第10講特殊四邊形中的動態(tài)問題專練

1.（南召縣期末）如圖，已知菱形0ABe的頂點。（0,0）,B（2,2）,菱形的對角線的交

于點。若將菱形048c繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°,從如圖所示位置起，經(jīng)過

60秒時，菱形的對角線的交點。的坐標為（）

A.（1,1）B.（-1,-1）C.（-1,1）D.（1,-1）

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及中點的坐標公式可得點。坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得旋轉(zhuǎn)

后點D的坐標.

【解答】解：菱形。4BC的頂點O（0,0）,B（2,2）,得

。點坐標為（&2,52）,即（1,1）.

22

每秒旋轉(zhuǎn)45°,則第60秒時，得45°X60=2700°,

2700°+360=7.5周，

旋轉(zhuǎn)了7周半，菱形的對角線交點。的坐標為（-1,-1）,

故選：B.

2.（紹興）如圖，點。為矩形ABC。的對稱中心，點E從點A出發(fā)沿A8向點B運動，移

動到點8停止，延長EO交于點尸，則四邊形AEC尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形AECP形狀的變化情況：

這個四邊形先是平行四邊形，當對角線互相垂直時是菱形，然后又是平行四邊形，最后

點A與點8重合時是矩形.

【解答】解：觀察圖形可知，四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行

四邊形一矩形.

故選:B.

3.（淮南期中）如圖，正方形A2CD的邊上有一動點E,以EC為邊作矩形CPG,且邊

FG過點。.在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECTG的面積（）

A.先變大后變小B.保持不變

C.一直變大D.一直變小

【分析】連接。E,△<?￡>￡的面積時矩形ECFG面積的一半，也是正方形ABC。面積的

一半，則矩形EbG的面積和正方形A8CD的面積相等.

【解答】解：連接。E,

S^CDE=—S矩形ECFG,SACDE=—S正方形4BCD,

22

S矩形ECFG=S正方形ABCD,

矩形ECFG的面積保持不變，

故選：B.

4.（慈溪市模擬）已知，矩形ABC。中，E為AB上一定點，F(xiàn)為BC上一動點，以EF為

一邊作平行四邊形EEGH,點G,X分別在C。和AD上，若平行四邊形EFG//的面積不

會隨點方的位置改變而改變，則應滿足（）

A.AD=4AEB.AD=2ABC.AB=2AED.AB=3AE

【分析】設A3=〃，BC=b,BE=c,BF=x,根據(jù)S平行四邊形矩形ABCO-2

△AEH）=（6Z-2c）x+bc,F為BC上一動點、,x是變量，（〃-2c）是x的系數(shù)，根據(jù)平行

四邊形EbGH的面積不會隨點方的位置改變而改變，為固定值，x的系數(shù)為0,兒為固

定值，a-2c=0f進而可得點E是AB的中點，即可進行判斷.

【解答】解：設A5=〃，BC—b,BE=c,BF=x,

S平行四邊形七戶GH=S矩形A8CO-2（5ABEF+SAAEH）

=ab-2[ACX+A（〃-c）（Z?-x）]

22

=ab-（cx+ab-ax-bc+cx）

=ab-ex-ab+ax+bc-ex

=（a-2c）x+bc,

??,尸為BC上一動點，

是變量，（a-2c）是x的系數(shù)，

??,平行四邊形EFGH的面積不會隨點F的位置改變而改變，為固定值，

?,?1的系數(shù)為0,秘為固定值，

??a~2c=0,

??2c,

是AB的中點，

.'.AB=2AE,

故選：C.

5.（仙桃期末）如圖，在菱形A8C。中，AB=5cm,ZAZ）C=120°，點、E、尸同時由A、C

兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點2勻速移動（到點8為止），點E的速度為Icwi/s,

點尸的速度為2c%/s,經(jīng)過，秒為等邊三角形，貝卜的值為（）

AD

EFv—c

A.3B.Ac.3D.5

4323

【分析】連接8。，證出△ADEg^B。凡得到AE=BR再利用AE=f,CF=2t,則

=BC-CF=5-2f求出時間f的值.

【解答】解：連接BD,

:四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD,ZADB=^ZADC=60°,

2

**?△ABD是等邊三角形，

：.AD=BD,

又,?ADEF是等邊三角形，

???/EDF=NDEF=60°,

又???NA￡>5=60°,

???ZADE=ZBDF,

"ZADE=ZBDF

在AAOE和△瓦加中,AD=BD，

ZA=ZDBF

???△ADE咨LBDF(ASA),

：.AE=BF,

*：AE=t,CF=2tf

：.BF=BC-CF=5-It,

.\t=5-2t

3

故選：D.

6.（灌云縣期末）如圖，在矩形A3CD中，AB=10,AD=6,動點尸滿足SAR4B=』S矩形ABCD,

3

則點尸到A、8兩點距離之和B4+P8的最小值為（）

A.1072B.2A/41C.2734D.8衣

【分析】過尸點作MN//AB,交4。于交BC于N,作A點關于MN的對稱點A,

連接AB交MN于點P,AP+PB=A8即為所求，由面積關系可得AM=Z4O=4,在Rt

3

△ABA'中求出A'B即可.

【解答】解：過P點作MN//A8,交4。于交BC于N,作A點關于MN的對稱點

A,連接交MN于點尸，

：.AP+PB=A'P+PB=A'B,此;時PA+PB的值最小，

S/^PAB=—S矩形ABCD,

3

：.^XABXAM=1XBAXAD,

23

：.AM=^AD,

3

'：AD=6,

；.AM=4,

.,.A4'=8,

VAB=10,

在RtZvWA中，A'B=2V411

故選：B.

7.（烏海期末）如圖，正方形A8C。的邊長為4,點E在邊A8上，AE=1,若點P為對角

線上的一個動點，則△B4E周長的最小值是（）

【分析】連接AC、CE,CE交BD于P,此時AP+PE的值最小，求出CE長，即可求出

答案.

【解答】解：連接AC、CE,CE交BD于P,連接AP、PE,

:四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OC,AC±BD,即A和C關于8。對稱，

C.AP^CP,

即AP+PE=CE,此時AP+PE的值最小，

所以此時△用E周長的值最小，

:正方形ABCD的邊長為4,點E在邊上，AE=1,

：.ZABC=90°,BE=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

：./\PAE的周長的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故選：D.

8.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AD=BC=5,DC=1,AB=13,點尸從點A出發(fā),

以3個單位/s的速度沿4O-OC向終點C運動，同時點。從點8出發(fā)，以1個單位/s的

速度沿BA向終點A運動，在運動期間，當四邊形PQBC為平行四邊形時，運動時間為

3秒.

【分析】首先利用f表示出CP和CQ的長，根據(jù)四邊形PQ2C是平行四邊形時CP=BQ,

據(jù)此列出方程求解即可.

【解答】解：設運動時間為t秒，則CP=12-3r,BQ=t,

根據(jù)題意得到12-3t=t,

解得：f=3,

故答案為：3.

9.（越秀區(qū)校級期中）如圖，菱形A8C。的周長為24,NABO=30°,點尸是對角線2。

上一動點，。是BC的中點，則PC+PQ的最小值是（）

【分析】點。和點C是定點，點尸在直線BO上一動點，是軸對稱最值問題，連接CQ,

由菱形的對稱性可知，點A和點C關于對稱，連接A。，A。即為所求.

【解答】解：如圖，由菱形的對稱軸可知，點A和點C關于2。對稱，連接A。，A0即

為所求.

連接AC,

VZABD=30°,四邊形ABCD是菱形,

AZABC=60°,AB=BC,

：.AABC是等邊三角形，

:點。為BC的中點，

：.AQ±BC,

:菱形ABC。的周長為24,

：.AB=BC=6,

在RtZ\A8Q中，ZABC=60°,

，/區(qū)4。=30°,

???骸=我=/X6=3,

：.AQ=yf3BQ=3y/3,

故選：B.

10.（嘉興）如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,AB=AC=5,點。在AC上，且AZ）=2,

點E是48上的動點，連結(jié)。E,點RG分別是BC和。E的中點，連結(jié)AG,FG,當

AG=FG時，線段。E長為（）

A.V13B.C.D.4

22

【分析】法一：分別過點G,尸作的垂線，垂足為M,N,過點G作GPLWV于點P,

由中位線定理及勾股定理可分別表示出線段AG和FG的長，建立等式可求出結(jié)論.

法二：連接DF,AF,EF,利用中位線定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得

△DFG是直角三角形，然后再結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)求勾股定理求解.

【解答】解：法一、如圖，分別過點G,尸作&8的垂線，垂足為N,過點G作GP

工FN于點、P,

：.GM=PN,GP=MN,

\'ZBAC=90°,AB=AC=5,

：.CA.LAB,

又：點G和點尸分別是線段DE和8c的中點,

GM和FN分別是△ADE和△ABC的中位線,

?\GM=—in=l,AM——AE,

2AL2

FN=1AC=$,AN=^AB=^-,

2222

:.MN=AN-AM=^--1.AE,

22

：.PN=1,FP=3,

2

設AE=m,

：.AM=l.m,GP=MN=^--Am,

222

在RtaAGM中，AG2=（工〃?）2+l2,

2

在RtaGP尸中，GF2=（$-工根）2+（2）2,

222

：AG=GF,

:.（A/?,）2+i2=（$2+（3）2,

2222

解得機=3,即AE=3,

在Rt2\ADE中，^=VAD2+AE2=^i3-

故選：A.

法二、如圖，連接ORAF,EF,

在△ABC中，AB=AC,ZCAB=90°,

：.ZB=ZC=45°,

:點G是。E的中點，點廠是BC的中點，

.,.AG=DG=EG,AF=BF,AF±BC,ZZ)AF=45°,

：.ZDAF=ZB=45°,

'：FG=AG,

:.FG=DG=EG,

；.△￡)F￡1是直角三角形，且/OBE=90°,

VZDFA+ZAFE=ZBFE+ZAFE=90°,

；.NDFA=NEFB,

在△AFD和△BFE中，

，ZDAF=ZB

?AF=BF

ZDFA=ZEFB

A(ASA),

：.AD=BE=2,

；.AE=3,

在Rt^AOE中，DE=N/+hg2=y[^.

故選：A.

11.(越城區(qū)期末)如圖，長方形ABCD的邊BC=13,E是邊BC上的一點，且BE=BA=

10.F,G分別是線段AB,CD上的動點，且BF=OG,現(xiàn)以BE,為邊作長方形BEHR

以。G為邊作正方形。G",點H,/均在長方形ABC。內(nèi)部.記圖中的陰影部分面積分

別為Si,S2,長方形BE/3和正方形。G/J的重疊部分是四邊形K/U/,當四邊形K/L8

的鄰邊比為3：4時，S1+S2的值為()

D

Si

H

Si

C

C.7或翳D.7或翳

A.7B?翳

【分析】利用矩形及正方形的性質(zhì)可求解KI=2DG-10,KH=DG-3,根據(jù)當矩形KILH

的鄰邊的比為3：4可求解DG的長，再利用DG的長分別求解ARCG,AJ的長，進而

可求解，注意分類討論.

【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=13.

:四邊形。G〃為正方形，四邊形B/7/E為矩形，BF=DG,

：.四邊形KILH為矩形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10.

'：BE=BA=1O,

：.LG=EC=3,

:.KH=IL=DG-LG=DG-3.

當矩形K/ZJ/的鄰邊的比為3：4時，

(DG-3)：(2DG-10)=3：4,或(2DG-10)：(DG-3)=3：4,

解得DG=9或31,

5

當。G=9時，則CG=LKH=6,K/=8,

：.AJ=4,AF=1,

.?.51+52=3X1+4X1=7；

當。G=9,貝i|CG=li,KH=X,KI=H,

5555

.?.A7=ai,AF=-li,

55

Si+S2=WixH+3xli=.931,

55525

故選：c.

12.（麥積區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，四邊形042c是矩形，A（-

10,0）,C（0,3）,點。是04的中點，點尸在8c邊上運動，當△OOP是腰長為5的

等腰三角形時，點P的坐標是（-4,3）,或（-1,3）,或（-9,3）.

【分析】先由矩形的性質(zhì)求出。。=5,分情況討論：（1）當0P=0D=5時；根據(jù)勾股

定理求出PC,即可得出結(jié)果；

（2）當P￡>=0D=5時；①作于E,根據(jù)勾股定理求出。E,得出尸C,即可得

出結(jié)果；

②作P凡LOA于尸，根據(jù)勾股定理求出。凡得出尸C,即可得出結(jié)果.

【解答】解：：A（-10,0）,C（0,3）,

AOA=10,0c=3,

:四邊形OABC是矩形，

：.BC=OA=lO,AB=OC=3,

是。4的中點，

：.AD=OD=5,

分情況討論：

（1）當。尸=?！辏?5時，根據(jù)勾股定理得：PC=，52_「2=4,

.?.點P的坐標為：（-4,3）；

（2）當尸。=。￡>=5時，分兩種情況討論：

①如圖1所示：作于E,

則NP￡Z）=90°,DE=452_§2=4,

：.PC=OE=5-4=1,

.?.點P的坐標為：（-1,3）；

②如圖2所示：作于尸，

貝ijDF=^52-32=4,

：.PC=OF=5+4=9,

.,.點尸的坐標為：（-9,3）；

綜上所述：點P的坐標為：（-4,3）,或（-1,3）,或（-9,3）；

故答案為：（-4,3）,或（-1,3）,或（-9,3）.

13.（安徽一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=3,AC和2。交于點。，點E是邊

8c上的動點（不與點8,C重合），連接E。并延長交于點凡連接AE,若

是等腰三角形，則。尸的長為4或1或或1+逅.

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)，即可得出△BEO烏△。/O（AAS）,進而得到0P=。￡,DF=

BE.設BE=DF=a,則AF=3-a.當△AEF是等腰三角形時，分四種情況討論.根據(jù)

勾股定理列方程即可得到DF的長.

【解答】解：：四邊形ABCQ是矩形，

：.AD//BC,0B=0D,

：.ZFDO=ZEBO,NDFO=NBEO,

:ABEO”ADFO（A4S）,

：.OF=OE,DF=BE.

設BE=DF=a,則AF=3-a.

當AAE尸是等腰三角形時，分四種情況討論.

①如圖（1）,當AE=A/時，

在RtzXAfiE中，iAE1=AB1+BE1,得（3-a）2=l2+a2,

圖⑴

②如圖（2）,當AE=E尸時，過點E作于點"則BE,

：.AF=2BE,

??3-〃=2〃，

③如圖(3),當尸時，ZFAE=ZFEA.

又/FAE=/AEB,

：.ZFEA=ZAEB.

過點A作AG_LEF于點G,則AG=A3=1,EG=BE=a,

：.FG=3-2a.

在RtZiAFG中，由A產(chǎn)=462+網(wǎng)*,得

(3-a)~=12+(3-2a)),

解得@2=1+^■(舍去)，

圖（4）

綜上所述，DF的長為名或1或1X苣或1+返.

333

故答案為：9或1或1亞或1+近.

333

14.如圖，在矩形A8C。中，AD=4,點尸是直線A。上一動點，若滿足△P8C是等腰三角

形的點P有且只有3個，則AB的長為4或.

AD

R'------------------'C

【分析】要求直線AD上滿足APBC是等腰三角形的點尸有且只有3個時的長，則

需要分類討論：①當時；②當時，③當時.

【解答】解：①如圖，當AB=A。時

A(P.)日32儼2,

—*--------

滿足△P2C是等腰三角形的點P有且只有3個，

△P1BC,△尸28c是等腰直角三角形，△尸3BC是等腰直角三角形(P3B=P3C),

則AB=AZ)=4.

②當且滿足△PBC是等腰三角形的點尸有且只有3個時，如圖，

易知P2是4D的中點，

VAP1BC是等腰三角形,

：.BPi=BC,

同理：BC=CP3,

只有28c是等邊三角形時，△PBC是等腰三角形的點尸有且只有3個，

，BC=BPi=BP2=CP2=CP3

BP2=V22+AB2=V4+AB2'

5L'：BPx=BC,

々4+AB2=4

:.AB=2M.

③當AB>AD時，直線AD上只有一個點P滿足△P2C是等腰三角形.

故答案為：4或2?.

15.（溫州模擬）如圖，矩形ABC。中，AB：AO=2：1,點E為A8的中點，點廠為EC上

一個動點，點尸為。尸的中點，連接尸3,當尸2的最小值為3&時，則的值為（）

A.2B.3C.4D.6

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段PP2,再根據(jù)垂線段最短可得當

8P_LP1P2時，尸2取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及己知的數(shù)據(jù)即可知8尸」尸1尸2,故BP

的最小值為為BP的長，由勾股定理求解即可.

當點產(chǎn)與點C重合時，點尸在Pi處，CPi=DPi,

當點尸與點E重合時，點尸在尸2處，EP2=DP2,

；.PIP2〃CE且PIP2=2CE.

2

且當點產(chǎn)在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP.

由中位線定理可知：PP〃CE且

點P的運動軌跡是線段P1P2,

....當8尸，尸1尸2時，PB取得最小值.

:矩形ABCD中，AB：AQ=2：1,設AB=2f,則

為AB的中點，

:.叢CBE、△AOE、/xBCPi為等腰直角三角形，CPi=t,

：.ZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,/DEC=90°.

.,./。尸2尸1=90°.

.?.N￡>P1P2=45°.

：.ZP2PIB=90°,即BPI_LPIP2,

的最小值為BP\的長.

在等腰直角△2CP1中，CPi=BC=t,

:.BPi=Jit=3五,

Ar=3.

故選：B.

16.(嘉興期末)如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，廠是邊上的一個動

點，連結(jié)DE,EF,FD.若△ABC的面積的為18c”，，則△￡)￡/的面積是4.5cR.

【分析】連接根據(jù)三角形的面積公式求出班的面積，進而求出△￡>班的面積,

根據(jù)三角形中位線定理得到得到△￡>￡：/的面積=△。防的面積，得出答案.

【解答】解：連接BE,

:點E是AC的中點，ZiABC的面積的為185？，

的面積=Lxz\ABC的面積=9(c/n2),

2

:點D是42的中點，

.,.△Z5E2的面積=LX/\AE2的面積=4.5(cm2),

2

VD,E分別是48,AC的中點，

J.DE//BC,

的面積=△DEB的面積=4.5（cm2）,

故答案為：4.5.

17.（天河區(qū)校級期中）如圖，矩形。4BC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點8（-3,

5）,點。在線段A。上，且AD=2。。，點￡■在線段A3上.

（1）求。點的坐標；

（2）當ACDE的周長最小時，找出點E的位置并求點E的坐標和△CDE的周長最小值.

【分析】（1）根據(jù)點的坐標性質(zhì)求出04根據(jù)題意求出OD得到。點的坐標；

（2）根據(jù)軸對稱-最短路徑確定點E'的位置，利用待定系數(shù)法求出直線CD'的解析

式，進而求出點E的坐標，根據(jù)勾股定理求出△CDE的周長最小值.

【解答】解：（1）;四邊形A0C8是矩形，8（-3,5）,

.?.04=3,OC=5,

'：AD^2OD,

：.AD=2,OD=1,

:.D點的坐標為（-1,0）；

（2）作點。關于直線48的對稱點O',連接CQ'交48于點E'.此時E'C+E'D

最小，即△OCE'的周長最小，

由題意得，點。'的坐標為（-5,0）,

設直線C。'的解析式為

貝儼5,

I_5k+b=0

解得，［k=l,

lb=5

直線CZT的解析式為y=x+5,

當x=-3時，y=2,

：.E'(-3,2),

在Rtz\cz/。中，c?！畆52+52=5如,

在Rt^CDO中，CD=V12+52=V26>

：./\CDE的周長最小值為5A/2+V26.

18.（兗州區(qū)期末）已知：如圖，在邊長為1的正方形ABC。中，點P是對角線AC上的一

個動點（與點A、C不重合），過點P作尸E_LPB,PE交邊CD于點E,過點E作

AC,垂足為F.

（1）求證：PB=PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，

寫出解答過程；若變化，試說明理由.

備用圖

【分析】（1）過點尸作尸G_LBC于G,過點尸作P4_L￡>C于”，如圖1.要證

只需證到△PGB四即可;

(2)連接80,如圖2.易證△BOPgZXPFE,則有BO=PF,只需求出BO的長即可.

【解答】(1)證明：過點P作尸GLBC于G,過點P作PHLOC于〃，如圖1.

圖1

:四邊形ABCD是正方形，

PGLBC,PHYDC,

：.ZGPC=ZACB=ZACD=Z//PC=45°.

：.PG=PH,NGPH=/PGB=NPHE=90°.

"：PE.LPB,即/2尸石=90°,

AZBPG=90°-NGPE=NEPH.

在△尸GB和△P打￡中，

，ZPGB=ZPHE

.<PG=PH

ZBPG=ZEPH

:APGB經(jīng)APHE(ASA),

：.PB=PE.

圖2

...四邊形ABC。是正方形，

：.ZBOP^9Q°.

?:PELPB,即N8PE=90°,

ZPBO=90°-ZBPO=/EPF.

'：EF±PC,BPZPFE=90°,

：.ZBOP=ZPFE.

，ZPBO=ZEPF

在△BOP和△Pf'E中，，NBOP=NPFE

PB=PE

.?.△BOP竺APFE(AAS),

：.BO=PF.

:四邊形ABC。是正方形，

：.OB=OC,N2OC=90°,

：.BC^42OB.

：.OB=叵,

2_

：.PF=OB=^.

2_

...點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為亞.

2

19.(永嘉縣校級模擬)如圖，等腰△ABC中，已知AC=BC=2^/75,AB=4,作NAC8的

外角平分線CR點E從點B沿著射線BA以每秒2個單位的速度運動，過點E作8c的

平行線交CP于點?

(1)求證：四邊形8C尸E是平行四邊形；

(2)當點E是邊AB的中點時，連接AR試判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由；

(3)設運動時間為/秒，是否存在f的值，使得以△EFC的其中兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平

行四邊形恰好是菱形？不存在的，試說明理由；存在的，請直接寫出t的值.答：

秒或5秒或2秒.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：/B=/BAC,再由角平分線定義和三角形外角

的性質(zhì)可解答；

(2)如圖2,根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可解答；

(3)分三種情況：①EF=CF；②CE=CF；②CE=EF；分別列方程可解答.

【解答】(1)證明：如圖1,：4C=2C,

BCH

圖1

：.ZB=ZBACf

?.?。/平分NACH,

???ZACF=ZFCH,

'：NACH=ZB+ZBAC=ZACF+ZFCH,

：.ZFCH=ZB,

：.BE//CF,

，：EF〃BC,

???四邊形BCFE是平行四邊形；

(2)解：四邊形AEC尸是矩形，理由是:

ZAEC=90°,

由(1)知：四邊形8c正是平行四邊形，

???CF=BE=AE,

*：AE//CF,

???四邊形AECF是矩形；

(3)解：分三種情況：

①以跖和B兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖3,

t=y/10；

②以CE和CB兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖4,過C作CDLAB

：.BD=2,

由勾股定理得：CD={BC?-BD2=T(2V"1^)2-”=6,

,:E0=Ed,即(2f)2=62+(2f-2)2,

t—5；

③以C￡和斯兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時，如圖5,CA=AF^BC,

此時E與A重合，

:.t=2,

綜上，f的值為Wi秒或5秒或2秒；

故答案為：710秒或5秒或2秒.

20.如圖1,己知△ABC和△￡>￡尸是兩個邊長都為1c機的等邊三角形，且3、D、C、E都

在同一直線上，連接及CF.

圖1圖2圖3

（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形；

（2）若8。=0.3<:機，ZkABC沿著8E的方向以每秒lc〃z的速度運動，設△ABC運動時間

為f秒，

①如圖2,當f為何值時，口AOFC是菱形？請說明你的理由；

②如圖3,口ADPC有可能是矩形嗎？若可能，求出/的值及此矩形的面積；若不可能，

請說明理由.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)易證AC=DRZACB=ZFDE=60°,推出AC〃￡）R

即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)△ABC沿著BE的方向以每秒1cm的速度運動，所以當秒時，B與

1

。重合、C與E重合，由等邊三角形的性質(zhì)即可得出四邊形ADRS為菱形；

②若口ADPC是矩形，則NAD尸=90°,E與8重合，得出f=1.3秒，由勾股定理求出

AZ）的長，即可得出結(jié)果.

【解答】（1）證明：:△ABC和是兩個邊長都為1cm的等邊三角形，

：.AC^DF^lcm,ZACB=ZFDE^6Q°,

：.AC//DF,

...四邊形ADFC是平行四