第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示高中總復習·數(shù)學課標要求1.

理解平面向量基本定理及其意義.2.

借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.3.

會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.4.

能用坐標表示平面向量共線的條件.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平

面內的任一向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋

λ2e2；（2）基底：若e1，e2

，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所

有向量的一個基底.提醒

（1）基底e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能

作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.有且只有

不共線

（1）向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－

b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝

，｜a｜

＝

?；（2）向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；

（λx1，λy1）

（x2－x1，y2－y1）

2.

平面向量的坐標運算3.

平面向量共線的坐標表示設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b?

?.

x1y2－x2y1＝0

1.

若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2.

三角形的重心坐標公式

3.

線段的定比分點坐標公式

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（2）向量的坐標就是向量終點的坐標.

（

×

）

（4）平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變.

（

√

）√××√2.

（人A必修二P60復習參考題2（6）題改編）下列各組向量中，可以作

為基底的是（

）A.

e1＝（0，0），e2＝（1，－2）B.

e1＝（－1，2），e2＝（5，7）C.

e1＝（3，5），e2＝（6，10）D.

e1＝（－2，3），e2＝（－

，

）解析：

兩個不共線的非零向量構成一個基底，A中向量e1為零向量，

C、D中兩向量共線，B中e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線.故選B.

√

A.

（－9，－1）B.

（

，－

）C.

（1，－5）D.

（3，－

）

√4.

（蘇教必修二P40習題2題改編）已知向量a＝（4，2），b＝（6，

y），且a∥b，則y＝

?.解析：∵向量a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，故4y－2×6＝0，

解得y＝3.5.

已知?ABCD的頂點A（0，－2），B（3，－1），C（5，2），則頂

點D的坐標為

?.

3

（2，1）

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練平面向量基本定理的應用（師生共研過關）

BA.

a－

bB.

a－

bC.

a－

bD.

a－

b

3

解題技法應用平面向量基本定理表示向量的策略（1）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，

把相關向量用這一個基底表示出來；（2）強調圖形幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常

借助圖形的幾何性質，如平行、相似等.

A.

a＋

bB.

a＋

bC.

a－

bD.

－

a＋

b

√

A.

－

＋

B.

－

＋

C.

－

＋

D.

－

＋

√平面向量的坐標運算（師生共研過關）

A.

（－

，5）B.

（

，5）C.

（－

，－5）D.

（

，－5）C

A.

B.

C.2D.

B

解題技法平面向量坐標運算的技巧（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求

解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標；（2）解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過

列方程（組）來進行求解.

A.

B.

C.

D.

√

（－3，2）

（－6，

21）

平面向量共線的坐標表示（定向精析突破）考向1

利用向量共線求參數(shù)

〔多選〕已知向量a＝（3，1），b＝（2，3），c＝（－1，2），

若（ma＋c）∥（a＋nb）（m，n∈R），則（m，n）可能是

（

）A.

（2，1）B.

（0，－1）C.

（3，2）D.

（－1，－

）√√√

解題技法

已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值，可利用“若a＝（x1，y1），b

＝（x2，y2），則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題.考向2

利用向量共線求向量或點的坐標

（10，－

21）

解題技法利用向量共線求向量或點的坐標的一般思路（1）求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa

（λ∈R），然后結合其他條件列出關于λ的方程（組），求出λ的值后

代入λa即可得到所求的向量；（2）求點的坐標時，可設要求點的坐標為（x，y），根據(jù)向量共線的條

件列方程（組），求出x，y的值.

A.

B.

－

C.

D.

－

√

PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

12345678910111213141516171819202022232425

A.

＋

B.

－

C.

＋

D.

－

√

A.

c＝

a＋bB.

c＝－

a－bC.

c＝

a＋

bD.

c＝

a－

b

√

A.

B.

C.

D.

√

4.

已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則λ＋μ＝（

）A.

－

B.

－

C.

－

D.

－

√

5.

〔多選〕下列各組中a∥b的有（其中e1，e2是兩個不共線的向量）

（

）A.

a＝3e1，b＝－9e1B.

a＝

e1－

e2，b＝3e1－2e2C.

a＝e1－e2，b＝3e1＋3e2D.

a＝－

e1＋e2，b＝e1－2e2√√√

A.

P為線段OC的中點時，μ＝

B.

P為線段OC的中點時，μ＝

C.

無論μ取何值，恒有λ＝

D.

存在μ∈R，λ＝

√√

（8，－15）

3

－2

9.

已知a＝（1，0），b＝（2，1）.（1）當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？

10.

點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝（4，－3）（即點P的運

動方向與v相同，且每秒移動的距離為｜v｜個單位）.設開始時點P的坐

標為（－10，10），則5秒后點P的坐標為（

）A.

（－2，4）B.

（－30，25）C.

（10，－5）D.

（5，－10）解析：

設5秒后點P的坐標為（x，y），由題意，得v＝（4，－3），

則｜v｜＝5.∵點P的運動方向與v相同，且每秒移動的速度是5，∴（x

＋10，y－10）＝5v＝5（4，－3），解得x＝10，y＝－5，∴5秒后點P

的坐標為（10，－5）.√

A.0B.

C.2D.

－1√

12.

〔多選〕已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，

－2），則下列結論正確的是（

）A.

｜c｜＝2｜a｜B.

向量c與向量b共線C.

若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），則λ1＝0，λ2＝－2D.

對同一平面內任意向量d，都存在實數(shù)k1，k2，使得d＝k1b＋k2c√√√

（－∞，0）

15.

（定義新運算）已知向量u＝（x，y）與向量v＝（y，2y－x）的對

應關系用v＝f（u）表示.（1）設a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）與f（b）的坐標；解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.（2）求使