專題強(qiáng)化三動(dòng)態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題第二章相互作用——力1.學(xué)會(huì)用解析法、圖解法、相似三角形法、正弦定理法等解決動(dòng)態(tài)平衡問題。

2.會(huì)分析平衡中的臨界與極值問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)目

錄CONTENTS考點(diǎn)01限時(shí)作業(yè)02考點(diǎn)1考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問題考點(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡問題1.動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。2.做題流程考點(diǎn)一動(dòng)態(tài)平衡問題方法

解析法(1)對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。(2)根據(jù)物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式(通常要用到三角函數(shù))。(3)根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。例1

(2025·八省聯(lián)考內(nèi)蒙古卷，4)2024年9月，國內(nèi)起重能力最大的雙臂架變幅式起重船“二航卓越”號(hào)交付使用。若起重船的鋼纜和纜繩通過圖示兩種方式連接:圖(a)中直接連接，鋼纜不平行;圖(b)中通過矩形鋼架連接，鋼纜始終平行。通過改變鋼纜長度(纜繩長度不變)，勻速吊起構(gòu)件的過程中，每根纜繩承受的拉力(

)AA.圖(a)中變大 B.圖(a)中變小

C.圖(b)中變大 D.圖(b)中變小

方法

圖解法用圖解法分析物體動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)，一般是物體只受三個(gè)力作用，且其中一個(gè)力大小、方向均不變，另一個(gè)力的方向不變，第三個(gè)力大小、方向均變化。A例2

(2025·江蘇蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個(gè)截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A物體的半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動(dòng)少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是(

)A.都減小

B.都增大C.F1增大，F(xiàn)2減小 D.F1減小，F(xiàn)2增大解析

先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖所示的矢量三角形，把A右移少許，θ角減小;在θ角減小的過程中，從圖中可以直觀地看出，F(xiàn)1、F2都會(huì)減小，故A正確。方法

相似三角形法物體受三個(gè)力平衡，其中一個(gè)力恒定，另外兩個(gè)力的方向同時(shí)變化，當(dāng)所作“力的矢量三角形”與空間的某個(gè)“幾何三角形”總相似時(shí)，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。例3

(2025·河北承德高三聯(lián)考)某攀巖運(yùn)動(dòng)員到達(dá)山頂后采用如下方式下山，繩的一端固定在山頂，另一端拴在運(yùn)動(dòng)員的腰間，沿著巖壁緩緩下移。下移過程中可以把運(yùn)動(dòng)員近似看作一根輕桿，整體簡化如圖所示，A點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)員的腳所在位置，B點(diǎn)是山頂?shù)墓潭c(diǎn)，C點(diǎn)是人的重心位置。某時(shí)刻腿部與巖壁成60°角，繩與豎直方向也成60°角(圖中實(shí)線)，則下列說法正確的是(

)A.在圖中實(shí)線位置時(shí)，繩子對運(yùn)動(dòng)員的拉力比運(yùn)動(dòng)員的重力大B.在圖中實(shí)線位置時(shí)，繩子對運(yùn)動(dòng)員的拉力與運(yùn)動(dòng)員的重力大小相等C.當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的重心下降到虛線位置時(shí)，繩子對運(yùn)動(dòng)員的拉力減小D.當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的重心下降到虛線位置時(shí)，繩子對運(yùn)動(dòng)員的拉力不變B

方法

矢量圓法(正弦定理法)1.矢量圓:如圖所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡，其中一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，可以作出動(dòng)態(tài)圓(也可以由正弦定理列式求解)，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

ADA.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小解析

法一

以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個(gè)力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯(cuò)誤。

總結(jié)提升

模型情境受力圖方法一力恒力，另一力方向不變OA繩方向不變，OB繩緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)至豎直位置，結(jié)點(diǎn)O的位置不動(dòng)圖解法:兩個(gè)力的合力和第三個(gè)力等大、反向，即FA逐漸減小，F(xiàn)B先變小后變大一力恒定，另外兩力方向都變，但夾角不變用手拉住繩的另一端N，將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變矢量圓法:畫出力的矢量三角形的外接圓，以不變的力為弦，用“同弦所對的圓周角相等”的規(guī)律判斷移動(dòng)過程中各力的變化情況模型情境受力圖方法一力恒定，另兩力方向都變，夾角也變細(xì)繩繞過半球面正上方的定滑輪，拉小球A沿半球面緩慢上升相似三角形法:力的矢量三角形和幾何三角形相似，即==1.臨界問題考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問題當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類:(1)由靜止到運(yùn)動(dòng)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。(2)繩子恰好繃緊，拉力F=0。(3)剛好離開接觸面，支持力FN=0。2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。3.解決極值和臨界問題的三種方法極限法正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個(gè)狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個(gè)物理量推向極大或極小數(shù)學(xué)分析法通過對問題的分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、三角函數(shù)極值)物理分析法根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值

C

例6

(2025·吉林長春模擬)某博物館舉辦抓金磚挑戰(zhàn)賽，如圖為一塊質(zhì)量m=25kg的棱臺(tái)形金磚，挑戰(zhàn)者須戴博物館提供的手套，單手抓住金磚的a、b兩側(cè)面向上提，保持金磚c面水平朝上，而且手指不能摳底，在空中保持25s，才算挑戰(zhàn)成功。已知金磚a、b兩側(cè)面與金磚底面的夾角均為θ=78.5°，挑戰(zhàn)者施加給金磚的單側(cè)握力為F，手套與金磚之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s2。計(jì)算時(shí)sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，若要抓起金磚，力F至少約為(

)BA.2500N

B.2778NC.1389N

D.無論多大的力都無法抓起金磚解析

對金磚受力分析如圖所示，由平衡條件可得Ff=μF，2Ffsin

θ=mg+2Fcos

θ，解得F≈2

778

N，故B正確。限時(shí)作業(yè)2基礎(chǔ)對點(diǎn)練A對點(diǎn)練1

動(dòng)態(tài)平衡問題1.(2025·重慶育才中學(xué)月考)如圖所示，一只可視為質(zhì)點(diǎn)的螞蟻在半球形碗內(nèi)緩慢地從底部經(jīng)過b點(diǎn)爬到a點(diǎn)。則下列說法正確的是(

)A.碗對螞蟻的摩擦力變大 B.碗對螞蟻的支持力變大C.碗對螞蟻的作用力變小 D.螞蟻所受的合力變小解析

螞蟻緩慢爬行的過程可以視為始終處于平衡狀態(tài)，對螞蟻受力分析可知，螞蟻受到重力、沿切線方向的摩擦力和垂直切線方向指向球心的支持力，設(shè)螞蟻所在位置與球心連線與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)受力平衡可得Ff=mgsin

θ，F(xiàn)N=mgcos

θ，從底部經(jīng)過b點(diǎn)爬到a點(diǎn)，θ逐漸增大，則碗對螞蟻的摩擦力變大，碗對螞蟻的支持力變小，故A正確，B錯(cuò)誤;螞蟻處于平衡狀態(tài)，所受合力一直為0，則碗對螞蟻的作用力與重力平衡，保持不變，故C、D錯(cuò)誤。D2.(2025·湖南岳陽一中高三月考)“奇跡石”是挪威最負(fù)盛名的旅游景點(diǎn)，有一塊5m3大的石頭卡在兩個(gè)絕壁間，如圖甲所示。將該景觀簡化成如圖乙所示的模型，右壁豎直，左壁稍微傾斜。設(shè)左壁與豎直方向的夾角為θ，石頭的質(zhì)量為m，忽略一切摩擦。下列說法中正確的是(

)A.石頭對右壁的壓力與右壁對石頭的壓力相互平衡B.石頭對左壁的壓力大小小于石頭的重力大小C.石頭對左壁的壓力大小為mgsinθD.若隨著風(fēng)化程度的增加，導(dǎo)致夾角θ減小，則石頭對左壁的壓力增大

C3.(2025·江蘇揚(yáng)州高三開學(xué)考試)如圖所示，小球在F作用下始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)保持θ不變，緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)F，下列說法中正確是(

)A.細(xì)線拉力始終不變

B.F可以豎直向下C.F可以豎直向上

D.當(dāng)F轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)最小解析

以小球?yàn)檠芯繉ο螅∏蚴艿街亓、力F和細(xì)線對小球的拉力T，由于小球靜止不動(dòng)，則T與F的合力與G等值反向，如圖，根據(jù)圖解法可知，當(dāng)拉力F與細(xì)線垂直時(shí)最小，當(dāng)F豎直向上時(shí)，繩子拉力為0，故C正確。A4.(2025·陜西西安模擬)如圖所示，豎直墻壁O處用光滑鉸鏈鉸接一輕質(zhì)桿的一端，桿的另一端固定一小球(可以看成質(zhì)點(diǎn))，輕繩的一端懸于P點(diǎn)，另一端與小球相連。已知輕質(zhì)桿長度為R，輕繩的長度為L，且R<L<2R。A、B是墻上兩點(diǎn)，且OA=OB=R?，F(xiàn)將輕繩的上端點(diǎn)P沿墻壁緩慢下移至A點(diǎn)，此過程中輕繩對小球的拉力F1及輕質(zhì)桿對小球的支持力F2的大小變化情況為(

)A.F1和F2均增大 B.F1保持不變，F(xiàn)2先增大后減小C.F1和F2均減小 D.F1先減小后增大，F(xiàn)2保持不變

B5.(2025·重慶南開中學(xué)期中)某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生體魄，組織學(xué)生進(jìn)行多種體育鍛煉。在某次鍛煉過程中，一學(xué)生將鉛球置于兩手之間，其中兩手之間夾角為60°。保持兩手之間夾角不變，將右手由圖所示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60°至水平位置。不計(jì)一切摩擦，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是(

)A.右手對鉛球的彈力增大B.右手對鉛球的彈力先增大后減小C.左手對鉛球的彈力增大D.左手對鉛球的彈力先增大后減小解析

法一

矢量圓法以鉛球?yàn)檠芯繉ο?，受重力G、右手對鉛球的彈力F1和左手對鉛球的彈力F2，受力分析如圖所示，緩慢旋轉(zhuǎn)過程中處于平衡狀態(tài)，則將三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60°不變，則兩力之間的夾角保持120°不變，則在三角形中，F(xiàn)1與F2夾角保持60°不變，重力G的大小方向不變，作出力三角形的外接圓，根據(jù)弦所對的圓周角都相等，則右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60°至水平位置過程中力的三角形變化如圖所示，分析可得F1開始小于直徑，當(dāng)轉(zhuǎn)過30°時(shí)F1等于直徑，再轉(zhuǎn)時(shí)又小于直徑，所以F1先增大后減小，F(xiàn)2開始就小于直徑，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中一直減小，選項(xiàng)B正確。法二

正弦定理法

B對點(diǎn)練2

平衡中的臨界與極值問題6.(2025·陜西渭南模擬)如圖所示，一物塊放在傾斜的木板上，當(dāng)木板的傾角θ分別為30°和45°時(shí)，物塊所受摩擦力的大小相等，則物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(

)

C7.(2025·河北唐山高三期末)如圖所示，用一根輕質(zhì)細(xì)繩將重為10N的畫框?qū)ΨQ懸掛在豎直墻上，畫框上兩個(gè)掛釘間的距離為0.5m。若繩能承受的最大拉力為10N，要使繩不會(huì)被拉斷，繩子的最短長度為(

)

D8.(2025·湖南長沙模擬)碗內(nèi)部為半球形，半徑為R，碗口水平。生米與碗內(nèi)側(cè)的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，靜止于碗內(nèi)的生米粒與碗口間的最小距離d為(

)

綜合提升練BD9.(多選)(2025·海南海口高三開學(xué)考試)如圖所示，在水平粗糙橫桿上，有一質(zhì)量為m的小圓環(huán)A，懸吊一個(gè)質(zhì)量為M的小球B，今用一水平力F緩慢地拉起B(yǎng)，A仍保持靜止不動(dòng)，設(shè)圓環(huán)A受到的支持力為FN，靜摩擦力為Ff，此過程中(

)A.繩子的拉力不變 B.FN不變C.Ff一直減小 D.F一直變大解析

取小球B為研究對象進(jìn)行受力分析，如圖甲所示，由平衡條件可得FTsin

θ=F，F(xiàn)Tcos

θ=mg，用一水平力緩慢地拉起B(yǎng)，θ增大，cos

θ減小，則細(xì)線拉力FT增大;sin

θ增大，水平拉力F增大，故A錯(cuò)誤，D正確;取A、B組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖乙所示，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有FN=(M+m)g，F(xiàn)f=F，可知環(huán)A受到的支持力不變，靜摩擦力增大，故B正確，C錯(cuò)誤。B

A.30m3

B.60m3

C.90m3

D.120m3

B11.如圖所示，兩根半圓柱體靜止于粗糙程度處處相同的水平地面上，緊靠但無相互作用力。現(xiàn)將一根圓柱體輕放在這兩根半圓柱體上，三者均靜止。已知圓柱體和兩半圓柱體的材料、長度、半徑、密度均相同，不考慮它們之間的摩擦，則半圓柱體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為(最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)(

)

AD12.(多選)(2025·河南新鄉(xiāng)模擬)如圖所示，重力大小為G的物體A靜止在傾角