山東省濟南市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.函數(shù)/⑺二一二+班的定義域為()

x-1

A.[0,l)U(l,+?)B.(O,l)U(l，HC.(-OO,1)U(L+8)D.(0,+e)

2.sin65°cos35°-cos65Ocos550=()

A.--B.-走

22

3.命題“\/》€(wěn)1</-》一1>0”的否定是(

A.R,x2-x—l<0B.R,x2—x—1>0

C.VxeR,x2-x-l<0D.GR,x2—x-1<0

4.工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為

3兀

下的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為30cm,內圓半徑為10cm,某同學準備用布料制作這樣

4

一個扇面，若不計損耗，則需要布料（）

600;icm2

試卷第1頁，共6頁

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

7.如圖所示，線段AB為半圓的直徑，。為圓心，C尸為半圓弧上不與重合的點，

0尸，回.作0），48于。,?！?，。（^于石，設Ar>=a,8D=6,則下列不等式中可以直接表

示CEW。歹的是（）

-r~ra+b

B.y)ab<----

lab<a2+b2

a+b7廠

8.已知函數(shù)〃x）=cos2s:-忌1115^0$3+33>0）在區(qū)間［0,兀］有且僅有2個零點，則外

的取值范圍是（）

_477

D1729)

c-1一3

A.3-3-

1212，；

一1212

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.若a>b,c>d,則ac>bd

B.若a>b,c>d,則a-d>b-c

C.若ac2Vbe2,則

D.若a>b,則

ab

10.已知函數(shù)y(x)=_r-J,則()

試卷第2頁，共6頁

A.為奇函數(shù)

B.f（x）為增函數(shù)

C.的值域為R

D.對VaeR,方程/（同一。=0有兩個根

11.如圖所示，已知角＜方］的始邊為無軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點

分別為A3,M為線段48的中點，射線與單位圓交于點C,則（）

B.|OM|=cos勺^

C.點C的坐標為（cos0/,sin312］

D.點M的坐標為［coscos勺金,sinsin勺4］

12.通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族.若以集合X的子集為元素的族「，滿足

下列三個條件：（1）0和X在「中；（2）「中的有限個元素取交后得到的集合在「中；（3）

r中的任意多個元素取并后得到的集合在「中，則稱族r為集合X上的一個拓撲.已知全集

〃={1,2,3,4},4,8為［7的非空真子集，且ANB,貝!j（）

A.族尸={0,。}為集合U上的一個拓撲

B.族尸={0,AU}為集合U上的一個拓撲

C.族尸={0,A,8,U}為集合U上的一個拓撲

D.若族P為集合U上的一個拓撲，將尸的每個元素的補集放在一起構成族Q,則。也

是集合U上的一個拓撲

試卷第3頁，共6頁

三、填空題

3

13.已知&為第二象限角，若sina=g，則tana的值為.

14.定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),且當xe[0,2]時,f(x)=x2-2x,則

/⑺的值為.

15.已知函數(shù)〃x)=asinx+cosx的圖象關于直線x三對稱，貝ij卜勺值為.

16.已知函數(shù)/(力=,網+/">°,g[x)=-x+a,若函數(shù)尸(x)=f(尤)-g(無)有三個零

-%?—%+4,%W0

點七，X2，K3，則再，兀2的取值氾圍是?

四、解答題

17.已知集合4={%1x2-x-12<01,B={x|l-m<x<3zn-2).

(1)若機=3,求API民AU5；

(2)若xeA是xe3的充分不必要條件，求加的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=Asin[x+j+8(A>0)的最大值為3,最小值為1.

⑴求A和B的值；

(2)把的圖象上所有的點向右平移1個單位長度得到函數(shù)g⑴的圖象，求g(x)的單調

遞減區(qū)間.

19.已知函數(shù)=1唯(2工+a?2.,)為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)。的值；

⑵解不等式〃x)+x>l.

20.如圖所示，在等腰直角中，/4。2=1。4=頂,"為線段48的中點，點尸，。分

TT

別在線段AM,2"上運動，RZPOQ=~,設NAOP=，.

試卷第4頁，共6頁

(1)設=求。的取值范圍及〃e)；

(2)求△OP。面積的最小值.

21.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明：某種紅茶用

95℃的水泡制，再等到茶水溫度降至55℃時飲用可以產生最佳口感，現(xiàn)在室溫25℃下，某

實驗小組為探究剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔Imin測量一次茶水溫度,

X

□y=kax+b(k>0,0<tz<1,x>0)；

□y=log。(x+%)([>1,Z>0,x20).

(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前

2min的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；

(2)根據(jù)(1)中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達到最佳飲用口感的放置時間.

參考數(shù)據(jù)：lg3?0.477,lg7?0.845.

22.已知函數(shù)=[0,2].

⑴若“X)為單調函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)設函數(shù)g(x)=，(x)|,記g(x)的最大值為

(i)當。=0時，求”修)的最小值；

試卷第5頁，共6頁

(ii)證明：對

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

2.C

3.A

4.C

5.C

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.ABD

3

13.—-/-0.75

4

14.1

15.0

16.V2,oJ

17.(l)AHB={x|-2<x<4},A|JB={x|-3<x<7}

(2)m>4

【解析】(1)解%2—%—12<0可得一3cx<4,

故可知A={x|-3<x<4},

當m=3時，B={x\-2<x<7],

所以人口5={引一2Wx<4},A\jB={x\-3<x<7]；

(2)因為xeA是xeJ5的充分不必要條件，

3m-2>4

所以AD3,則

1-m<-3

解得m>4.

18.(1)A=1,B=2

答案第1頁，共5頁

27i_.57r../,\

(2)~—F2^71,——F2kn(左￡Z)

A+B=3解得［f修A=1

【解析】(1)因為A>0,由題意可得

-A+B=l

(2)由(1)得/(%)=sin卜+()+2,所以g(x)=sin卜-￡)+2,

由4+2%兀<x——<型+2E,(左eZ),得2+2%兀<x<—+2^K,(^eZ),

26233

所以g(x)的單調遞減區(qū)間為—+2ht,—+2hi優(yōu)eZ).

19.(1)1

(2){x|x>0}

【解析】(I)設“X)的定義域為/,

因為“X)為偶函數(shù)，所以Vxe/,都有=

即log,(2-、+a.2、)=log2(2,+a?2-')對於e/都成立,

等價于2-“+a?2"=2"+a?2r對Vx￡/都成立，

整理得Vxw/,(a-1乂2-2-')=0都成立，

所以a—1=0,解得a=l.

所以a的值為1.

(2)由題意log2(2"+2")+%>1,

移項得log?(2,+2-，)>1,

所以Iog2(2x+2f)>log22、

所以2，+2T>2「工，

整理得4,+l>2,即4*>1,

解得x>0,

所以不等式的解集為{x|x>0}.

20.⑴/(e)=tang-e；ee0,二

(2)V2-1

答案第2頁，共5頁

【解析】（1）因為AOAB為等腰直角三角形，=為線段45的中點,

71

所以0M=l,/A0M=—,0M_LA5.

4

TT

因為點P在線段AM上運動，所以0,-,

_4_

因為44。？=，，所以尸M=OM-tanNPOM=tan［：_ej,

所以〃e)=tang_4&e?！?

7T

(2)因為/尸OQ=NMOA=—,所以/QQM=aQM=QMtan/QOM=tan。,

4

所以尸Q=PM+QM=tan［W—e)+tane,

所以S.”o=gPQ-0M=gtan［：-。］+tan。1f1-tan^

2(1+tan。+tan。

—|—-----1-tan^—1j=—［—-----1-1+tan^—2>1(2V2-2)=A/2-1

211+tan。)2ll+tan^

當且僅當tan*后-le[0,l]時，等號成立,

所以△OP。面積的最小值為四-1.

21.（1）應選擇模型口I,理由見解析，y=70x0.9，+25

（2）8min

【解析】（1）選擇□y=履，+6伏＞0,0＜。＜l,xN0）作為函數(shù)模型.

對于模型口，當尤=0時，函數(shù)無意義,故而排除；

對于模型口，由表中數(shù)據(jù)可知當自變量增大時，函數(shù)值減小，故而排除;

對于模型口，所給函數(shù)單調遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；

故應選擇模型□.

答案第3頁，共5頁

95=k+ba=0.9

將前2min的數(shù)據(jù)帶入，得卜8=%+6解得卜=70,

81.7=ka2+Z?b=25

所以所求函數(shù)解析式為丁=70x0.9^+25.

33

（2）由（1）中模型可得70x0.9"+25=55,即0.b二,,所以x=log（）.91，

.Ig3-lg7Ig7-lg30.845-0.4770.368

§0X==a==o,

lg0.9l-21g31-2x0.4770.046

所以剛泡好的紅茶放置8min能達到最佳飲用口感.

22.（l）a<-4^a>0

（2）（i）2;（ii）證明見解析

【解析】（1）由“尤）=/+辦+b,xe[0,2],可得的對稱軸x=-|,

要使/（x）為單調函數(shù)，則-0或422,

解得aWT或

（2）（i）當a=0時，？（%）=卜2+4，

則M（6）=max｛g（0）,g（2）｝=max｛例,|4+同｝,

當6〈一2時，\b\>\4+b\,M（b）=\b\=-b>2,

當且僅當6=-2時，等號成立；

當6>-2時，屹|<|4+6],河伯）斗4+6|=4+6>2；

所以〃色）的最小值為2.

（ii）下面根據(jù)對稱軸對。進行討論：

當一^^。時，a>0,M（a,b）=max（0）,g（2）｝=max||Z?|,|4+2a+,

口若例顯然j

口若問則〃（a,b）=|4+2a+b|=4+2a+b>4+0-g>：.

當一122時，a<-4,貝！|M（a,b）=max｛g⑼,g（2）｝=max｛網,|4+2。+向｝,

□若問wg,顯然

口若問<g,則M（a,b）=|4+2a+,=_4—2a_b>—4+8—：>；.

答案第4頁，共5頁

當0<-|<2時，-4<a<0,

則M（a,6）=max卜⑼超卜?送⑵=max<\b\,~^-+b/4+2〃+回>.

□若例2顯然

□若問<5,記