第3講全等三角形常見模型專題探究

模型一K型圖

【知識點(diǎn)睛】

?：?K型圖模型總結(jié)

總結(jié)：當(dāng)一個直角放在一條直線上時，常通過構(gòu)造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關(guān)系

【類題訓(xùn)練】

1.（九龍坡區(qū)校級期末）如圖，ZACB=90°,AC=BC,ADICE,BELCE,垂

足分別是點(diǎn)。、E,AD=7cm,BE=3cm,則。E的長是（）

A.3cmB.3.5cmC.4cmD.4.5cm

【分析】根據(jù)同角的余角相等，得NCAD=NBCE,再利用A4S證明得CD=BE=

3cm,CE=AD=1cm,從而得出答案.

【解答】解：\'AD±CE,BELCE,

：.ZBEC=ZCDA=90°,

：.ZCAD+ZACD^90°,

VZACB=9Q°,

AZACD+ZBCE=9Q°,

：.ZCAD=ZBCE,

在△AC。與△CBE中，

,ZCDA=ZBEC

<ZCAD=ZBCE-

AC=CB

:.AACD出ACBE(AAS),

CD=BE=3cm,CE=AD=lcm,

DE=CE-CD=1-3=4cm,

故選：C.

2.（惠民縣月考）如圖，AE±AB&AE=AB,8。，。。且3。=。。，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖

中實(shí)線所圍成的圖形的面積S=98

【分析】由"44S”可證△FE4絲/XGAB,可得AG=Eb=8,AF=BG=4,同理可得CG=￡>”=6,

BG=CH=4,由面積和差關(guān)系可求解.

【解答】解：\'AE±AB,EF±AF,BG±AG,

：.ZEFA=ZAGB=ZEAB^90°,

：.ZFEA+ZEAF=90°,ZEAF+ZBAG=90°,

：.ZFEA=ZBAG,

在△FEA和△GAB中，

，ZEFA=ZBGA

?ZFEA=ZBAG>

AE=AB

.".AFEA^AGAB(AAS),

.\AG=￡F=8,AF=BG=4,

同理CG=￡>8=6,BG=CH=4,

4+8+4+6=22,

梯形EP即的面積=工><(EF+DH)XFH=AX(8+6)X22=154,

22

實(shí)線所圍成的圖形的面積5=154-2XAX4X8-2xAx4X6=98,

22

故答案為：98.

3.(海豐縣期末)如圖，ZACB=90°,AC=BC,AD±CE,BELCE,垂足分別為。，E.

(1)求證：AACD義ACBE；

(2)試探究線段AO,DE,BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可證NBCEn/CW,再利用A4S證明△AC。烏△CBE；

（2）由△ACO附△CBE,得CD=BE,AD=CE,即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：'JADLCE,BELCE,

：.ZADC=ZBEC=90°,

AZACE+ZCAD=90°,

VZACB=90°,

AZBCE+ZACD^9Q°,

：.ZBCE=ZCAD,

在△ACD和△CBE中，

，ZCAD=ZBCE

<NADC=/BEC，

AC=BC

.?.△AC。名△CBE(A4S)；

(2)解：AD^BE+DE,理由如下：

△ACDgACBE,

:.CD=BE,AD=CE,

'：CE=CD+DE,

：.AD^BE+DE.

4.(永年區(qū)月考)如圖，在中，AB=AC=3,/C=50°,點(diǎn)。在邊8c上運(yùn)動(點(diǎn)。不

與BC點(diǎn)重合)，連接A。，作NAOE=50°,DE交邊AC于點(diǎn)、E.

(1)當(dāng)/BZM=100°時，ZEDC=30°,ZDEC=100°；

(2)當(dāng)。C等于多少時，AABD咨ADCE,請說明理由.

【分析】(1)由補(bǔ)角的定義可求NAOC=80°,進(jìn)而可求解/EOC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理可求解/DEC的度數(shù)；

(2)可利用A4S證明△AB￡＞絲△OCE.

【解答】解：(1)'：ZBDA+ZADC=180°,ZBDA=100°,

：.ZADC=80a,

VZADE=50°,

NEDC=ZADC-/A￡)E=30°；

VZC=50°,ZC+ZEDC+ZDEC=180°,

：.ZDEC=100°；

故答案為30；100；

(2)當(dāng)。C=3時，AABD咨ADCE,

理由如下：'：AB=3,DC=3,

：.AB=DC,

VZB=50°,ZADE^50°,

:"B=ZADE,

VZADB+ZADE+ZEDC=180°,ZDEC+ZC+ZEDC=180°,

/ADB=ZDEC,

'AB=DC

在△AB。和△￡>(?￡'中,ZB=ZC

ZADB=ZDEC

/.AABD^/\DCE(AAS).

5.(錦江區(qū)校級期中)已知Rt^ABC和RtZXAZJE,AB=AC,AD=AE.連接3D、CE,過點(diǎn)A作AHJ_

CE于點(diǎn)H,反向延長線段AH交BO于點(diǎn)?

(1)如圖1,當(dāng)A8=A。時

①請直接寫出8尸與。尸的數(shù)量關(guān)系：BF=DF(填“>”、“<”、“=”)

②求證：CE=2AF

(2)如圖2,當(dāng)ABWA。時，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，CE=2CH,再根據(jù)A4s證四△CHA,得出AF=C"，即可得證

結(jié)論；

(2)作BM_LA尸于點(diǎn)M,作￡>N_LA尸交AF的延長線于點(diǎn)M根據(jù)A4S證△AMBg/XCHA,再根據(jù)

A4s證△?、，￡>名△￡///!,同理證△BM/gZXONE根據(jù)線段的等量關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)'：AB=AC,AD=AE,AB=AD,

：.AC=AE,

；AH_LCE,

：.ZCAH=ZEAH,

'：ZBAC=ZDAE=9G°,

AZCAH+ZBAF=90a,ZEAH+ZDAF=90°,

ZBAF=ZDAF,

在△84尸和△ZM尸中，

rAB=AD

<ZBAF=ZDAF>

AF=AF

:.ABAF%ADAF(SAS),

：.BF=DF,

故答案為：=;

?'：AC=AE,AH±CE,

：?CH=EH=LCE,

2

:?CE=2CH,

9：ZBAC=ZAHC=90°,

；?/BAF+/CAH=90°,ZACH+ZCAH=90°,

???NBAF=ZACH,

VABAF^ADAF,

AZAFB=ZAFD=90°,

???ZAFB=ZCHA,

在尸8和△CHA中，

<ZAFB=ZCHA

,NBAF=NACH，

AB=CA

AAAFB^/\CHA(AAS),

：.AF=CHf

：.CE=2AF；

(2)成立，證明如下：

作BMLAF于點(diǎn)M,作DNLAF交AF的延長線于點(diǎn)N,

:./BMA=/N=9S,

AZBAM+ZABM=90°,ZDAN+ZADN=90°,

*：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAM+ZCAH=90°,ZDAN+ZEAH=90°,圖2

AZABM=ZCAHfZADN=ZEAHf

VAHXCE,

AZAMB=ZCHA=ZN=ZEHA=90°,

在和△CH4中，

'NAMB=NCHA

-ZABM=ZCAH)

AB=CA

:.△AMB當(dāng)ACHA(AAS),

：.MB=AH,

同理可證△&'￡)qZkEHA(A4S),

:.DN=AH,

：.BM=DN,

在△BMF和△￡)///中,

，ZBMF=ZN

<ZBFM=ZDFN>

BM=DN

:.ABMF沿ADNF(AAS),

：.BF=DF,MF=NF,

：.AM=AF-MF,AN=AF+NF=AF+MF,

：.AM+AN^AF-MF+AF+MF^2AF,

V^AMB^/\CHA,^\AND^AEHA,

：.AM=CH,AN=EH,

：.CH+EH=AM+AN=2AF,

<CE=CH+EH,

：.CH=2AF,

即BF=DF,CE=2AF.

6.(渦陽縣期末)如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線MN上，在△A8C中，

/C=90°,AC=BC,試回答下列問題：

(1)若把三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB〃MN時，N2=45度;

(2)在三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作于M,BN1MN與N,若

AM=6,BN=2,求MN.

(3)三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN

之間有什么關(guān)系？請說明理由.

圖3

【分析】（1）先求出/2=45°,再用平行線的性質(zhì),即可求出答案;

（2）先用同角的余角相等判斷出/2=NC4M,同理：Z1=ZCBN,進(jìn)而判斷出△4WC四△CNB

（ASA）,得出AM=CN,MC=BN,即可求出答案;

（3）同（2）的方法，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）在△川（；中，AB^AC,ZACB=90°,

.*.ZB=ZA=45°,

'：AB//MB,

：.Z2=ZB=45

故答案為45；

(2)于M,BNLMN于N,

：.ZAMC=90°,/BNC=9Q°.

；./l+NC4M=90°,

XVZ1+Z2=9O°,

：.Z2=ZCAM,

同理：Z1=ZCBN,

在△AMC和△CN2中，

2I=NCBN

<AC=BC，

ZCAM=Z2

.?.△AMC絲△CNB(ASA),

:.AM=CN,MC=BN,

MN=MC+CN=AM+BN=2+6=8；

(3)MN=BN-AM,理由：

同(2)的方法得，△AMC四△CNB(ASA),

：.AM=CN,MC=BN,

：.MN=MC-CN=BN-AM.

模型二手拉手模型

【知識點(diǎn)睛】

手拉手模型總結(jié)

圖形條件與結(jié)論輔助線

條件：

AD=AE、AB=AC分別連接BD、

NBAONDAECE

結(jié)論：

手拉△ABDg△ACE(SAS)手模型在第一章只是表面

BD=CE

應(yīng)A用，后續(xù)深層次應(yīng)用需要在

等腰三角形學(xué)完之后探究

【類題訓(xùn)練】

1.(諸暨市月考)已知：如圖，在△ABC、△AQE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)

C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD.

(1)求證：ABADgACAE；

(2)線段2。與線段CE的關(guān)系為BD=CE,BDLCE,請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊即可證明△BAD也△◎￡；

(2)結(jié)合(1)利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得結(jié)論.

【解答】解：(1)VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△BAD和△CAE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

.?.△BAD經(jīng)△CAE(SAS)；

(2)BD=CE,BD±CE,理由如下：

由(1)知，△BAO四△CAE,

:.BD=CE,

,/ABAD^ACAE,

ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC^45°,

ZACE+ZDBC=45°,

ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°,

貝!IBDLCE.

故答案為：BD=CE,BDLCE.

2.（宣化區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC和△&￡）￡1中，ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC,AD=AE,連

接CD,C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上，連接2。，BE.以下四個結(jié)論：①BD=CE；②NACE+/ABD

=45°；③NB4E+/D4C=180°；?BD±CE.其中正確的是①③④.（只填序號）

【分析】①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出△A8D0ZV1CE,

由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE；

②由等腰直角三角形的性質(zhì)得到NABO+/DBC=45°,等量代換得到/ACE+NO2C=45°；

③根據(jù)周角的定義即可判斷；

④由△42。且得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到8。垂直于CE；

【解答】解：①?.?/BAC=NZME=90°,

ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,即/BAD=/CAE,

在△54。和△CAE中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

：.J\BAD^/\CAE(SAS),

：.BD=CE,故①正確；

②???AABC為等腰直角三角形，

ZABC=ZACB=45°,

:./ABD+NDBC=45°,

"?ZABD=ZACE,

：.ZACE+ZDBC=45°,故②錯誤;

③：/847=/及1。=90°,

：.ZBAE+ZCAD=ISO°,故③正確；

?VABAD^ACAE,

...ZABD=ZACE,

VZABD+ZDBC=45°,

AZACE+ZDBC=45°,

：.ZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB^90°,

則BD±CE,故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有3個.

故答案為：①③④.

3.(長沙期末)如圖，LABD、△AEC都是等邊三角形，直線C。與直線BE交于點(diǎn)凡

(1)求證：CD=BE；

(2)求/CFB的度數(shù).

【分析】(1)利用△AB￡>、ZV1EC都是等邊三角形，證明△D4cg△8AE,即可得到CO=BE；

(2)由△ZMC之△BAE,得至!JNA￡)C=ZABE,再由NCPE=N2nF+N￡>2尸尸+/￡>&4+NA2F,

即可解答.

【解答】(1)證明：???△AB。、△AEC都是等邊三角形，

：.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZDBA=ZADB=60°,ZCAE=60°,

ZDAB=ZDAC+ZCAB,ZCAE=ZBAE+ZCAB,

：.ZDAC=ZBAE,

在△ZMC和△BAE中，

rAD=AB

-ZDAC=ZBAE>

AC=AE

：./\DAC^/\BAE(SAS),

/.CD=BE.

(2)解：VADAC^ABAE,

ZADC=ZABE,

???ZCFE=ZBDF+NDBF=ZBDF+ZDBA+ZABF=ZBDF+ZDBA+ZADC=ZBDA+ZDBA

60°+60°=120°，

???NC尸8=60°.

4.(大連期末)在△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。是直線上一動點(diǎn)(不與8、。重合)，將線段繞點(diǎn)

A逆時針旋轉(zhuǎn)NR4C的度數(shù)，得到線段AE,連接CE,設(shè)N8AC=a,NBCE=R.

AA

:「

BDCDBC

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時，用等式表示a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段延長線上時，補(bǔ)全圖形，用等式表示a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

【分析】(1)先利用邊角邊定理證明與△EAC全等，證出NEC4=NB,所以/B+/ACB=B，

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到a+0=18O°；

(2)方法同(1)證出NEC4=NAB。，所以a+NZ)CA=B+NZ)CA,所以a=0.

【解答】解:(1)a+P=180°.

證明：'：ZBAC=ZDAE^a,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBA?！狢AE.

XAB=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS).

：.ZB=ZACE.

：.ZB+ZACB=ZACE+ZACB.

.\ZB+ZACB=p.

Va+ZB+ZACB=180°,

?.a+p=180°.

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段C8延長線上時，a=0.

其理由如下：

類似(1)可證△D4B也△EC4,

：.ZDBA=ZECA,

又由三角形外角性質(zhì)有/￡＞氏4=葉/。。4,

而/ACE=0+/Z）C4,

,a=0.

模型三對稱全等模型

【知識點(diǎn)睛】

?對稱全等模型總結(jié)

常見基本圖形：

E

模型提?。?.對稱變換基本特征：必有對稱軸

2.對稱型全等模型常隱含的條件：

具有公共邊、公共角、有時全等三角形不止一對、對稱軸會平分公共角

3.全等證明常用解決手段:

多想角度間的等量代換方法一角平分線的定義、內(nèi)角和公式、外角定理等

4.其特殊應(yīng)用環(huán)境：角生殳線的常見輔助線

?角平分線基本性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

（對稱類全等經(jīng)常和角平分線結(jié)合，可以考察角平分線的定義，也可以考察角平分線的性質(zhì)定理）

【類題訓(xùn)練】

L（梧州模擬）如圖，在△ABC中，/A=90°,BE是△ABC的角平分線，ED±BC

于點(diǎn)。，CD=4,2XCDE周長為12,則AC的長是（）

A.14B.8C.16D.6

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AE=OE,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：：BE是△ABC的角平分線，EDLBC,ZA=90°,

J.AE^DE,

\'/\CDE的周長為12,8=4,

:.DE+EC=8,

：.AC=AE+EC=S,

故選：B.

2.（泗水縣期末）如圖，AABC的面積為10cm2,AP垂直N8的平分線BP于P,則△?忒?的面積為（)

A.4cm2B.5c7fC.6cm2D.7cmi

【分析】延長AP交BC于E,根據(jù)A尸垂直/B的平分線BP于P,即可求出△ABP四△8EP,又知

△APC和等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積.

NABP=NEBP,

又知ZAPB=ZBPE=9Q°,

AABP^ABEP,

：*SAABP=SABEP,AP=PE,

：.△APC和△CPE等底同高，

??S/\APC=SAPCEJ

12

SAPBC=SAPBE+SAPCE=—S^ABC=Scmr,

2

故選：B.

3.（江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABE和△AOC是△ABC分別沿著AB,AC邊翻折形成的，若/I：Z2：

/3=13：3：2,8與8E交于。點(diǎn)，則NEOC的度數(shù)為（）

A.80°B.85°C.90°D.100°

【分析】根據(jù)題意可得，若Nl：N2：Z3=13：3：2,則Nl=130°,Z3=20°,根據(jù)折疊的性質(zhì),

翻折變換的特點(diǎn)即可求解.

【解答】解：如圖，AE與DC交于點(diǎn)尸，

E

VZ1：Z2：Z3=13：3：2,

AZI=130°,Z3=20°,

AZDCA=20°,ZEAB=130°,

"：ZPAC=3600-2Zl=100°,

：.ZEPD=ZAPC=180°-APAC-ZDCA=60°.

由翻折的性質(zhì)可知/E=/3=20°.

AZEOC=180°-ZEPD-Z￡=180°-60°-20°=100°.

故選：D.

4.(永嘉縣模擬)如圖，△ABC的角平分線2DCE交于點(diǎn)F,AB=AC.

(1)求證：△ABDQXACE.

(2)當(dāng)/A=40°時，求/BFC的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出NABO=/ACE,進(jìn)而判定△AB。絲

△ACE,

（2）根據(jù)角平分線的定義可得ZFCB=1ZACB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

22

即可.

【解答】解：⑴-：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,

:兩條角平分線81）、CE相交于點(diǎn)。，

ZABD=ZACE,

在AABD和中,

，ZABD=ZACE

-AB=AC，

ZA=ZA

.'.△ABD注AACE(ASA).

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=1800-ZA=180°-40°=140°,

VZABC,NAC8的平分線BE,CD相交于點(diǎn)R

：.ZFBC=^ZABC,ZFCB=^ZACB,

22

；./FBC+NFCB=L(ZABC+ZACB)=Ax140°=70°,

22

在△BCV中，ZBFC=180°-(ZFBC+ZFCB)=180°-70°=110°.

5.(嘉興一模)在①。1=。。，②NABC=/DCB,③NA80=NOCO這三個條件中選擇其中一個，補(bǔ)

充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)0,Z1=Z2.若04=0?；騈ABC=/￡>CB或/A30=N￡)C。，

【分析】若①。4=。0,由&4s證△ACB絲△O8C,即可得出AB=DC；

若②NABCn/DCB,由ASA證△ABO且ZkOCO(ASA),即可得出A2=￡>C；

若③/ABO=NZ)C。，由ASA證△ABOg/\Z)C。(ASA),即可得出AB=r)C.

【解答】解：若①。4=0。

VZ1=Z2,

：.OB=OC,

；.OA+OC=OD+OB,BPAC^DB,

在△ACB和△OBC中，

rAC=DB

(N2=N1，

BC=BC

AACB^ADBC(SAS),

：.AB=DC；

若②NABC=NDCB,

VZ1=Z2,

：.OB=OC,NABC-N1=NDCB-N2,即NABO=NZ)C。,

在△ABO和△QCO中，

，ZABO=ZDCO

，OB=OC，

ZAOB=ZDOC

A/\ABO^/\DCO(ASA),

：.AB=DC；

^@ZABO=ZDCO,

VZ1=Z2,

：.OB=OC,

在△ABO和△OCO中，

，ZAB0=ZDC0

'OB=OC，

ZA0B=ZD0C

A/\ABO^/\DCO(ASA),

：.AB=DC；

故答案為：OA=O?；騈ABC=N。CB或NAB。=N。C。.

6.(臺安縣月考)如圖，四邊形ABC。中，ZB+ZD=180°,ZBCZ)=150°,CB=CD,M,N為AB、

A。上的兩個動點(diǎn)，且NMCN=15；求證：MN=BM+DN.

【分析】延長AB至點(diǎn)E,使得BE=DN,連接CE,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得NCBE=NCDM根據(jù)

SAS證明△C