專題04整式運(yùn)算

一、單項(xiàng)式及多項(xiàng)式

【高頻考點(diǎn)精講】

1.單項(xiàng)式

（1）定義：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。用字母表示的數(shù),

同一個(gè)字母在不同的式子中可以有不同的含義，相同的字母在同一個(gè)式子中表示相同的含義。

（2）單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。

在判別單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，要注意數(shù)字前面的符號，形如a或的系數(shù)是1或-1,不能誤以為沒有系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)

式的次數(shù)是幾，通常稱這個(gè)單項(xiàng)式為幾次單項(xiàng)式。

2.多項(xiàng)式

（1）定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中

次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。

（2）多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是一個(gè)單項(xiàng)式，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，如果一個(gè)多項(xiàng)式含有a個(gè)單項(xiàng)式，次數(shù)

是b,那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫6次。項(xiàng)式。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?攀枝花中考）下列各式不是單項(xiàng)式的為（）

解：A、3是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、。是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、上■不是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)符合題意；

a

D、/2y是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；

答案：C.

2.⑵22?賀州模擬）單項(xiàng)式-2/0的系數(shù)、次數(shù)分別是（）

A.2,5B.-2,5C.2,6D.-2,6

解：單項(xiàng)式-的系數(shù)是-2,次數(shù)是2+1+3=6,

答案：D.

3.（2022?成都模擬）有規(guī)律地排列著這樣一些單項(xiàng)式：-沖2,x2y4,-尤3力；y8,_^10；^12...,則第〃個(gè)單

項(xiàng)式（〃21整數(shù)）可表示為（-X）勺2〃.

解：由題意可知，第W個(gè)單項(xiàng)式為：（-尤）勺2".

答案：（-X）勺2".

2

4.（2022?株洲模擬）多項(xiàng)式3x2y2-2xy-Ixy的二次項(xiàng)系數(shù)為2

百一

解：?多項(xiàng)式-2xy1-Axy的二次項(xiàng)是--ixy,

.?.二次項(xiàng)系數(shù)為：-』

3

答案：

3

5.（2022?黔東南州模擬）把多項(xiàng)式-3/+2孫2-尤3y_］按x降塞排列是-3-3/+24-1

解：多項(xiàng)式-3x2+2xy2-工3-1按x降幕排列為-j?y-3x2+2xy2-1,

答案：-x'y-3了+2沖2-1.

6.（2022?衡水模擬）如果兩個(gè)多項(xiàng)式有公因式，則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，若/-25與（x+b）2為關(guān)聯(lián)多

形式，則6=±5；若（x+1）（無+2）與A為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，目A為一次多項(xiàng)式，當(dāng)A+/-6X+2不含常數(shù)項(xiàng)時(shí),

則A為-2x-2或-x-2.

解：①：/-25=（x+5）（尤-5）,

；./-25的因式為x+5、x-5.

.,.若x?-25與（x+6）2為關(guān)聯(lián)多形式，則x+6=x+5或x+b=x-5.

當(dāng)x+6=x+5時(shí)，b=5.

當(dāng)》+6=尤-5時(shí)，b--5.

綜上：b—+5.

②：（x+1）（x+2）與A為關(guān)聯(lián)多項(xiàng)式，且A為一次多項(xiàng)式，

.'.A—k（x+1）=fcv+左或A=%（x+2）=kx+2k,左為整數(shù).

當(dāng)A=k（x+1）=Ax+左（左為整數(shù)）時(shí)，若A+/-6x+2不含常數(shù)項(xiàng)，貝！H=-2.

.'.A—-2（x+1）—-2x-2.

當(dāng)A=Z（x+2）=kx+2k（k為整數(shù)）時(shí)，若A+x2-6x+2不含常數(shù)項(xiàng)，則24=-2.

:.k=-1.

'.A—-x-2.

綜上，A=-2尤-2或A=-x-2.

答案：±5,-2工-2或-》-2.

二、塞的運(yùn)算

【高頻考點(diǎn)精講】

（1）同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

am-an^am+n（m,〃是正整數(shù)），拓展：am-an-aP^a'n+n+PCm,n,p都是正整數(shù)）

（2）塞的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

（/）（加，〃是正整數(shù)）

（3）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

（"）"=。叼（〃是正整數(shù)）

（4）同底數(shù)幕的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減。

（aWO,w是正整數(shù)，

【熱點(diǎn)題型精練】

7.（2022?淮安中考）計(jì)算次./的結(jié)果是（)

A./B.a3C.a5D.a6

解：a2,a3=a5.

答案：C.

8.（2022?武漢中考）計(jì)算（2d）3的結(jié)果是（)

A.2產(chǎn)B.8/C.6<?7D.8a7

解：（2冷3=8/2

答案:B.

9.（2022?河北中考）計(jì)算得/,則“？”是（）

A.0B.1C.2D.3

解：根據(jù)同底數(shù)累的除法可得：

???？=2,

答案：C.

10.（2022?淄博中考）計(jì)算（-2浸6）2-3a6b2的結(jié)果是（）

A.-7a6b2B.-5/廬C.a6blD.7a6/

解：原式=4a%2_3a6b2二5戶,

答案：C.

11.（2022?鄭州模擬）電子文件的大小常用B,KB,MB,G8等作為單位，其中1G8=210M3,1MB=2IOKB,IKB

=2i0B.某視頻文件的大小約為1GB,1G8等于（）

A.230BB.830BC.8X1010BD.2X1030B

解：由題意得：1G8=21°X21°X21°B=21°+I°+I°B=23°B,

答案：A.

12.（2022?株洲中考）下列運(yùn)算正確的是（）

A.cT'cc'—a'B.（a3）2=a5

6

C.（ab）2=ab2D.=a3（aWO）

2

a

解：A.因?yàn)??/=/+3=45,所以A選項(xiàng)運(yùn)算正確，故A選項(xiàng)符合題意；

B.因?yàn)椋?）2="2乂3=。6,所以2選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故8選項(xiàng)不符合題意;

C.因?yàn)?ab)2=a2b2,所以。選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故。選項(xiàng)不符合題意;

6

D.因?yàn)?_=〃6-2=。4,所以。選項(xiàng)運(yùn)算不正確，故。選項(xiàng)不符合題意.

2

a

答案：A.

三、完全平方公式及其幾何背景

【高頻考點(diǎn)精講】

1.完全平方公式

(1)(。土b)2—a2±2ab+b2；

(2)特征

①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；

②右邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，為正；中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍，符號與左邊的運(yùn)算符號相同。

2.驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

ah

(a+b)~-cr+2ab+b2'

大正方形的面積等于邊長為。和邊長為b的兩個(gè)小正方形與兩個(gè)長、寬分別是“、b的長方形的面積之和。

【熱點(diǎn)題型精練】

13.(2022?蘭州中考)計(jì)算：(x+2y)2=()

A.7+4盯+4y2B.f+2xy+4y2C.x2+4xy+2y2D.x2+4y2

解：(x+2y)2=7+4孫+4/.

答案：A.

14.(2022?大慶中考)已知代數(shù)式/+(2r-1)成+4戶是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)f的值為包或-2.

-2—2—

解：根據(jù)題意可得，

(2t-1)ab=±(2X2)ab,

即It-1=±4,

解得：/=$或/=匏.

22

答案：5或-S.

22

15.(2022?濱州中考)若〃?+〃=10,mn=5,則蘇+后的值為90.

解：Vm+n=10,mn=5,

22

.??根？+〃2=(m+n)-2mn=10-2X5=100-10=90.

答案：90.

16.(2022?樂山中考)已知m2+九2+10=6m-2〃，則rn-n=4

解：*.*m2+?2+10=6m-2n,

-??徵2-6m+9+n2+2n+1=0,

即(m-3)2+(n+1)2=0,

??根=3,-19

'.m-〃=4,

答案：4.

17.(2022?荊門中考)已知x+1=3,求下列各式的值：

X

(1)(尤」2；

X

(2))+工.

4

x

解：(1)(x」-)2=J+2-x,工^

XxX2

?/1、2=2門1,1

,,(x—)-x-2pxp—+_Q

xxX

_211,1

—nW

x+2x.-+Q-4X—

XX

=(xd)2-4x」

XX

=32-4

二5；

⑵**2=乂2—2」7，

XX乙

?2.1

??x7

=5+2

=7,

?,(2.1x2-4.n,1

?(X、■)-X+2丘丁

XX

?41

??Xy

=49-2

=47.

18.(2022?河北中考)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可

以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

驗(yàn)證如，(2+1)2+(2-1)2=10為偶數(shù).請把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；

探究設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為祖，”，請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

解：驗(yàn)證：10的一半為5,

5=1+4=12+22,

探究：兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)

的平方和.理由如下：

(m+n)2+(MJ-")2

=m+2mn+n+m-2mn+n

=2??+2"2

=2(m2+w2),

故兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平

方和.

19.(2022?廈門模擬)如圖(1),是一個(gè)長為2a寬為26(a>b)的矩形，用剪刀沿矩形的兩條對角軸剪開，把它

分成四個(gè)全等的小矩形，然后按圖(2)拼成一個(gè)新的正方形，則中間空白部分的面積是()

圖(1)圖(2)

A.abB.(a+b)2C.(tz-Z?)2D.a2-b2

解：由題意可得，正方形的邊長為Q+6),

故正方形的面積為(a+b)2,

又：原矩形的面積為4a6,

.,.中間空的部分的面積=Qa+b)2-4ab=(a-b)2.

答案：C.

20.(2022?邯鄲模擬)有兩個(gè)正方形A,B.現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部得圖甲，將A,8并列放置后，構(gòu)造新的正方形

得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12,若三個(gè)正方形A和兩個(gè)正方形8,如圖丙擺放，則陰

影部分的面積為()

解：設(shè)正方形43的邊長各為〃、b（〃>/?）,

得圖甲中陰影部分的面積為

2

（〃-。）2=〃2,2ab+b=1,

解得〃-。=1或〃-。=-1（舍去），

圖乙中陰影部分的面積為（〃+。）2-（次+廿）=2"=12,

可得（〃+。）2

2

=〃2+2ab+b

=〃-2ab+b2

=（〃-。）2+4〃。

=1+2X12

=25,

解得a+b=5或a+b=-5（舍去），

???圖丙中陰影部分的面積為

（2〃+。）2-（3/+2〃）

2

=〃2+4ab-b

=（a+b）Qa-b）+2Xlab

=5X1+2X12

=5+24

=29,

答案：B.

21.（2022?湖州模擬）如圖，甲類紙片是邊長為2的正方形，乙類紙片是邊長為1的正方形,丙類紙片是長、寬邊

長分別是2和1的長方形.現(xiàn)有甲類紙片1張，乙類紙片4張，則應(yīng)至少取丙類紙片」,張才能用它們拼成一

個(gè)新的正方形.

甲乙丙

解：甲類紙片1張，乙類紙片4張，總面積是4+4=8,大于8的完全平方數(shù)依次是9,16,25-,而丙的面積

是2,因而不可能是9；

當(dāng)總面積是16時(shí)，取的丙紙片的總面積是8,因而是4張.

因而應(yīng)至少取丙類紙片4張才能用它們拼成一個(gè)新的正方形.

答案：4.

22.(2022?衢州模擬)有一張邊長為a厘米的正方形桌面，因?yàn)閷?shí)際需要，需將正方形邊長增加b厘米，木工師傅

小明發(fā)現(xiàn)這三種方案都能驗(yàn)證公式：a2+2ab+b2=(a+6)2

對于方案一，小明是這樣驗(yàn)證的:

a2+ab+ab+b2=cr+2ab+b2=(a+6)2

請你根據(jù)方案二、方案三，寫出公式的驗(yàn)證過程.

方案二：

方案三:

解：由題意可得,

方案二：a2+ab+(a+6)b=a2+ab+ab+b2=cP'+lab+lr=(a+6)2

方案三:入[a+(a+b)]bJa+(a+b)]ba2+&bb2+ab+/b2=a-+2a6+52=(a+b)2

22

四、平方差公式及其幾何背景

【高頻考點(diǎn)精講】

1.平方差公式

(1)(a+b)(a-b)=a2-b2

(2)特征

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。

②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。

2.驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形

(a+b)(a-b)

【熱點(diǎn)題型精練】

23.（2022?赤峰中考）已知（x+2）（尤-2）-2x=l,貝U2/-4x+3的值為（

A.13B.8C.-3D.5

解：(x+2)(%-2)-2x=l,

x2-4-2x=1,

~2元=5,

所以2/-4x+3=2(，2x)+3=2X5+3=10+3=13,

答案：A.

24.(2022?益陽中考)已知機(jī)，“同時(shí)滿足2m+w=3與2%-w=l,則4毋-n2的值是3

解：'/2m+n=3,2m-n=l,

.".4m2-w2=(2m+n)(2m-n)=3X1=3.

答案：3.

25.（2022?六盤水中考）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為a,6的正方形秧田A,B,其中不能使用的面

積為M.

（1）用含a,M的代數(shù)式表示A中能使用的面積a2-M；

（2）若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的使用面積.

解：（1）A中能使用的面積=大正方形的面積-不能使用的面積,

即a2-M,

答案：a2-M；

（2）A比B多出的使用面積為：（/-M）-（/-M）

=/-b2

=(a+b)(a-b)

=10X5

=50,

答：A比8多出的使用面積為50.

26.（2022?南寧模擬）如圖（1）,邊長為機(jī)的正方形剪去邊長為〃的正方形得到①、②兩部分，再把①、②兩部分

拼接成圖（2）所示的長方形,根據(jù)陰影部分面積不變，你能驗(yàn)證以下哪個(gè)結(jié)論（

A.(m-n)2=m2-2mn+n2B.(m+n)2=m2+2mn+n2

C.(m-n)2=m2+n2D.m2-n2=(m+n)(m-n)

解：圖（1）中，①、②兩部分的面積和為：病-

圖（2）中，①、②兩部分拼成長為（機(jī)+〃），寬為（加-〃）的矩形面積為：（m+n）（m-n）,

因此有渥-/=（m+n）

答案：D.

27.（2022?成都模擬）如圖，在邊長為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長為。的小正方形，將余下部分對稱剪開,

拼成一個(gè)平行四邊形,由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（）

A.（尤+。）2-/=尤（x+2a）B.x2+2ax—x（尤+2。）

C.（x+a）2-x1=a（a+2x）D.x2-a2=（x+。）（x-a）

解：第一幅圖陰影部分面積=（x+a）2-a1,

第二幅圖陰影部分面積=（x+fl+o）x=x（x+2a）,

（x+a）2-cp'—x（x+2a）,

答案：A.

28.（2021?宜昌中考）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為。米（?>6）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年,

他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，

你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會(huì)（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

解：矩形的面積為（a+6）（a-6）=a2-36,

矩形的面積比正方形的面積/小了36平方米，

答案：C.

29.（2022?石家莊模擬）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部

分拼成的一個(gè)長方形.

（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式：，-廿=（a+b）（a-b）

（2）運(yùn)用（1）中的等式,計(jì)算20222-2021X2023=1

b

圖1圖2

解：（1）根據(jù)題意可得,

圖1中陰影部分的面積為：a2-b2,

圖2中長方形的長為a+b,寬為a-b,

面積為：(a+b)(a-b),

則兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，/-扇=（a+b）（a-b）；

答案：cr-b2=(a+b)(a-b)；

(2)20222-2021X2023

20222-(2022-1)(2022+1)

=20222-(20222-I2)

=20222-20222+l

1.

五、整式混合運(yùn)算

【高頻考點(diǎn)精講