速下降，當失配的角度誤差在

［-7°,7°］的范圍之內變化時，LMSI與理想情況下的SMI（其標記為Ideal-SMI）具有相當?shù)腟NR。另外，在仿真中，LSMI的方向圖也準確地指向了實際的信號方向。圖5.2-3信號方向失配變化時的輸出SNR

2）理想情況

SMI波束形成算法在理想情況下的方向圖比較結果如圖5.2-4所示。兩個方向圖在形狀上幾乎是相同的，不同之處是方向圖的旁瓣增益。通過比較可知，LSMI波束形成算法具有較高的主瓣電平和較低的旁瓣電平。圖5.2-4理想情況下的SMI方向圖

SMI波束形成算法在理想情況下的輸出信噪比（SNR）相對于樣本數(shù)量的變化如圖5.2-5所示。從圖中的曲線變化可以看出，隨著樣本數(shù)量的變化，SNR曲線也相應地進行變化。同樣地，LSMI的SNR曲線比SMI的SNR曲線要高，這是由于LSMI比SMI具有更高的方向圖主瓣以及較低的旁瓣，而且隨著樣本數(shù)量的增加，SNR曲線趨于相同的數(shù)值。圖5.2-5理想情況下樣本數(shù)量變化時的輸出SNR

2.Lagrange乘數(shù)λ對波束形成算法的影響分析

對于LSMI波束形成算法，關鍵是求解最優(yōu)加載電平，也就是必須準確地求解Lagrange乘數(shù)。為了分析對角加載對SMI的影響以及求解的正確性，進行如下的仿真分析。波束形成算法方向圖相對于Lagrange乘數(shù)λ的變化情況如圖5.2-6和圖5.2-7所示。圖5.2-6Lagrange乘數(shù)λ變化時的方向圖（1）當Lagrange乘數(shù)λ在［0，5λ1/ε2]內變化，且ε取

值為信號導向矢量模值的5倍時，LSMI的方向圖變化如圖5.2-7所示。其中也給出了參考方向圖用于比較，相關的注釋同圖5.2-6。從圖中可以看出，Lagrange乘數(shù)λ由0到正的最大值5λ1/ε2之間變化時，LSMI波束形成算法的方向圖也隨之變化，但是變化不大，這也可以利用圖5.2-8中的SNR曲線進行解釋。圖5.2-7Lagrange乘數(shù)λ變化時的方向圖（2）

LSMI波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于Lagrange乘數(shù)的變化如圖5.2-8所示。從圖中的曲線變化可以看出，負加載的SNR要稍微高于正加載的SNR，而且在最優(yōu)的負加載時，SNR將達到最大。該仿真分析結果與圖5.2-6和圖5.2-7中的方向圖結果是一致的。圖5.2-8Lagrange乘數(shù)λ變化時的輸出SNR

3.模約束參數(shù)對波束形成算法的影響分析

LSMI波束形成算法方向圖相對于模約束參數(shù)的變化如圖5.2-9和圖5.2-11所示。

當模約束參數(shù)在假定導向矢量模的0倍到2.5倍之間變化時，LSMI的方向圖變化如圖5.2-9所示。

其中給出了參考方向圖用于比較，并在圖中標注為5×NormofSSV=15.8114，它對應于信號導向矢量模值的5倍，即模約束參數(shù)值等于15.8114。圖5.2-9LSMI波束形成算法方向圖相對于模約束參數(shù)的變化（1）圖5.2-10最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍相對于模約束參數(shù)的變化（1）圖5.2-11LSMI波束形成算法方向圖相對于模約束參數(shù)的變化（2）當模約束參數(shù)在假定導向矢量模的0倍到2.5倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍如圖5.2-10所示。

從圖5.2-10中可以看出，模約束參數(shù)在假定導向矢量模的0倍到2.5倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍也隨之變化。當模約束參數(shù)小于假定導向矢量模的1倍時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍都為正的實數(shù)，即此時所對應的加載為正的對角加載；當模約束參數(shù)大于假定導向矢量模的1倍時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍都為負的實數(shù)，即此時所對應的加載為負的對角加載，而且負加載的性能優(yōu)于正加載的性能，這與理論分析的結果相一致。當模約束參數(shù)在假定導向矢量模的2.5倍到15倍之間變化時，LSMI的方向圖變化如圖5.2-11所示。其中也給出了參考方向圖用于比較，相關注釋同圖5.2-9。從圖中可以看出，模約束參數(shù)在假定導向矢量模的1.5倍到8倍之間變化時，LSMI波束形成算法的方向圖也隨之變化，但是變化非常小，而且方向圖的主瓣基本指向信號的真實方向，不同之處是方向圖的增益逐漸增加。當模約束參數(shù)在假定導向矢量模的2.5倍到15倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍如圖5.2-12所示。從圖中可以看出，模約束參數(shù)在假定導向矢量模的2.5倍到15

倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍也隨之變化，而且都為負的實數(shù)，并隨著模約束參數(shù)的增加，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍向零值靠近，取值范圍進一步

縮小。圖5.2-12最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍相對于模約束參數(shù)的變化（2）為了分析方便，將圖5.2-10和圖5.2-12合在一起，可得最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍相對于模約束參數(shù)的變化如圖5.2-13所示。從圖中可以看出，模約束參數(shù)決定著最優(yōu)

Lagrange乘數(shù)及其取值范圍，而且當模約束參數(shù)較小時為正的對角加載，當模約束參數(shù)較大時為負的對角加載。圖5.2-13最優(yōu)Lagrange乘數(shù)及其取值范圍相對于模約束參數(shù)的變化當模約束參數(shù)在假定導向矢量模的0到15倍之間變化時，最優(yōu)加載電平相對于模約束參數(shù)變化如圖5.2-14所示。從圖中可以看出，模約束參數(shù)在假定導向矢量模的0倍到15倍之間變化時，最優(yōu)加載電平也隨之變化，而且對于較小的模約束參數(shù)，最優(yōu)加載電平為正值，對于較大的模約束參數(shù)，最優(yōu)加載電平為負值。圖5.2-14最優(yōu)加載電平相對于模約束參數(shù)的變化當模約束參數(shù)逐漸增加時，最優(yōu)加載電平趨于恒定，即當模約束參數(shù)大于一定數(shù)值時，通過增加模約束參數(shù)對LSMI的性能改善不大。這是因為對于已知的接收數(shù)據(jù)，誤差是一定的，因此最優(yōu)的加載電平也是一定的，而由于最優(yōu)加載電平為λε2，因此對于一定的加載電平，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)與模約束參數(shù)成反比，即當模約束參數(shù)增大時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)將變小，這與圖5.2-13中的曲線相

一致。

LSMI波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于模約束參數(shù)的變化如圖5.2-15所示。從圖中的曲線變化可以看出，隨著模約束參數(shù)的增加，SNR逐漸升高，但是在較小的模約束參數(shù)取值區(qū)間，SNR升高得比較迅速，當模約束參數(shù)大于一定數(shù)值后，SNR增加得比較緩慢，而且趨近于一恒定的常數(shù)，這與圖5.2-9和圖5.2-11中的方向圖分析結果相一致。圖5.2-15模約束參數(shù)變化時的輸出SNR5.3基于線性干擾參數(shù)約束的穩(wěn)健LSMI

波束形成算法

5.3.1基于線性干擾參數(shù)約束的LSMI波束形成算法

基于線性干擾參數(shù)約束的穩(wěn)健LSMI波束形成算法具有如下的數(shù)學描述：(5.3-1)其中C為干擾約束矩陣，f為干擾約束值矢量，而其它參數(shù)同式(5.2-19)。為了簡化，將該穩(wěn)健的波束形成算法簡記為LJC-LSMI波束形成算法。通過比較可知，相對于LSMI，LJC-LSMI增加了對干擾信號參數(shù)的穩(wěn)健性約束；相對于LCMP，LJC-LSMI增加了對有用信號參數(shù)的穩(wěn)健性約束。LJC-LSMI波束形成算法可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解，其最小化函數(shù)（Lagrange函數(shù)，f(w,λ,μ)）為(5.3-2)其中λ為實值Lagrange乘數(shù)，μ為Lagrange乘數(shù)矢量，(·)H表示復共軛。為了求解f(w,λ,μ)，先求其關于w的復梯度，并令其結果等于零，可得或者(5.3-３)(5.3-4)為了求解μ，將上式所示的最優(yōu)解代入LJC-LSMI最優(yōu)化問題的約束條件CHw=f，可得(5.3-5)求解該方程可得(5.3-6)為了求解Lagrange乘數(shù)λ，必須將最優(yōu)解代入LJC-LSMI最優(yōu)化問題的約束條件|wHa－1|2=ε2wHw，即將如下所示的最優(yōu)權矢量：(5.3-7)代入方程(5.3-8)中進行求解，即通過Newton等方法解出最優(yōu)的Lagrange乘數(shù)。如果仿照從式(5.2-21)到式(5.2-22)的變換方式，式(5.3-7)所示的加權矢量也可以表示成樣本協(xié)方差矩陣的加載形式，即也可以將LJC-LSMI波束形成算法化歸于對角加載技術。由上面的LJC-LSMI權矢量表達式可得

w=wLJC+wLSMI

(5.3-9)

其中(5.3-10)(5.3-11)即LJC-LSMI的加權矢量是由線性干擾約束權矢量wLJC和LSMI權矢量wLSMI組成的。其中wLSMI用于克服有用信號導向矢量失配，而wLJC用于抑制干擾信號。

而且從LSMI和LJC-LSMI的表達式可以看出，LSMI是LJC-LSMI的一個特例，而LJC-LSMI是LSMI的擴展。5.3.2仿真分析

仿真中信噪比的計算利用了以下公式：其中σ2s為信號功率，s為信號導向矢量，R為陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，而w為加權矢量，為了簡化仿真，其中設置σ2s=1。(5.3-12)

1.波束形成算法的有效性分析

波束形成算法的方向圖比較如圖5.3-1所示，其中給出了理想情況下的LCMP方向圖（圖中標注為Ideal-LCMP）。由于信號指向失配的存在，LCMP波束形成算法的主瓣指向偏離了真實的信號方向，但是在兩個干擾方向具有深深的凹口。圖5.3-1波束形成算法的方向圖波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于樣本數(shù)量的變化如圖5.3-2所示。其中LJC-LSMI的SNR遠遠優(yōu)于LCMP和LSMI，這是由于LJC-LSMI的波束準確地指向了信號的真實方向，而LCMP的指向具有一定的偏差。LSMI的SNR最低是由于LSMI不具有干擾抑制能力，所以信號的輸出相對較小。圖5.3-2輸出SNR相對于樣本數(shù)量的變化波束形成算法的輸出信噪比（SNR）相對于信號方向

失配角的變化如圖5.3-3所示。隨著信號方向失配角的變化，SNR曲線也相應地進行變化，當失配的角度誤差在

［－8°,8°］的范圍之內變化時，相對于LCMP和Ideal-SMI，LJC-LSMI具有較高的SNR。而且在仿真中，LJC-LSMI的方向圖不僅準確地指向了實際的信號方向，而且在干擾方向形成了較深的凹口。圖5.3-3輸出SNR相對于信號失配角的變化

2.Lagrange乘數(shù)λ對波束形成算法的影響分析

LJC-LSMI波束形成算法的方向圖相對于Lagrange乘數(shù)λ的變化如圖5.3-4和圖5.3-5所示。當Lagrange乘數(shù)λ在

［－λ1/ε2,0]內變化，且ε取值為假定信號導向矢量模值的5倍時，LJC-LSMI的方向圖變化如圖5.3-4所示，其中給出了在最優(yōu)加載條件下的方向圖（圖中標注為LJC-LSMI，

－0.019487是當ε取值為假定信號導向矢量模值的5倍時，計算出的最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ）用于比較。圖5.3-4Lagrange乘數(shù)λ變化時的方向圖（1）當Lagrange乘數(shù)λ在［0，λ1/ε2]內變化，且ε取值為假定信號導向矢量模值的5倍時，LJC-LSMI的方向圖變化如圖5.3-5所示，其中也給出了在最優(yōu)加載條件下的方向圖（注釋意義同圖5.3-4）用于比較。隨著Lagrange乘數(shù)λ由0到正的最大值λ1/ε2之間變化時，LJC-LSMI的方向圖也隨之變化，但是變化不大，盡管性能有一定的改善，但是改善也不明顯。圖5.3-5Lagrange乘數(shù)λ變化時的方向圖（2）

LJC-LSMI的輸出信噪比（SNR）相對于Lagrange乘數(shù)λ的變化如圖5.3-6所示。從圖中的曲線變化可以看出，負加載的SNR要明顯高于正加載的SNR，而且在最優(yōu)的負加載時，SNR將達到最大。該仿真分析結果與圖5.3-4和圖5.3-5中的方向圖結果是一致的。因此，對于LJC-LSMI波束形成算法，最優(yōu)加載電平的求解是獲得最優(yōu)性能的關鍵。圖5.3-6Lagrange乘數(shù)λ變化時的輸出SNR

3.模約束參數(shù)ε對波束形成算法的影響分析

模約束參數(shù)ε的選擇是LJC-LSMI算法實現(xiàn)的關鍵問題之一，其方向圖相對于模約束參數(shù)ε的變化如圖5.3-7和圖5.3-9所示。當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到5倍之間變化時，LJC-LSMI的方向圖變化如圖5.3-7所示。隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到5倍之間變化時，LJC-LSMI的方向圖也隨之變化，而且隨著約束參數(shù)ε的增加，方向圖的主瓣逐漸指向信號的真實方向。圖5.3-7模約束參數(shù)ε變化時的方向圖（1）圖5.3-8ε變化時的最優(yōu)λ及其取值范圍（1）當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到5倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍如圖5.3-8所示。隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到5倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍也隨之變化，在仿真分析中發(fā)現(xiàn)，當模約束參數(shù)ε小于假定導向矢量模的1倍時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍都為正的實數(shù)。當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的5倍到10倍之間變化時，LJC-LSMI的方向圖變化如圖5.3-9所示。隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的5倍到10倍之間變化時，LJC-LSMI的方向圖也隨之變化，但是變化非常小，而且方向圖的主瓣基本指向信號的真實方向。圖5.3-9模約束參數(shù)ε變化時的方向圖（2）當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的5倍到10倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍如圖5.3-10所示。

隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的5倍到10倍之間變化時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍也隨之變化，而且都為負的實數(shù)，并隨著模約束參數(shù)ε的增加，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍向零值靠近，取值范圍進一步縮小。圖5.3-10ε變化時的最優(yōu)λ及其取值范圍（2）將圖5.3-8和圖5.3-10結合在一起進行分析，可得最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍相對于模約束參數(shù)ε的變化情況。模約束參數(shù)ε決定著最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ及其取值范圍，而且當模約束參數(shù)ε較小時為正的對角加載，而當模約束參數(shù)ε較大時為負的對角加載，從圖5.3-7和圖5.3-9中的方向圖變化可知，負加載要遠遠優(yōu)于正加載。當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到10倍之間變化時，最優(yōu)加載電平λε2相對于模約束參數(shù)ε變化如圖5.3-11所示。隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到10倍之間變化時，最優(yōu)加載電平λε2也隨之變化，而且對于較小的模約束參數(shù)ε，最優(yōu)加載電平為正值，對于較大的模約束參數(shù)ε，最優(yōu)加載電平為負值。當模約束參數(shù)ε逐漸增加時，最優(yōu)加載電平趨于恒定，即當模約束參數(shù)ε大于一定數(shù)值時，通過增加模約束參數(shù)ε，對LJC-LSMI的性能改善不大。這是因為對于已知的接收數(shù)據(jù)，誤差是一定的，故最優(yōu)的加載電平也是一定的，由于最優(yōu)加載電平為λε2，因此對于一定的加載電平，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ與模約束參數(shù)ε成反比，即當模約束參數(shù)ε增大時，最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ將變小，這與圖5.3-10中的曲線相一致。圖5.3-11模約束參數(shù)ε變化時的最優(yōu)加載電平當模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到10倍之間變化時，LJC-LSMI的輸出SNR相對于模約束參數(shù)ε的變化如圖5.3-12所示。隨著模約束參數(shù)ε在假定導向矢量模的0倍到10倍之間變化時，輸出SNR也隨之變化，而且對于較小的模約束參數(shù)ε，SNR變化比較劇烈，這是由于波束形成算法的指向變化較大，對于較大的模約束參數(shù)ε，SNR變化比較平緩，而且趨近于一恒定的常數(shù)。圖5.3-12模約束參數(shù)ε變化時的輸出SNR5.4通用信號模型穩(wěn)健波束形成算法

5.4.1信號與算法模型

對于窄帶波束形成器（narrowbandbeamformer），其輸出可以表示為

y(k)=wHx(k)(5.4-1)

其中k為時間序號（timeindex），x(k)=［x1(k),…,xM(k)]T為M×1維的陣列接收復數(shù)據(jù)矢量，w=［w1,…,wm]T為波束形成器的M×1維復加權矢量，而M為陣列傳感器的數(shù)量，(·)T和(·)H分別表示矩陣的轉置和Hermitian轉置運算。陣列的接收數(shù)據(jù)矢量（訓練快拍）為

x(k)=s(k)+i(k)+n(k)(5.4-2)其中s(k)、i(k)和n(k)分別為相互統(tǒng)計獨立的有用信號、干擾和傳感器噪聲。加權矢量可以通過最大化信干噪比（SignaltoInterferenceplusNoiseRatio，SINR）來獲得：

其中:

Rs=E{s(k)sH(k)}(5.4-4)Ri+n=E{(i(k)+n(k))(i(k)+n(k))H}(5.4-5)(5.4-3)分別為M×M維的信號和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，E{·}表示進行統(tǒng)計期望（statisticalexpectation）運算。一般情況下，矩陣Rs的秩（rank）是可以任意取值的，即

1≤rank{Rs}≤M(5.4-6)

對于點信號源（pointsignalsource）的特殊情況，s(k)=

s(k)as，Rs=σ2sasaHs。其中s(k)為零均值的信號波形，σ2s=E{|s(k)|2}為s(k)的方差，as為信源的導向矢量。對于該特殊場景，rank{Rs}等于1，而且式(5.4-3)可以簡化為

(5.4-7)

然而在許多實際環(huán)境中，rank{Rs}>1。對于非相干散射信號源（incoherentlyscatteredsource）的情況，Rs具有如下的形式：(5.4-8)其中ρ(θ)為歸一化角度功率譜密度（normalizedangularpowerdensity），且滿足：(5.4-9)對于隨機起伏波前的情況，信號協(xié)方差矩陣具有另一種形式：(5.4-10)其中B為M×M維的相干損失矩陣（coherencelossmatrix），而“”表示Schur-Hadamard（逐元數(shù)）矩陣乘積。常用的兩種相干損失矩陣模型為：［B]m,n=exp{－(m－n)2ζ}

(5.4-11)［B]m,n=exp{－|m－n|ζ}

(5.4-12)其中ζ為相干損失參數(shù)(coherencelossparameter)。在這種一般情況下，通過保證有用信號的無失真陣列響應條件下使得輸出干擾加噪聲的功率最小，可以容易地

得到陣列加權矢量的最優(yōu)解，即(5.4-13)該最優(yōu)化問題的解可以通過最小化如下函數(shù)獲得：(5.4-14)其中λ為Lagrange乘數(shù)。求該式的梯度并令其等于零，可得式(5.4-13)的解，即由下面的廣義特征值問題(generalizedeigenvalueproblem)所給出的最優(yōu)解：

Ri+nw=λRsw(5.4-15)

其中的Lagrange乘數(shù)λ可以看做是相應的廣義特征值(generalizedeigenvalue)?？梢钥闯鲈撌降乃袕V義特征值為非負實數(shù)(non-negativerealnumber)。實際上，利用上式可得wHRi+nw=λwHRsw，再利用矩陣Ri+n和Rs為半正定矩陣(positivesemidefinite)的性質，可知λ永遠都為實的、非負的。

因此，最優(yōu)化問題式(5.4-13)的解為矩陣束(matrixpencil){Ri+n,Rs}的最小廣義特征值所對應的廣義特征矢量(generalizedeigenvector)。給式(5.4-15)的兩邊乘以R－1i+n，可得如下矩陣方程：顯然，該式即為矩陣R－1i+nRs的特征方程（characteristicequation）。對于非負的特征值λ，式(5.4-15)中的最小廣義特征值λmin對應于式(5.4-16)中的最大特征值1/λmin。利用該關系式，最優(yōu)加權矢量可以明確地表示為

wopt=P{R－1i+nRs}(5.4-17)

其中P{·}表示計算矩陣的主特征矢量(principaleigenvector)運算，即計算矩陣的最大特征值所對應的特征矢量。根據(jù)最優(yōu)化問題式(5.4-13)，以及任意特征矢量可以按照任意的方式進行歸一化的事實，最終的加權矢量應當進行歸一化并使其滿足式(5.4-13)中的約束條件wHRsw=1。如果將式(5.4-17)中的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Ri+n利用訓練數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣（trainingdatacovariancematrix）R來替換，則其最優(yōu)解將不會變化，其中R由下式給出：

R=E{x(k)xH(k)}=Ri+n+Rs

(5.4-18)

因此，根據(jù)上面的分析和推導可直接得出：及(5.4-19)(5.4-20)在實際應用中，真實的協(xié)方差矩陣Ri+n和Rs是不可能獲得的，而且必須進行估計。因此通常利用樣本協(xié)方差矩陣(samplecovariancematrix)(5.4-21)來代替Ri+n，其中N為訓練快拍的數(shù)量，通常稱之為訓練樣本數(shù)量（trainingsamplesize）。推廣形式樣本矩陣求逆（samplematrixinverse）波束形成器：對于失配情況，存在如下關系式：其中Δ為一個未知的Hermitian誤差矩陣，用來描述前面所述的有用信號陣列響應失配（desiredsignalarrayresponsemismatch）的影響。(5.4-2２)(5.4-23)5.4.2穩(wěn)健波束形成算法的模型

利用某些已知的常數(shù)ε>0進行范數(shù)約束，即

‖Δ‖≤ε

(5.4-24)

其中‖·‖表示矩陣的Frobenius范數(shù)。為了改善對于任意有用信號失配的穩(wěn)健性，將傳統(tǒng)的最小無失真響應（MVDR）問題進行如下修改，即替換只對假定有用信號要求的固定無失真響應，取而代之的是對于所有可能的有用信號保持無失真響應，即要求：

wH(Rs+Δ)w≥σε,‖Δ‖≤ε

(5.4-25)

其中w為波束形成算法的加權矢量，而σε為約束條件中的最小無失真響應值，其值取決于失配約束參數(shù)ε?；谧畈钚阅茏顑?yōu)的穩(wěn)健波束形成算法可以描述為：其中R為樣本協(xié)方差矩陣。需要指出的是，式(5.4-25)描述的無失真響應約束可以重新改寫為下面的等價形式：(5.4-26)(5.4-27)為了簡化式(5.4-27)，必須首先求解下面約束最小化問題的最優(yōu)解：(5.4-28)通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，式(5.4-28)中的目標函數(shù)wH(Rs+Δ)w相對于最優(yōu)化變量Δ是線性的。由于目標函數(shù)的線性特性，可知式(5.4-28)中的不等

式約束‖Δ‖≤ε可以利用等式約束‖Δ‖=ε進行等價

替換，或等價地利用下式替換：

‖Δ‖2=ε2(5.4-29)

故上面的最優(yōu)化問題式(5.4-28)可以利用Lagrange乘數(shù)方法通過最小化下面的函數(shù)來求解：

L(Δ，λ)=wH(Rs+Δ)w+λ(‖Δ‖2－ε2)(5.4-30)求該式的梯度，可得其中trace(·)表示矩陣的求跡運算，而且此處利用了Δ的Hermitian特性。計算該梯度并令其等于零，可得(5.4-31)(5.4-32)將式(5.4-32)帶入式(5.4-29)中，當λ≥0時，可得將式(5.4-33)帶入式(5.4-32)，可得L(Δ,λ)的最小值取在(5.4-33)(5.4-34)顯然，該式即為最優(yōu)化問題式(5.4-28)的解。因此，利用該式，式(5.4-25)可以重新改寫為

wH(Rs－εI)w=σε(5.4-35)

其中I表示單位矩陣。故此處將無限多不等式約束式(5.4-25)轉化為最差情況時的單一約束式(5.4-35)。因此原始的穩(wěn)健波束形成問題可以重新描述為

(5.4-36)由于ε是人為指定的用于約束失配量的參數(shù)，因此理論上ε可以取大于等于零的所有值。然而從上式的約束條件可得wHRsw=εwHw+σε，因此若加權矢量的模恒定不變，例如假設為歸一化值，則無失真響應約束條件實際上是保證假定信號的無失真響應。5.4.3穩(wěn)健波束形成算法的求解

上面的簡化波束形成算法可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解，其解可以通過最小化如下的函數(shù)獲得：

G(w,λ)=wHRw+λ(σε－wH(Rs－εI)w)(5.4-37)

其中λ為Lagrange乘數(shù)。求上式的梯度并令其為零，可得具有如下廣義特征方程形式的解，即

R·w=λ·(Rs－εI)·w(5.4-38)其中Lagrange乘數(shù)λ可以看做相應的廣義特征值。因此簡化波束形成算法的最優(yōu)解就是矩陣束{R,(Rs－εI)}的最小廣義特征值所對應的廣義特征矢量。對上式兩邊乘上R－1可得

(5.4-39)

該式就是矩陣R－1(Rs－εI)的特征方程。利用廣義特征方程可得

wH·R·w=λ·wH·(Rs－εI)·w

(5.4-40)

由于R為正定矩陣，因此Lagrange乘數(shù)λ和wH(Rs－εI)

w具有相同的符號，而且利用上式可以得到更加簡化的

G(w,λ)，即

G(w,λ)=λσε(5.4-41)

因此，G(w,λ)將始終保持為非負值。為了使得G(w,λ)最小，應取廣義特征方程的最小特征值為最優(yōu)Lagrange乘數(shù)λ。由于廣義特征方程中的最小廣義特征值對應于特征方

程中的最大特征值，因此，最優(yōu)權矢量可以表示為

w=P{R－1(Rs－εI)}(5.4-42)

其中P{·}表示求矩陣的主特征矢量算子，即對應于最大特征值的特征矢量。由于特征矢量可以按照任意方式進行歸一化，因此可以對上式的最優(yōu)加權矢量按照約束條件進行歸一化，使其滿足wH(Rs－εI)w=σε，且并不影響輸出的信噪比。因此，對權矢量的歸一化是無關緊要的，同樣σε的選擇也不重要，但必須滿足約束條件。

其實在求解過程中，盡管約束條件中的無失真響應最小值參與了求解，然而并沒有出現(xiàn)在最優(yōu)解的表達式中，即最小的無失真響應值對求解結果沒有影響。5.4.4穩(wěn)健波束形成算法的對角加載解釋

利用前面的廣義特征方程可得

(R+λεI)·w=λ·Rs·w(5.4-43)

對上式兩邊乘上(R+λεI)－1可得(5.4-44)當Lagrange乘數(shù)λ滿足上面的等式時，上式也可以看做是矩陣(R+λεI)－1Rs的特征方程。同樣由于廣義特征方程中的最小廣義特征值對應于特征

方程中的最大特征值，因此，最優(yōu)加權矢量也可以表示為

w=P{(R+λεI)－1Rs}

(5.4-45)

而該最優(yōu)加權矢量具有對角加載的形式，所以該穩(wěn)健的波束形成算法也歸屬于對角加載類波束形成算法。然而對于該解，關鍵是求解最優(yōu)的加載電平，即λε。5.4.5穩(wěn)健波束形成算法的擴充

如果再考慮其它的失配類型，例如由數(shù)據(jù)非平穩(wěn)性、小訓練樣本數(shù)量以及均衡誤差等引起的所有失配，那么在假定的樣本協(xié)方差矩陣R和其真實值之間也會具有一定的失配，即(5.4-46)其中Δ1為一未知的Hermitian誤差矩陣，即用于描述其它陣列響應失配的影響，同樣可以利用某些已知的常數(shù)γ>0對其范數(shù)進行約束，即

‖Δ1‖≤γ(5.4-47)

則上面的穩(wěn)健波束形成算法可以擴充為下式：(5.4-48)其中Δ2描述了有用信號的失配，即和前面的Δ意義相同。為了求解最優(yōu)化問題式(5.4-48)，首先求解下面的簡化問題：(5.4-49)將該問題重新表示為(5.4-50)利用與5.4.2節(jié)相同的推導方法，可得最大化問題式(5.4-48)的解為

同樣，利用前面的求解結果，可將約束

wH(Rs+Δ2)w≥σε,‖Δ2‖≤ε

(5.4-52)

利用它的等價形式進行描述。(5.4-51)利用上面的推導結果可將最優(yōu)化問題式(5.4-48）改寫為如下更加簡單的等價形式：利用與5.4.2節(jié)相同的推導方法，可得最大化問題式(5.4-48)的解為(5.4-53)(5.4-54)(5.4-55)5.4.6仿真分析

1.穩(wěn)健性分析

圖5.4-1給出了點散射源在有用信號失配存在時的方向圖，其中Ideal-SMI表示理想條件（無失配）下樣本協(xié)方差矩陣求逆（SMI）算法（即MVDR）的方向圖，SMI表示失配條件下的方向圖，WCPO表示最差性能最優(yōu)（WCPO）穩(wěn)健算法的方向圖。圖5.4-1有用信號失配存在時的方向圖（點散射源場景）仿真中的信號位于0°，信噪比為－5dB，信號失配

是通過信號的指向失配引入的，指向失配角為5°，其

約束參數(shù)選擇為假定協(xié)方差矩陣范數(shù)的10倍，而‖Δ2‖=

6.96，‖Rs‖=10，即ε=100，滿足失配約束條件。從方向圖的比較可以看出，SMI具有一定的指向誤差，而CPO準確地指向了信號的真實方向，而且有些方向相對于Ideal-SMI具有更低的旁瓣。圖5.4-2給出了點散射源在有用信號和其它失配存在時的方向圖，其中有用信號失配參數(shù)同圖5.4-1，而其它失配是通過一Hermitian誤差矩陣引入的，其約束參數(shù)選擇為數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣范數(shù)的1倍，而‖Δ1‖=6.01，‖R‖=8.25，即γ=8.25，滿足失配約束條件。圖5.4-2有用信號和其它失配存在時的方向圖（點散射源場景）從方向圖的比較可以看出，SMI不僅具有一定的指向誤差，而且具有較高的旁瓣，而WCPO準確地指向了信號的真實方向，而且在有些方位具有較低的旁瓣。由于其它失配參數(shù)的注入，并利用其失配約束參數(shù)參與最優(yōu)權矢量的求解，因此通過加載損失了較大的自由度。圖5.4-3給出了空間分布散射源在有用信號失配存在時的方向圖。仿真中共有三個空間信號（分別位于－10°，0°，20°），信噪比都為－5dB，信號失配也是通過指向失配引入的，指向失配角也都為5°，其約束參數(shù)選擇

為假定信號協(xié)方差矩陣范數(shù)的10倍，而‖Δ2‖=3.52，

‖Rs‖=5.73，即ε=57.3，滿足失配約束條件。圖5.4-3有用信號失配存在時的方向圖（空間分布散射源景）圖5.4-4給出了空間分布散射源在有用信號和其它失

配存在時的方向圖，其中有用信號失配參數(shù)同圖5.4-3，

而其它失配是通過一Hermitian誤差矩陣引入的，其約束

參數(shù)選擇為誤差協(xié)方差矩陣范數(shù)的1倍，而‖Δ1‖=5.04，

‖R‖=18.67，即γ=18.67，滿足失配約束條件。圖5.4-4有用信號和其它失配存在時的方向圖（空間分布散射源場景）

2.漸進性分析

仿真中信噪比的計算利用了以下公式：(5.4-56)其中Rs為信號協(xié)方差矩陣，R為陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，而w為加權矢量。圖5.4-5和圖5.4-6分別給出了文獻［5］和本節(jié)方法對于點散射源在信號失配存在時，Lagrange乘數(shù)（λ）、加載電平（γ+λε）、約束條件（wH(Rs－εI)w）和SNR相對于信號失配約束參數(shù)（ε）的變化，其中γ=0。子圖（1）為最優(yōu)Lagrange乘數(shù)和最優(yōu)加載電平相對于信號失配約束參數(shù)的變化，子圖（2）為波束形成算法的約束條件相對于信號失配約束參數(shù)的變化，子圖（3）為波束形成算法的輸出SNR相對于信號失配約束參數(shù)的變化。圖5.4-5信號失配約束參數(shù)對波束形成算法的影響（1）通過比較圖5.4-5和圖5.4-6可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)所提出的求解方法獲得了最優(yōu)的性能，相對于原文獻［5］中的正加載，本節(jié)所提出方法SNR的改善大約有7dB。而且通過對角加載解釋算法可以看出，即子圖（1）中的(γ+λε)，本節(jié)所提出算法在最優(yōu)性能改善時為負加載，即負加載可以獲得最優(yōu)的性能，這與文獻［5］具有本質的區(qū)別，重要的是，獲得了最優(yōu)的性能改善，也使得約束參數(shù)的選取更加簡單。圖5.4-6信號失配約束參數(shù)對波束形成算法的影響（2）圖5.4-7給出了點散射源在其它失配存在時，Lagrange乘數(shù)（λ）、加載電平（γ+λε）、約束條件（wH(Rs－εI)w）和SNR相對于其它失配約束參數(shù)（γ）的變化，其

中ε=100。子圖的參數(shù)和曲線意義同圖5.4-5和圖5.4-6。圖5.4-7其它失配約束參數(shù)對波束形成算法的影響圖5.4-8給出了點散射源在信號失配存在時，SNR相對于樣本數(shù)量的變化。從圖中的曲線變化