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文檔簡(jiǎn)介
專題24圖形的變換
一、軸對(duì)稱變換
【高頻考點(diǎn)精講】
1、軸對(duì)稱圖形
把一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩邊的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸,折
疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱點(diǎn)。常見的軸對(duì)稱圖形:等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圓等。
2、軸對(duì)稱性質(zhì)
(1)關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。
(2)對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。
(3)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。
3、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
(1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn):橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐
標(biāo)是(x,-y);
(2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn):橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)不變,即點(diǎn)尸(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐
標(biāo)是(-X,
4、最短路線問(wèn)題
在直線/上方有兩個(gè)點(diǎn)A、B,確定直線/上到A、8的距離之和最短的點(diǎn),可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定,即作出其中一
點(diǎn)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn),對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線/的交點(diǎn)即為所求。
【熱點(diǎn)題型精練】
1.(2022?天津中考)在一些美術(shù)字中,有的漢字是軸對(duì)稱圖形.下面4個(gè)漢字中,可以看作是軸對(duì)稱圖形的是()
A.B國(guó)敬.業(yè)
解:選項(xiàng)A、C、2不能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以不
是軸對(duì)稱圖形,
選項(xiàng)。能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以是軸對(duì)稱圖形,
答案:D.
2.(2022?北京中考)圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形,該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為()
解:如圖所示,該圖形有5條對(duì)稱軸,
答案:D.
3.(2022?常州中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)A與點(diǎn)人2關(guān)于y軸對(duì)稱.已知點(diǎn)
Al(1,2),則點(diǎn)A?的坐標(biāo)是()
A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(-1,-2)
解:?.?點(diǎn)A與點(diǎn)4關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱,已知點(diǎn)4(1,2),
.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2),
:點(diǎn)A與點(diǎn)&2關(guān)于y軸對(duì)稱,
.,.點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-1,-2),
答案:D.
4.(2022?湖州中考)如圖,已知8D是矩形ABC。的對(duì)角線,AB=6,BC=8,點(diǎn)E,尸分別在邊AD,8c上,連
結(jié)BE,DF.將AABE沿BE翻折,將△2XT沿。尸翻折,若翻折后,點(diǎn)A,C分別落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)G,H
A.BD=10B.HG=2C.EG//FHD.GF±BC
解::四邊形ABC。是矩形,
/.ZA=90°,BC=AD,
VAB=6,BC=8,
:.BD=AMF+業(yè)=V62+82=10,
故A選項(xiàng)不符合題意;
???將AABE沿BE翻折,將△DC尸沿。尸翻折,點(diǎn)A,。分別落在對(duì)角線50上的點(diǎn)G,H處,
:.AB=BG=6,CD=DH=6,
;?GH=BG^DH-BD=6+6-10=2,
故5選項(xiàng)不符合題意;
???四邊形A5CD是矩形,
AZA=ZC=90°,
??,將AABE沿BE翻折,將△0C尸沿。尸翻折,點(diǎn)4。分別落在對(duì)角線3。上的點(diǎn)G,H處,
:.ZA=ZBGE=ZC=ZDHF=9Q°,
:.EG//FH.
故。選項(xiàng)不符合題意;
":GH=2,
:?BH=DG=BG-GH=6-2=4,
FC=HF=x,貝!]3/=8-羽
.,.J^+42=(8-x)2,
.,.x=3,
:.CF=3,
.BF5
??—―,
CF3
BG63
又:一=一=一,
DG42
BFBG
--H---,
CFDG
GFLBC,則G尸〃CO,
.BF_BG
??=,
CFDG
故。選項(xiàng)符合題意.
答案:D.
5.(2022?廣安中考)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E、/分別為邊A。、DC
的中點(diǎn),則PE+尸尸的最小值是()
DFC
A
A.2B.V3C.1.5D.V5
解:如圖,取AB的中點(diǎn)T,連接PT,FT.
J.CD//AB,CD=AB,
,:DF=CF,AT=TB,
:.DF=AT,DF//AT,
...四邊形ADFT是平行四邊形,
:.AD=FT=2,
:四邊形ABC。是菱形,AE=DE,AT=TB,
:.E,7關(guān)于AC對(duì)稱,
:.PE=PT,
:.PE+PF=PT+PF,
:PF+PT,F(xiàn)T=2,
:.PE+PF^2,
尸的最小值為2.
答案:A.
6.(2022?濰坊中考)小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙,折完后,發(fā)現(xiàn)折痕A8'與44紙的長(zhǎng)邊恰好重合,
那么A4紙的長(zhǎng)與寬的比值為
D'(D)B(B')
②
解:由第②次折疊知,AB=AB',
由第①次折疊知,ZB'AB=45°,
,△AO8是等腰直角三角形,
:.AB'^^AD',
."8與寬的比值為VL
答案:V2,
7.(2022?遼寧中考)如圖,正方形4BC。的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)G是邊C。的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn),連接8E,
將AABE沿8E翻折得到△FBE,連接GF,當(dāng)GF最小時(shí),AE的長(zhǎng)是5乘-5.
:.BF^BA^10,
...點(diǎn)尸在以8為圓心,10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)點(diǎn)G、F、8三點(diǎn)共線時(shí),GP最小,
連接EG,設(shè)AE=x,
D
E
AB
由勾股定理得,BG=5星,
?二S梯形
111yr-
:.-(5+10)X10=4x5x(10-X)+4x10%+4x5V5x,
22',22
解得x=5A/5-5,
:.AE=5y/5-5,
答案:5V5-5.
8.(2022?鎮(zhèn)江中考)如圖,有一張平行四邊形紙片ABCD,AB=5,AD=1,將這張紙片折疊,使得點(diǎn)B落在邊
A。上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8',折痕為ER若點(diǎn)E在邊AB上,則。"長(zhǎng)的最小值等于2.
解:由折疊可知,BE=B'E,BF=B'F,如圖,當(dāng)E與A重合時(shí),B'D最短.
VAB=5,AD=7f
???A8=5,
:.B'D=AD-AB'=7-5=2,
即OB'長(zhǎng)的最小值為2.
答案:2.
二
B'D
9.(2022?眉山中考)如圖,點(diǎn)P為矩形ABC。的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E為8C的中點(diǎn),連接PE,PB,若48
=4,BC=4?則PE+PB的最小值為6
BEC
解:如圖,作點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)叫交AC于點(diǎn)F,連接B'E交AC于點(diǎn)P,則PE+PB的最小值為B'E
的長(zhǎng)度,
B;
,?
,a
,,?
?a
A山、::D
BEC
?..四邊形48CD為矩形,
.?.AB=C£>=4,ZABC=90°,
在RtZXABC中,AB=4,BC=4V3,
:.tanZACB-黑=字,
/.ZACB=30°,
由對(duì)稱的性質(zhì)可知,B'B=2BF,B'BLAC,
:.BF=^BC=2V3,/CBF=60°,
:.B'B=2BF=A娼,
?;BE=BF,NCBF=60°,
...△BE歹是等邊三角形,
:.BE=BF=B'F,
...△3EB是直角三角形,
:.B'E=y/B'B2-BE2=J(4V3)2-(2V3)2=6,
:.PE+PB的最小值為6,
答案:6.
10.(2022?鄂爾多斯中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=4,NCAB=30°,AD±BC,垂足為。,尸為線段AD上
的一動(dòng)點(diǎn),連接尸2、PC.則B4+2P2的最小值為上&
在/BAC的外部作/C4E=15°,作8f_L4E于尸,交于P,
此時(shí)B4+2P2最小,
ZAFB=9Q°
:AB=AC,ADLBC,
11
ZCAD=ZBAD=^BAC=1x30°=15°,
AZEAD=ZCAE^ZCAD=30°,
1
:.PF=^AP,
1
:.PA+2PB=2(-P4+P8)=2(PF+PB)=2BF,
2
在RtZkAB尸中,AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,
.,.BF=AB?sin45°=4x與=2&,
(小+2P8)最小=28歹=4&,
答案:4V2.
11.(2022?連云港中考)如圖,四邊形ABC。為平行四邊形,延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使。E=A。,且8ELOC.
(1)求證:四邊形。BCE為菱形;
(2)若△ZJ8C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng),求PM+/W的最小值.
(1)證明:?..四邊形ABC。是平行四邊形,
J.AD//BC,AD^BC,
,:DE=AD,
:.DE=BC,
在AD的延長(zhǎng)線上,
J.DE//BC,
...四邊形DBCE是平行四邊形,
VBEXDC,
...四邊形。是菱形;
(2)解:作N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N,過(guò)。作于",如圖:
由菱形的對(duì)稱性知,點(diǎn)N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N在DE1.,
:.PM+PN=PM+PN,
當(dāng)尸、M、N共線時(shí),PM+PN=MN=PM+PN,
■:DE//BC,
,MN的最小值為平行線間的距離DH的長(zhǎng),即PM+PN的最小值為DH的長(zhǎng),
在Rtz\O2/Z中,
ZDBC=60°,£)2=2,
:.DH=DB-smZDBC=2x=V3,
;.PM+PN的最小值為百.
12.(2022?棗莊中考)已知△ABC中,ZACB=90°,AC=2C=4c〃z,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向以每秒夜cm
的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)8出發(fā)沿2C方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f
秒.
(1)如圖①,若PQLBC,求f的值;
(2)如圖②,將△PQC沿8C翻折至△「'QC,當(dāng)f為何值時(shí),四邊形QPCP為菱形?
:.AB=,4c2+BC2=V42+42=4&(cm),
由題意得,AP=yjltcm,BQ=tcm,
貝lj8P=(4V2-V2Z)cm,
,:PQLBC,
:.ZPQB=9Q°,
:.ZPQB=ZACBf
:.PQ//AC,
.BP_BQ
??=,
BABC
.4V2-V2Ct
4V2=?
解得:1=2,
.,.當(dāng)f=2時(shí),PQ1BC.
(2)作P〃_LBC于Z),PE_LAC于E,如圖②,
VZC=90°,AC=2C=4cro,
...△ABC為等腰直角三角形,
ZA=ZB=45°,
AAPE和為等腰直角三角形,
:.PE=AE=~AP=tcm,BD=PD,
CE=AC-AE=(4-t)cm,
???四邊形PEC。為矩形,
:,PD=EC=(4-t)cm,
:,BD=(4-0cm,
:.QD=BD-BQ=(4-2/)cm,
在RtZ\PCE中,PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2,
在RtZXPOQ中,P^=PD2+D^=(4-r)2+(4-2/)2
?.?四邊形。PCP'為菱形,
:.PQ=PC,
22
4-424-
?++
4
3-
4
...當(dāng)f的值為三時(shí),四邊形。尸CP為菱形.
二、平移變換
【高頻考點(diǎn)精講】
1、把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)一定的距離,得到一個(gè)新的圖形,圖形的這種移動(dòng),叫做平移。
2、平移的兩個(gè)要素:(1)圖形平移的方向;(2)圖形平移的距離。
3、平移性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等。
4、平移變換與坐標(biāo)變化
(1)坐標(biāo)點(diǎn)尸(x,y)向右平移。個(gè)單位,得出P(x+a,y);
(2)坐標(biāo)點(diǎn)尸(X,y)向左平移。個(gè)單位,得出尸(x-fl,y);
(3)坐標(biāo)點(diǎn)尸(x,y)向上平移6個(gè)單位,得出P(x,y+b);
(4)坐標(biāo)點(diǎn)尸(尤,y)向下平移。個(gè)單位,得出尸(x,>-6)。
【熱點(diǎn)題型精練】
13.(2022?廣西中考)2022北京冬殘奧會(huì)的會(huì)徽是以漢字“飛”為靈感來(lái)設(shè)計(jì)的,展現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)員不斷飛躍,超越自
我,奮力拼搏,激勵(lì)世界的冬殘奧精神.下列的四個(gè)圖中,能由如圖所示的會(huì)徽經(jīng)過(guò)平移得到的是()
解:根據(jù)平移的性質(zhì)可知:能由如圖經(jīng)過(guò)平移得到的是。
答案:D.
14.(2022?海南中考)如圖,點(diǎn)A(0,3)、B(1,0),將線段AB平移得到線段。C,若NA8C=90°,BC=2AB,
則點(diǎn)。的坐標(biāo)是()
0B
A.(7,2)B.(7,5C.(5,6)D.(6,5)
解:過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)E,如圖,
0BX
???點(diǎn)A(0,3)、B(1,0),
:.OA=3,03=1.
?,?線段AB平移得到線段DC,
:.AB//CDfAB=CD,
???四邊形ABCD是平行四邊形,
VZABC=90°,
...四邊形A8C。是矩形.
/.ZBAD=90°,BC=AD.
':BC=2AB,
:.AD=2AB.
VZBAO+ZDAE^9Q°,ZBAO+ZABO^90°,
:.ZABO=ZEAD.
VZAOB=ZAED=90°,
AABOSXDAE.
.40OBAB1
,?DE~AE~AD~2
:.DE=2OA=6,AE=2OB=2,
:.OE=OA+AE=5,
:.D(6,5).
答案:D.
15.(2022?百色中考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)A(3,1),B(1,2),將△ABC向左平移2個(gè)單位,再向上平移1
個(gè)單位,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)次的坐標(biāo)為()
A.(3,1)B.(3,3)C.(-1,1)D.(-1,3)
解:根據(jù)平移與圖形變化的規(guī)律可知,
將△ABC向左平移2個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,其圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn))的橫坐標(biāo)減少2,縱坐標(biāo)增加1,
由于點(diǎn)B(1,2),
所以平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn))的坐標(biāo)為(-1,3),
答案:D.
16.(2022?嘉興中考)“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾,其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成,寓意是同心吉祥.如
圖,將邊長(zhǎng)為2c機(jī)的正方形ABC。沿對(duì)角線8。方向平移law得到正方形A'B'CD',形成一個(gè)“方勝”
圖案,則點(diǎn)。,B'之間的距離為()
AA'
A.1cmB.2cmC.(V2-1)cmD.(2A/2—1)cm
解::四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2cm的正方形,
:.BD=422+22=2V2(cm),
由平移的性質(zhì)可知,BB'=lcm,
:.B'D=(2V2-1)cm,
答案:D.
17.(2022?福建中考)如圖,現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺,其中NA8C=90°,ZCAB=60°,A8=8,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)
直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移,使得AABC移動(dòng)到B'C',點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0,
則四邊形ACC'A'的面積是()
A.96B.96V3C.192D.16073
解:在Rt/XABC中,ZCAB=60°,AB=S,
則2C=AB?tan/C4B=8V5,
由平移的性質(zhì)可知:AC=A'C,AC//A'C,
四邊形ACC'A'為平行四邊形,
?.?點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12,點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0,
.\A4,=12,
四邊形ACOA,=12X8A/3=96A/3,
答案:B.
18.(2022?淄博中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,平移△ABC至△A1B1C1的位置.若頂點(diǎn)A(-3,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)
是4(2,5),則點(diǎn)8(-4,2)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為的坐標(biāo)是(1,3).
解:?.?點(diǎn)A(-3,4)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Ai(2,5),
...點(diǎn)8(-4,2)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)81的坐標(biāo)是(1,3).
答案:(1,3).
19.(2022?大連中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),將線段OA向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,
得到線段BC,點(diǎn)、A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(5,2).
解:將線段向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段BC,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1+4,2),即(5,2),
答案:(5,2).
20.(2022?臨沂中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A,2的坐標(biāo)分別是A(0,2),B(2,-1).平
移△ABC得到△ABC,若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是(1,-3).
解:由題意知,點(diǎn)A從(0,2)平移至(-1,0),可看作是△ABC先向下平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位
(或者先向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位),
即2點(diǎn)(2,-1),平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕(1,-3),
答案:(1,-3).
21.(2022?畢節(jié)中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開始向上平移1個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,
得到點(diǎn)4(1,1);把點(diǎn)4向上平移2個(gè)單位,再向左平移2個(gè)單位,得到點(diǎn)42(-1,3);把點(diǎn)42向下平移
3個(gè)單位,再向左平移3個(gè)單位,得到點(diǎn)A3(-4,0);把點(diǎn)心向下平移4個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位,得到
點(diǎn)4(0,-4),???;按此做法進(jìn)行下去,則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為(-1,11)
將點(diǎn)A5向左平移6個(gè)單位、再向上平移6個(gè)單位,可得4(-1,7),
將點(diǎn)向左平移7個(gè)單位,再向下平移7個(gè)單位,可得&7(-8,0),
將點(diǎn)擊向右平移8個(gè)單位,再向下平移8個(gè)單位,可得4(0,-8),
將點(diǎn)A8向右平移9個(gè)單位,再向上平移9個(gè)單位,可得A9(9,1),
將點(diǎn)A9向左平移10個(gè)單位,再向上平移10個(gè)單位,可得Aio(-1,11),
答案:(-1,11).
22.(2022?陜西中考)如圖,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).將△ABC平移
后得到△AEC,且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A(2,3),點(diǎn)3、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是笈、C.
(1)點(diǎn)A、A之間的距離是4;
答案:4;
(2)如圖所示,△ABC即為所求.
三、旋轉(zhuǎn)變換
【高頻考點(diǎn)精講】
1、將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度,這樣的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)
的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。
2、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)
(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。
(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
2、旋轉(zhuǎn)作圖
根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等且等于旋轉(zhuǎn)角,對(duì)應(yīng)線段相等,由此可以通過(guò)作相等的角,在角的邊上截取相等線段的方法,找到
對(duì)應(yīng)點(diǎn),順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。
【熱點(diǎn)題型精練】
23.(2022?棗莊中考)剪紙文化是中國(guó)最古老的民間藝術(shù)之一,下列剪紙圖案中,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖
形的是()
解:A.不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;
B.不是中心對(duì)稱圖形,是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;
C.是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)不合題意;
D.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)符合題意;
答案:D.
24.(2022?青島中考)如圖,將△ABC先向右平移3個(gè)單位,再繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,得到△ABC,則點(diǎn)A的對(duì)
應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是()
ky
A.(2,0)B.(-2,-3)C.(-1,-3)D.(-3,-1)
解:由圖中可知,點(diǎn)A(-2,3),將△川(7先向右平移3個(gè)單位,得坐標(biāo)為:(1,3),再繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,
得到△ABC,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,-3).
答案:C.
25.(2022?天津中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,若〃是BC邊上任意一點(diǎn),將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到
△ACN,點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N,連接MN,則下列結(jié)論一定正確的是()
A.AB=ANB.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNLAC
解:A、-:AB^AC,
:.AB>AM,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AN=AM,
:.AB>AN,故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤,不符合題意;
B、當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AB//NC,除此之外,AB與NC不平行,故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤,不符合題意;
C、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,ZBAC=ZMAN,ZABC=ZACN,
':AM=AN,AB=AC,
:.NABC=/AMN,
:./AMN=/ACN,本選項(xiàng)結(jié)論正確,符合題意;
。、只有當(dāng)點(diǎn)M為8C的中點(diǎn)時(shí),ZBAM=ZCAM=ZCAN,才有MNJ_AC,故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤,不符合題意;
答案:C.
26.(2022?包頭中考)如圖,在RtZkABC中,ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得
到△ABC,其中點(diǎn)A與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)g與點(diǎn)2是對(duì)應(yīng)點(diǎn).若點(diǎn)9恰好落在邊上,則點(diǎn)A到直線AC的
距離等于()
D.2
VZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2,
:.AC=WBC=2?ZB=60°,
?.?將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,
:.CA=CA',CB=CB',ZACA'=/BCB',
\'CB=CB',ZB=60°,
C.^CBB'為等邊三角形,
:.ZBCB'=60°,
:.ZACA'=60°,
:.ACAA'為等邊三角形,
過(guò)點(diǎn)A作AD±A'C于點(diǎn)D,
:.CD=1AC=A/3,
:.AD=y/3CD=V3xV3=3,
...點(diǎn)A到直線AC的距離為3,
答案:C.
27.(2022?內(nèi)蒙古中考)如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形A3,C,圖中陰影
1B.省
A.-c.tD.T
23
解:如圖,設(shè)夕C與CQ的交點(diǎn)為E連接AE,
7T
在Rt/Vl4E和RtZVIOE中,■[空廣空,
"8=AD
:.RtAAB'E^RtAADE(HL),
:.ZDAE=ZBfAE,
???旋轉(zhuǎn)角為30°、
:.ZDABf=60°,
i
:.ZDAE=x60°=30。,
:.DE=\x曰=與
1/o/Q
.?.陰影部分的面積=1X1-2義(-XlX^y)=1-導(dǎo)
答案:C.
28.(2022?阜新中考)如圖,在△ABC中,NB=90°,AB=BC=4,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△
ADE,則點(diǎn)。到BC的距離是2.
解:如圖,連接B。,過(guò)點(diǎn)。作。HLBC于H,
,/將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,
:.AB=AD^4,ZBAD=60°,
...△ABO是等邊三角形,
:.BD=AB=4,ZABD=60°,
:.ZDBC=30°,
\'DH±BC,
1
.DH=^BD=2,
,點(diǎn)D到BC的距離是2,
答案:2.
29.(2022?盤錦中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,/4BC=30°,點(diǎn)。為8c的中點(diǎn),將△A8C繞點(diǎn)。逆時(shí)針
旋轉(zhuǎn)得到△A3C,當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A落在邊AB上時(shí),點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上,連接若則△班7)
3A/3
的面積是
連接A£)和AD
:點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),AB=AC,ZABC=30°,
:.AD±BC,A'D±B'C,AQ是/夕A'C的角平分線,AD是NBAC的角平分線,
ZB'A'C'=120°,ZBAC=120°,
.,.ZBAD=ZB'A'D=60°,
VA'D=AD,
AAA'AD是等邊三角形,
:.A'A=AD=A'D=1,
???N84E=180°-ZB1A1C=60°,
???N5A8=NANZ),
:.AB,//AD,
:.A'OLBC,
ii
:.ArO=.,
???48=240=2,
VZA'BD=ZA'DO=30°,
:.BO=OD,
:.0B'=2-廣邑BD=20D=V3,
:.SABB,D=1xB£)xB,0=jxV3x|=答
30.(2022?黃石中考)如圖,等邊AABC中,A8=10,點(diǎn)E為高A。上的一動(dòng)點(diǎn),以8E為邊作等邊△BER連接
DF,CF,則/2。尸=30°,FB+FD的最小值為5舊.
「△ABC是等邊三角形,ADLCB,
1
:.ZBAE=^ZBAC=30°,
,??△5/是等邊三角形,
:.ZEBF=ZABC=60°,BE=BF,
:.NABE=NCBF,
在△BAE和△3CF中,
BA=BC
Z-ABE=乙CBF,
BE=BF
:./\BAE^/\BCF(SAS),
:.ZBAE=ZBCF=30°,
作點(diǎn)。關(guān)于。尸的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,BG,3G交。廠的延長(zhǎng)線于點(diǎn)聲,連接。P,此時(shí)3尸,+DF'
的值最小,最小值=線段BG的長(zhǎng).
?;NDCF=NFCG=30°,
:.ZDCG=60°,
;CD=CG=5,
...△CZ)G是等邊三角形,
:.DB=DC=DG,
AZCGB=90°,
:.BG=yjBC2-CG2=V102-52=5V3,
C.BF+DF的最小值為5V3,
答案:30°,5V3.
31.(2022?廣州中考)如圖,在矩形A8C。中,BC=2AB,點(diǎn)尸為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段8P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋
轉(zhuǎn)60°得到線段8P',連接PP',CP'.當(dāng)點(diǎn)P落在邊BC上時(shí),ZPP'C的度數(shù)為120°;當(dāng)線段
CP'的長(zhǎng)度最小時(shí),ZPP'C的度數(shù)為75°.
解:如圖,以為邊向右作等邊△A2E,連接EP.
:.NABE=NPBP'=60°,BP=BP',BA=BE,
:.ZABP=ZEBP',
在△ABP和△EBP'中,
BA=BE
/.ABP=/.EBP',
、BP=BP'
:.4ABP/AEBP'(SAS),
:./BAP=/BEP'=90°,
.?.點(diǎn)P在射線EP上運(yùn)動(dòng),
如圖1中,設(shè)EP'交8C于點(diǎn)O,
pD
p'
圖I
當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí),點(diǎn)P與O重合,此時(shí)NPPC=180°-60°=120°,
當(dāng)CP'±EP'時(shí),CP'的長(zhǎng)最小,此;時(shí)/E3O=NOCP=30",
11
:.EO=^OB,OP'=2。。,
iii
:.EP'=EO+OP'=^OB+^OC=^BC,
,:BC=2AB,
:.EP'=AB=EB,
:.ZEBP'=ZEP'8=45°,
:.ZBP'C=45°+90°=135°,
:.ZPP'C=/BP'C-ZBP'尸=135°-60°=75°.
答案:120°,75°.
32.(2022?柳州中考)如圖,在正方形ABC。中,AB=4,G是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EG=2,
連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接CF,則線段CF長(zhǎng)的最小值為_^V5-2_.
解:連接。G,將。G繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接MG,CM,MF,
作于X,
:.ZEDG=ZFDM,
:DE=DF,DG=DM,
AAEDG^AA/DF(SAS),
;?MF=EG=2,
*:ZGDC=ZDMHf/DCG=/DHM,DG=DM,
:?△DGC"XMDH(AAS),
??CG=D”=2,MH=CD=4,
:.CM=V42+22=2而,
:CF'CM-MF,
...b的最小值為2萌-2,
答案:2V5-2.
33.(2022?錦州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC=2V5,BC=4,D,E,歹分別為AC,AB,BC的中點(diǎn),連
接DE,DF.
(1)如圖1,求證:DF=*DE;
(2)如圖2,將/£Z小繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到/PDQ,當(dāng)射線。P交A8于點(diǎn)G,射線。。交BC于
點(diǎn)N時(shí),連接BE并延長(zhǎng)交射線。P于點(diǎn)M,判斷PN與的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)。尸_LAB時(shí),求OV的長(zhǎng).
(1)證明:如圖1,連接AE
圖I
\'AB=AC=2V5,BC=4,D,E,歹分別為AC,AB,BC的中點(diǎn),
:.DE=^BC=2,AFLBC,
:.DF==V5,
(2)解:FN=*EM,
理由如下:
連接AF,如圖2,
圖2
':AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分別為AC,AB,8C的中點(diǎn),
1
:.EF=AC=CD,EF||DC,
???四邊形CDEF是平行四邊形,
:.ZDEF=ZC,
1
*:DFAC=DC,
;?/DFC=/C,
:?/DFC=/DEF,
.?.180°-ZZ)FC=180°-ZDEF,
:.ZDFN=/DEM,
??,將NE。/繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到NPQQ,
:.ZEDF=ZPDQ,
,:NFDN+/NDE=/EDM+/NDE,
:?NFDN=NEDM,
:.ADNF^ADME,
NFDFV5
EM~DE~2
FN=*EM;
(3)解:如圖,連接A凡過(guò)點(diǎn)。作SLAB于",
圖3
1
RtZ\ABC中,F(xiàn)C=^BC=2,
:.AF=VAC2-FC2=4,
11
?:S〉A(chǔ)BC=^BC-AF=^AB-CH,
BC-AF4x48V5
,,HC=EF=F
*:DP±AB,
:.AAGD^AAHC,
.GDAD1
??HC~AC~2
14J5
AGD=加。=囁
RtAGED中,GE=yjED2-GD2=J22-(警/=等,
RtAAGD中,AG=y/AD2-GD2=J(V5)2-(警乃=等,
“運(yùn)R
tCLTlZ-ADG=yryr=A—=彳,
GD騙4
9:EF//AD,
:.ZEMG=ZADG,
EG3
**?tCLTlZ-EMG=iTr=4,
44等
G--GE--X-
.M33
:.MD=MG+GD=~+~-=^~
':ADNFs^DME,
.DNDFV5
"DM~DE~2'
,0N==卓X竽=孚
34.(2022?連云港中考)【問(wèn)題情境】
在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小昕同學(xué)將一
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