第13講橢圓

目錄

第13講橢圓..................................................................................1

一、橢圓的標準方程............................................................................2

基礎知識...................................................................................2

考點1橢圓定義...........................................................................3

考點2曲線方程與橢圓.....................................................................3

考點3求解橢圓方程.......................................................................4

考點4橢圓的動點軌跡方程.................................................................4

二、橢圓的焦點三角形..........................................................................6

基礎知識...................................................................................6

考點5橢圓中的焦點三角形.................................................................6

三、橢圓的簡單幾何性質........................................................................8

基礎知識...................................................................................8

考點6由橢圓的幾何性質求標準方程........................................................9

考點7橢圓的焦距與長軸、短軸...........................................................10

考點8橢圓的離心率......................................................................10

考點9由橢圓的離心率求參數(shù)..............................................................11

考點10橢圓中的最值.....................................................................11

考點11橢圓的實際應用問題...............................................................12

四、課后作業(yè)..................................................................................14

單選題....................................................................................14

多選題....................................................................................15

填空題....................................................................................15

解答題....................................................................................16

一、橢圓的標準方程

基礎知識

1.橢圓的定義

(1)定義：平面內與兩個定點7的距離的和等于常數(shù)(大于衣尸2|)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫

作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

⑵橢圓定義的集合表示P=嚴叱+S=2“m囚四｝.

2.橢圓的標準方程

橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

橢圓在坐標

V

—_1——JI

系中的位置L

標準方程%+方=1(Q>b>0)=l(a>&>0)

焦點坐標Fl(-c,0),F2(c,0)Fl(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的關系b2=a2—c2b2=a2—c2

3.橢圓方程的求解

(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據(jù)橢圓的定義，確定I，/的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.

(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待

定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設條件，計算出方程中的a,b的值，從而確定方程(注意焦點的

位置).

②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點

在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數(shù)法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設橢圓的一般

方程為//+5-y2=l(A>O,B>O,A^B),再解答.

考點1橢圓定義

「「：二”價設P是橢圓。+盤=1上的點，若乃,尸2是橢圓的兩個焦點，

4Io

則|P%|+*等于（）

A.4B.5

C.8D.10

【例1.2］（23-24高三上上海奉賢?階段練習）P為橢圓馬+條=1（。>0）上一點，P到左焦點尸的距離為，

ar3azv2

則P到原點。的距離為（）

-a—aC.—a

A.4B.44D.-2

已知％,尸2分別是橢圓E：9+!=l的左、右焦點，P是橢圓E

上一點,若|P%|=2,貝!J|P&I=（）

A.1B.2C.3D.4

一式:「7」已知%,尸2是橢圓W+9=l的兩個焦點，P為橢圓上一點，

且IPF1I=|尸1&1，則點尸到3軸的距離為（）

考點2曲線方程與橢圓

27若方程二+>=1表示橢圓，則根的取值范圍是（）

m+z5-m

A.（—2,5）B.（―8,5）C.（-2,|）U（|,5）D.（—2,+8）

【例2.2】（23-24t西章J）設p：mt+J1y2=i表示的是橢圓;q-m>0,n>0,則p

是q成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

已知命題》方程三+三=1表示焦點在y軸上的橢圓,

則機的范圍（）

A.3<m<5B.4<m<5

C.1<m<5D.m>1

【變式2.2](23243：；I若方程E+工=1表示橢圓C,則下面結論正確的是()

9—kk—1

A.fee(1,9)B.橢圓C的焦距為2/

C.若橢圓C的焦點在x軸上，則k￡(1,5)D.若橢圓C的焦點在x軸上，貝必e(5,9)

考點3求解橢圓方程

一■h已知橢圓的焦點為(0,—2),(0,2),橢圓上的點到兩個焦點

的距離之和為6,則橢圓的標準方程是()

A.互+旺=1B.豈+2=1C.先+日=1D.日=1

161295161295

22

已知橢圓氏+方=1(a>b>0)的左，右焦點分別為Fi，

F2,P為橢圓上一點，|P%]的最大值為3,且|P%|+|PF21=2|FiF2l，則橢圓的標準方程為()

A.-+y2=lB.大+旺=1c4+2=1D.^+^=1

4，434284

橢圓的兩個焦點是(-4,0)和(4,0),橢圓上的點M到兩個焦點

的距離之和等于10,則橢圓的標準方程是()

A.^+^=1B.%+旺=1

5453

C.^+^=1D.^+^=1

259169

【變式3.2](23-24高二上??期末)以%(-1,0),尸2(1,0)為焦點，且經過點1.

程為（）

A.*IC.pRlD"=]

考點4橢圓的動點軌跡方程

1洌；」】4后-力，:華介」設p⑶y)滿足：J比2+(y+2)2+J久2+(y—2)2=5,貝UP

的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不存在

4.2(23-24

【例】高二上?四川南充?期末)設定點%(0,—2),F2(0,2),動點尸滿足條件|P%|+|P4I=5,

則點P的軌跡是()

A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段

若動點PQ,y）滿足方程J（x+2尸+產+J（x-2）2+儼=4魚,

則動點P的軌跡方程為（）

A.日+已=1B.±+Jc..+—D.二+旺=1

161284481216

在圓/+y2=9的上任取一點P,過P作x軸的垂線段PD,垂

足為。，并延長DP至使得|PM|=g|DP|,則點M的軌跡方程是（）

A.《+j

94

c*=iD-Am]

二、橢圓的焦點三角形

基礎知識

1.橢圓的焦點三角形

（1）焦點三角形的概念

設M是橢圓上一點，E,產2為橢圓的焦點，當點M,E,產2不在同一條直線上時，它們構成一個三角形焦

（2）焦點三角形的常用公式

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

②在△MF1F2中，由余弦定理可得內尸=\MF^2+\MF^2-1\MF^\MF^-cos/RMF?

③設/同初尸2=%則S-=c-W=—tan,

考點5橢圓中的焦點三角形

月：：已知橢圓搭+9=1兩個焦點為分別為鼻、尸2,過戶1的直線交該

橢圓于/、8兩點，則△ABF?的周長為（）

A.4B.6C.8D.12

【例1二】<2-：I』回廠".介契）設%,尸2是橢圓C：=+4=1的兩個焦點，點尸是c上的

olo

一點，且COSNF1PF2=1，則△PF1F2的面積為（）

A.3B.3V2C.9D.9近

」」西期中）設橢圓C：捻+9=1（a>V3）的左、右焦點為Fi，&.若點4（詞

在C上，則△4F1F2的周長為（）

A.4B.6C.8D.10

【變式1.2］（23-24高二上?云南昆明?階段練習）在橢圓中，已知焦距為4,橢圓上的一點尸與兩個焦點%,

B的距離的和等于8,且4尸％尸2=120。，則△「％約的面積為（）

A12V3二8V3-12V3-12V3

A.-----B.C.-----D.——-

7545

三、橢圓的簡單幾何性質

基礎知識

1.橢圓的范圍

設橢圓的標準方程為/F(a>b>0),研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.

(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.

y2x2x2x2y2y2

(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知〃=1-屋>0,故°?Wl,BP-a<x<a；=1-〃>0,故〃q,BP-b<y<b.

2.橢圓的對稱性

(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標準方程0b(a>b>0)中以-y代替y,方程并不改變，這說明當點

P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點Pi(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x,

方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x,以-y代替y,方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.

坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.

3.橢圓的頂點與長軸、短軸

4+^=1

以橢圓的標準方程“°(a>b>0)為例.

⑴頂點

令x=0,得產土b；令y=0,得x=±a.

這說明4(-a,0),4(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,上),&(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、

y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.

⑵長軸、短軸

線段1441，⑸&I分別叫作橢圓的長軸和短軸.

長軸長I44l=2a,短軸長㈤41=21a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.

4.橢圓的離心率

CC

（1）離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比”稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=".

（2）離心率的范圍：0<e<l.

（3）橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，c越接近于a,從而b='」一0?越小,因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接

近于0,從而b='八一-越接近于a,因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0,這時兩個焦點重合,

圖形變?yōu)閳A，它的方程為

考點6由橢圓的幾何性質求標準方程

__2..2

已知橢圓v會+￡=1（。>6>0）的長軸長為4,離心率為年，則

該橢圓的方程為（）

A.-+^=1B.-+y2=1

424,

C.廿+四=1D.豈+廿=1

168816

【例1.2］（23-24高一.上?天津?期末）已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為右且它的長軸長等于4,則橢圓

的標準方程是（）

入泊=1B.g+尤=1

1612

Cz+y2=iD.日+J

164

;二-L國二，已知橢圓的方程為老+及=1（小>0,幾>0）,離心率6=,則下

mn2

列選項中不滿足條件的為（）

A.7+丫2=1B.立+片=1

82

x2

c-》+y2=iD.N+4j?=l

.；已知橢圓C：捻+，=l（a>b>0）的離心率為g,Fi，&分別

為C的左、右焦點，P為C上一點，若△FiP4的面積等于2,且COSNF1PF2="，貝UC的方程為（）

A.￡+y2=iB.2+9=1

2/32

C.￡+及=1D.e+廿=1

981816

考點7橢圓的焦距與長軸、短軸

橢圓04/+產=16的焦點坐標為（）

A.（±2V3,0）B.（±2V5,0）C.（0,土2百）D.（0,±2V5）

卜川：7W「；；「，：'：；」i,橢圓《+二=1與工+￡=1（0<k<9）的（）

2599-k25—k

A.長軸的長相等B.短軸的長相等

C.離心率相等D.焦距相等

已知橢圓。4+。=1，則橢圓C的長軸長為（）

94

A.3B.4C.6D.9

【變式2.2］（23-24高二上?新疆烏魯木齊?期中）已知橢圓9+提=l（a>6>0）的焦點分別為91，4，點4B

在橢圓上，力于尸2，例=則橢圓的長軸長為（）

BLFi4144,\FXF2\=2V3,

A.6B.3C.2V3D.V3

考點8橢圓的離心率

已知橢圓5+《=19>8>0）的短軸長為2,焦距為2百，則

該橢圓的離心率為（）

A.iB.2C.qD.立

2323

22

-；「已知橢圓。今+==19>6>0）的右焦點為尸，上、下頂點分

別為當，B2,M是尸當?shù)闹悬c，若FBiLMB2,則橢圓C的離心率為（）

22

已知F1，尸2是橢圓C爭+■=l（a>b>0）的左、右焦點,

/是。的左頂點，點P在過N且斜率為手的直線上，為等腰三角形，NF/2P=120。，則C的離

心率為（）

2113

A.-B.-C.-D.-

3234

22

I--JA321<23-24i?'」山丁階）設橢圓/=l（a>6>0）的左、右焦點分別為F2,

P是橢圓上一點，IPFil=A|PF2|g<A<3）,NFiPF2=*則橢圓離心率的取值范圍為（）

A?停WB.品］

C白噌D./

考點9由橢圓的離心率求參數(shù)

若橢圓C:交+4=1的離心率為，，則爪=（）

m23

A.3或弓B.|C.3或1D.1或?

【例4.2］（2024?河南?二模）設橢圓.+叱=1（一>0,n>0）的離心率為e,則％=鳥是“m=4心的（）

mn2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

已知橢圓工+4=1的離心率e=3則k的值可能是（）

士+593

A.3B.7C.3或？D.7或：

22

I芝式4.2］（20233?高考真題）設橢圓的邑+7=［（a>1）,位2：?+了2=1的離心率分別為ei0.若

CL4

?2=We1,貝！Ja=（）

A.卓B.V2C.V3D.V6

考點10橢圓中的最值

已知橢圓C:f1+m=1的左焦點為F,P為C上任意一點，則|PF|

的最大值為（）

A.5B.9C.10D.18

二點P是橢圓C:。+1上任一動點，定點4(1,1),尸為右焦點，則

|P2|+|PF|的最小值為()

A.1B.3C.4+V5D.4-V5

一式：局廠「已知P是橢圓三+*=1上一動點，Q是圓Q+2)2+y2=i上

161Z

一動點，點”(5,4),則|PQ|—|PM|的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

已知橢圓C:(+9=l的右焦點為F,點E(0,2),點P是C上的

動點，則|PF|+|PE|的最小值為()

A.5B.10-2V5C.10D.10+2V5

考點11橢圓的實際應用問題

如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，

經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程

為1+(=1,其左、右焦點分別是％,F2,直線/與橢圓C切于點P,且|PF1I=2,過點尸且與直線/垂

直的直線，'與橢圓長軸交于點貝2M|=()

【例6.2](23-24高一上?北江西城小小如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在/處時，在如圖所示的截面里,

橋洞與其倒影恰好構成一個橢圓.此時拱頂離水面2m,水面寬6m,那么當水位上升1m時，水面寬度為()

6m

A.3V3mB.等mC.4&mD.浮m

【變式6.1］（2024?廣東韶關?模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼碎混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、

梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、淡江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重

要交通橋梁，大橋承擔著實現(xiàn)韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面

截橋面為線段力B,且過橢圓的下焦點，力B=44米，橋塔最高點P距橋面110米，則此橢圓的離心率為

()

如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道近似可看作以地心％為一

個焦點且離心率羽的橢圓，地球可看作半徑為R的球體，近地點離地面的距離為，，則遠地點離地面的距

B.5r+2R

5r+2RD5r+2R

C.

23

四、課后作業(yè)

單選題

1.（23-24高二上?四川宜賓?期末）橢圓。+4=1的焦點坐標為（）

3o

A.（±5,0）B.（0,±5）C.（±V5,0）D.（0,±V5）

己知橢圓1上有一點尸到右焦點的距離為4,則點P到左焦點

94

的距離為（）

A.6B.3C.4D.2

力與逝；j，如果方程-J+>=1表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是（）

m—2b—m

A.m>2B.m<6

C.2<m<6D.2<m<6且H4

4（234N'乍?階段東習橢圓/+my2=1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則一

的值為（）

1i

A.-B.-C.2D.4

42

5.（23-24高一上?北京?階段練習）與橢圓/+4y2=36有相同焦點，且滿足短半軸長為2近的橢圓方程

是（）

A.日+/=1B.且+其=1

25202025

C,且+些=1D.J上=1

20458085

6.（23-24高二卜.?浙;,工杭州?明中）過橢圓卷+卷=1的右焦點尸2作直線改橢圓于小B兩點，為左焦點,

Z516

則的周長為（）

》Ycc250V23

A.20B.——C.10D.——

2929

嫦娥奔月是中華民族的千年夢想，2020年12月我國嫦娥五號"探

月工程”首次實現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天興趣小組利用計算機模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月

橢