第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用

3［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

i.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系.

2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.

3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.

@【基礎(chǔ)知識(shí)】

勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+廬=°2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來

解決問題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

二.勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足/+房=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

說明：

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足/+扇=,2,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

三.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽

象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

【考點(diǎn)剖析】

勾股定理的逆定理（共7小題）

1.（2021秋葉K江區(qū)期末）在△ABC中，^AC2-BC2^AB2,則（）

A.NA=90°B./B=90°C.ZC=90°D.不能確定

2.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）

A.4。九、5cm>6cmB.lcm>2ctn、3cm

C.2cm、3cm、4cmD.lcm>3cm

3.（2021秋?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn).判斷aABC

4.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.6、8、10B.5、12、13C.8、15、17D.4、5、6

5.（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)

格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫個(gè)直角三角形.

6.（2022春?泗陽縣期中）如圖，ZkABC中，AB=Scm,AC=6cm,BC=10cm,AO是△ABC的中線，則

△A3。的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大cm.

7.（2022春?高港區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。中，AB±BC,AB=BC^5,CD=1,A￡>=1.

（1）求證：ZADC=90°；

勾股數(shù)（共3小題）

8.（2021秋?漂陽市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.8,12,15C.8,15,17D.9,40,41

9.（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.觀察：3、4、5；5、

12、13；7、24、25；9、40、41；--發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過.請(qǐng)你根

據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

10.（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》

就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)

直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”.在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了

下表：

m2334???

n1123???

a22+l232+l232+2242+32???

b461224???

c22-1232-1232-2242-32???

其中"7、W為正整數(shù)，且加>

（1）觀察表格，當(dāng)m=2,w=l時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說明你的理

由.

（2）探究a,b,c與m、n之間的關(guān)系并用含m、n的代數(shù)式表示：a=,b=,c=.

（3）以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例.

三.勾股定理的應(yīng)用（共6小題）

11.（2021秋?沛縣期末）如圖，將長(zhǎng)為10相的梯子A8斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6口.若將梯子

頂端A向上滑動(dòng)2m,則梯子底端B向左滑動(dòng)m.

12.（2021秋?句容市期末）有5cm,13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長(zhǎng)度

適合的是（）

A.8cmB.12cmC.18cmD.20cm

13.（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB=24,BC=15,8=20,DA=7,

NC=90°.求此綠地的面積.

14.（2021秋?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC,DE垂直于地面

AF,滑道AC的長(zhǎng)度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC=1.5m,且BE=0.5m,求滑道AC的長(zhǎng)

15.（2022春?東湖區(qū)期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā).其中，貨船沿著北偏西54。方向

以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行.1小時(shí)后，兩船

分別到達(dá)8、C點(diǎn)，求8、C兩點(diǎn)之間的距離.

16.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)為16a”的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和2,然后把中點(diǎn)C向

上拉升6c冽至。點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

一.選擇題（共6小題）

1.（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,3,4B.鼻,y[3,2C.gW，百D.5,12,13

2.（2022春?啟東市校級(jí)月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.0.6,0.8,1

3.（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10%露在水面上的魚線3c長(zhǎng)為6m，某釣魚者

想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B'C為8s，則88的長(zhǎng)為

)

A.ImB.2mC.3mD.Am

4.（2021秋?漂陽市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7

米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）

A.16米B.20米C.24米D.25米

5.（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺,

問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，

試問折斷處離地面（）尺.

A.4B.3.6C.4.5D.4.55

6.（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆

葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.則水的深

度是（）

A.15尺B.24尺C.25尺D.28尺

二.填空題（共9小題）

7.（2021秋?儀征市期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,平分/B4C,AB=6,CD=2,則△A3。的

面積是

8.（2021秋?無錫期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10,則它的最長(zhǎng)邊上的中線為.

9.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，

去本八尺而索盡.問索長(zhǎng)幾何.譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上

端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺

=8）處時(shí)而繩索用盡.則木柱長(zhǎng)為尺.

10.（2021秋?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的

高度是尺.（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1

11.（2021秋?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A

處（離樹10米）的池塘邊.另一只爬到樹頂。后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)

過的距離相等，則這棵樹高米.

12.（2021秋?漂陽市期末）已知△ABC中，AB=5,BC=8,8C邊上的中線AD=3,則AC=.

13.（2021秋?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長(zhǎng)為3和4,當(dāng)?shù)谌龡l邊長(zhǎng)為時(shí)，此三角形為直角

三角形.

14.（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則0（點(diǎn)A,8,

P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）.

15.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度A8為2.5

米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離為L(zhǎng)2米，頭頂離感

應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為米.

B

三.解答題（共9小題）

16.（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為20c機(jī)的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出

杯子外2c7",當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長(zhǎng)度.

17.（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，有一張四邊形紙片ABC。，ABLBC.經(jīng)測(cè)得AB=9cm,BC=12cm,CD

=Scm,AD=11cm.

（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離.

（2）求這張紙片的面積.

BC

18.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲

到達(dá)點(diǎn)B有45處已知他在水中實(shí)際劃了75處求該河流的寬度A3.

A

19.（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，已知等腰△A3C的底邊8C=10CM,。是腰AC上一點(diǎn)，且CD=6cm,

BD=8cm.

（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由;

（2）求△ABC的周長(zhǎng).

20.（2021秋?蘇州期末）如圖，是△A8C的中線，OE_LAC于點(diǎn)E,ZJF是的中線，且CE=2,

DE=4,AE=8.

Cl）求證：ZADC^9Q°；

（2）求。尸的長(zhǎng).

BDC

21.（2022春?長(zhǎng)沙期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段8。上一點(diǎn)，ZB=ZD=90°,若A8=4,BC=3,CD

=8,DE=6,AE2=125.

(1)求AC、CE的長(zhǎng)；

(2)求證：ZACE=90°.

22.（2021秋?儀征市期末）小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地ABC。（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中

邊上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度.

小東經(jīng)測(cè)量得知AB=A￡>=30米，NA=60°,8C=40米，NABC=150°.小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)

可以求出四邊形ABCD的周長(zhǎng).你同意小明的說法嗎？若同意，請(qǐng)求出四邊形ABC。的周長(zhǎng)；若不同意,

請(qǐng)說明理由.

23.（2021秋?阜寧縣期末）阜寧市民廣場(chǎng)要對(duì)如圖所示的一塊空地進(jìn)行草坪綠化，已知AD=4m,CD=

3m,AD±DC,AB=13m,BC=12m,綠化草坪價(jià)格150元/米2.求這塊地草坪綠化的價(jià)錢.

C

D\

B

24.（2021秋?高郵市期末）圖1是超市購物車，圖2為超市購物車側(cè)面示意圖，測(cè)得/ACB=90°,支架

AC=4.Sdm,CB=3.6dm.

（1）兩輪中心AB之間的距離為dm；

（2）若。F的長(zhǎng)度為、，頁而，支點(diǎn)P到底部。。的距離為5力〃，試求NPO。的度數(shù).

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第09講勾股定理逆定理及簡(jiǎn)單應(yīng)用

力【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系.

2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.

3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.

?【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+/=/,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的

和等于最大邊的平方才能做出判斷.

(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來

解決問題.

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和

與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

二.勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足/+d=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

說明：

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足/+廬=02,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；???

三.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽

象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度.

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②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

W【考點(diǎn)剖析】

勾股定理的逆定理（共7小題）

1.（2021秋?邢江區(qū)期末）在△ABC中，若AC?-a?2=4爐，則（）

A.NA=90°B./B=90°C.NC=90°D.不能確定

【分析】由勾股逆定理即可得到答案.

【解答】解：?.,AC2-BC2=AB2,

:.AC2^BC2+AB2,

.,.ZB=90°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股逆定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉三角形的三邊長(zhǎng)。，b,C滿足/+62=C2,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

2.（2021秋?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）

A.4cm>5cm、6cmB.1cm、2cm>3cm

C.2cm、3cm、4cmD.lcm>々cm、73cm

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：A、：42+52^62,.?.此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、仔+22#32,.?.此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、?；22+32w42,.?.此組數(shù)據(jù)不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D,V12+（，2）2=（73）2,.?.此組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)。，b,C滿足.2+y=°2,那么這個(gè)三

角形就是直角三角形.

3.（2021秋?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,ZsABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn).判斷△ABC

的形狀，并說明理由.

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【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC2,8c2以及4/的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出結(jié)論即可.

【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：

由題可得，AC2=22+42=20,BC2=22+12=5,AB2=32+42=25,

.,.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，且NACB=90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道

三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；

否則不是.

4.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.6、8、10B.5、12、13C.8、15、17D.4、5、6

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可.

【解答】解：4、62+82=102,故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、52+122=132,故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、82+152=172,故是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、42+52#62,故不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用

勾股定理的逆定理加以判斷即可.

5.（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)

格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫3個(gè)直角三角形.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再找到其中的直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，一共可以畫9個(gè)三角形，其中△ABE,ABCE,△COE是直角三角形，共可以畫3

個(gè)直角三角形.

故答案為：3.

16/41

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是正確作出圖形，不要漏掉任何一種情況.

6.(2022春?泗陽縣期中)如圖，/XABC中，AB^Scm,AC^6cm,BC^lOcm,A。是△ABC的中線，則

△ABD的周長(zhǎng)比△ACZ)的周長(zhǎng)大2cm.

【分析】根據(jù)中線的定義可得BO=C￡>,然后求出△ABQ的周長(zhǎng)與△ACO的周長(zhǎng)的差為AB-AC,從而

得解.

【解答】解：是AABC的中線，

：.BD=CD,

：./\ABD的周長(zhǎng)-的周長(zhǎng)=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)^AB+AD+BD-AC-AD-CD^

AB-AC,

\"AB—8cm,AC—6cm,

.?.△ABO的周長(zhǎng)-△AC￡>的周長(zhǎng)=8-6=2(cm).

故△ABQ的周長(zhǎng)比△AC。的周長(zhǎng)大2cm.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中線，求出兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的差等于48-AC是解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?高港區(qū)校級(jí)月考)如圖，四邊形A8CZ)中，AB1BC,AB=BC=5,CD=1,AD=\.

(1)求證：ZADC=90°；

(2)求△ABO的面積.

【分析】(1)連接AC,根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解;

17/41

(2)過￡>點(diǎn)作。于E,根據(jù)勾股定理和三角形面積公式即可求得△ABD的面積.

【解答】(1)證明：連接AC,

'：AB±BC,

：.ZABC=90°,

VAB=BC=5,

：.AC2=AB2+BC2=52+52=25+25=50,

VCD=7,AD=1,

：.CEr+AD1=72+12=49+1=50,

ACD1+AD2=AC2,

...△ADC是直角三角形，

即NA￡)C=90°；

(2)解：過D點(diǎn)作。EL2C于E,

22

設(shè)BE=x,則CE=5-x,DE=v'7-(5-l)-

則扣灰+}℃￡>=38?阻；BC?DE,

即gX5X5+；xlX7=；x5x+1x5j7J-(5-X)2.

解得尤V，X2-y(不合題意舍去)，

4

0IJAABD的面積為二x5xS=2

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三

角形的兩邊。、b的平方和等于第三邊C的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

二.勾股數(shù)（共3小題）

8.（2021秋?漂陽市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.8,12,15C.8,15,17D.9,40,41

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)

18/41

邊的平方.

【解答】解：A.52+122=132,是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

B.82+122#152,不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；

C.82+152=172,三邊是整數(shù)，同時(shí)能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

D.92+402=412,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的

三邊滿足/+/=02,則△ABC是直角三角形.

9.（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.觀察：3、4、5；5、

12、13；7、24、25；9、40、41；發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過.請(qǐng)你根

據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、60、61；

【分析】分析所給四組的勾股數(shù)：第一個(gè)數(shù)w是連續(xù)的奇數(shù)，第二個(gè)數(shù)為亡三，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大

2

1,由此可得答案.

【解答】解：第一組：3,4=爭(zhēng)，5=4+1；

第二組：5,12=13=12+1；

4

112-1

最后一■組為：11,--------=60,61.

2

故答案為：11,60,61.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)行猜想、

計(jì)算即可.

10.（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》

就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)

直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”.在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了

下表：

m2334...

n1123…

a22+l232+l232+2242+32…

b461224???

c22-I232-1232-2242-32…

其中機(jī)、〃為正整數(shù)，Mm>n.

19/41

(1)觀察表格，當(dāng)"2=2,"=1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a、b、C的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)？說明你的理

由.

(2)探究a,b,c與m、〃之間的關(guān)系并用含m、ri的代數(shù)式表示：a—n-r+n2,b=2mn,c=m2

(3)以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例.

【分析】(1)計(jì)算出。、氏c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

(2)根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；

(3)分別計(jì)算出a2、屬、c2,根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷.

【解答】解：(1)當(dāng)〃?=2,w=l時(shí)，a=5、b=4、c=3,

：32+42=52,

；.a、b、c的值能為直角三角形三邊的長(zhǎng)；

(2)觀察得，a=nr+n2,b=2mn,。=瘍-￡

故答案為：m2+tr,2mn,m2-n2；

(3)以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，

*/a2=(ir^+n2)2=ni4+2m2n2+n4,

b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+/i4,

.".cP=b2+c2,

...以a,"c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+/=02,那么這個(gè)

三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

三.勾股定理的應(yīng)用(共6小題)

11.(2021秋?沛縣期末)如圖，將長(zhǎng)為10根的梯子A2斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6口.若將梯子

頂端A向上滑動(dòng)2m,則梯子底端B向左滑動(dòng)2m.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)題意兩次運(yùn)用勾股定理即可解答.

【解答】解：如圖所示：由題意可得，AC—6m,AB=\0m,

貝UBC=yjAB^-AC1-VKH-62=8(m),

A'C=6+2=8(M,A'B'=10%,

故B'C=，彳獷-4。=m-9=6(m),

則梯子底端8向左滑動(dòng)：BC-B'C=8-6=2(m).

20/41

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的

關(guān)鍵.

12.（2021秋?句容市期末）有5cm,：13c兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長(zhǎng)度

適合的是（）

A.8c優(yōu)B.12cmC.18cmD.2Qcm

【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

M：V52+132=V1W>132-52-122,

?,?木條長(zhǎng)度適合的是12cm,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB=24,BC=15,CD=20,DA=I,

ZC=90°.求此綠地ABC。的面積.

【分析】連接BD,先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判定△A3。為直角三角形,

則四邊形ABCD的面積=直角△BCD的面積+直角△A8O的面積.

【解答】解：連接如圖所示：

VZC=90°,BC=15cm,CD^20cm,

：.BD=yBO+CD2-VIS2OH-25（cm）；

在△A5O中，

?:BD=25cm,AB=24cm,DA=7cm,

：.242+72=252,即AB2+AD2=BD2,

...△ABD是直角三角形.

S四邊形=

21/41

AD^-B^CD

2

=1X24X7+1X15X20

=84+150

=234(cm2)；

即綠地ABCD的面積為234cm2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角

形，正確分割四邊形ABC。的面積是解題關(guān)鍵.

14.(2021秋?蘇州期末)滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC,DE垂直于地面

AF,滑道AC的長(zhǎng)度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC=1.5m,且BE=0.5m,求滑道AC的長(zhǎng)

【分析】設(shè)AC=wt,貝ijAE=AC=H〃，AB=AE-BE=(x-0.5)m,在在RtZvlBC中利用勾股定理列

出方程，通過解方程即可求得答案.

【解答】解：T^AC=xm,貝i|AE=AC=xm,AB=AE-BE=(x-0.5)m,

由題意得：ZABC=90°,

在RtZXABC中，AB2+BC2=AC2,(x-0.5)2+1.52=7,

解得尤=2.5

故滑道AC的長(zhǎng)度為2.5m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，難度不大.

15.(2022春?東湖區(qū)期中)如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā).其中，貨船沿著北偏西54。方向

以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行.1小時(shí)后，兩船

分別到達(dá)3、C點(diǎn)，求8、C兩點(diǎn)之間的距離.

22/41

c

川東

A

【分析】根據(jù)方向角得出NBAC的度數(shù)，再利用勾股定理得出BC的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得：NR4C=54°+36°=90°,AB=15海里，AC=36海里,

則BC=門52+362=39（海里）,

答：B、C兩點(diǎn)之間的距離為39海里.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出AB,AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

16.（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)為16c%的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B,然后把中點(diǎn)C向

上拉升6c機(jī)至。點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

C.6cmD.1cm

則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長(zhǎng)的距離.

【解答】解：RtZ\4C。中，AC=14B=8cm,CD=6cm；

根據(jù)勾股定理，得：AD=ylAC2+CD2=10（cm）；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=20-16=4(cm)；

故橡皮筋被拉長(zhǎng)了4cm.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問題.

【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?梁溪區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,3,4B.《，丹2C.V3-V4-、弓D.5,12,13

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】解：A.根據(jù)勾股定理的逆定理，「+32=10^42,那么以1、3和4為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角

三角形，故A不符合題意.

23/41

B.根據(jù)勾股定理的逆定理，（K）2+（遍）2=5*尸，那么以迎、0和2為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三

角形，故B不符合題意.

C.根據(jù)勾股定理的逆定理，（0）2+（0）2,（份，那么以t、9和遙為邊長(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三

角形，故C不符合題意.

根據(jù)勾股定理的逆定理，52+122=169=132,那么以5、12和13為邊長(zhǎng)的線段能構(gòu)成直角三角形，

故。符合題意.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2022春?啟東市校級(jí)月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.0.6,0.8,1

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：A.V32+42=52,且3,4,5是正整數(shù)，.?.3,4,5是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

B.V52+122=132,且5,12,13是正整數(shù)，；.5,12,13是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

C.V72+242=252,且7,24,25是正整數(shù)，7,24,25是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

D.V0.62+0.82=l2,但0.6,0.8,1不是整數(shù)，；.0.6,0.8,1不是勾股數(shù),此選項(xiàng)符合題意;

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：0.6,0.8,1滿足/+必

=。2,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是

一組勾股數(shù).③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

3.（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚線長(zhǎng)為6〃z,某釣魚者

想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC的位置，此時(shí)露在水面上的魚線為8/找，則83的長(zhǎng)為

（）

二二二二匚于二

A.ImB.2mC.3mD.4m

【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB',再根據(jù)=48-48'即可得出答案.

【解答】解：：AC=10〃3BC=6m,

.,.AB=y/AC2-BC2=VlO2-^=8(m),

VAC7=10根,B'C=8m,

??A3=一bd="02-/=6(加，

24/41

：.BB'=AB-AB'=8-6=2（m）；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理，根據(jù)已知條件求出AB和4夕是解題

的關(guān)鍵.

4.（2021秋?漂陽市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7

米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）

A.16米B.20米C.24米D.25米

【分析】由題意可知消防車的云梯長(zhǎng)、地面、建筑物高構(gòu)成一直角三角形，斜邊為消防車的云梯長(zhǎng)，根

據(jù)勾股定理就可求出高度.

【解答】解：如圖所示，

在RtZXABC中，AB=25米，BC=1米,

由勾股定理可得，

AC=y/AB2BC2=^S2-?2-24（米）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺,

問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，

試問折斷處離地面（）尺.

A.4B.3.6C.4.5D.4.55

【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面無尺，則A8=（10-x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：如圖，由題意得：ZACB=90°,8C=3尺，AC+AB=10尺，

設(shè)折斷處離地面x尺，則48=（10-%）尺，

25/41

在RtZkABC中，由勾股定理得：X2+32=(10-x)2

解得：x=4.55,

即折斷處離地面4.55尺.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

6.(2021秋?六合區(qū)期中)如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆

葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.則水的深

度是()

A.15尺B.24尺C.25尺D.28尺

【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知班’的長(zhǎng)為14尺，則B'C=7

尺，設(shè)出尤尺，表示出水深A(yù)C,根據(jù)勾股定理建立方程即可.

【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長(zhǎng)=無尺，則水深A(yù)C=(x-1)尺，因?yàn)?E=14尺,

所以BC=7尺

在RtZXAB'C中，；CB'2+AC2^AB'2

72+(x-1)2=x2,

解得尤=25,

這根蘆葦長(zhǎng)25尺，

.??水的深度是25-1=24(尺)，

故選：B.

26/41

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共9小題）

7.（2021秋?儀征市期末）如圖，△ABC中，NC=90°，AD平分N8AC,AB=6,CD=2,則△42。的

【分析】先作輔助線DEVAB,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到DE=DC,再根據(jù)三角形的面積公式

即可計(jì)算出△A3。的面積.

【解答】解:作。ELA2于點(diǎn)E,如圖所示，

平分/8AC,ZC=90°,

：.DE=DC,

,:CD=2,

：.DE=2,

'：AB=6,

.aa嚶6x2

4~2~

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線,

求出OE的長(zhǎng).

8.（2021秋?無錫期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10,則它的最長(zhǎng)邊上的中線為5.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到這個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)進(jìn)行

27/41

計(jì)算即可.

【解答】解：：62+82=100,1（）2=100,

.*.62+82=102,

這個(gè)三角形是直角三角形，

???最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)為L(zhǎng)X1O=5,

2

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中，斜邊上的中

線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，

去本八尺而索盡.問索長(zhǎng)幾何.譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上

端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC

=8）處時(shí)而繩索用盡.則木柱長(zhǎng)為—尺.

【分析】設(shè)木柱長(zhǎng)為無尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解：設(shè)木柱長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意得：

AB2+BC2=AC2,

則f+82=（x+3）2,

解得：x善

答：木柱長(zhǎng)為竺尺.

6

故答案為：—.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.（2021秋?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的

高度是4.55尺.（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1

丈=10尺.）

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【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x尺，則斜邊為（10-X）尺,

利用勾股定理解題即可.

【解答】解：1丈=10尺，

設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10-無）尺，

根據(jù)勾股定理得：?