專題01有理數(shù)及其運算

3???

A思維導圖

r加法法則

r有理數(shù)的加法

加法運算律

減法法則

-有理數(shù)的減法

減法運算律

乘法法則

-有理數(shù)的乘法

乘法運算律

有理數(shù)的運算

除法法則

有理數(shù)的除法

除法運算律

乘方法則

有理數(shù)的乘方

乘方運算律

有理數(shù)的混合運算

科學記數(shù)法

A核心考點聚焦

1.正負數(shù)，相反意義的量.

2.求一個數(shù)的相反數(shù)，絕對值，倒數(shù).

3.科學記數(shù)法表示大于1的數(shù).

4.有理數(shù)的混合運算.

5.用數(shù)軸上的點表示有理數(shù).

6.有理數(shù)運算的實際應用.

7.根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負.

8.借著數(shù)軸化簡絕對值.

9.絕對值非負性的應用.

10.分類討論化簡絕對值.

11.數(shù)軸上的動點問題中的追及問題.

12.數(shù)軸上的動點問題中的最值問題.

?a??

一、有理數(shù)

i.正數(shù)和負數(shù)的概念

大于0的數(shù)叫做正數(shù),在正數(shù)前面加負號叫做負數(shù),一個數(shù)前面的號叫做它的符號.。既不

是正數(shù)也不是負數(shù).0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù).

2.具有相反意義的量

一般地，對于具有相反意義的量,我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為亞的，并用正數(shù)來表示,把與

它意義相反的量規(guī)定為負的,并用負數(shù)來表示.

3.有理數(shù)的概念

正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù);整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

4.有理數(shù)的分類

①按整數(shù)和分數(shù)的關(guān)系分類；②按正有理數(shù)、零和負有理數(shù)的關(guān)系分類.

二、數(shù)軸

1.數(shù)軸的概念與畫法

數(shù)軸的概念：規(guī)定了息點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個點表示數(shù)。，這個點叫做原點,②通常規(guī)定直線上從原點向右為正方

向，從原點向左為負方向;③選取適當?shù)拈L度為單位長度,直線上從原點向右，每隔一個單位長度取

一個點，依次表示1,2,3,.......；從原點向左用類似的方法依次表示-1,-2,-3,.........

2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關(guān)系

①每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的二點來表示，也可以說每個有理數(shù)都對應數(shù)軸上的二虎；

②一般地，設a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)。的點在原點的左邊，與原點的距離是4個單位長度；

表示-a的點在原點的左邊,與原點的距離是七個單位長度.

三、相反數(shù)

1.相反數(shù)的概念及表示方法

相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

相反數(shù)的表示方法：一般地，。和0互為相反數(shù)，這里的。表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù),也可

以是雯.特別地，一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，這個數(shù)是雯.

2.相反數(shù)的性質(zhì)

若a與b互為相反數(shù)，那么”+。=0.

3.多重符號的化簡

與“+，,個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“，號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“一”號，結(jié)果為正.

4.相反數(shù)的幾何意義

從數(shù)軸上看，除。外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

四、絕對值

1.絕對值的定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|。|.

2.絕對值的性質(zhì)

一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);。的絕對值是。.

3.絕對值的非負性

根據(jù)絕對值的非負性”若幾個非負數(shù)的和為0,則每一個非負數(shù)必為0”,即若根|+|加=0,則|a|=0

且|切=0.

五、有理數(shù)的加法

1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫做有理數(shù)的加法.

2.法則：

（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0;

（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

要點：利用法則進行加法運算的步驟：

（1）判斷兩個加數(shù)的符號是同號、異號，還是有一個加數(shù)為零，以此來選擇用哪條法則.

（2）確定和的符號（是“+”還是“一”）.

（3）求各加數(shù)的絕對值，并確定和的絕對值（加數(shù)的絕對值是相加還是相減）.

3.運算律：

加法文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變

有理交換

符號語言

數(shù)加律

法運加法三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，

文字語言

算律結(jié)合和不變

律符號語言(4+b)+c=〃+(Z?+c)

要點：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號.

六、有理數(shù)的減法

1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法，例如：（-5）+?=7,求？

減法是加法的逆運算.

要點：（1）任意兩個數(shù)都可以進行減法運算.

（2）幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字（即數(shù)的絕對值）.

2.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：a-b^a+（-b）.

要點：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾?/p>

數(shù).如:

呼號變加學減號手加號

6-(-2)=6+(+2)(-2)-^3=(-2)1(-3)

I_____4

減數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)域數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)

七、有理數(shù)加減混合運算

將加減法統(tǒng)一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.

八、有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法法則：(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘;

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0.

要點：(1)不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘.

(2)當因數(shù)中有負號時，必須用括號括起來,如-2與-3的乘積，應列為G2)X(-3),不應該寫成-2x-3.

2.有理數(shù)的乘法法則的推廣：(1)幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)

有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；

(2)幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,那么積就等于0.

要點：(1)在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù).

(2)幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定積的符號，然后把各因數(shù)的絕對值相乘.

(3)幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0,那么積就等于0.反之，如果積為0,那么至少有一個因數(shù)為0.

3.有理數(shù)的乘法運算律：

(1)乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：ab=ba.

(2)乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.即：abc=(ab)c

~~d(^bc).

(3)乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加.即：

a(b+c)=ab+ac.

九、有理數(shù)的除法

1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).

要點：

(1)“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是-；，-2和是互相依存的;

(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1,因此0沒有倒數(shù)；

(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分數(shù)；

(4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負數(shù)).

2.有理數(shù)除法法則：

法則一：除以一個不等于o的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即。+人=。?工3#0).

b

法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

要點：（1）一般在不能整除的情況下應用法則一，在能整除時應用法則二方便些.

（2）因為。沒有倒數(shù)，所以0不能當除數(shù).

（3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值.

十、有理數(shù)的乘除混合運算

由于乘除是同一級運算，應按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最

后算出結(jié)果.

十一、有理數(shù)的加減乘除混合運算

有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進行，如有括號，則先算括號

里面的.

十二、有理數(shù)乘方和科學記數(shù)法

1.有理數(shù)乘方的概念

求〃個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕.

即有：a-a....a=在中，。叫做底數(shù)，”叫做指數(shù).

左

2.有理數(shù)乘方的運算

（1）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

（2）負數(shù)的奇次哥是負數(shù)，負數(shù)的偶次暴是正數(shù)；

（3）。的任何正整數(shù)次事都是0；

（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定幕的符號，然后再計算事的絕對值.

3.偶次乘方的非負性

任何一個數(shù)的偶次嘉都是非負數(shù)，即儲之o.

4.含乘方的混合運算

有理數(shù)混合運算的順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括號，

先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

5.科學記數(shù)法的表示

（1）科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成axlO"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，”是正整

數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.（科學記數(shù)法形式：axlO",其中〃為正整數(shù)）

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按

此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，

只是前面多一個負號.

6.近似數(shù)的表示

“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者

可以體現(xiàn)出誤差絕對值的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些.

1.有理數(shù)運算注意事項.

要點：(1)在交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換.

(2)乘法運算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相

乘.如abcd=d(ac)b.一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘,等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘,再把積相加.如a(b+c+d)

(3)運用運算律的目的是“簡化運算”，有時，根據(jù)需要可以把運算律“順用”，也可以把運算律“逆用”.

a,a>0

2.化簡絕對值：\a\=\

-a,a<0

3.點在數(shù)軸上的追及問題.

A考點剖析

考點一、正負數(shù)，相反意義的量.

例1：《九章算術(shù)》中有注：“今兩算得失相反，要令正負以名之."意思是：“今有兩數(shù)若其意義相反，則分

別叫做正數(shù)和負數(shù).”如果高于海平面260米記為+260米，那么低于海平面300米應記為.

【答案】-300米

【解析】由高于海平面260米記為+260米可得，低于海平面300米記作-300米.故答案：-300米.

考點二、求一個數(shù)的相反數(shù)，絕對值，倒數(shù).

例2：2的相反數(shù)是,-3的絕對值是.

【答案】—2；3

【解析】2的相反數(shù)是-2,—3的絕對值是3.故答案為：-2,3

考點三、科學記數(shù)法表示大于1的數(shù).

例3：截止到12月12日16時45分，“嫦娥四號”探測器在經(jīng)過約396000秒的奔月飛行后，達到月球附近,

數(shù)字396000用科學記數(shù)法可表示為()

A.0.396x10sB.3.96x10sC.396xlO3D.3.96xl05

【答案】D

【解析】396000=3.96xl05.故選D.

考點四、有理數(shù)的混合運算.

例4：計算：

(1)(-8)+10+8-(-10)；⑵3)+3；

111184

⑶1xx一土一

32115

【解析】(1)(-8)+10+8-(-10)=10+10=20；

(2)-9x(-10)-(-3)-3=90-(-3)-3=-30-3=-10；

x----=—x

⑷_/(一：一4K=一|卷一64x(_.Y吟+8=一8+8=0.

考點五、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù).

例5：點A、8在數(shù)軸上的位置如圖所示：

AIIBIII

-5-4-3-2-10123456%

(1)點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是；

17

(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0,-4-,-2,-；

(3)把(1)(2)中的六個有理數(shù)用“〈”號連接起來.

【解析】(1)根據(jù)數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是T，點B表示的數(shù)是1,故答案為：-4,1;

(2)在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：

“17

-4露-2052

—??，?，■?1??1

-5-4-3-2-10123456x

(3)各數(shù)大小關(guān)系排列如下：

17

-4-<-4<-2<0<1<—.

32

考點六、有理數(shù)運算的實際應用.

例6：有8筐白菜，以每筐25千克為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下:

編號12345678

與標準質(zhì)量的差值(單位：千克)-3-2-1.5012.5-1-3

(1)8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？

(2)與標準重量比較，8筐白菜總計超過或不足多少千克？

(3)若白菜每千克售價2元，則出售這8筐白菜可賣多少元?

【解析】(1)2.5-(-3)=5.5(千克).

答：8筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重5.5千克.

(2)-3+(-2)+(-1.5)+0+1+2.5+(-1)+(-3)=-7(千克).

答：與標準質(zhì)量比較，8筐白菜總計不足7千克.

(3)解：這8筐白菜的總重量為：25x8-7=193(千克)，

若白菜每千克售價2元，則這8筐白菜總共可賣193x2=386(元).

答：若白菜每千克售價2元，則出售這8筐白菜可賣386元.

考點七、根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負.

例7：若有理數(shù)。，6在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是()

_I_?___>

-3-2-10123

A.b>—aB.a>—bC.|a|<|Z?|D.a+b<0

【答案】D

【解析】因為一3<〃<一2<1<6<2,所以-a〉2>b,故選項A錯誤，不符合要求;

-b>-2>a,故選項B錯誤，不符合要求；

|。|>2>同，故選項C錯誤，不符合要求；

a+b<0,故選項D正確，符合要求；

故選D.

考點八、借著數(shù)軸化簡絕對值.

例8：若數(shù)軸上的點A、B、C分別表示有理數(shù)。，b,c,。為原點，如圖所示.

ACOB

⑴用“>”或填空：a+b0,c-b0,c-a0；

(2)化簡2c+|a+Z?|+|c-/?|-|c-a|.

【解析】(1)由圖可得：a<c<O<b,且同習

所以a+b<0,c-b<0,c-a>0；故答案為<,<,>；

(2)因為a+Z?<0,c-b<0,c-a>0,

所以2(?+|4+"+|°_"一|<?-4|=20_4_6+6_(:”+"0.

考點九、絕對值非負性的應用.

例9：己知|x-l|+|y+3|=O,則y-x—；的值是()

A.-4-B.-2-C.-1-D.1

222

【答案】A

［角至析】因為卜_1|+|)+3|=0,所以％_l=0,y+3=0,所以％=l,y=—3,

所以>-」=-3-」=一』.故選A.

222

考點十、分類討論化簡絕對值.

IQIa

例10：(1)若。>0,U=____；若Q<0,口=____；

a\a\

ab=0,則回=

(2)若n+百

hl\b\-ab

、」iabc

（3）右歷c<0,則同+忸+同=——

【答案】（1）1,-1；(2)1；(3)1或-3.

【解析】（1）因為0>o,所以所以忖=幺=1；

aa

,,aa

因為a<0,所以同=-。，所以廠［=—=T，故答案為：1，-1：

（2）因為3+^=0,所以必<0,所以附=-血所以回=*=1,故答案為：1；

（3）因為abc<0,所以a,b,c符號有兩種情況：①一個負數(shù)、兩個正數(shù)；②三個負數(shù).

當a,b,c中有一個負數(shù)、兩個正數(shù)時，不妨設。<0力>0,c>0,

Jl?lHkl

abc,,,c

當a,b,c中有三個負數(shù)時,同+葉甲TTT=。

故答案為：1或-3.

考點十一、數(shù)軸上的動點問題中的追及問題.

例11：如圖：在數(shù)軸上，點A對應的數(shù)是-3,點8對應的數(shù)是16,兩動點M、N同時從原點。出發(fā)，點

M以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向點8運動；點N以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向左運動，到達點A后停

留1秒，再從點A沿數(shù)軸向右到達點B后停止運動.設點M的運動時間為《0<1<16）秒.

AOB

-------------------A

-3016

⑴當f=l時，線段MN的長為（直接填空）；當7=3時，線段的長為（直接填空）；

（2）在運動過程中，當點M與點N重合時，求/的值；

⑶當線段MN的長為7時，直接寫出f的值.

【解析】（1）解：當7=1時，點M表示的數(shù)為1,點N表示的數(shù)為-3,

所以初V=1-（-3）=4：

當r=3時，點N表示的數(shù)為-3+3x1=。，點M表示的數(shù)為3,

所以MV=3—0=3；

故答案為：4,3；

（2）解：由題意得，當點M與點N重合時，點N肯定是在從A向8的運動過程中，此時運動/秒后，點N

表示的數(shù)為-3+3（-2）=3"9,點”表示的數(shù)為r,

所以3t-9=f，

9

解得

(3)解：當點N向點A運動的過程時，由題意得”(-3。=7,

7

解得.=不符合題意；

4

當點N在點A停留時，由題意得，…(-3)=7,

解得1=4,不符合題意；

當點N從點A向點B運動過程中，且點N沒有追上班時，由題意得，-(3-9)=7,

解得/=1,不符合題意；

當點N從點A向點8運動過程中，且點N追上且點N為到達點8前，由題意得，3t-9-t=l,

解得f=8；

當點N從點A向點B運動過程中，且點N到達點8后停止運動，由題意得，16—=7,

解得t=9：

綜上所述，1=8或r=9.

考點十二、數(shù)軸上的動點問題中的最值問題.

例12：我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要

思想方法.例如，代數(shù)式,-2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為

|%+1|=|%-(-1)|,所以卜+1|的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與一1所對應的點之間的距離.

(i)發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式,+1|+歸一2|的最小值是多少？

(ii)探究問題：如圖，點A,B,P分別表示數(shù)一1,2,尤，AB=3,

APB

_____1I111.1I11?

-4-3-2-10X1234

因為|x+l|+|x-2|的幾何意義是線段熟與PB的長度之和，

所以當點尸在線段A3上時，E4+PB=3;

當點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PA+PB>3；

所以+|x—Z的最小值是3.

請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：

(1)歸一3|+|尤+2］的最小值是；

(2)當a為何值時，代數(shù)式|x+a|+|x-4|的最小值是2.

【解析】(1)因為卜一3|+卜+2|=|無一3|+卜一(一2)|.

如圖，卜—3|+卜一(一2)|表示點尸到點A的距離與點P到點B的距離之和,

B

.5.4-3-2-1012345

當點尸在線段43上時，PA+PB=5,

當點尸在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PA+PB>5,

所以|x-3|+|尤+2|的最小值是5；

（2）因為數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為2,數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也

為2,

因此當。為-2或-6時，原式的最小值是2.

A過關(guān)檢測

一、選擇題

1.在跳遠測試中，小明的成績?yōu)?.1米，記作+0.5米.若小亮的成績記作-0.2米，則小亮的成績?yōu)椋ǎ?/p>

A.1.4米B.1.6米C.1.8米D.1.9米

【答案】A

【解析】由題意可得標準為2.1-0.5=1.6（米），

因為小亮的成績記作-0.2米，所以小亮的成績?yōu)?.6-0.2=14（米），故選A.

2.2023年我國高校畢業(yè)生高達1158萬人，其中474萬本科畢業(yè)生為了提升自己的學歷，好憑借更高的學

歷，跨過更高的職業(yè)門檻，選擇報考研究生，請用科學記數(shù)法表示報考研究生的人數(shù)（）

A.11.58xl06B.1.158xl07C.D.4.74xlO6

【答案】D

【解析】474萬=4740000=4.74x106,故選D.

3.下列算式正確的是（）

A.-3-2=-6B.0-(-3)=3

心?臥12=11。-a12D.

|3-5|=-(5-3)

【答案】B

【解析】4、-3-2=-5,故原題計算錯誤；

B、0-（-3）=3,故原題計算正確;

C、（-9xl2=f-10+」］xl2,故原題計算錯誤;

D、|3-5|=5-3,故原題計算錯誤;

故選8.

4.如圖，點M表示數(shù)加，點N表示數(shù)〃，下列結(jié)論中正確的是（）

MN

II

-101

A.m>nB,-<-C.-m>—nD.—m<—n

mn

【答案】C

【解析】由數(shù)軸知,0<m<n<l,所以一>—,故選C.

mn

5.下列說法中正確的個數(shù)是（）

①若孫〈。，x+yv。，則x,y都為負數(shù)；

②已知abwO,則三+粵的值不可能為0；

|a|b

③若〃+b<0,Q<0,b>Q,則Q,—Q,的大小關(guān)系是a<—b<—〃<b；

_abcabc

④若a,b,c為有理數(shù)，^―+—+—=-1,則方^的值為T.

\a\\b\|c|\abc\

A.0個5.1個C.2個D3個

【答案】A

【解析】①若孫v。，％+丁<0,則x,y異號，且負數(shù)的絕對值較大，故①說法錯誤；

②已知力?。0,不妨設Q=Lb=-\,貝!―^+?=1-1=。，故②說法錯誤；

\a\b

③若a+Z?<0,a<0,&>0,則口,一〃，/?,-/?的大小關(guān)系是〃<一。</?<一〃，故③說法錯誤;

abc

④由題知〃，b,c為三個不為。的有理數(shù)，且;~~^+；77+j7=T，

所以eb,。中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，所以〃兒>0,

abc

所以的的值為1,故④說法錯誤.

所以說法中正確的個數(shù)是0.故選人

二、填空題

6.化簡：①-+㈢=；②]的相反數(shù)是；③比較大小-0.5

21

【答案】—;;〉

【解析】一，T]=+m

因為-g=g,所以-g相反數(shù)是一:；

1Q2

因為卜0.5]==

2

故答案為：>.

7.早在公元前5世紀我國春秋戰(zhàn)國初期，魏國的相國李悝就在《法經(jīng)》一書中用“不足”來表示虧空.如果

盈余250兩記作+250兩，那么虧空100兩記作兩.

【答案】-100

【解析】因為盈余250兩記作+250兩，所以虧空100兩記作-100兩，故答案為：-100.

8.如圖，點A,B,C在數(shù)軸上對應的數(shù)為a,b,c,A,8兩點間的距離表示為AB,B,C兩點間的距離

表示為2c.若AB=5,BC=6,6+c=0,貝Ua—6+c的值是.

ABC

---------1------------------1--------------------1-------->>

【答案】-2

【解析】因為b+c=0,所以點用C關(guān)于原點對稱，對應的數(shù)字b,c互為相反數(shù)，

因為=6,所以b=-3,c=3,

因為A8=5,所以a=—8,所以a—b+c=—8—(―3)+3=—2,

故答案為：-2.

9.細菌是靠分裂進行生殖的，也就是1個細菌分裂成2個細菌，分裂完的細菌長大以后又能進行分裂.例

如，圖中所示為某種細菌分裂的電鏡照片，顯示這種細菌每20分鐘就能分裂一次.1個這種細菌經(jīng)過3個

小時可以分裂成個細菌.

細曲的分裂生殖

【答案】512

【解析】3小時=180分鐘，180+20=9(次).即1個這種細菌經(jīng)過3個小時可以分裂成的細菌個數(shù)為：29=512.

故答案為：512.

10.如圖所示，將圓的周長分為4個單位長度，在圓的4等分點處標上數(shù)字0,1,2,3,先讓

圓周上數(shù)字0所對應的點與數(shù)軸上的數(shù)1所對應的點重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時針方向滾動，

那么數(shù)軸上的數(shù)-2024將與圓周上的數(shù)字___________重合.

【答案】1

【解析】由題意可得，-2024+4=-506,

因為由數(shù)軸可得：數(shù)軸上的1對應圓周上的0,所以數(shù)軸上的0對應圓周上的1,

所以-2024將與圓周上的數(shù)字1重合，故答案為：1.

三、計算題

11.計算：

351

(1)-14-(2)-4+6+Kx(-24)；

43I233

(3)-1+164-x—?(4)-I-2+(-4)一:

4'o

【解析】⑴-14(-6討

79

=-14-6+------

510

=-19-；

2

357

(2)---1--1—x(_24)

468

357

=-4X(-2"+%x(-24)+-x(-24)

=18-20-21

=-23；

=—10；

12.已知有理數(shù)：0,-3.5,3-,-3,+5,-|-2|.

2

(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)；

I_______I_______II______I______II_______II______II_______II

-6-5-4-3-2-10123456

(2)將上述有理數(shù)用“v”連接起來；

⑶將上述有理數(shù)填入下圖中相應的圓圈內(nèi)(每個數(shù)只能寫在一個對應區(qū)域內(nèi)).

負數(shù)集合整數(shù)集合正數(shù)集合

【解析】(1)在數(shù)軸上表示這些有理數(shù)如圖所示：

-3.5-3~\~2\03~+5

?JiJJ|?：

-6-5-4-3-2-10123456

(2)-3.5<-3<-|-2|<0<31<+5；

(3)負數(shù)集合為：{-3.5,-3,十2|},整數(shù)集合為：{-3,+2|,0,+5},正數(shù)集合為：科,+5

如圖所示：

負數(shù)集合整數(shù)集合正數(shù)集合

13.為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，零陵區(qū)委區(qū)政府打造特色經(jīng)濟作物產(chǎn)業(yè)，根據(jù)我區(qū)地域優(yōu)勢發(fā)展種植“四季水果

園”.黃田鋪鎮(zhèn)的萬畝紐荷爾臍橙便是其中精品項目之一，紐荷爾臍橙質(zhì)優(yōu)價美，深受大家喜愛.下面是小

明家種植的一塊地所采摘的20袋臍橙，小明在記錄重量時采用了如下記錄方法，以25千克為標準，超過或

不足部分分別用正，負數(shù)表示，記錄如下：

與標準質(zhì)量差值-2-1.5-1012

袋數(shù)541334

(1)請求出20袋臍橙中最重一袋比最輕一袋重__________千克；

(2)與標準質(zhì)量相比，20袋臍橙總質(zhì)量超過或不足多少千克？

(3)若這批臍橙每千克售價為5元，那么這20袋臍橙可賣多少元？

【解析】(1)因為—2<-1.5<—1<0<1<2,

所以20袋臍橙中，最重的一袋比最輕的一袋重：2-(-2)=4(千克)，

故答案為：4；

(2)—2x5+(—1.5)x4+(—1)xl+0x3+lx3+2x4=-6(千克)，

答：與標準質(zhì)量相比，20袋臍橙總質(zhì)量不足6千克；

(3)(20x25-6)x5=2470(元).

答：這20袋臍橙可賣2470元.

14.我們知道數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，利用數(shù)軸及絕對值知識結(jié)合數(shù)形結(jié)合、

分類討論思想可以解決一些問題.

求解下列問題：

(1)若a=—5時，忖的值為；

a

⑵若卜+5|=卜-9|成立，則"=；

...a\b\cabc

(3)右詆<0,貝?。荨?工-+［+］「［=__________；

|a|b\c\|abc\

(4)當式子|x+3|+|x-4|取最小值時，相應的x的取值范圍是,最小值是

【解析】(1)。=一5時，區(qū)=一1,故答案為：T；

-5

(2)|。+5|=卜-9|表示數(shù)軸上數(shù)a的點到-5的距離與到9的距離相等，

因為-5與9的距離為9+5=14,所以中點到-5的距離為7,

所以-5+7=2,所以a=2,故答案為：2；

(3)因為彷c<0,所以a,b,c符號有兩種情況：①一個負數(shù)、兩個正數(shù)；②三個負數(shù).

/7IhIccihc

①不妨設a>0，6>0,c<0,貝L+1+1?+「^=1+1-1-1=0；

|a|b\c\|abc\

②當a<0,6<O,c<0時，卷+粵+吉+注+=；

|a|b\c\|abc\

綜上可得：三+