專題09平面向量9種常見(jiàn)考法歸類

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2025·全國(guó)一卷

知識(shí)1平面向

量的基本定理考點(diǎn)02平面向量基本定理的應(yīng)用

與坐標(biāo)表示2025·天津2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·天津

（5年4考）

考點(diǎn)03平面向量的共線問(wèn)題

2024·上海2021·全國(guó)乙卷

考點(diǎn)04平面向量的數(shù)量積

2024·北京2023·全國(guó)乙卷2023·上海2022·上海

2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·浙江

1.平面向量的線性運(yùn)算一般考查基

2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·北京礎(chǔ)的三角形法則，屬于簡(jiǎn)單題目。

考點(diǎn)05平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題對(duì)于此類題目可以轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)

2024·天津2023·天津2023·全國(guó)乙卷2022·北京算

平面向量數(shù)量積運(yùn)算是高考數(shù)學(xué)

考點(diǎn)06平面向量的垂直問(wèn)題2.

高頻考點(diǎn)，一般考查向量的平行垂

知識(shí)2平面向2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·全國(guó)甲卷

直以及夾角問(wèn)題，容易與充要條件

量的數(shù)量積2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2022·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)甲卷

相結(jié)合，考查比較簡(jiǎn)單，但是屬于

（5年5考）2021·全國(guó)乙卷

易錯(cuò)點(diǎn)。

考點(diǎn)07平面向量的模長(zhǎng)問(wèn)題

2025·上海2025·北京2025·全國(guó)二卷2024·新課

標(biāo)Ⅱ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京

2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)甲卷

2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷

考點(diǎn)08平面向量的夾角問(wèn)題

2023·全國(guó)甲卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷

知識(shí)3向量與

考點(diǎn)09平面向量的最值問(wèn)題

幾何最值

2022·浙江2021·浙江

（5年2考）

考點(diǎn)01平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航

海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船

行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)

應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向

量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（）

等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱

21.6~3.3輕風(fēng)

33.4~5.4微風(fēng)

45.5~7.9和風(fēng)

58.0~10.7勁風(fēng)

A．輕風(fēng)B．微風(fēng)C．和風(fēng)D．勁風(fēng)

【答案】A

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫(xiě)出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，

得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得，

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：n0,23,33,1，

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，

船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為n1，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為n2，

∴，船行風(fēng)速：，

nn1n2n23,32,01,3

∴n1nn23,11,32,2，

22，

n122222.828

∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，

故選：A.

考點(diǎn)02平面向量基本定理的應(yīng)用

2．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）在VABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD2DA．記CAm，CDn，則CB

（）

A．3m2nB．2m3nC．3m2nD．2m3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD2DA，所以BD2DA，即CDCB2CACD，

所以CB3CD2CA3n2m2m3n．

故選：B．

1

3．（2025·天津·高考真題）VABC中，D為AB邊中點(diǎn)，CECD,ABa,ACb，則（用a，

3AE

b表示），若|AE|5，AECB，則AECD

12

【答案】ab；15

63

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解空二.

【詳解】如圖，

1112

因?yàn)镃ECD，所以AEACADAC，所以AEADAC．

3333

1212

因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，所以AEABACab；

6363

2

21212242

又因?yàn)锳E5,AECB，所以AEabaabb25，

633699

121212222

AECBababaabb0，所以

63623a3ab4b

2

所以a4ab180，

12112122122

所以AECDabbaaabba2abb8

632126312

12212

a2ab2a6aba4ab15．

1212

12

故答案為：ab；15.

63

4．（2022·天津·高考真題）在VABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CB2BE.記CAa,CBb，用a,b

表示DE，若ABDE，則ACB的最大值為

31

【答案】ba

226

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由ABDE

22

可得3ba4ba，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由ABDE可得點(diǎn)A的軌跡為

以M(1,0)為圓心，以r2為半徑的圓，方程為(x1)2y24，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)CA與M

相切時(shí)，C最大，即求出．

【詳解】方法一：

31

DE=CECDba，

22

ABCBCAba,ABDE(3ba)(ba)0，

22

23ab

22ab3ba3

3ba4abcosACB，當(dāng)且僅當(dāng)a3b時(shí)取等號(hào)，而

ab4ab4ab2

0ACBπ，所以ACB(0,]．

6

31

故答案為：ba；．

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：

E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，

x3y

DE(,),AB(1x,y)，

22

x3y2

DEAB()(x1)0(x1)2y24，所以點(diǎn)A的軌跡是以M(1,0)為圓心，以r2為半徑的

22

r21

圓，當(dāng)且僅當(dāng)CA與M相切時(shí)，C最大，此時(shí)sinC,C．

CM426

31

故答案為：ba；．

226

考點(diǎn)03平面向量的共線問(wèn)題

5．（2024·上海·高考真題）已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，則k的值為．

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】a//b，2k56，解得k15．

故答案為：15．

rr

6．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知向量a2,5,b,4，若a//b，則．

8

【答案】

5

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2450，

8

解方程可得：.

5

8

故答案為：.

5

考點(diǎn)04平面向量的數(shù)量積

7．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量a,b,c，則“acbc”是“ab”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

如圖所示，OAa,OBb,OCc,BAab,當(dāng)ABOC時(shí)，ab與c垂直，，所以

成立，此時(shí)ab，

∴不是ab的充分條件，

rrrrr

當(dāng)ab時(shí)，ab0，∴abc0c0,∴成立，

∴是ab的必要條件，

綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.

8．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知a2,3,b1,2，求ab

【答案】4

【分析】

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意得ab21324.

故答案為：4

9．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知向量abc0，a1，bc2，abbcca．

9

【答案】

2

2

【分析】由已知可得abc0，展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.

2222

【詳解】由已知可得abcabc2abbcca92abbcca0，

9

因此，abbcca.

2

9

故答案為：.

2

10．（2021·北京·高考真題）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為

1，則

(ab)c；ab=.

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出ab，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】以a,b交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則a(2,1),b(2,1),c(0,1)，

ab4,0，(ab)c40010，

ab22113.

故答案為：0；3.

11．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知向量a,b滿足|a|1,|b|3,|a2b|3，則ab（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

2

22

【詳解】解：∵|a2b||a|4ab4b，

又∵|a|1,|b|3,|a2b|3,

∴914ab43134ab，

∴ab1

故選：C.

12．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知abab0等價(jià)于ab，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

2222

【詳解】因?yàn)閍babab0，可得ab，即ab，

可知abab0等價(jià)于ab，

若ab或ab，可得ab，即abab0，可知必要性成立；

若abab0，即ab，無(wú)法得出ab或ab，

例如a1,0,b0,1，滿足ab，但ab且ab，可知充分性不成立；

綜上所述，“abab0”是“ab或ab”的必要不充分條件.

故選：B.

13．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則ECED（）

A．5B．3C．25D．5

【答案】B

uuuruuur

【分析】方法一：以AB,AD為基底向量表示EC,ED，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

uuuruuuruuuruuur

【詳解】方法一：以AB,AD為基底向量，可知ABAD2,ABAD0，

uuuruuruuur1uuuruuuruuuruuruuur1uuuruuur

則ECEBBCABAD,EDEAADABAD，

22

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

11122

所以ECEDABADABADABAD143；

224

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

uuuruuur

則E1,0,C2,2,D0,2，可得EC1,2,ED1,2，

uuuruuur

所以ECED143；

方法三：由題意可得：EDEC5,CD2，

DE2CE2DC25543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC，

2DECE2555

uuuruuuruuuruuur3

所以ECEDECEDcosDEC553.

5

故選：B.

14．（2022·上?！じ呖颊骖}）若|a||b||c|，且滿足ab0,ac2,bc1，則.

1

【答案】4

5/54

25

【分析】設(shè)a,c，利用數(shù)量積定義求出cos，即可求出.

5

【詳解】因?yàn)閍b0，所以ab，設(shè)a,c.

accos2

ac2

由可得：，

bc1bccos1

2

1

兩式相除得：tan.

2

又cos2sin21，且0,

255

解得：cos,sin.

55

25

因?yàn)閍c2，所以accos2，解得：45.

5

故答案為：45.

1

15．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且a1，b3，則2abb．

3

【答案】11

1

【分析】設(shè)a與b的夾角為，依題意可得cos，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出ab，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

3

算律計(jì)算可得．

11

【詳解】解：設(shè)a與b的夾角為，因?yàn)閍與b的夾角的余弦值為，即cos，

33

1

又a1，b3，所以ababcos131，

3

22

所以2abb2abb2abb213211．

故答案為：11．

考點(diǎn)05平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題

16．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知O的半徑為1，直線PA與O相切于點(diǎn)A，直線PB與O交于B，

C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO2，則PAPD的最大值為（）

1+2122

A．B．

22

C．12D．22

【答案】A

12

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PAPDsin2，

224

12

或PAPDsin2然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定PAPD的最大值.

224

π

【詳解】如圖所示，OA1,OP2，則由題意可知:APO，

4

由勾股定理可得PAOP2OA21

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)OPC=,0，

4

則：PAPD|PA||PD|cos

4

12coscos

4

22

2coscossin

22

cos2sincos

1cos21

sin2

22

12

sin2

224

0，則2

4444

ππ

當(dāng)2時(shí)，PAPD有最大值1.

44

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)OPC,0，

4

則：PAPDPAPDcos

4

12coscos

4

22

2coscossin

22

cos2sincos

1cos21

sin2

22

12

sin2，

224

3

0，則2

4444

1+2

當(dāng)2時(shí)，PAPD有最大值.

422

1+2

綜上可得，PAPD的最大值為.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查

了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.

17．（2022·北京·高考真題）在VABC中，AC3,BC4,C90．P為VABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC1，

則PAPB的取值范圍是（）

A．[5,3]B．[3,5]C．[6,4]D．[4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Pcos,sin，表示出PA，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C0,0，A3,0，B0,4，

因?yàn)镻C1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)Pcos,sin，0,2，

所以PA3cos,sin，PBcos,4sin，

所以PAPBcos3cos4sinsin

cos23cos4sinsin2

13cos4sin

34

15sin，其中sin，cos，

55

因?yàn)?sin1，所以415sin6，即PAPB4,6；

故選：D

18．（2024·天津·高考真題）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，DE2EC,若BEBABC，其中,為實(shí)

數(shù)，則；設(shè)F是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為線段AF的中點(diǎn)，則AFDG的最小值為．

45

【答案】

318

uuuruuruuuruuur

【分析】解法一：以BA,BC為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求BE，即可得，設(shè)BFkBE，求AF,DG，

結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AFDG的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求BE，即可得，

1uuuruuur

設(shè)Fa,3a,a,0，求AF,DG，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求AFDG的最小值.

3

11uuruuuruur1uuruuur

【詳解】解法一：因?yàn)镃EDE，即CEBA，則BEBCCEBABC，

233

14

可得,1，所以；

33

由題意可知：BCBA1,BABC0，

1

因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BFkBEkBAkBC,k0,1，

3

1

則AFABBFABkBEk1BAkBC，

3

1111

又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DGDAAGBCAFk1BAk1BC，

2232

1111

可得AFDGk1BAkBCk1BAk1BC

3232

22

111563

k1kk1k，

2329510

5

又因?yàn)閗0,1，可知：當(dāng)k1時(shí)，AFDG取到最小值；

18

解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

1

則A1,0,B0,0,C0,1,D1,1,E,1，

3

1

可得BA1,0,BC0,1,BE,1，

3

1

4

因?yàn)锽EBABC,，則3，所以；

3

1

11

因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y3x,x,0上，設(shè)Fa,3a,a,0，

33

a13

且G為AF中點(diǎn)，則G,a，

22

a13

可得AFa1,3a,DG,a1，

22

22

a1323

則AFDG3aa15a，

22510

115

且a,0，所以當(dāng)a時(shí)，AFDG取到最小值為；

3318

45

故答案為：；.

318

11

19．（2023·天津·高考真題）在VABC中，BC1，A60，ADAB,CECD，記ABa,ACb，

22

1

用a,b表示AE；若BFBC，則AEAF的最大值為．

3

1113

【答案】ab

4224

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為CD的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用a,b表示出AF，結(jié)合上一空

答案，于是AEAF可由a,b表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

AEEDAD

【詳解】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則EDEC0，可得，

AEECAC

兩式相加，可得到2AEADAC，

111

即2AEab，則AEab；

242

1AFFCAC

空2：因?yàn)锽FBC，則2FBFC0，可得，

3AFFBAB

得到AFFC2AFFBAC2AB，

21

即3AF2ab，即AFab.

33

1121122

于是AEAFabab2a5ab2b.

423312

記ABx,ACy，

122122125xy2

則AEAF2a5ab2b2x5xycos602y2x2y，

1212122

在VABC中，根據(jù)余弦定理：BC2x2y22xycos60x2y2xy1，

15xy19xy

于是AEAF2xy22，

122122

由x2y2xy1和基本不等式，x2y2xy12xyxyxy，

故xy1，當(dāng)且僅當(dāng)xy1取得等號(hào)，

13

則xy1時(shí)，AEAF有最大值.

24

1113

故答案為：ab；.

4224

考點(diǎn)06平面向量的垂直問(wèn)題

20．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量a(0,1),b(2,x)，若b(b4a)，則x（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【詳解】因?yàn)閎b4a，所以bb4a0，

22

所以b4ab0即4x4x0，故x2，

故選：D.

21．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知向量a1,3,b3,4，若(ab)b，則．

3

【答案】

5

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．

【詳解】因?yàn)閍b1,33,413,34，所以由abb可得，

3

3134340，解得．

5

3

故答案為：．

5

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)ax1,y1,bx2,y2，

，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．

abab0x1x2y1y20

22．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量ax1,x,bx,2，則（）

A．“x3”是“ab”的必要條件B．“x13”是“a//b”的必要條件

C．“x0”是“ab”的充分條件D．“x13”是“a//b”的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A，當(dāng)ab時(shí)，則ab0，

所以x(x1)2x0，解得x0或3，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C，當(dāng)x0時(shí)，a1,0,b0,2，故ab0，

所以ab，即充分性成立，故C正確；

對(duì)B，當(dāng)a//b時(shí)，則2(x1)x2，解得x13，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D，當(dāng)x13時(shí)，不滿足2(x1)x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

23．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量a1,1,b1,1，若abab，則（）

A．1B．1

C．1D．1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出ab，ab，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．

【詳解】因?yàn)閍1,1,b1,1，所以ab1,1，ab1,1，

由abab可得，abab0，

即11110，整理得：1．

故選：D．

24．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量a(m,3),b(1,m1)．若ab，則m．

3

【答案】/0.75

4

【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：abm3(m1)0，解得m.

4

3

故答案為：.

4

25．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量a3,1,b1,0,cakb．若ac，則k．

10

【答案】.

3

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量c的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得k的值

【詳解】a3,1,b1,0,cakb3k,1,

10

ac,ac33k110，解得k,

3

10

故答案為：.

3

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

px1,y1,qx2,y2垂直的充分必要條件是其數(shù)量積x1x2y1y20.

考點(diǎn)07平面向量的模長(zhǎng)問(wèn)題

26．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知平面向量a(x,1),b(x1,2x),若aab，則|a|

【答案】2

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得ab(1,12x)，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】ab(1,12x)，因?yàn)閍ab，則aab0，

則x12x0，解得x1.

則a(1,1)，則|a|2.

故答案為：2.

27．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量a，b滿足ab3，ab2ab，則b．

【答案】3

rrr

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令cab，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律

運(yùn)算求解.

22

【詳解】法一：因?yàn)閍b2ab，即ab2ab，

r2rrr2r2rrr22

則a2abb4a4abb，整理得a2ab0，

2

又因?yàn)閍b3，即ab3，

r2rrr2r2

則a2abbb3，所以b3.

rrrrrrrrr

rrr

法二：設(shè)cab，則c3,abc2b,2ab2cb，

rr2rr2

r2rrr2r2rrr2

由題意可得：c2b2cb，則c4cb4b4c4cbb，

rr

r2r2

整理得：cb，即bc3.

故答案為：3.

28．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知向量a(2,1)，b(2,4)，則ab（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

rr

【分析】先求得ab，然后求得ab.

2

【詳解】因?yàn)閍b2,12,44,3，所以ab4235.

故選：D

uuuruuur

29．（2025·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，|OA||OB|2，|AB|2.設(shè)C(3,4)，則|2CAAB|

的取值范圍是（）

A．[6,14]B．[6,12]C．[8,14]D．[8,12]

【答案】D

【分析】先根據(jù)ABOBOA，求出OA,OB，進(jìn)而可以用向量OA,O