專題20概率與隨機(jī)變量及分布列

7種常見考法歸類

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01古典概型

2024·全國甲卷2023·全國甲卷2023·全國乙卷

2023·北京2022·全國甲卷2022·全國乙卷

2022·新高考全國Ⅰ卷2022·上海

2021·全國甲卷2021·全國甲卷

知識(shí)概率考點(diǎn)相互獨(dú)立事件

1021.概率部分對(duì)古典概型、相互

（5年5考）2025·上海2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·天津獨(dú)立事件、條件概率與全概率

2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2022·全國乙卷

公式均有考查，且頻率較為均

2021·新高考全國Ⅰ卷

勻，說明這些基礎(chǔ)概率模型是

考點(diǎn)03條件概率與全概率公式

2025·北京2025·天津2024·天津2024·上?？疾橹攸c(diǎn)。

2023·全國甲卷2022·天津2022·新高考全國Ⅱ卷2.隨機(jī)變量及分布列部分，求

考點(diǎn)04求離散型隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值是高頻

2025·全國一卷2025·上海2024·北京考點(diǎn)，二項(xiàng)分布、正態(tài)分布也

2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·上海2022·浙江時(shí)有涉及，體現(xiàn)了對(duì)離散型隨

北京全國甲卷浙江

2022·2022·2021·機(jī)變量相關(guān)知識(shí)的重視，尤其

2021·新高考全國Ⅰ卷2021·北京

是均值作為反映隨機(jī)變量取值

知識(shí)隨機(jī)變

2考點(diǎn)05二項(xiàng)分布

量及分布列平均水平的重要指標(biāo)，是考查

2025·全國二卷

（5年5考）核心。

考點(diǎn)06正態(tài)分布

2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅰ卷

2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷

考點(diǎn)07概率與其他知識(shí)的綜合

2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅱ卷

考點(diǎn)01古典概型

1．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨

機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）

1112

A．B．C．D．

6323

2．（2023·全國乙卷·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題

準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

5211

A．B．C．D．

6323

3．（2024·全國甲卷·高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場(chǎng)一次，出

場(chǎng)次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場(chǎng)，且甲或乙最后出場(chǎng)的概率是（）

1111

A．B．C．D．

6432

4．（2022·全國甲卷·高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A．B．C．D．

5353

5．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率

為（）

1112

A．B．C．D．

6323

6．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8

7．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

1224

A．B．C．D．

3535

8．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取

3次，每次取1個(gè)球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則m與n

之差的絕對(duì)值不大于1的概率為．

2

9．（2022·上?！じ呖颊骖}）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)

項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為；

10．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率

為．

11．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的

概率為．

12．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變

化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下

跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．

時(shí)段價(jià)格變化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+

第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+

用頻率估計(jì)概率．

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天

中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不

變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）

考點(diǎn)02相互獨(dú)立事件

13．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的

隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）

A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立

C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立

1

14．（2025·上?！じ呖颊骖}）己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為P(A)，事件B發(fā)生的概率

2

1

為P(B)，則事件AB發(fā)生的概率P(AB)為（）

2

111

A．B．C．D．0

842

15．（2023·天津·高考真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)

箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，

則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率

為．

16．【多選】（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收

到1的概率為(01)，收到0的概率為1；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為(01)，收到1的概率

為1.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每

個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳

輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1)(1)2

B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為(1)2

C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為(1)2(1)3

D．當(dāng)00.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

17．（2022·全國乙卷·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知

該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3，且p3p2p10．記該棋手連勝兩盤的概率為p，

則（）

A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

18．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則

如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至

少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中

得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為

p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．

(1)若p0.4，q0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．

(2)假設(shè)0pq，

（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

考點(diǎn)03條件概率與全概率公式

19．（2023·全國甲卷·高考真題）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的

同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰

的概率為（）

A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4

20．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，

分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加

每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整

地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．

21．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率

為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為

22．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫

有4000道題，C題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成A題庫的正確率是0.92，B題庫的

正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．

23．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)

學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生

該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相

互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率p

(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)X1的

概率及X的數(shù)學(xué)期望；

(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知

識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為100%，乙校學(xué)生選擇正確的概率為85%.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌

握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為p1，p2，判斷p1與p2的大?。ńY(jié)論不要求證明）.

24．（2025·天津·高考真題）小桐操場(chǎng)跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，

若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈

的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為動(dòng)量達(dá)標(biāo)，

則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望EX

25．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡

位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

考點(diǎn)04求離散型隨機(jī)變量的均值

567

26．（2025·上海·高考真題）已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望E[X]．

0.20.30.5

27．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別

標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各

自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0

分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不

小于2的概率為.

28．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽

取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則P(2)，E()．

29．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，

11

若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則mn，E.

63

30．（2025·全國一卷·高考真題）一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1~5標(biāo)號(hào)，若每次取一顆，有放回地

取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X，則數(shù)學(xué)期望E(X).

31．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正

確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問

題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確

回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

32．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保

單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX；

（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%，有索賠的保單的保費(fèi)增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利

潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中EX估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）

33．（2023·上?！じ呖颊骖}）21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公

司共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

米色內(nèi)飾812

棕色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色

內(nèi)飾，求PB,PB|A，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨(dú)立；

(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并規(guī)定，在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性抽取兩個(gè)汽車模型。

為了得到獎(jiǎng)品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

假設(shè)1：每人抽取的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)

飾均為不同色；③兩個(gè)模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。

假設(shè)2：該抽獎(jiǎng)設(shè)置三類獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金金額分別為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元，三等獎(jiǎng)150元。

假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對(duì)應(yīng)一類獎(jiǎng)。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎(jiǎng)金金額越高。

請(qǐng)判斷以上三種結(jié)果分別對(duì)應(yīng)幾等獎(jiǎng)。設(shè)中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)是X，寫出X的分布，并求X的數(shù)學(xué)期望。

X600300150

44977

P

25150150

34．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9．50m

以上（含9．50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比

賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

35．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中

獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．

36．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)

行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)

結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢

測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.

（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);

1

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的

11

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，

試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

考點(diǎn)05二項(xiàng)分布

37．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球

1

甲勝的概率為pp1，乙勝的概率為q，pq1，且各球的勝負(fù)相互獨(dú)立，對(duì)正整數(shù)k2，記pk為

2

打完k個(gè)球后甲比乙至少多得2分的概率，qk為打完k個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率．

(1)求p3,p4（用p表示）．

p4p3

(2)若4，求p．

q4q3

(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)m，p2m1q2m1p2mq2mp2m2q2m2．

考點(diǎn)06正態(tài)分布

38．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,2，且P(2X2.5)0.36，

則P(X2.5)．

39．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A．若XN,2，則P(X)P(X)

B．若X:N1,22，YN2,22，則P(X1)P(Y2)

C．r越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)

D．r越接近0，相關(guān)性越弱

40．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N10,2，下列結(jié)論中不正確的

是（）

A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大

B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D．該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的