第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：平行的判定.............................................................2

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法...........................................3

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法.............................................4

題型四：利用面面平行證明線面平行...............................................5

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.........................................6

題型六：面面平行的證明.........................................................8

題型七：面面平行的性質(zhì).........................................................9

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................10

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................16

題型一：平行的判定

1.（多選題）（2024?遼寧?模擬預(yù)測）己知見萬是兩個(gè)不同的平面，/,根是兩條不同的直線，則（）

A.若lua,mu/3,a〃/3,則/〃mB.若利〃/,〃?〃％/a,則/〃

C.若a_L尸,mua,貝！|/"_1_尸D,若ILa,m〃l,mu。,則eJLp

2.（多選題）如圖，在長方體ABCD-4與G2中，點(diǎn)M，N,E,尸分別在棱45，A2，B?,CtD,±,

且平面⑷“N〃平面￡FDB,下列結(jié)論正確的是（）

D\FC,

Z71

A.MNEFB.EF//BD

C.AN//DFD.BE〃平面AAW

3.（多選題）已知直線/,加，平面名萬，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ml/Z,Z/la,則加//2

B.I"B，mlIB，lua,tnua,則a///?

C.Ulm,lua,muB,則a///7

D.11110,1ua,mua,l\m=M,則a///

4.設(shè)a、夕是兩個(gè)平面，m、〃是兩條直線，且ai0=m.下列四個(gè)命題：

①若m//n,則九〃a或〃〃用②若根_1_幾，則九_(tái)L&,nL/3

③若〃〃,，且〃〃萬，則加7〃④若〃與。和4所成的角相等，則"_L〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

5.(2024?新疆昌吉?高三?？紝W(xué)業(yè)考試)如圖，在正方體ABC。-AgGR中，E是棱口。的中點(diǎn).

(1)證明：平面AEC；

(2)若正方體棱長為2,求三棱錐。-AEC的體積.

6.(2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)如圖所示，在正四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD的中心為O,PD邊

上的垂線BE交線段P。于點(diǎn)孔PF=2FO.

(1)證明：平面P2C；

7.如圖，四棱錐尸—ABCD中，四邊形A8CD為梯形，AB//CD,ADJ.AB,AB=AP=2DC=4,

PB=2AD=4x/2,PD=2娓,M,N分別是P￡>,PB的中點(diǎn).

(1)求證：直線MV〃平面ABC￡)；

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”.如

圖，在墊堵A3C-4耳C中，已知AC=8C,且點(diǎn)N,P分別是A3,AG，3c邊的中點(diǎn).

⑴求證：。///平面也可。；

9.(2024?天津?yàn)I海新?高三校考期中)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是菱形，平面底面A38,

E,尸分別是A8,尸C的中點(diǎn)，AB=6,DP=AP=5,N5W=6O。.

(1)求證：〃平面PAD；

IT

10.如圖，四棱臺(tái)ABCD-￡FGW的底面是菱形，且4B4O=w，D"_L平面A3CD,EH=2,DH=3,AD=4.

(1)求證：AE〃平面BDG；

(2)求三棱錐尸-BAG的體積.

題型四：利用面面平行證明線面平行

11.(2024?全國?模擬預(yù)測)如圖，在多面體ABCDMP中，四邊形AB8是菱形，且有NZMB=60。,

AB=DM=1,PB=2,P3_L平面A3CD,PB//DM.

(1)求證：AM//平面尸3C；

12.(2024?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-A由G中，側(cè)面他0。是矩形，側(cè)面

是菱形，ZB,BC=60,D、E分別為棱A3、耳。的中點(diǎn)，尸為線段的中點(diǎn).

(1)證明：A尸〃平面AQE；

13.（2024?上海?模擬預(yù)測）直四棱柱ABCD-44G2,ABDC,ABA,AD,AB=2,A￡）=3,0c=4

(1)求證：AB〃面DCCQ；

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

14.(2024?廣東?三模)如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直，E,尸分別為3C,

C。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD,直線A8與平面EFG相交于點(diǎn)H.

(1)證明：BD//GH；

15.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC=BC,AlC=AiB,側(cè)面為矩形.

(1)記平面與平面ABC交線為/,證明：AC//1-,

16.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB=BD=BP=逐,PA=PD=①,ZAPZ)=90°,E、尸分別是棱

PA,AD的中點(diǎn)，且BE〃平面PCD.證明：BF//CD.

17.如圖，空間六面體ABCDEFGH中，AD//BC,EH11FG,平面ABCD//平面￡FGH,CDHG為正方形,

求證：AE//BF;

題型六：面面平行的證明

18.(2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-438中，PA=3,AB=2,四邊形ABCD為菱形,

7T___

ZABC=-,2A，平面ABCD,E,F,。分別是BC,PC,尸。的中點(diǎn).

(1)證明：平面瓦Q〃平面RR；

19.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在圓臺(tái)《。中，4為軸截面，AB=2^5,=4,XA.AB=60,C

為下底面圓周上一點(diǎn)，斤為下底面圓O內(nèi)一點(diǎn)，4E垂直下底面圓。于點(diǎn)E,/COF=/所。.

(1)求證：平面O0C〃平面AE尸;

20.如圖，在六面體ABCDE產(chǎn)中，DE//CF,四邊形A3。是平行四邊形，DE=2CF.

(1)證明：平面ADE//平面BCF.

(2)若G是棱的中點(diǎn)，證明：AE//FG.

21.如圖，在正方體ABCD-Aaa，中，M,N分別是A5,4。的中點(diǎn)，AB=2..

(1)若AB中點(diǎn)為Q,求證：平面MNQ〃平面4AD；

(2)求點(diǎn)C到平面\BD的距離.

題型七：面面平行的性質(zhì)

22.如圖，在正方體ABCD-A4G2中，作截面跳(如圖)交42，A與，AB,8分別于E,F,

G,H,則四邊形EFG”的形狀為(

DiEC,

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.梯形

23.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)私〃是兩條相交直線，名乃是兩個(gè)互相平行的平面，且〃〃夕，則"7”//?！?/p>

是“///尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

24.已知正方體A3CD-4用G2,平面MC與平面小2。的交線為/,則（）

A.I//\DB.I//BtDC.I//CtDD.1〃DQ

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

25.如圖所示，在棱長為1的正方體AB8-ABCQ中，點(diǎn)耳/分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面BCGg

內(nèi)一點(diǎn)，若AP〃平面A跖，則線段AP長度的取值范圍是（）

DiG

AB

［］.［平，］。

A-4B,….［夜,目

26.（2024?貴州?模擬預(yù)測）在三棱錐A3C。中，AC,平面BCO,P是A3上一點(diǎn)，且3AB=43尸，連

接c尸與。p,Q為OP中點(diǎn).

C

⑴過Q點(diǎn)的平面平行于平面A8且與5c交于點(diǎn)求空；

27.（2024?湖南長沙?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，B4_L平面ABCD,上4=2,底面ABCD為

直角梯形，ZBAD=9O°,AB=2,CD=AD=1,N是尸8的中點(diǎn)，點(diǎn)。分別在線段P￡＞與AP上，且

DM=AMP,AQ=/LIQP.

(1)若平面MN?！ㄆ矫鍭BCD,求為、〃的值;

2

⑵若MQII平面PBC,求匕的最小值.

A

28.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面是矩形，點(diǎn)分別在棱AB,PC上，其中E是A3的中點(diǎn),

連接ME.

(1)若M為尸C的中點(diǎn)，求證：ME//平面PAD；

⑵若ME〃平面PAD,求點(diǎn)M的位置.

1.(2024?四川?模擬預(yù)測)設(shè)心4為兩條不同的直線，4，%為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是()

A.若4〃4,1111a\,則“"

B.若4,，2與內(nèi)所成的角相等，則/]///2

C.若%_L4,4〃%,Z2//a2,貝!J4_L12

D.若％_L%，4_L%，4，%，貝（

2.（2024?四川樂山?三模）在三棱柱ABC-A與G中，點(diǎn)。在棱3月上，且3與=36。，點(diǎn)”在棱A?上,

NB

且加為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線3月上，若"N〃平面AOG，則醞=（）

IVd

A.2B.3C.4D.5

3.（2024?山東?二模）《蝶戀花?春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，

墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看作一個(gè)平面，墻外的道

路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩

與墻面線面平行.那么當(dāng)佳人在蕩秋千的過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.秋千繩與墻面始終平行

B.秋千繩與道路始終垂直

C.秋千板與墻面始終垂直

D.秋千板與道路始終垂直

4.已知平面尸和直線機(jī)，"，若mua,“ua,貝!|“根//尸，"〃尸”是“a//夕”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱ABC-A用G的底面邊長是2,側(cè)棱長是20,加為4G

的中點(diǎn)，N是側(cè)面8。。由內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且〃平面ABG，則點(diǎn)N的軌跡的長度為（）

G

A.-J6B.2C.72D.4

6.（2024?貴州黔東南?二模）平面a過直三棱柱ABC-AB|G的頂點(diǎn)與，平面。//平面ABC-平面a

平面B4GC=/,且AA=AB=3C,AB^BC,則與/所成角的正弦值為（）

A.3B.也C.-D.且

2223

7.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,尸是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且a夕=/則“”z/〃”

是“祖///且根//0”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?江西?二模）已知正方體ABCD-ABCQ的棱長為4,點(diǎn)M滿足￡M=3MC,若在正方形A4GA

內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸滿足8尸〃平面AMR,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長為（）

A.4B.717C.5D.40

9.（多選題）（2024嘖州貴陽?二模）設(shè)a,⑸7是三個(gè)不同的平面，瓦c是兩條不同的直線,在命題“eJ3=b,

cuy,且__________.貝同〃a”中的橫線處填入下列四組條件中的一組，使該命題為真命題，則可以填入

的條件有（）

A.a//y,cu。B.b/////3

C.c〃B，buyD.a//y,c///3

10.（多選題）（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知根，“，/為空間中三條不同的直線，a，P，7為空間中三個(gè)

不同的平面，則下列說法中正確的是（）

A.若ac/3=m,mLy,則a_L/,尸_!_/

B.若"7ua,〃（zc,則加與〃為異面直線

C.若ac/3=l,/3cy=m,yca=n,且/m=P,貝

D,若加_La,〃z_L尸,a〃/,則////

11.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）在四棱錐尸-ABCD中，已知底面ABCD為正方形，平面上鉆、

平面PAD都與平面ABCD垂直，PA=2AB=2,點(diǎn)S,T分別為PA,PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱尸C上，貝I］（）

A.四邊形BCTS為等腰梯形

B.不存在點(diǎn)E,使得SE〃平面BDT

C.存在點(diǎn)E,使得

D.點(diǎn)E到民。兩點(diǎn)的距離和的最小值為回

6

12.（2024?西藏拉薩?二模）如圖，正四棱錐尸-ABCD的所有棱長都為2,E為尸C的中點(diǎn)，M是底面ABCD

內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且〃平面則EM長度的取值范圍是.

p

/D\

?M

Bc

13.（2024?浙江?模擬預(yù)測）三棱錐A-BCD的所有棱長均為2,E,歹分別為線段BC與的中點(diǎn)，M,

N分別為線段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若MN//平面則線段MN長度的最小值為.

14.（2024?浙江寧波?一模）在棱長均相等的四面體ABCD中，尸為棱AD（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

A的平面1與平面PBC平行.若平面a與平面ABD,平面A8的交線分別為辦〃，則見”所成角的正弦值

的最大值為.

15.（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AB=3,BC=2AD=4,把

梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至ABCR,E,F分別為AB,CQ中點(diǎn).

⑴證明:￡F//平面CD|A；

7T

⑵若ZDAD1=-,求點(diǎn)3到平面CDD￡的距禺.

16.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖，在三棱臺(tái)4耳。1-48。中，△AM。和VABC都為等邊三角形,

且邊長分別為2和4,CC,=2,ZACCt=ZBCQ=90°,G為線段AC的中點(diǎn)，H為線段3C上的點(diǎn)，

\BH平面GG”.

H

B

(1)求證：點(diǎn)H為線段3c的中點(diǎn);

(2)求三棱錐B-AAH的體積.

17.(2024?西藏拉薩?二模)如圖，在四棱臺(tái)中，平面W),兩底面均為正方

形，AB=RD=4，AB[=2,點(diǎn)E在線段3。上，且。E=3￡B.

(1)證明：QE//平面4BG；

(2)求點(diǎn)B,到平面48。的距離.

18.(2024?陜西榆林?二模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形ABC。是邊長為亞的正方形,

AC與8。交于點(diǎn)。，P。，底面ABC。，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為畫.

(1)求。到側(cè)面的距離；

(2)若E為的中點(diǎn)，尸為尸。的中點(diǎn)，證明：EF//平面A8P.

1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC//AD,AB=BC1,AD=3,點(diǎn)E在

A￡＞上，且尸ESAD,PE=DE=2.

(1)若歹為線段PE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE==CF=2,

CD=4,AD=BC=s/10,AE=2￡,A/為8的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面3c■戶;

(2)求點(diǎn)M到ADE的距離.

3.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形

A2CD與四邊形A￡）所均為等腰梯形，EF//AD,BC/IAD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=5,FB=2?,

加為A￡＞的中點(diǎn).

⑴證明：硼///平面CDE；

4.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知四棱柱A8CD-4