第10講直線的兩點式方程

T模塊導航—T素養(yǎng)目標A

模塊一思維導圖串知識1.掌握直線方程兩點式的形式、特點及適用范圍;

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.了解直線方程截距式的形式、特點及適用范圍;

模塊三核心考點舉一反三3.會用中點坐標公式求線段的中點坐標.

模塊四小試牛刀過關測

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理

知識點1直線的兩點式方程

1、兩點式方程的推導

如果直線/經過兩點＜（X],乂），￡（//2）（引力》2），則直線/的斜率左=2二五.由直線的點斜式方程

得y—西）.當切力外時，方程可以寫成2?=土』-

%一占一%一切迎一西

2、直線的兩點式方程定義

設直線/經過兩點片（再,%），月（9/2）（毛/々,%/%），則方程?』="L叫作直線/的兩點式

一y2f々一西

方程，簡稱兩點式.

3、對兩點式方程的理解

（1）J-Ji=—~五（x-xj（再*W）與'——=———（%1*x2,yry2）,顯然后者表示直線的范圍

x2-X1^2一%/一西

比前者縮小了，但后者便于記憶和應用，所以采用后者作為公式.

（2）對兩點式中的兩點，只要是直線上的兩個不同的點即可，兩點式方程與這兩個點的順序無關.

（3）把直線的兩點式方程化為（＞-凹）（％-再）=（刈-弘）（》-X）,則該方程表示過平面內任意不同兩點

（石,%），（％2，8）的直線.

4、兩點式方程的使用方法

（1）已知直線上兩點片（石,必），￡（々,左）且匹/馬，必W%時，可以直接使用該公式求直線方程.

（2）當天=82，%0為時，直線方程為X=匹或X=X2?

（3）當天片》2，%=為時，直線方程為y=%或y=

知識點2直線的截距式方程

1、截距式方程的推導

如圖，已知直線/經過兩點/（a,0）,其中awO,bwO,有直線的兩點式方程得，三=尸

即—.

2、直線的截距式方程的定義

設直線/在x軸的截距為a,在y軸的截距為6,且awO,bwO,則方程二+上=1叫作直線的截距式方程,

ab

簡稱截距式.

3、截距的概念

（1）橫截距：直線與x軸交點的橫坐標.在直線方程中，令y=0,解出x的值即可.

（2）縱截距：直線與y軸交點的縱坐標.在直線方程中，令x=0,解出y的值即可.

4、截距式方程應用的注意事項

（1）問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮截距式方程，用待定系數法確定其系數即可;

（2）選用截距式方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直；

（3）要注意截距式方程的逆向應用.

知識點3中點坐標公式

+玉

則＜2

若點4,6的坐標分別為（X］,%）,（x2,y2）,且線段片鳥的中點M的坐標為（x,y）,

y=A±A

12

0>模塊三核心考點舉一反三------------------------------

（考點一兩點式與截8成辨析卜,丁一（考點三直線的截距式方程）

直線的兩點式方程

（考點二直線的兩點式方程戶’3考點四直線與坐標軸圍成圖形的贏］

考點一：兩點式與截距式辨析

1.（23-24高二上?河北邢臺?月考）下列直線方程是兩點式方程的是（）

A.y=kx+bB.y-y0=k(x-2x0)

xy,y-y{x-x{z

C.-+—=1D.1必7%)

a2b歹2一弘馬一玉

【答案】D

【解析】對于選項A：>=h+b是斜截式方程，故A錯誤；

對于選項B：y-%=Mx-2x0）是點斜式方程，故B錯誤;

對于選項C：2+三=1是截距式方程，故C錯誤;

a2b

對于選項D：七*=33（xkX2J尸力）是兩點式方程，故D正確；故選：D.

y2f%—占

【變式1-1］（2024高二?全國?專題練習）經過兩點（5,%）,（%,%）的直線方程都可以表示為（）

x-xy-yx-xy-y

A.-------{-=---------i22

了2一再必一必再一看外一必

c.（了一切）（尤2-xJ=（x-xJ（%-%）D.737=737

人人？人］

【答案】C

【解析】當X尸乙〃尸%時，由兩點式可得直線方程為：二上=——L,

y2-yix2-Xj

化為:（一一%）（工2—再）=（彳-芯）（為一%），

對于無?=%或乂=%時上述方程也成立，

因此直線方程為：（y-必）（工2-玉）=（尤-尤1）包-乂）.故選：C.

【變式1-2］（23-24高二上?四川宜賓?月考）（多選）下列說法中錯誤的是（）

A.直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線

B.；-與=1與;+4=一1是直線的截距式方程

2323

C.直線方程的斜截式都可以化為截距式

D.在尤軸、y軸上的截距分別是2、-3的直線方程為;+二=1

2-3

【答案】ABC

【解析】對于選項A,直線方程的截距式為±+二=1,其中弱力0,

不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線，故A錯誤；

對于選項B,直線方程的截距式為±+上=1,其中口片0,

ab

而;一斗=1與;+==一1不是直線的截距式方程，故B錯誤；

2323

對于選項c,直線方程的斜截式包含在歹軸上的截距為o的情況，

而此類不能化為截距式，比如y=2x,故C錯誤；

對于選項D,直線方程的截距式為±+2=1,其中歷70,

ab

。、6是直線在X軸、y軸上的截距，

所以在X軸、y軸上的截距分別是2、-3的直線方程為訝+工=1,故D正確.故選:ABC.

2-3

【變式1-3］（23-24高二上?江蘇宿遷?月考）（多選）下列說法中錯誤的是（）

A.不過原點的直線都可以用方程土+>=1表示

ab

B.若直線則兩直線的斜率相等

C.過兩點4（國,%）,6（%,%）的直線都可用方程（x-xJ3-弘）=5-%）（％-再）表示

D.若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直

【答案】ABD

【解析】A：直線的截距式方程不能表示過原點和垂直于坐標軸的直線，故A錯誤；

B：4和4的斜率有可能不存在，故B錯誤；

C：選項中的方程是直線的兩點式方程化為整式后的結果，

直線的兩點式方程不能表示垂直于坐標軸的直線，

但化為整式后就可以表示任意直線，故C正確；

D：直線斜率不存在，則直線垂直于x軸；

直線斜率存在，但不一定為0,所以兩直線不一定垂直，故D錯誤.故選：ABD.

考點二：直線的兩點式方程

（23-24高二上?寧夏銀川?月考）經過點”（-3,2）,8（4,4）的直線的兩點式方程為（)

y—2x+3y—2%—3

------=-------B.---------------

27-27

【答案】A

【解析】因為直線經過點/（-3,2）,8（4,4）,

所以由方程的兩點式可得直線方程為￡=即寧—一?故選：A

【變式2-1］（23-24高二上?內蒙古呼倫貝爾?月考）過點45,6）和點8（-1,2）的直線的兩點式方程是

【解析】由題意，NB不和坐標軸垂直，符合兩點式方程的使用條件,

y-y,_

當直線經過（國,兇）,（馬,%）時，兩點式方程為:

xx

y2~yi2~i

于是直線電的兩點式方程為：胃二三

【變式2-2］（23-24高二上?全國?專題練習）已知三角形的頂點是N（l,3）,8（-2,-l）,C（l,-l）,求這個三角

形三邊所在直線的方程.

【答案】答案見解析

【解析】由題意可知，作出圖形如圖所示

直線過

其兩點式方程為？二=/三，整理，得4x-3y+5=0,

-1-3-2-1

這就是邊AB所在直線的方程.

直線/C垂直于x軸，故/C邊所在直線的方程為x=l.

直線2c平行于x軸，故2c邊所在直線的方程為了=-L

【變式2-3］（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）已知Y/BCD三個頂點的坐標為4（0,0）,5（3,0）,C（5,3）,

求它的對角線/C,2。所在直線的方程.

【答案】3無-5了=0,3x+y-9=0

【解析】因為Y48co三個頂點的坐標為4（0,0）,8（3,0）,C（5,3）,設。（尤））,

0+5_3+x

7-7fx=2/、

因為NC和3D的中點重合，所以八°，解得，，所以。2,3,

0+3_n0+j/I）?=3

所以對角線/C所在直線的斜率為3-0*==3,對角線2。所在直線的斜率為3-丹0=-3,

5-052-3

所以對角線/C所在直線的方程為=即3x-5y=o,

對角線2。所在直線的方程為廣0=（-3加-3）,即3x+y-9=0.

考點三：直線的截距式方程

3⑵一24高二上?安徽滁州?期末）在平面直角坐標系網中‘直線:在y軸上的截距為（)

]_

A.-8B.8C.D.

88

【答案】A

【解析】對方程:一臺1‘令x=°'解得昨一8；

故直線:-臺I在,軸上的截距為-8.故選：A.

【變式3-1］（23-24高二上?江蘇南京?期末）（多選）過點尸（2,1）口在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直

線方程為（）

A.x+y-3=0B.尤+了+3=0C.x-y-l=OD.x-2y=0

【答案】ACD

【解析】當直線的截距不為0時，設直線的截距式方程為土+棄=1,

ab

+Q解得。二36Z—1,

』或

6=T,

z——b.

所以直線方程為x+V-3=0或x-y-l=O,故A,C正確;

當直線的截距為0時，設直線方程為y=自，

由題可知4=；,故直線方程為》-2了=0,D正確.故選：ACD

【變式3-2］（23-24高二上?云南昆明?月考）經過點/（4,3）,并且在兩坐標軸上的截距相等的直線/有（）

條.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】若直線經過原點，則＞=93盯在坐標軸上的截距均為0,符合題意，

4

若截距均不為0,則設直線方程為￡+上=l（awo）,將/（4,3）代入得3+3=1,.?.a=7,

aaaa

此時直線方程為A臺1,符合題意;

即經過點/（4,3）,并且在兩坐標軸上的截距相等的直線/有2條故選：C.

【變式3-3］（23-24高二上?廣東東莞?月考）已知直線4經過點（L1）,斜率為2.

⑴求直線4的截年式方程.

（2）若直線右與4垂直，且4，4在V軸上的截距相等，求4的截妲式方程.

xy_

【答案】（i）T+n=\（2）三+5=1.

3一2-1

【解析】（1）依題意，直線4的方程為：y-l=2（x-l）,即2x-y=l,

土+工=1

所以直線4的截距式方程為1-1".

2

（2）由直線4與4垂直，得直線，2的斜率為-；，由（1）知，直線4在y軸上的截距為T，

于是直線4的方程為>=-三-1，即;x+y=T,

所以直線4的截距式方程為3+==L

考點四：直線與坐標軸圍成圖形的面積

例4.（23-24高二上?四川成都?期中）直線/過點/（2,3）,則直線/與x軸、V軸的正半軸圍成的三

角形的面積最小值為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】設直線/：-+^=1,（。力>0）,

ab

因為直線/過點/（2,3）,所以4+；=1,即26+3a=ab,

ab

所以26+3〃=ab22」2b，3a，解得ab>24,

當且僅當26=3”，即〃=4,6=6時等號成立，

則直線/與X軸、y軸的正半軸圍城的三角形面積5=工成212.故選：B.

2

【變式4-1］（23-24高二上?廣東揭陽?期中）（多選）直線/：±+與=1中，已知。＞0/＞0.若/與坐標軸

ab

圍成的三角形的面積不小于10,則實數對（。泊）可以是（）

A.（3,8）B.（1,9）C.（7,4）D.（5,3）

【答案】AC

【解析】因為。＞0,6＞0,

所以直線/與坐標軸圍成的三角形的面積為5=1仍，

2

則;歷210,得岫220,結合選項可知，（3,8）,（7,4）滿足題意.故選：AC.

【變式4-2］（23-24高二上?江蘇徐州?月考）若過點尸（3,2）的直線/與坐標軸交于//兩點，圍成三角形

的面積為16,則符合條件的直線的條數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由題意直線/顯然不過原點，所以不妨設直線/：-+^=1,/6,0）,8。,6）,

ab

o977h—?

又點尸（3,2）在直線‘上,所以/廠定「1工

又三角形408的面積為16,所以；|必|=16,

所以"工=馳，整理得3/一32。-2|=0；

b32

Q

當622時，方程3〃-32M-2|=0變?yōu)?從_326+64=0,解得4=：22或8=8W2滿足題意,

oq,

將4=：和％=8分別代入士+：=1,解得對應的。分別為q=12，g=4；

3ab

當6＜2時,方程3/-32|6-2|=0變?yōu)?〃+326-64=0,

解得“=近＜2或仇=T6：將＜2滿足題意，

將-16-877和-16+877分別代入之+［=1,

3343ab

解得對應的。分別為%=-8+4V7,&=-8-4近；

綜上所述：滿足題意的直線為:j+尸,y1,2,3,%共有4條.故選:D.

【變式4-3]（23-24高二上?江蘇南通?月考）已知直線/過點尸（2,3）,根據下列條件分別求出直線/的方程.

（1”在x軸、了軸上的截距互為相反數；

（2”與兩條坐標軸在第一象限所圍成的三角形面積最小.

【答案】（l）3x-2y=0或x-y+l=O；；（2）3x+2yT2=0

3

【解析】（1）①當直線/經過原點時，在X軸、y軸上的截距互為相反數都等于0,此時直線/的方程為y=,

②當直線/不經過原點時，設直線/的方程為土+上=1（。/0）

a-a

?.?尸（2,3在直線/上，.—+3=1,。=-1,即x-y+l=0.

a-a

綜上所述直線/的方程為3x-2了=0或x-y+l=0

（2）由題意可知直線/與兩坐標軸均交于正半軸，故設直線方程為工+★=1（。>0,6>0）,

ab

7a

將尸（2,3）代入可得三+；=1,

ab

故2+2=G2、￡3,故斜224,當且僅當2=3,即a=4,6=6時等號成立，

ab\abab

故此時面積最小為S=-ab=n.

2

故直線方程為±+[=1,即3x+2y-12=0

46

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高二上?江蘇南通?期中）直線色-2=1在V軸上的截距為（）

42

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】由：-==i可得:+義=1，所以在了軸上的截距為-2,故選：B

424-2

2.（22-23高二上?海南?期中）在x軸、歹軸上的截距分別是-2、3的直線方程為（）

【答案】C

【解析】因為直線在X軸、y軸上的截距分別是-2、3,

所以直線方程是W+==i,即故選：c.

-2332

3.(23-24高二上?湖北黃石?月考)過點/(5,6)和點3(—1,2)的直線的兩點式方程是()

y-5y+1?y-6x-52-6-1-5_x-6y-5

A------=-----B------=--------C------=--------D------=--------

'x-6x-2-2-6-1-5'y-6x-5-2-6-1-5

【答案】B

【解析】因為所求直線過點4(5,6)和點8(—1,2),根據直線的兩點式方程可得：

所求直線方程為￡=三二.故選B.

2-6-1-5

4.(23-24高二上?天津南開?月考)過點力(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+l=OB.x+y-l=O

C.2x-y=0或％-夕+1=0D.2x+y=0或x+y+l=0

【答案】C

【解析】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意，

又因為直線過點2),所以直線的斜率為三=2,

1—0

所以直線方程為V=2x,即2x-y=0,

當直線不過原點時，設直線方程為±+之=1,

a-a

io

因為點2(1,2)在直線上，所以±+上=1,解得a=T,

a-a

所以直線方程為x-y+l=0,

故所求直線方程為2x-y=0或x-y+l=0.故C項正確.故選：C.

5.(22-23高二上?四川成都?期中)過點(1,-2)且橫、縱截距相等的直線其條數為()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因直線過點(1,-2),且橫、縱截距相等，當此直線過原點時，直線方程為y=-2x,

當此直線不過原點時，設其方程為土+2=1,

aa

則有L二=1，解得。=一1，即直線方程為x+〉+l=0,

aa

所以過點(1,-2)且橫、縱截距相等的直線方程為y=-2x或x+y+l=0,共2條.故選：B

6.(23-24高二上?黑龍江大慶?月考)已知直線工+今=1經過第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不

ab

等式中正確的是()

A.|a|<|6|B.s/^a<4bC.（b-d）（b+a）>0D.《<（

【答案】D

【解析】已知直線色+★=1經過第一、二、三象限，則直線在x軸上的截距°<0,在y軸上的截距b>o,

ab

由直線的斜率小于1,可知結合a<0可得。<0<6<-。，

a

對于A,由絕對值的性質可知同>同，故選項A錯誤，

對于B,由幕函數的單調性可知心>新，故選項B錯誤，

對于C,由不等式的性質，可得b+a<0,則（6-〃）（/?+4）<0,故選項C錯誤，

對于D,-<0,->0,則工<《，故選項D正確.故選：D

abab

二、多選題

7.（23-24高二上?江蘇無錫?期中）直線/過點/（2,1）,且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線/在〉

軸上的截距可能是（）

A.-1B.1C.3D.0

【答案】ACD

【解析】當直線過原點時，設直線方程為y=丘，貝h=2左，解得《=；,此時在了軸上的截距為o；

當直線不過原點且截距相同，設直線方程為二+1=1,則2+1=1,解得“=3,

aaaa

此時在y軸上的截距為3；

當直線不過原點且截距相反，設直線方程為2-2=1,則工-工=i,解得。=1,

aaaa

此時在y軸上的截距為-1:

綜上所述：截距可能為0,-1,3.故選：ACD

8.（2024高二上?全國?專題練習）下列說法中錯誤的是（）

A.直線方程的截距式可表示除過原點外的所有直線

B.與了］=T是直線的截距式方程

C.直線方程的斜截式都可以化為截距式

D.在x軸、y軸上的截距分別是2,3的直線方程為授+5=1

【答案】ABC

【解析】對于A,直線方程的截距式為±+才=1,其中成片0,

ab

故不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行的直線，A錯誤；

對于B,；-與=1，?+4=-1，都不是直線的截距式方程，B錯誤；

對于C,直線方程的斜截式y(tǒng)=丘，不能化為截距式方程，C錯誤；

對于D,在x軸、y軸上的截距分別是2,3的直線方程為］+（=1,D正確.故選：ABC.

三、填空題

9.（23-24高二上?廣東廣州?期中）若直線/與兩坐標軸的交點分別為B,且線段的中點為（3,1）,則

直線/的方程為：.

【答案】x+3y-6=0

【解析】依題知，直線與x軸y軸的截距都存在且都不為0,

設直線方程為土+4=1,

ab

又線段48的中點為（3,1）,則￡=3或=1,即。=6,6=2

則直線方程為1=即x+3y-6=0.

62

10.（23-24高二上?山東泰安?月考）已知直線/過點尸（4,1）,若直線/在y軸上的截距是在X軸上的截距的

2倍，則直線/的方程是.

［答案】2x+y-9=0或x_4y=0

【解析】若直線在坐標軸上的截距都是0,則由點尸（4,1）在/上，得其方程為x-4y=0；

若直線在坐標軸上的截距不為0,可設其方程為±+/=1,

a2a

Q

將點P（4,l）代入可得fl=j,所以/的方程是2x+y-9=0.

11.（23-24高二上?山西文