暑假預(yù)習(xí)課人教版20252026學(xué)年度第一學(xué)期九上數(shù)學(xué)第24章《圓》第2課時(shí)垂徑定理及推論學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________用時(shí)：___________垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.如圖1－24－37－1，根據(jù)垂徑定理寫(xiě)出幾何語(yǔ)言：圖1－24－37－1∵CD是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點(diǎn)E，∴AE＝BE，eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AD))＝eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(BD))，eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(BC)).垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論可分為五個(gè)部分：①過(guò)圓心；②垂直于弦(不是直徑)；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.若其中的兩個(gè)成立，則其余三個(gè)也成立，習(xí)慣上說(shuō)為“知二推三”.如圖1－24－38－1，根據(jù)垂徑定理的推論寫(xiě)出幾何語(yǔ)言：圖1－24－38－1∵直徑CD與弦AB相交于點(diǎn)E，AE＝BE，∴CD⊥AB，eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AD))＝eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(BD))，eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(BC)).知識(shí)點(diǎn)1：運(yùn)用垂徑定理計(jì)算【例1】，在⊙O中，OC⊥AB于點(diǎn)C.(1)若半徑為5，OC＝3，則弦AB＝；(2)若弦AB＝12，OC＝3，則半徑為；(3)若半徑為13，弦AB＝24，則OC＝.知識(shí)點(diǎn)2：垂徑定理中的方程思想【例2】如圖，AB為⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，且CD＝1.求⊙O的半徑.知識(shí)點(diǎn)3：運(yùn)用垂徑定理證明【例3】(人教九上P90改編)如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D.求證：AC＝BD.證明：知識(shí)點(diǎn)4：垂徑定理推論的簡(jiǎn)單運(yùn)用【例1】如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D.若OC＝1.5，AB＝4，求⊙O的半徑.知識(shí)點(diǎn)5：垂徑定理及其推論的應(yīng)用【例2】(人教九上P90改編)如圖，一條公路彎道處是一段圓弧(eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AB)))，點(diǎn)O是這條弧所在圓的圓心，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交eq\o(\s\up3(⌒),\s\do2(AB))于點(diǎn)C.已知AB＝120m，CD＝20m，求這段彎道的半徑OC的長(zhǎng).解：一、選擇題：在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，圓形拱門(mén)最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門(mén)最高點(diǎn)，線(xiàn)段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心．若AB=1m，CD=2.5m，則拱門(mén)所在圓的半徑為(

)A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m2.如圖，CD是⊙O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB=12，BE=3，則四邊形ACBD的面積為(

)A.363 B.243 C.3.如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長(zhǎng)為(

)A.8 B.12 C.16 D.24.如圖，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC=40°，則∠OAB等于(

)A.40°B.50°C.80°D.120°5.如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長(zhǎng)為(

)A.2 B.22 C.6.下列語(yǔ)句中，正確的是(

)A.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等B.平分弦的直徑垂直于弦C.長(zhǎng)度相等的兩條弧相等D.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸7.如圖，⊙O的直徑AB長(zhǎng)為10，弦MN⊥AB，將⊙O沿MN翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若AB′=2，則MB′的長(zhǎng)為(

)A.210 B.210或215 C.8.如圖，在⊙O中，弦AB長(zhǎng)6?cm，圓心O到AB的距離是3?cm，則⊙O的半徑是(

)A.3?cm B.32cm C.4?cm9.如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，若∠C=25°，則∠BOD的度數(shù)是A.25° B.30° C.40°10.如圖，⊙O的半徑OB為4，OC⊥AB于點(diǎn)D，∠BAC=30°，則OD的長(zhǎng)是(

)A.B.C.2D.3二、填空題：11.已知⊙O的半徑為13cm，弦AB/?/CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB，CD之間的距離為

．12.已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長(zhǎng)為

cm．13.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接EC.若AB=8，OC=3，則EC的長(zhǎng)為

．14.如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)M，若AB=8，OM:OC=3:5，則AC的長(zhǎng)為

．15.如圖，已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上.若PA=4，PB=6，則OP的長(zhǎng)為

．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0)，⊙P的半徑為13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

．17.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB，垂足為D.已知CD=4，OD=3，則AB的長(zhǎng)是

．18.如圖，在⊙O中，弦AB=16，C為弦AB中點(diǎn)，⊙O的半徑長(zhǎng)為10，則線(xiàn)段OC的長(zhǎng)為

．19.如圖，在半徑為10?cm的⊙O中，AB=16?cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于

cm．20.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD=6，EB=1，則⊙O的半徑為

．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21.如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，AE=2，CE=6，求⊙O的半徑．22.如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．求證：AC=BD．23.如圖，OA=OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F.求證：AC=BD．24.如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)P，連接OP.若OP=1，求AB225.如圖，在⊙O中，AB，AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E．(1)直接寫(xiě)出四邊形ADOE的形狀是

；(2)直線(xiàn)ED交⊙O于點(diǎn)M，N，若ED=6，求弦MN的長(zhǎng)．26.如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點(diǎn)E，BD=CE=8．(1)求AE的長(zhǎng)；(2)連接BC，OF⊥BC于點(diǎn)F，求OF的長(zhǎng)．27.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，若AC=6，BC=8，求AD的長(zhǎng)．28.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=10，AE=1，求弦CD的長(zhǎng)．29.如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm.求⊙O的半徑．30.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D.31.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的長(zhǎng)度；(2)求OC的長(zhǎng)度．32.如圖，AB是⊙O的弦，C，D是直線(xiàn)AB上的兩點(diǎn)，并且AC