專題19排列組合與二項式定理

5種常見考法歸類

知識五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點01有限制條件的排列問題1.有限制條件的排列是高頻熱點

2025·上海2024·全國甲卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷近5年多次考查“有限制條件的

2024·上海2023·全國甲卷2022·新高考全國Ⅱ卷排列問題”，題目常通過“相鄰/

知識1排列與2021·全國甲卷不相鄰”“特殊元素優(yōu)先”“位置限

組合考點02組合問題制”等經(jīng)典模型設(shè)置，側(cè)重邏輯推

（5年5考）2024·天津2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷理和分類討論思想的應(yīng)用。

2023·全國甲卷2023·全國乙卷2,.組合問題則多與實際場景結(jié)合

2022·新高考全國Ⅰ卷2022·上海2022·全國甲卷（如分配問題、選組問題），強(qiáng)調(diào)

2022·全國乙卷2021·全國乙卷2021·上海對“無序性”本質(zhì)的理解。

考點03求二項式展開式的特定項3.二項式定理特定項與系數(shù)計算是

2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京絕對重點,近5年“求二項式展開

2023·天津2023·上海2022·新高考全國Ⅰ卷式的特定項”（如常數(shù)項、指定次數(shù)

2022·天津2022·上海2021·北京2021·天津項）考查頻率最高，核心是利用通

考點04二項式展開式項的系數(shù)和項公式求解，需注意符號、系數(shù)與

2025·北京2024·上海2022·北京2022·浙江二項式系數(shù)的區(qū)別。

2021·浙江4.“系數(shù)和”問題（如賦值法求各項

知識2二項式系數(shù)和、奇數(shù)項/偶數(shù)項系數(shù)和）

定理也頻繁出現(xiàn)，側(cè)重對賦值法的靈活

（5年5考）應(yīng)用。

5.系數(shù)最值問題偶有出現(xiàn)，注重邏

考點05項的系數(shù)最值問題輯分析,雖然考查次數(shù)較少，但系數(shù)

2024·全國甲卷2021·上海最值問題常涉及不等式求解或單

調(diào)性分析，需結(jié)合二項式系數(shù)的增

減性規(guī)律（中間項最大），體現(xiàn)對

知識深度的要求。

考點01有限制條件的排列問題

1．（2024·全國甲卷·高考真題）某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場

次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

1111

A．B．C．D．

6432

【答案】C

【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，

由樹狀圖可得，出場次序共有24種，

其中符合題意的出場次序共有8種，

81

故所求概率P=；

243

解法二：當(dāng)甲最后出場，乙第一個出場，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲最后出場，乙排第二位或第三位出場，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲最后出場共4種方法，同理乙最后出場共4種方法，于是共8種出場順序符合題意；

4

基本事件總數(shù)顯然是A424，

81

根據(jù)古典概型的計算公式，所求概率為.

243

故選：C

2．（2025·上海·高考真題）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個數(shù)有種．

【答案】288

【分析】先選家長作隊尾和隊首，再排中間四人即可.

24

【詳解】先選兩位家長排在首尾有P412種排法；再排對中的四人有P424種排法，

故有1224288種排法.

故答案為：288

3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在

兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A．12種B．24種C．36種D．48種

【答案】B

【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解

【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有3!種排列方

式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；

注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：3!2224種不同的排列方式，

故選：B

4．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【詳解】解：將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，

共10種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010，

共6種方法，

6

故2個0不相鄰的概率為=0.6，

10

故選：C.

5．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

1224

A．B．C．D．

3535

【答案】C

【詳解】將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，

12

若2個0相鄰，則有C55種排法，若2個0不相鄰，則有C510種排法，

102

所以2個0不相鄰的概率為.

5103

故選：C.

6．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之

積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．

【答案】329

【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個位是0和個位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

2

①當(dāng)個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有P972個；

111

②當(dāng)個位不為0時，則個位有C4個數(shù)字可選，百位有C8256個數(shù)字可選，十位有C8個數(shù)字可選，

111

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有C4C8C8256，

最后再加上單獨的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為722561329個．

故答案為：329．

7．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每

天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A．120B．60C．30D．20

【答案】B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e，

2

假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A412

種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有51260種.

故選：B.

8．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3

次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之

差的絕對值不大于1的概率為．

2

7

【答案】

15

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，則

ab32cab3，就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

3

【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A6120種，

abcab1

設(shè)前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，則，

322

故2c(ab)3，故32c(ab)3，

故ab32cab3，

若c1，則ab5，則a,b為：2,3,3,2，故有2種，

若c2，則1ab7，則a,b為：1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，

3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10種，

當(dāng)c3，則3ab9，則a,b為：

1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，

2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，

故有16種，

當(dāng)c4，則5ab11，同理有16種，

當(dāng)c5，則7ab13，同理有10種，

當(dāng)c6，則9ab15，同理有2種，

1

共m與n的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為22101656，

2

567

故所求概率為.

12015

7

故答案為：

15

9．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被

選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值

是．

【答案】24112

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，

則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，

第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，

所以共有432124種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,b,c,d)，a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數(shù)之和最大，

故答案為：24；112

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列

舉法寫出所有的可能結(jié)果.

考點02組合問題

10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方

法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．

45152040

A．C400C200種B．C400C200種

30304020

C．C400C200種D．C400C200種

【答案】D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

400200

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取6040人，高中部共抽取6020，

600600

4020

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C400C200種.

故選：D.

11．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概

率為（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.

2

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C721種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7種，

2172

故所求概率P.

213

故選：D.

12．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

1112

A．B．C．D．

6323

【答案】D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

2

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C46件，

11

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C2C24，

42

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.

63

故選：D.

13．（2021·全國乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項

目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A．60種B．120種C．240種D．480種

【答案】C

【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘

法原理求得.

【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者

2

中任選2人，組成一個小組，有C5種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的

位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

2

C54!240種不同的分配方案，

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排

思想求解.

14．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物

中恰有1種相同的選法共有（）

A．30種B．60種C．120種D．240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

1

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C6種情況，

2

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A5種，

12

根據(jù)分步乘法公式則共有C6A5120種，

故選：C.

15．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設(shè)每人參加

每個項目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個項目中有“整

地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為．

31

【答案】

52

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

【詳解】解法一：列舉法

給這5個項目分別編號為A,B,C,D,E,F,從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

63

則甲參加“整地做畦”的概率為：P；

105

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

其中再選擇D有3種可能性：ABD,ACD,ADE，

31

故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為=.

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到A為事件M，乙選到D為事件N，

2

C43

則甲選到A的概率為PM3；

C55

1

C3

PMNC31

乙選了活動，他再選擇活動的概率為5

ADPNM2

PMC42

3

C5

3

故答案為：；1

52

16．（2022·上?！じ呖颊骖}）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項

項目中隨機(jī)抽取4項進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為；

3

【答案】

7

【分析】

由題意，利用古典概型的計算公式，計算求得結(jié)果．

【詳解】

解：從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機(jī)抽取4項進(jìn)行檢測，則每一類都被抽到的方

112121

法共有C1C3C4C1C3C4種，

4

而所有的抽取方法共有C8種，

112121

C1C3C4C1C3C4303

故每一類都被抽到的概率為4＝＝，

C8707

3

故答案為：．

7

17．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門

課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．

【答案】64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.

11

【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C4C416種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

12

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C4C424種；

21

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C4C424種；

綜上所述：不同的選課方案共有16242464種.

故答案為：64.

18．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．

6

【答案】.

35

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．

4

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有nC870個結(jié)果，這4個點在同一個平面的有m6612個，

m126

故所求概率P．

n7035

6

故答案為：．

35

19．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為．

3

【答案】/0.3

10

【分析】根據(jù)古典概型計算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，

3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P.

10

3

故答案為：.

10

3

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C510

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C13，所以甲、乙都入選的概率P

310

3

故答案為：

10

20．（2021·上?！じ呖颊骖}）某人某天需要運動總時長大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項運動可以選擇，如下表所

示，問有幾種運動方式組合

A運動B運動C運動D運動E運動

7點8點8點9點9點10點10點11點11點12點

30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘

【答案】23

【分析】根據(jù)題意，可以判定選擇任意3種及其以上否是符合要求的，只是在選擇兩種的情況下，有些是

達(dá)不到要求的，利用組合求得總數(shù)，減去不合要求的種數(shù)即可.

【詳解】由題意，至少要選2種運動，并且選2種運動的情況中，AB、DB、EB的組

5432

合是不符題意的，∴C5C5C5C5323,

故答案為：23.

考點03求二項式展開式的特定項

4

21．（2024·北京·高考真題）在xx的展開式中，x3的系數(shù)為（）

A．6B．6C．12D．12

【答案】A

r

【分析】寫出二項展開式，令43，解出r然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.

2

4r

rr4

【詳解】xx的二項展開式為r4rr2，

Tr1C4xxC41x,r0,1,2,3,4

r

令43，解得r2，

2

22

故所求即為C416.

故選：A.

22．（2025·上海·高考真題）在二項式(2x1)5的展開式中，x3的系數(shù)為．

【答案】80

【分析】利用通項公式求解可得.

r5r5rrrr5r5r

【詳解】由通項公式Tr1C52x(1)C5(1)2x，

令5r3，得r2，

32252

可得x項的系數(shù)為C5(1)280.

故答案為：80.

6

23．（2025·天津·高考真題）在x1的展開式中，x3項的系數(shù)為．

【答案】20

【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)知識直接計算即可.

6r6rr

【詳解】x1展開式的通項公式為Tr1C6x1，

3333

當(dāng)r3時，T4C6x120x，

6

即x1展開式中x3的系數(shù)為20.

故答案為：20

6

2

．（天津高考真題）在x3的展開式中，常數(shù)項為．

242024··2

3x

【答案】20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.

66r

22r

【詳解】因為x3的展開式的通項為rx32r6r124r，

2Tr1C623C6x,r0,1,,6

3x3x

令124r0，可得r3，

03

所以常數(shù)項為3C620.

故答案為：20.

6

312

25．（2023·天津·高考真題）在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

x

【答案】60

k6kk184k

【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式Tk112C6x，令184k2確定k的值，

然后計算x2項的系數(shù)即可.

k

6k

【詳解】展開式的通項公式k31k6kk184k，

Tk1C62x12C6x

x

令184k2可得，k4，

24644

則x項的系數(shù)為12C641560.

故答案為：60.

5

3

26．（2022·天津·高考真題）在x的展開式中，常數(shù)項是.

x2

【答案】15

【分析】利用二項式展開式的通項特征，即可求解.

5r55r

35r3

【詳解】由題意的展開式的通項為rrr2，

x2Tr1C5x2C53x,r0,1,2,3,4,5

xx

55r5

令即，則rr1，所以3的展開式中的常數(shù)項為

0r1C53C5315x15.

2x2

故答案為：15.

1

27．（2021·北京·高考真題）在(x3)4的展開式中，常數(shù)項為.

x

【答案】4

【分析】利用二項展開通項公式即可得解.

r

14rr

【詳解】34的展開式的通項r31r124r，

(x)Tr1C4x1C4x

xx

33

令124r0，解得r3，故常數(shù)項為T41C44.

故答案為：4.

6

31

28．（2021·天津·高考真題）在2x的展開式中，x6的系數(shù)是．

x

【答案】160

【分析】求出二項式的展開式通項，令x的指數(shù)為6即可求出.

6r

16r1

【詳解】3的展開式的通項為r36rr184r，

2xTr1C62x2C6x

xx

令184r6，解得r3，

633

所以x的系數(shù)是2C6160.

故答案為：160.

y8

29．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）1(xy)的展開式中x2y6的系數(shù)為（用數(shù)字

x

作答）．

【答案】-28

y88y8

【分析】1xy可化為xyxy，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.

xx

y88y8

【詳解】因為1xy=xyxy，

xx

y826626y53526

所以1xy的展開式中含xy的項為C8xyC8xy28xy，

xx

y8

1xy的展開式中x2y6的系數(shù)為-28

x

故答案為：-28

n

30．（2022·上海·高考真題）二項式3x的展開式中，x2項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則n；

【答案】10

【分析】先寫出二項展開式的通項公式，令r2得x2的系數(shù)，令r0得常數(shù)項，再由已知列出等式，解

出n即可.

rnrr22n20n

【詳解】由題知Tr1Cn3x，當(dāng)r2時，x的系數(shù)為Cn3；當(dāng)r0時，常數(shù)項為Cn3；

22n20n

又x的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，所以Cn35Cn3，解得n10.

故答案為：10

100100299100

31．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知12023x2023xa0a1xa2xa99xa100x，若存在k{0，

1，2，…，100}使得ak0，則k的最大值為.

【答案】49

kk100kk

【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得akC10020232023(1)，然后由ak0可得k為奇數(shù)，然后

可得2023k2023100k0，即可求出答案.

100rrrrr

【詳解】二項式(12023x)的通項為Tr1C100(2023x)C1002023x,r0,1,2,,100，

100r100rrr100rrr

二項式2023x的通項為Tr1C1002023(x)C1002023(1)x,r0,1,2,,100，

kkk100kkkk100kk

akC1002023C1002023(1)C10020232023(1)，

k0,1,2,,100，若ak0，則k為奇數(shù)，

kk100kk100k

此時akC10020232023,202320230，

k100k,k50，又k為奇數(shù)，k的最大值為49.

故答案為：49.

考點04二項式展開式項的系數(shù)和

4432

32．（2022·北京·高考真題）若(2x1)a4xa3xa2xa1xa0，則a0a2a4（）

A．40B．41C．40D．41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求a0a2a4的值.

【詳解】令x1，則a4a3a2a1a01，

4

令x1，則a4a3a2a1a0381，

181

故aaa41，

4202

故選：B.

4234

33．（2025·北京·高考真題）已知(12x)a02a1x4a2x8a3x16a4x，則a0；

a1a2a3a4．

【答案】115

【分析】利用賦值法可求a0，利用換元法結(jié)合賦值法可求a1a2a3a4的值.

【詳解】令x0，則a01，

4234

又12xa02a1x4a2x8a3x16a4x，

4234

故12xa0a12xa22xa32xa42x，

4234

令t2x，則1ta0a1ta2ta3ta4t，

4

令t1，則a0a1a2a3a42，故a1a2a3a415

故答案為：1,15.

42345

34．（2022·浙江·高考真題）已知多項式(x2)(x1)a0a1xa2xa3xa4xa5x，則a2，

a1a2a3a4a5．

【答案】82

【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x0求出a0，再令x1即可得出答案．

233222222

【詳解】含x的項為：xC4x12C4x14x12x8x，故a28；

令x0，即2a0，

令x1，即0a0a1a2a3a4a5，

∴a1a2a3a4a52，

故答案為：8；2．

34432

35．（2021·浙江·高考真題）已知多項式(x1)(x1)xa1xa2xa3xa4，則a1，

a2a3a4.

【答案】5;10.

【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出(x1)3,(x4)4的展開式，即可得出結(jié)論.

【詳解】(x1)3x33x23x1，

(x1)4x44x36x24x1，

所以a11