第11講正方形中的幾個(gè)常用模型探究

模型一正方形的“十字架”模型

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|如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對(duì)邊上，|

|G、H在其上下兩對(duì)邊上.

I

I若有EF_LGH,則必有EF=GH.

i證明方法：構(gòu)造全等；

|逆向應(yīng)用：見“十字架”想直角三角形全等

L_____________________________________________I

【例題】：如圖ABCD是一個(gè)正方形花園，E、P是它的兩個(gè)門，且。E=CR要修建兩條路

8E和AF,這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想.

【變式】去掉。E=C尸時(shí)，

（1）若已知BE=AF,貝UBE_LAF成立嗎？

（2）若已知BE_LAF,貝!]BE=AF成立嗎？

【針對(duì)練習(xí)】

1.（槐蔭區(qū)期末）如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E、F分別在A。、OC上，AE

=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)"為BE的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長(zhǎng)為（）

2.（瀛橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E、點(diǎn)廠分別在A。、CD上，且AE=

DF,若四邊形。即尸的面積是1,0A的長(zhǎng)為1,則正方形的邊長(zhǎng)AB為（）

C.V5D.275

3.（南京期中）如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)區(qū)F、G分別在CD、AD、8c上，且FGJ_

BE,垂足為0.

（1）求證：BE=FG；

（2）若。是BE的中點(diǎn)，且BC=8,EC=3,求AP的長(zhǎng).

4.（內(nèi)黃縣模擬）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,尸分別是CD,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，

且CE+b=4,BE和A尸相交于點(diǎn)G,在點(diǎn)E、尸運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)aAGB中某一個(gè)內(nèi)

角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍時(shí)，ABCG的面積為.

5.（羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，E、F分別是正方形4BC。的邊C。、上的點(diǎn)，且CE

=DF,AE、8/相交于點(diǎn)。，下列結(jié)論：

①AE=BF；?AE±BF；③AO=OE；?S^AOB=S^DEOF；⑤NBAE=/AFB

其中，正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

模型二正方形中的“三垂定理”模型4

A

如圖，已知正方形ABCD,過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)分別G

向過點(diǎn)C的直線作垂線，垂足分別為E、F,則

有4BCE絲4CDFB8

E

【例題】.（蒙陰縣期末）（1）數(shù)學(xué)課上，張老師給出了一個(gè)問題：如圖1,四邊形A3。是

正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°,且所交正方形外角NDCG的平分線CT

于點(diǎn)?求證：AE—EF.

小明經(jīng)過思考展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)H,連接HE,則可以證明AE

=EF.

請(qǐng)你寫出證明過程.

（2）在此基礎(chǔ)上，小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)￡是邊

上（除2、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論"AE=EF”仍然成立，你

認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，請(qǐng)寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3,如果點(diǎn)E是的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)

論“AE=EF"仍然成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用說明理由.

【針對(duì)練習(xí)】

1.（即城區(qū)期末）如圖，直線/過正方形ABC。的頂點(diǎn)2,點(diǎn)A,C到直線/的距離分別是

1和2,則正方形ABC。的面積是.

D.

2.（巴中期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8CD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,

2）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-3,0）,則點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離是（）

A.6B.5C.4D.3

3.（鹿城區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中以AC,BC為邊向外作正方形ACPG與正方形BCDE,

連結(jié)。R并過C點(diǎn)作CH_L48于H并交即于M.若NACB=120°,AC=3,BC=2,

4.（西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，過正方形ABC。的頂點(diǎn)2作直線/,過點(diǎn)A,C作/的垂線,

垂足分別為E，F(xiàn),若AE=1,CF=3,求A8的長(zhǎng).

5.（濟(jì)源期末）［經(jīng)典問題回顧］

如圖，四邊形A8CD是正方形，點(diǎn)E是邊8C上一點(diǎn)，ZAEF=9Q°,且交正方形外

角的平分線CP于點(diǎn)R求證：AE=EF.

對(duì)于本題，我們常用的思路是在A8上截取8M=BE,構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明.

小明通過深度研究，又總結(jié)出了以下三種思路：

思路一：如圖（1）,在AB的延長(zhǎng)線上截取BN,使連接NE,利用全等三角形

和特殊四邊形，轉(zhuǎn)化得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，獲證；

思路二：如圖（2）,連接AC,過點(diǎn)E作“LAC于點(diǎn)P,EQJ_CF于點(diǎn)。，利用全等三

角形，獲證；

思路三：如圖（3）,連接AC,EG//AB,交AC與點(diǎn)G,利用全等三角形，獲證.

［進(jìn)一步探究］

小明繼續(xù)對(duì)這道題目進(jìn)行了改編，請(qǐng)完成下面改編題目的解答.

四邊形A8CO是正方形，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，ZAEF=p,EF交正方形外角平分線

CF于點(diǎn)F.

（1）如圖（4）,若點(diǎn)E在邊BC延長(zhǎng)線上，0=90°,線段AE與線段E尸存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并加以證明;

（2）如圖（5）,若點(diǎn)E在邊BC上，AE=EF,求0的度數(shù).

模型三正方形半角模型

條件：①正方形ABCD,②NEAF=45°

結(jié)論：

①EF=BE+DF；（ACEF的周長(zhǎng)=正方形ABCD周

長(zhǎng)的一半）

②EA平分NBEF

③FA平分NDAE

【例題】.如圖，在正方形A8C￡)中，E是A8上一點(diǎn)，/是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MDF=BE.

(1)求證：CE=CF.

(2)在圖1中，若G在上，且/GCE=45°,貝ljGE=BE+G。成立嗎？為什么？

(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所累積的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖2,在直角梯形ABCG中，AG//BCCBOAG),ZB=90°,AB=BC=12,E是

AB上一點(diǎn)，且/GCE=45°,BE=4,求GE的長(zhǎng).

圖1圖2

【針對(duì)練習(xí)】

1.(高州市期中)如圖，在四邊形ABC。中，NAOC=NB=90°,DELAB,垂足為E,

且。E=EB=5,則四邊形A8CZ)的面積.

2.(麗水期中)已知正方形A3CZ)中，M,N是邊BC,CD上任意兩點(diǎn)，/MAN=45

連結(jié)MN.

(1)如圖①，請(qǐng)直接寫出DN,MN三條線段的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖②，過點(diǎn)A作AH_LMN于點(diǎn)求證：AB=AH；

求AH的長(zhǎng).

3.(香洲區(qū)校級(jí)模擬)已知：正方形ABC。中，ZMAN=45°,NM4N繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N.

(1)如圖1,當(dāng)/M4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到2M=ZW時(shí)，有BM+DN=MN.當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)到8A/WDN時(shí)，如圖2,請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，

如果不成立，請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)/M4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM,OV和MN之間有怎樣的等量

關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明.

【其他模型練習(xí)】

1.（平頂山期末）（1）如圖1,邊長(zhǎng)為。的正方形ABC。對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，且

正方形OEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，OE交邊AB于點(diǎn)H,OG交邊BC于點(diǎn)R.則圖中陰影部

分（四邊形8R0H）的面積為—；（用含。的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,己知△ABC中，ZABC=90°,AB=BC=a,BD平分/ABC,點(diǎn)O為BD

的中點(diǎn).正方形OEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，OE交邊AB于點(diǎn)H,OG交邊BC于點(diǎn)R.求圖

中陰影部分（即四邊形BR。”）的面積；

（3）如圖3,△ABC與△OEF均為等腰直角三角形，ZABC=ZEOF=90°,AB=BC,

OE=OF.8。是RtaABC斜邊AC上的中線，點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，OE交邊AB于點(diǎn)H,

OF交邊BC于點(diǎn)R.設(shè)兩三角形重疊部分（陰影部分）的面積為S,已知EF=3加,當(dāng)

兩三角形的空白部分（除去陰影部分）的面積差為2時(shí)，直接寫出陰影部分面積S的值.

2.（南岸區(qū)期末）已知四邊形ABC。是正方形，點(diǎn)尸為