平行四邊形（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+12大?？碱}型）

9考點(diǎn)導(dǎo)航

目錄

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】...........................................................3

【考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定多結(jié)論問(wèn)題】..................................................8

【考點(diǎn)三利用平行四邊形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】....................................................16

【考點(diǎn)四平行四邊形中的折疊問(wèn)題】............................................................21

【考點(diǎn)五判斷能否構(gòu)成平行四邊形】............................................................29

【考點(diǎn)六平行四邊形中的作圖】................................................................32

【考點(diǎn)七平行四邊形中的性質(zhì)和判定】..........................................................38

【考點(diǎn)八與三角形中位線有關(guān)的求解問(wèn)題】.....................................................47

【考點(diǎn)九平行四邊形與中位線綜合問(wèn)題】........................................................50

【考點(diǎn)十多邊形內(nèi)角和、外角和問(wèn)題】..........................................................57

【考點(diǎn)十一多邊形中的對(duì)角線問(wèn)題】............................................................59

【考點(diǎn)十二多邊形中的截角問(wèn)題】..............................................................61

O知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的定義

平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“口”表示，平行四邊形N8CD表示為“口

ABCD”,讀作“平行四邊形/BCD”

知識(shí)點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對(duì)角線，有時(shí)會(huì)涉及對(duì)稱(chēng)性.如下圖，四邊形/BCD是平行四邊形：

性質(zhì)1（邊）：①對(duì)邊相等；②，即：AB=CD,AD=BC；AB//CD,AD//BC

性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：ZBAD=ZBCD,NABC=NADC

性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC,BO=OD

注：①平行四邊形僅對(duì)角線相互平分，對(duì)角線不相等，即

②平行四邊形對(duì)角相等，但對(duì)角線不平分角，即/D/OWNB/。.

性質(zhì)4（對(duì)稱(chēng)性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

知識(shí)點(diǎn)03平行四邊形的判定定理

平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形/BCD：

（1）判定方法1（定義）：兩組對(duì)邊平行的四邊形，即AB//DC.

（2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對(duì)邊相等的四邊形，即AB=DC.

（3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對(duì)邊相等且平行的四邊形，即且/。=5C；AB〃DC且AB=DC.

（4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對(duì)角相等的四邊形，即N8ND=A8CD且乙48C=乙4DC.

（5）判定方法5（對(duì)角線的性質(zhì)）：兩組對(duì)角線相互平分的四邊形，即/O=C。且2。=。。

注：①平行四邊形的判定，需要邊、角、對(duì)角線相關(guān)的2個(gè)條件（相等、平行）；

②判定方法3中，必須要求是同一對(duì)邊平行且相等判定為平行四邊形.若四邊形中，一對(duì)邊平行，另一對(duì)邊

相等，是無(wú)法判定為平行四邊形的.

知識(shí)點(diǎn)04三角形的中位線定理

（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱(chēng)為中位線（三角形中有3條中位線）

（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、￡分

DEHBC

別為的中點(diǎn)，[.

DE=-BC

I2

A

知識(shí)點(diǎn)05多邊形的概念、內(nèi)角和、外角和

1.定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.其中，各個(gè)角

相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)"邊形有〃個(gè)內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.

對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

頂點(diǎn)

A〃內(nèi)角

7”-多辿形—廣，

/＞、角七卜角./凸多邊形凹多邊形

BC"

3.多邊形的分類(lèi):畫(huà)出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多

邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形.如圖：

特別說(shuō)明：（1）正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；

⑵過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（〃-3）條對(duì)角線，"邊形對(duì)角線的條數(shù)為迎二2;

2

（3）過(guò)〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把〃邊形分成（〃-2）個(gè)三角形.

4.多邊形內(nèi)角和：”邊形的內(nèi)角和為（"-2）?180°（〃N3）.

特別說(shuō)明：（1）內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；

（2）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于（〃—2）」80°；

n

5.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

特別說(shuō)明：（1）在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和?〃邊形的外

角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

（2）正力邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于幽；

n

（3）多邊形的外角和為360°的作用是:①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù);②已知多邊形邊數(shù)求各相等外

角的度數(shù).

Q典例變式

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】

例題：（24-25八年級(jí)下,上海,期中）在口/5CD中，若乙4=3/8,則〃＞為度.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)下?北京?期中）如圖，在口/BCD中，/A4c=105。，/D=45。，AC=4,則//C8=

2.（24-25八年級(jí)下?山東濟(jì)寧?期中）如圖，口48co中，8C=2,點(diǎn)E在D4的延長(zhǎng)線上，BE=25,若A4

3.（24-25八年級(jí)下?黑龍江綏化?期中）在口N8CE中，/E是8C邊上的高，N3=10,AE=6,且

CE:AE=1:3,則口48CE的面積為

4.（2025?江西九江?二模）在口48co中，/8=10,BC=4,ND=60。，點(diǎn)E在CD上，CE=4,點(diǎn)G在28

上，連接CG,尸是CG的中點(diǎn).若AMC是等腰三角形，則8G的長(zhǎng)為—.

【考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定多結(jié)論問(wèn)題】

例題：（24-25九年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，平行四邊形NBCO的對(duì)角線交于點(diǎn)。，/￡平分

NBAD交BC于點(diǎn)、E,且ZADC=60。，AB=^BC,連接。￡.下列結(jié)論：①/C4D=30。；

②Si-BxAC；③OB=AB；@OE=|BC.其中成立的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，平行四邊形/BCD的對(duì)角線/C,BO相交于點(diǎn)O,4E平分

NBAD,分別交BC,BD于點(diǎn)、E,P,連接OE,ZADC=60°,AB=3BC=2,下列結(jié)論：

①NC/D=30°；②BO=2j7;?SmABCD=AB-AC；@OE=-AD；?SABOE=^3.其中正確的個(gè)數(shù)有

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24八年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）如圖，E是口48。內(nèi)一點(diǎn)，EDVCD,EBLBC,

ZAED=U5°,連接EC,AC,BD,下列結(jié)論：?AADE=AABE；②ABCE為等腰直角三角形；③

DE+AB=41BD;@AE2+AB2=AC2,其中正確的個(gè)數(shù)有（）

3.（23-24九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，口4BCD中，對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)。，/E平分

NBAD,分別交8C、BD于點(diǎn)、E、P,連接O￡,NADC=60。，AB=^BC=2,則下列結(jié)論：

①NC/O=30。；②OE=LAD；③BD=2不；?S^BEP=S^APO.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

/.4個(gè)反3個(gè)C.2個(gè)D1個(gè)

4.（24-25八年級(jí)下?吉林?期中）如圖，點(diǎn)。是口ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，乙45C=120。，//OC的平分線。E

交4B于點(diǎn)、E,DE與NC交于點(diǎn)尸，AB=2AD,連接OE.下列結(jié)論：（1）SaABCD=AD-BD-②DB平分

NCDE；③AO=DE；④0E:BD=66,其中正確的有.

【考點(diǎn)三利用平行四邊形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

例題：（2025八年級(jí)下,全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,且4D<8C,5C=6cm,動(dòng)

點(diǎn)尸，0分別從點(diǎn)。，2同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度向點(diǎn)/方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，幾秒后四邊形C。尸。是平行四邊形（）

A.1B.2C.3D.4

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)下?江蘇南通?期中）如圖1,在口48。中，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)，沿折線BCfCDfDB運(yùn)

動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x,尸的面積為八把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則圖2中的。

等于（）

A.18B.24C.30D.36

2.（2024?河南周口?三模）如圖1,四邊形48co是平行四邊形，連接2。，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿折線

ABTBDTD4勻速運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)N后停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,線段NP的長(zhǎng)為y,圖2是y與x的

函數(shù)關(guān)系的大致圖象，下列結(jié)論中不正確的是（）

圖1

A.8。=10B.40=12

C.平行四邊形48。的周長(zhǎng)為44D.當(dāng)x=15時(shí)，的面積為20

3.（24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?期末）如圖,在048。中，Z^SC=45°,BC=4,點(diǎn)尸是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

以F4,FB為鄰邊作另一個(gè)口4EBF,當(dāng)廠點(diǎn)由。點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下面給出四個(gè)結(jié)論:

①口4E3/的面積先由小變大，再由大變小;

@nAEBF的面積始終不變；

③線段跖的最小值為；

S、AEB=/S=ABCD-

其中說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.①③B.①④

C.①③④D.②③④

4.（23-24八年級(jí)下?河南南陽(yáng)?期末）如圖（1）,在口/BCD中，AB=2,ZA=60°,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿

直線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E,再?gòu)狞c(diǎn)E沿直線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8.設(shè)點(diǎn)廠運(yùn)動(dòng)的路程為x,的面積為V,圖（2）是點(diǎn)廠

運(yùn)動(dòng)時(shí)V隨x變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則8C的長(zhǎng)為（）

D.5

【考點(diǎn)四平行四邊形中的折疊問(wèn)題】

例題：（24-25八年級(jí)上?山東威海?期末）如圖，在平行四邊形48CD中，點(diǎn)E,尸分別為邊CD的中點(diǎn),

將平行四邊形N5CD沿著跖折疊，點(diǎn)8,C分別落在夕，C處，若NC'PD=66。,則-4的度數(shù)

為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，將//沿。E折疊，使點(diǎn)A落在

點(diǎn)尸處，把紙片展平，延長(zhǎng)。尸與射線8C交于點(diǎn)G.若4D=2,CG=\,則線段DG=—.

2.（23-24八年級(jí)下?河南洛陽(yáng)?期中）如圖，在口/BCD中，AB=4亞,8C=10,N4=45°，點(diǎn)E是邊ND

上一動(dòng)點(diǎn)，將人4班沿直線3E折疊，得到設(shè)BF與AD交于點(diǎn)、M,當(dāng)B尸與口48CD的一邊垂直時(shí),

DM的長(zhǎng)為.

F

BC

3.（24-25八年級(jí)上?山東威海?期末）綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們開(kāi)展了口的折紙活動(dòng)，E是BC邊

上的一動(dòng)點(diǎn)，尸是4D邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將口48CD沿直線跖折疊，使點(diǎn)C落在NB邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)。的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N,連接CM.

EE

圖1圖2

⑴【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,若40=60。，MELAB,BE=2,則￡C=,ZNFA=.

⑵【操作探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)N落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：四邊形近”為平行四邊形.

4.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，王老師以"發(fā)現(xiàn)一探究一應(yīng)用”的形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維.以下是王

老師的課堂主題展示：

【問(wèn)題情境】在平行四邊形/BCD中，AB=0AD=2,443C=e（0°<a<180。），E是/。的中點(diǎn)，連

接CE,將ACDE沿CE折疊得到△口?￡（點(diǎn)尸不與點(diǎn)N重合），作直線4尸交8c于點(diǎn)P.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,若夕=90。，則線段NP與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

【類(lèi)比探究】

（2）在a的值發(fā)生變化的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

（3）當(dāng)44M=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE的長(zhǎng).

AEDAED

P

圖2

【考點(diǎn)五判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

例題：（24-25八年級(jí)下?山東德州?期中）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）

1.（24-25八年級(jí)下?湖北武漢?期中）已知四邊形45CQ,下列條件能判斷它是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD=BCB.ZA=ZD,/B=/C

C,AB//CD,AB=CDD.AC=BD,AC1BD

2.（24-25八年級(jí)下?湖北隨州?期中）如圖,四邊形/BCD的對(duì)角線4C和AD交于點(diǎn)O,則下列不能判斷四

邊形是平行四邊形的條件是（）

A.OA=OC,OB=ODB.AD=BC,AD//BC

C./ABC=ZADC,AD=BCD.AB=DC,AD=BC

3.（24-25八年級(jí)上?山東淄博?階段練習(xí)）如圖，在口45CD中，對(duì)角線ZC,AD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,產(chǎn)是對(duì)

角線/。上的兩點(diǎn)，下列條件不能判定四邊形。￡5廠是平行四邊形的是（）

A.OE=OFB.DE=BF

C.ZADE=ZCBFD./ABE=/CDF

4.（23-24八年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖,四邊形的對(duì)角線相交點(diǎn)O,下列條件中，不能判定四邊

形是平行四邊形的是（

A.Z1=Z2,Z3=Z4B.Z1=Z2,AB=DC

C.N3=N4,4D=BCD.N3=N4,/8=。。

【考點(diǎn)六平行四邊形中的作圖】

例題：（2025?廣東廣州?一模）如圖，四邊形/BCD為平行四邊形.

⑴尺規(guī)作圖：作的角平分線BE,BE交4D于點(diǎn)、E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

⑵在（1）的條件下，連接CE,若/3=5,NBEC=90°,求線段BC的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，M為口4BCD內(nèi)一點(diǎn)、,請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，按下列要求完成作圖（保留

作圖痕跡）.

圖1圖2

⑴在圖1中，BM平分/ABC,作/4DC的平分線；

（2）在圖2中，Af為任意一點(diǎn),在口48。內(nèi)作線段DN,使平行且等于8M.

2.（24-25八年級(jí)下?四川廣安?期中）根據(jù)要求作圖.

圖1圖2

⑴如圖1,平行四邊形4BCD,點(diǎn)E,尸分別在邊4D,8c上，且/￡=CP,連接EF.求作線段跖中點(diǎn)

（要求尺規(guī)作圖，保留畫(huà)圖痕跡，不必說(shuō)明理由）.

⑵如圖2,平行四邊形/BCD,點(diǎn)E在邊N5上，請(qǐng)你在邊。上找一點(diǎn)尸，使得四邊形NEW為平行四邊

形.（要求尺規(guī)作圖，保留畫(huà)圖痕跡，并證明四邊形NEC—為平行四邊形）.

3.（2025?浙江?二模）尺規(guī)作圖問(wèn)題：

如圖，在口N8CD中，P是對(duì)角線5。上一點(diǎn)（8P<PD）,連結(jié)北，請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題：

⑴用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在8。邊上作點(diǎn)Q，連接C。，使得C?！ā笆?（保留作圖痕跡，不必寫(xiě)做法）

⑵依據(jù)你的作圖，請(qǐng)說(shuō)明成立的理由.（要求寫(xiě)出推理過(guò)程）

4.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，在口/BCD中，AB>AD.

⑴用尺規(guī)完成以下基本作圖：在42上截取NE.使NE=4D.連接。E,作的平分線交CD于點(diǎn)廠

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不下結(jié)論）

⑵請(qǐng)判斷：四邊形3FDE的形狀并加以證明

【考點(diǎn)七平行四邊形中的性質(zhì)和判定】

例題：（24-25八年級(jí)下?河南濮陽(yáng)?期中）如圖，在口4BCD中，尸是。的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使

BE^-AB,連結(jié)8己CE.

2一,

⑴求證：四邊形3EC尸是平行四邊形；

（2）若/8=8,AD=6,ZA=60°,求CE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)下?浙江?期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E,尸分別在48,CO上，且

AE=CF.連結(jié)2。，跖交于點(diǎn)。.

⑴求證：四邊形DE5廠是平行四邊形.

⑵若BALE尸，ZSCB/的周長(zhǎng)是12,求平行四邊形的周長(zhǎng).

2.（24-25八年級(jí)下?湖南,期中）如圖，在四邊形N5CD中，ABAC=ZACD=90°,NB=NAEC.

D

⑴求證：四邊形/2CE是平行四邊形；

（2）若NC=3,3=5,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，求平行四邊形/8CE的面積.

3.（24-25八年級(jí)下?河南周口?期中）如圖，中，NACB=90。，BC=3,AC=4,。是NC中點(diǎn),

CE//BA,動(dòng)點(diǎn)尸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度從點(diǎn)8出發(fā)向點(diǎn)A移動(dòng)，連接尸。并延長(zhǎng)在CE交于點(diǎn)尸，點(diǎn)P移

動(dòng)時(shí)間為/秒.

⑴求與C￡間的距離；

（2〃為何值時(shí)，四邊形尸3C尸為平行四邊形；

⑶直接寫(xiě)出才為何值時(shí)，PF=3.

4.（24-25八年級(jí)下?浙江杭州?期中）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明用一根木棒把四邊形分割成2個(gè)

部分（如圖1）,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，AD=BD,ZBAD=ZC=ZCDB=45°.

⑴求證：四邊形/BCD是平行四邊形；

⑵若點(diǎn)P為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)。重合），連接/P,過(guò)點(diǎn)尸作EPL4P交直線5。于點(diǎn)￡.如圖

2,當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)：

①連接9,請(qǐng)寫(xiě)出尸3與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

②請(qǐng)寫(xiě)出尸/,PE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

③如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在線段C￡＞上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE,DP,之間的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)八與三角形中位線有關(guān)的求解問(wèn)題】

例題：（24-25八年級(jí)下,廣東江門(mén)?期中）如圖，D,E分別是ZUBC的邊48,/C的中點(diǎn)，如果3C=6cm,

則DE=cm.

A

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)下?浙江,期中）如圖，在0/8CZ）中，ADVBD,AC=10,8。=6,點(diǎn)E,尸分另I」平分線段

2.（2025?山東日照?一模）如圖所示，在ZUBC中，點(diǎn)。，E分別為48,/C的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上,

連接88,點(diǎn)G,F分別為BH,C才的中點(diǎn).若DGLBH,BD=3,EF=2,則8〃的長(zhǎng)為.

3.（24-25八年級(jí)下?河南許昌?期中）如圖，A44。中，44=4,A,Q=5,片0=7,點(diǎn)4、與、G分別

是邊4G、4￡、4月的中點(diǎn)；點(diǎn)4、鳥(niǎo)、&分別是邊斗。2、4c2、4鳥(niǎo)的中點(diǎn)；…；以此類(lèi)推，則第

2025個(gè)三角形的周長(zhǎng)是.

Ci

4.（2025八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形48。中，N4=90。，AB=12,AD=5.點(diǎn)、M、N分

別為線段8C、N8上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)"不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)￡、尸分別為DM、的中點(diǎn)，則斯

長(zhǎng)度的最大值是.

c

【考點(diǎn)九平行四邊形與中位線綜合問(wèn)題】

例題：（24-25八年級(jí)下?天津?yàn)I海新■期中）如圖，△/8C中，點(diǎn)。，E分別是邊AB,/C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C

作CF〃/8交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)歹，連接8E.

⑴求證：四邊形3CED是平行四邊形；

（2）當(dāng)=時(shí)，若BD=5,BE=8,求NC的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)下?甘肅定西?階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別在CD上,

BE=DF,連接跖與對(duì)角線/C相交于點(diǎn)0.

⑵連接CE,G為CE的中點(diǎn)，連接OG.若OG=2,求/E的長(zhǎng).

2.（24-25八年級(jí)下?全國(guó)?期中）如圖，在尸中，E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)3尸至。，使得DF=BF,連接

AD,延長(zhǎng)斯至點(diǎn)C,使得C尸=40,連接CD.

⑴求證：四邊形N尸。為平行四邊形；

⑵連接ZC交。5于點(diǎn)。，若CELDB,EF=\,AE=屈,求/尸，NC的長(zhǎng).

3.（23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?期中）如圖，點(diǎn)￡為平行四邊形/3CZ）的邊/。上的一點(diǎn)，連接仍并延長(zhǎng),

使BF=BE,連接EC并延長(zhǎng)，使CG=C￡,連接尸G.X為尸G的中點(diǎn)，連接AF.

⑴求證：四邊形為平行四邊形；

⑵連接E//,交BC于點(diǎn)O,若OB=OE,FG=8,求的長(zhǎng)度.

4.（2025八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，口/3CD的對(duì)角線/C,2。相交于點(diǎn)。，AE平分/BAD,分別交

BC,BD于點(diǎn)E,P.

⑴試說(shuō)明“BE是等腰三角形；

⑵連接困若4B=；BC=2,ZABC=60°.

①求線段OE的長(zhǎng)；

②求的面積.

【考點(diǎn)十多邊形內(nèi)角和、外角和問(wèn)題】

例題：（2025?廣東清遠(yuǎn)?一模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540。，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?期中）一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角等于它的一個(gè)內(nèi)角的g,這個(gè)正多邊形是

邊形.

2.（24-25八年級(jí)上?河北唐山?期中）己知一個(gè)多邊形的邊數(shù)為機(jī)