專題5二次根式最熱考點(diǎn)——閱讀材料題（解析版）

第一部分典例精析+支式訓(xùn)練

類型一分母有理化

典例1（2022秋?萬柏林區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料：

材料一：兩個(gè)含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因

式.

例如：V3xV3=3,（V6-V2）（V6+V2）=6-2=4,我們稱舊的一個(gè)有理化因式是遮，傷-魚的一個(gè)有理

化因式是遍+V2.

材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根

號(hào)，這種變形叫做分母有理化.

,,1lxV3V388V3xV38（V6+V2）>_/_

例如,Ll、,lL、=-------4=2V6+2V2.

V3V3XV33V6-V2（V6-V2）（V6+V2）4

請(qǐng)你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：

（1）質(zhì)的有理化因式為_同_,V7+有的有理化因式為（均寫出一個(gè)即可）

311

（2）將下列各式分母有理化：①.；②（要求：寫出變形過程）

V152V5-3

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)互為有理化因式的定義得出答案即可；

（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

解：（1）同的有理化因式為g,夕+展的有理化因式為近-遙，

故答案為：V13,V7-V5；

3x715

/15x/15

3V15

"I5-

V15

U2V5-3

11x(275+3)

(2V5-3)x(2V5+3)

11x(2花+3)

=2V5+3.

總結(jié)提升：本題考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合運(yùn)算，能找出分母的有理化因式是解此題的關(guān)

鍵.

變式訓(xùn)練

1.（2022秋?修水縣期中）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：

兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.例如:

迎與迎，虎+1與四一1.

(1)請(qǐng)你寫出兩個(gè)二次根式，使它們互為有理化因式：.

化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法.例如：式V2-=

V3—V2

V2(V3+V2)V6+2r-

(V3-V2)(V3+V2)-3-2-曠6+2.

3

(2)請(qǐng)仿照上述方法化簡(jiǎn)：

V5—V2

11

(3)比較而與京泮大小.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)有理化因式的概念寫出乘積不含二次根式的兩個(gè)式子即可；

(2)分子，分母同時(shí)乘以分母的有理化因式即可；

(3)分母有理化后再比較.

解：(1)㈢+2與遮一2互為有理化因式，

故答案為：麻+2與4—2(答案不唯一)；

3

(2)-7=-7=

V5-V2

3(V5+V2)

-(V5-V2)(V5+V2)

=V5+V2；

1V3+11V5+V3

(3)V3-1-2，V5-V3-2，

_V3+1V5+V3

?V，

22

I-1

,?,京1〈耳石

總結(jié)提升：本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化.

類型二二重根式的化簡(jiǎn)

典例2(2022秋?鄲城縣期中)請(qǐng)閱讀下列材料：

形如±2的的式子的化簡(jiǎn)，我們只要找到兩個(gè)正數(shù)a,b,使a+b—m,ab=n,BP(V?)2+(Vb)2=y/axVb=

Vn,那么便有士2gi=J(Va±Vb)2=y[a±4b(a>b).

例如：化簡(jiǎn),7+4H.

解：首先把,7+4Vl化為,7+2VTL這里根=7,”=12,

由于4+3=7,4x3=12,即(〃產(chǎn)+(百)2=7,V4XV3=V12,

所以,7+4舊=V7+2V12=J(V4+V3)2=2+V3.

請(qǐng)根據(jù)材料解答下列問題：

(1)填空：V5_2V6=.

(2)化簡(jiǎn)：V21-12V3(請(qǐng)寫出計(jì)算過程).

思路引領(lǐng)：(1)利用完全平方公式化簡(jiǎn)得出答案；

(2)利用完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

解：(1)A/5-276=J(V3-V2)2=V3-V2；

故答案為：V3—V2；

(2)首先把J21-12舊化為J21-2V1而,這里根=21,"=108,

<9+12=21,9x12=108,BP(V9)2+(V12)2=21,V9XV12=V108,

.,.V21-12V3=721-2A/10^=J(V9-V12)2=V12-V9=2V3-3.

總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練

1.(2022秋?沙縣期中)閱讀材料：我們已經(jīng)知道，形如的無理數(shù)的化簡(jiǎn)要借助平方差公式：

33X(2+V3)6+3736+3V3r-,

例如：-~7==——■亭K~亭=.2，f2=?o=6+3^3.下面我們來看看完全平方公式在無理數(shù)化簡(jiǎn)

2-V3(2-V3)(2+V3)22-(V3)24-3

中的作用.

問題提出：,7+4B該如何化簡(jiǎn)?

建立模型:形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)使〃+6=㈤。人=小這樣(五)2+(Vh)2=m,Va-Vh=

Vn,

那么便有：Jm+2y[n=+Vib)2=Va±V&(a>6),

問題解決：化簡(jiǎn)：V7+4-\/3>

解：首先把57+4舊化為57+2g,這里m=7,n=T2,由于4+3=7,4x3=12,BP(V4)2+(V3)2=7,V4xV3=

V12

.?.V7+4V3=77+2V12=J(V4+V3)2=2+V3.

模型應(yīng)用1：利用上述解決問題的方法化簡(jiǎn)下列各式：

(1)76+2V5；

(2)V13-4V10；

模型應(yīng)用2：

(3)在RSABC中，ZC=90°,AB=4-V3,AC=V3,那么BC邊的長(zhǎng)為多少？(結(jié)果化成最簡(jiǎn)).

思路引領(lǐng)：(1)先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出即可；

(2)先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出即可；

(3)根據(jù)勾股定理求出即可.

解：(1)這里根=6,〃=5,由于1+5=6,1x5=5,

即尸+(V5)2=6,lxV5=V5,

所以：76+2V5

l2+2xlxV5+(V5)2

=J(l+V5)2

=1+V5；

(2)首先把J13-4VIU化為J13-2回,這里根=13,M=40,由于5+8=13,5x8=40,

即(A/5)2+(V8)2=13,V5xV8=V40,

所以J13

=713-2V40

=J(V5)2-2xV5xV8+(V8)2

=J(V5-V8)2

=V8-V5

=2V2-V5；

(3)在RtAABC中，由勾股定理得，AC1+BC1=AB1,

所以，(V3)2+BC2=(4-V3)2

所以，BC=V16-8V3=2V3-2.

總結(jié)提升：本題考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，6,

斜邊長(zhǎng)為c,那么a1+b1=c1.

類型三整體思想運(yùn)算

典例3(2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期中)閱讀理解：已知龍=a+1,求代數(shù)式?-2x-5的值.王紅的做法是:根據(jù)x=V2+1

得(x-1)2=2,；.x2-2x+l=2,得：/-2x=l.把x2-2x作為整體代入：得x2-2x-5=1-5=-4.即：把

已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題.

請(qǐng)你用上述方法解決下面問題：

(1)己知x=V3-2,求代數(shù)式/+4x-5的值；

(2)已知x=居21,求代數(shù)式J+W+l的值.

思路引領(lǐng)：(1)仿照閱讀材料解答即可；

(2)把已知變形可得f+x=l,代入即可求出答案.

解：(1),:x=W—2,

'.x+2=V3,

:.(x+2)2=(V3)2,

；./+4x=-1,

.'.X2+4X-5=-6；

(2),,r—人一］

、乙)?A—2，

.*.2x+l=V5,

???(2x+l)2=(V5)2,

變形整理得：?+x=l,

=x(f+x)+1

=x+l

V5+1

總結(jié)提升：本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將已知式子適當(dāng)變形.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2022春?江都區(qū)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：

問題：已知久=追+2,求代數(shù)式/-4x-7的值.

小明的做法是：根據(jù)％=4+2得（x-2）2=5,.,.X2-4X+4=5,X2-4x—1.把x2-4x作為整體代入，得：x2

-4x-7=l-7=-6.即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題.

仿照上述方法解決問題：

（1）已知久=JIU-3,求代數(shù)式f+6x-8的值；

（2）已知久=與匕求代數(shù)式f+2x2的值.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)x=-3求出x+3=VTU,兩邊平方后求出x?+6x+9=10,求出彳2+6%=1,再代入求出答

案即可；

（2）根據(jù)》=與二求出2/1=小，兩邊平方求出4X2+4X+1=5,求出/+X=1,再變形后代入，即可求出答案.

解：（1）Vx-V10-3,

；.x+3=A/10,

兩邊平方得：（尤+3）2=10,

即?+6x+9=10,

??x+6x—1,

.'.X2+6X-8=1-8=-7；

z\.?Vs-i

(2o).x=——，

2x=V5—L

2x+l=V5,

兩邊平方，得(2x+l)2=5,

即4X2+4X+1=5,

2

.\4x+4x=4f

即W+x=1,

.,?%3+2/

=X3+X2+X2

X(f+x)4-X2

=XXl+x2

=x+x2

=1.

總結(jié)提升：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，整式的加減等知識(shí)點(diǎn)，能夠整體代入是解此題的關(guān)

鍵.

類型四基本不等式求最值

典例4(2021春?新泰市期中)觀察，計(jì)算，判斷：(只填寫符號(hào)：>,V,=或2<)

,a+b,—

(1)①當(dāng)〃=2,Z?=2時(shí)，—^―Vab；

②當(dāng)〃=3,/?=3時(shí)，~~~Vab;

③當(dāng)〃=4,Z?=4時(shí)，——VaF;

2--------

「X,,a+b,—

④當(dāng)〃=3,Z?=5時(shí)，---Vab.

2--------

(2)觀察以上式子，猜想寫出關(guān)于生2與信(a>0,b>0)之間的數(shù)量關(guān)系：并進(jìn)行探究證明；(提示：

2------

(yja-V&)2>0)

(3)實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，寫出鏡框周長(zhǎng)的最小值為

思路引領(lǐng)：(1)把各組人6的值分別代入與2和病中計(jì)算可判斷它們的大小公式；

(2)由于(6-聲)2>0,然后利用完全平方公式展開，變形后可得到手2皿；

(3)設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為無冽，ym,則孫=1,利用(2)中的結(jié)論得到三產(chǎn)2d石，則2(x+y)>4,然后可

確定鏡框周長(zhǎng)的最小值.

解：(1)當(dāng)4=2,。=2時(shí)，----=2,y[ab=2,則----=y/ab；

22

LXh.a+b,—cc+bI—

②當(dāng)a=3,。=3時(shí)，，----=3,Vab=3,則----=yab；

22

,cc+b,—ct+b/—

③當(dāng)a=4,。=4時(shí)，,2一=%Vab=4,則一^―=*\/ab；

-,a+b,—,—/—

④當(dāng)a=3,。=5時(shí)，---=4,4ab=V15,則---->yab；

22

故答案為：=,=,=,>;

a+匕/—

(2)------>yab；理由如下：

2

??,(Va-VF)2>0,

?\a-lyfab+厄0,

a+b>24ab,

.a+bI—

?，?2>Vab；

..,,,cc+b/—

故答案?為：—^―>yab；

（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為寬是則醐=1,

...亨n

'.x+y>2,

.,.2(x+y)>4,

即鏡框周長(zhǎng)的最小值為4米.

故答案為：4米.

總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,

再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,

往往能事半功倍.

變式訓(xùn)練

1.（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面材料:

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn):

當(dāng)。>0,/?>0時(shí)：(6—VF)2=〃-+厄0,/.a+b>2yTab9當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題:

（1）請(qǐng)直接寫出答案：當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

1

當(dāng)％V0時(shí)，的最大值為.

（2）若尸二普：1°（x>-1）,求y的最小值.

（3）如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,AAOB、△C。。的面積分別為4和10,求四邊形ABC。

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)公式計(jì)算即可;

（2）先配方，化簡(jiǎn)，運(yùn)用公式計(jì)算即可;

（3）設(shè)ABOC的面積為x,根據(jù)△AOB與A。。，ABOC與AC。。為等高的三角形，且AAOB與ABOC,AAOD

與ACO。為同底的三角形，得至ijSABOC：S&COD=SAAOB：S^AOD,求出SAAOD=岑，利用公式求面積的最小值即

可.

1

解：（1）當(dāng)尤>0時(shí),->0,

x

1

—22x,—=2,

xx

?..尤+（的最小值是2；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

?.?冷=x-l)

X

■一—r2卜”).(4=2,

1

--x——)<-2,

，工+1的最大值為-之；

故答案為：2；-2；

9

=X+H--ry,

%+1

Vx>-1,

Ax+1>0,

:E(x+1).磊=2X3=6,

的最小值為6；

(3)設(shè)△8。。的面積為x,

「△A03與AO。，△30C與△COD為等高的三角形，且與△30C,△A。。與△COD為同底的三角形,

SLBOC：S^COD=S^AOB：S&AOD,

??x：10—4：S/^AODJ

.40

=

S^,AOD—X~j

4f)

，四邊形ABCD的面積=4+10+x+彳

>14+2lx--

~yx

=14+2x2710

=14+4V10.

當(dāng)且僅當(dāng)x=岑，即X=2A/TU時(shí)，取等號(hào).

/.四邊形ABCD面積的最小值為14+4V10.

總結(jié)提升：本題考查了配方法的應(yīng)用，列出四邊形ABCQ面積的表達(dá)式解題的關(guān)鍵.

類型五，戶=問的化簡(jiǎn)

典例5(2022秋?仁壽縣校級(jí)月考)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般先仔細(xì)閱讀題干，找出有用信息作為已知條件,

然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明

顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實(shí)際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；

所以我們?cè)谧鲱}時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件.

閱讀下面的解題過程，體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題.

化簡(jiǎn)：(V1-3%)2-11-x\.

1

解：隱含條件1-3定0,解得x4芯Al-x>0,???原式=(1-3x)-(1-x)=l-3x-l+x=-2x.

(1)試化簡(jiǎn)：J(x—3)2—(V2—%)2；

(2)已知〃，bic為工ABC的二邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：＜(a+b+c)2+1(a—b—c)2+yj(b—a—c)2+(c—b—ci)2；

(3)已知。、b滿足，(2—a)2=a+3,yja—b+1=a—b+1,求〃。的值.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)二次根式有意義條件得出2-恐0,求出立2,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)三角形三邊關(guān)系及二次根式的性質(zhì)可得答案；

(3)直接利用二次根式性質(zhì)進(jìn)而分析得出。，匕的值，進(jìn)而得出答案.

解：(1)隱含條件2-90,

解得：爛2,

所以-3>-(V2-%)2

=3-x-(2-%)

=3~x~2+x

=1;

(2)Va,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),

'.a-b<c,a+c>b,c-b〈a,

??a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,

?，?+b+c)2+-J(^ct—b—c)2+yj(b—ci—c)2+-b-a)2；

=(a+Z?+c)-Qa-b-c)-Qb-a-c)-(c-b-a)

=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a

=2a+2Z?+2c；

(3)V7(2-a)2=a+3,

若a>2,貝!|a-2=a+3,不成立，

故a<2,

.*.2-a=a+3,

?—a—b+1—a-/?+],

'.a-。+1=1或0,

b=一1或一,

22

1

??ab~~i-.

4

總結(jié)提升：本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練

1.(2022秋?唐河縣月考)閱讀下列解題過程：

例：若代數(shù)式J(a—1尸+J(a—3J的值是2,求a的取值范圍.

解：原式=|a-l|+|a-3|,

當(dāng)a<l時(shí)，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=\(舍去).

當(dāng)l<a<3時(shí)，原式=(?-1)+(3-a)=2,符合條件.

當(dāng)a>3時(shí)，原式=(A-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).

綜上所述，a的取值范圍是l<a<3.

上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問題.

(1)當(dāng)24S5時(shí)，化簡(jiǎn)：J(a—2尸+J(a-5)2=；

(2)若等式J(3-a)2+J(a-7『=4成立,求。的取值范圍.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案；

(2)先將等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分情況討論即可求出答案.

解：(1)'：2<a<5,

..?a-2>0,a-5<0,

???原式=|4-2|+2-5|

—a-2-(〃-5)

=3；

(2)由題意可知：|3-〃|+|〃-7|=4,

當(dāng)心3時(shí)，???3-〃20,?-7<0,

；?原方程化為：3-a-(〃-7)=4,

.,.〃=3,符合題意；

當(dāng)3V&V7時(shí)，

3-〃<0,a-7V0,

-(3_a)-(〃-7)=4,

??.4=4,故3V〃V7符合題意；

當(dāng)&27時(shí)，

；?3-〃<0,a-7>0,

**--(3-6z)+(tz_7)=4,

：.a=7,符合題意；

綜上所述，3<a<7；

總結(jié)提升：本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

類型六糾正解題過程中的錯(cuò)誤

典例6(2022秋?金水區(qū)校級(jí)期中)計(jì)算：下面是李明同學(xué)在解答某個(gè)題目時(shí)的計(jì)算過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)

任務(wù).

(V6+V5)*-(V6—V5)2

=(V6)2+(V5)2-(V6)2+(V5)2……第一步

=6+5-6+5.......第二步

=10……第三步

任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；

任務(wù)二：請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程；

任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就二次根式運(yùn)算時(shí)還需注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建

議.

思路引領(lǐng)：任務(wù)一：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解答；

任務(wù)二：先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答；

任務(wù)三：根據(jù)在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式，即可解答.

解：任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤,

故答案為：一，完全平方公式運(yùn)用錯(cuò)誤；

任務(wù)二：(V6+V5)2-(V6—V5)2

=(V6)2+2V30+(V5)2-[(V6)2-2V30+(V5)2]

=6+2府+5-(6-2V30+5)

=6+2730+5-6+2同-5

=4730；

任務(wù)三：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式.

總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

針對(duì)訓(xùn)練

1.(2022春?大同期末)下面是小明同學(xué)計(jì)算器-^(值-夕司的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解:J|-1(V12-V75)

=竽—號(hào)(2V3-5V3)……第一步

=^-1x2V3-1x5V3……第二步

第三步

4^/36^/315V3

第四步

666

=—噌……第五步

任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是.

任務(wù)二：請(qǐng)你寫出正確的計(jì)算過程.

思路引領(lǐng)：先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答.

解：(1)任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒

有變號(hào)，

故答案為：二；去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；

(2)任務(wù)二：J|-1(V12-V75)

=^-1(2V3-5V3)

—|V3—V3+

總結(jié)提升：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

類型7分子有理化求最值和比較大小

典例7(2020秋?梁平區(qū)期末)閱讀下述材料：

我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用.其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”：

與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式.比如：V7-V6=

（"一后）（"+遂）=1

-/7+V60+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如:

1

比較近-遙和歷-6的大小.可以先將它們分子有理化.如下：V7-V6=V6—V5=1

77+76?V6+75

因?yàn)橄?遍>通+遮，所以夕-^^<歷-遍.

再例如：求y=V%+2-Vx-2的最大值.做法如下:

4

解:由x+2>0,x-2>0可知x>2，而y=V%+2—V%—2=

Vx+2+Vx—2

當(dāng)％=2時(shí)，分母+有最小值2,所以y的最大值是2.

解決下述問題:

（1）比較3夜一4和2B-V1U的大小;

（2）求y=+%-代的最大值.

思路引領(lǐng)：（1）利用分母有理化得到3a-4="二，2百_師=。方2利用3/+4>2舊+V1U可判

3VZ+4ZV3+V10

斷3夜-4<2V3-V10;

（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到由l+x>0,x>0,則無K）,利用分母有理化得到y(tǒng)=萬吉區(qū)由于％=0時(shí),

VI+X+〃有最小值1,從而得到y(tǒng)的最大值.

（3恒4）（3盒-4）2

解：⑴V3V2-4=3向4―=372+4）

（2乃+同）（2而一同）2

2V3-V10

2V3+710-2V3+V10,

而3注>28，4>V10,

/.3V2+4>2V3+V10,

A3V2-4<2V3-V10；

（2）由1+xK）,無K）得近0,

____1

而尸VI+X-V%=L，

'.'x=0時(shí)，V1+x+夜有最小值1,

的最大值為1.

總結(jié)提升：本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去.也考查了平方差公式.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2021秋?即墨區(qū)期中）我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，了解了分母有理化及其應(yīng)用.其實(shí)，還有一個(gè)類似的方法叫做“分

子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消除分子中的根式.

比如:…C藩+佝1

V7+V6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如：比較：V7-V6

和尺有的大小可以先將它們分子有理化如下：位一顯=蓋花網(wǎng)一顯=3

因?yàn)榻?聲>乃+遮，所以，V7-V6<V6-V5.

再例如，求y=V%+2-Vx-2的最大值、做法如下:

解：由x+2>0,x-2>0可知x>2,而y=7x+2—yjx-2=,~,

-Vx+2+vx-2

當(dāng)尤=2時(shí)，分母/E+SF有最小值2.所以y的最大值是2.

利用上面的方法，完成下面問題：

（1）比較，而一同和同一舊的大??；

（2）求y=V%+1-Vx-1+2的最大值.

思路引領(lǐng)：（1）利用平方差公式進(jìn)行分子有理化計(jì)算，從而比較大?。?/p>

（2）利用二次根式有意義的條件確定x的取值范圍，然后通過利用平方差公式對(duì)原式進(jìn)行分子有理化變形，從

而確定其最大值.

（房+房）（回一回）1

解：⑴V19-V18=

719+718/19+718；

（同+同）（相一同）1

V18-V17=

718+717/18+717,

VV19+V18>VT8+V17,

.,.V19-V18<V18-V17；

(2)*且x-GO,

原式=

Vx+i+7%—1

當(dāng)X=1時(shí):有最大值為企,

Vx+l+Vx-i

此時(shí)，原式有最大值為2+迎.

總結(jié)提升：本題考查二次根式的有理化計(jì)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握平方差公式（a+b）（a-b）=/-必

的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2022秋?蕭縣期中）先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問題：

若后二和VTF都有意義，尤的值是多少？

解：?.?VTMl和我"都有意義，

二龍-1>0且1-x>0.

又1和1-X互為相反數(shù)，

'.x-1=0,且1-x=0,

??尤=1.

問題：若y-V2x—1+V1—2x+2,求xy的值.

思路引領(lǐng)：根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得x的值，進(jìn)而得出y的值，然后代入所求式子計(jì)算即可.

解：由題意得：

（-2%-1>0

11-2%>0,

，2x-l=0,

解得x=2,

所以y=2,

所以以=&)2=1.

總結(jié)提升：此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出被開方數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵.

2.(2022秋?駐馬店期中)閱讀材料：(一)如果我們能找到兩個(gè)正整數(shù)x,y使無+y=a且與=6,這樣Ja+2仍=

J(V%)2+(7y)2+2V%?y/y=+y/yY=V%+后,那么我們就稱Ja+2VF為"和諧二次根式”,則上述過

程就稱之為化簡(jiǎn)“和諧二次根式”.

例如：V3+2V2=J(VT)2+(V2)2+2V1-V2=J(l+V2)2=1+V2.

(二)在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)還會(huì)碰上如心樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

=7資?\)八=:噌三?=V3-1.那么我們稱這個(gè)過程為分式的分母有理化.根據(jù)閱讀材料解決

V3+1(V3+1)(V3-1)(73)2-12

下列問題：

(1)化簡(jiǎn)"和諧二次根式"：①J11+2同=；②J7-4百=.

11m—n

(2)已知777=n—r=，求的值.

Jr5+2V6J5-2V6m+n

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)閱讀材料(一)化簡(jiǎn)“和諧二次根式”即可；

(2)先根據(jù)閱讀材料(一)化簡(jiǎn)相與"的分母，再根據(jù)閱讀材料(二)進(jìn)行分母有理化即可.

⑴解:①J11+2例=J(V7)2+(V4)2+2V7-V4=J(V7+V4)2=77+2；

②，7-4百=j7-2Vn=J(V4)2+(V3)2-2V4-V3=J(V4-V3)2=2-V3.

故答案為：V7+2；2—V3；

(2)解：Vm=-,1=V3-V2,n=,1==V3+V2,

J5+2V673+72J5-2V673-72

m-n=V3—V2—(V3+V2)=-2A/2,

m+n=V3—V2+(V3+V2)=2A/3,

.m-n-2V2V6

**m+n2V33'

總結(jié)提升：本題考查的是估算無理數(shù)的大小，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，考查了學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷

移能力，弄懂題意，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

1V5-V41

3.(2021秋?廣平縣期末)閱讀下列解題過程：

V5+V4(V5+V4)(V5—V4)V6+V5

V6—V5/—匚

-—7=——>=V6—V5

(V6+V5)(V6—V5)

1

(1)觀察上面的解答過程，請(qǐng)寫出

Vn+1+Vn

11111

(2)利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn):-----+-------+-------H—+---------+----------

V2+1V3+V2V4+V3V99+V98V100+V99

思路引領(lǐng)：(1)分子、分母同乘以最簡(jiǎn)公分母ST下I-詆，化簡(jiǎn)即可;

(2)把各加數(shù)分母有理化，再合并同類二次根式.

解：(1)——1~-p-=y//n+1—V^，

Vn+l+Vn

故答案為：Vn+1-Vn；

11111

V2+1V3+V2V4+V3V99+V98V100+V99

=V2-1+V3-V2+A/4-A/3+...+V99-V98+V100-回

=V100-1

=10-1

=9.

總結(jié)提升：此題考查二次根式的分母有理化，確定最簡(jiǎn)公分母和合并同類二次根式是關(guān)鍵.

4.(2022秋?南召縣月考)閱讀下面的材料，解答后面提出的問題：

在二次根式計(jì)算中我們常常遇到這樣的情況：(2+V3)x(2-V3)=l,

(V5+V2)x(V5-V2)=3,它們的積不含根號(hào)，我們說這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的

有理化因式.于是，二次根式的除法可以這樣解：

11X^3V32+V3(2+V3)X(2+V3)「

V3—V3xV3—3，2-V3―(2-V3)X(2+V3)—“\'

像這樣通過分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化.

解決問題:

(1)4+上的一個(gè)有理化因式是

V3+V2y[3—1

(2)己知x=貝卜+一二

xy

11111

(3)利用上面所提供的解法’請(qǐng)化簡(jiǎn)*萬+萬二后+高同+…+V98+V99+V99+V100-

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)有理化因式的概念解答;

(2)利用二次根式的乘法法則計(jì)算;

(3)根據(jù)分母有理化、二次根式的加法法則計(jì)算.

解：(1):(4+V7)(4-V7)=16-7=9,

；.4+V7的一個(gè)有理化因式是4-V7,

故答案為：4—V7；

V3+V2

(2)*.*x=7^7?'

1V3-V2(V3-V2)2=L。r~

~7==~廠廠_k=(V3—V2)2=5-2限

xV3+V2(V3+V2)(V3-V2)

1-

同理，—=5+2-\/6,

y

11

—=5-2V6+5+2V6=10,

xy

故答案為：10；

(3)原式=V2—1+V3—V2+…+V100—，99

=10-1

=9.

總結(jié)提升：本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

52

5.（2。22秋?峰城區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料，然后回答問題：再進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如后訴

這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn):

55xV^5

V^=V^=3V3;

22x（V3-l）2x（V3-l）「

V3+1-（V3+1）（V3-1）-（V3）2-l-V3T.

以上這種化簡(jiǎn)的過程叫做分母有理化.

（1）請(qǐng)根據(jù)以上方法化簡(jiǎn)：

441

①萬②右③五

（2）直接寫出：2-百的倒數(shù)是一；

（3）計(jì)算：

1111,______

—十+~云+~p—~p+........+/—,）?“2023+1）

V2+V1V3+V2V4+V3V2023+V2022'

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)閱讀材料分母有理化即可；

（2）根據(jù)倒數(shù)的概念列式，再分母有理化即可；

（3）將括號(hào)內(nèi)各數(shù)分母有理化，合并同類二次根式后再算乘法.

“44V2「

觸⑴方=反/=2①

4

=4(V5+1)=^+1；

V5_i(Vs-i)(Vs+i)

13+V53+V5

3-V5—(3-V5)(3+V5)—4；

1

(2)2-遍的倒數(shù)是7==2+V3,

2—V3r

故答案為：2+百；

(3)原式=(V2-V1+V3-V2+V4-V3+……+V2023-V2022)x(V2023+1)

=(V2023-1)(V2023+1)

=2022.

總結(jié)提升：本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握分母有理化的方法.

6.（2022春?昭化區(qū)期末）【閱讀材料】像*=a（位0）,（Vb+1）（Vb-1）=6-1（應(yīng)0）這樣的兩個(gè)含有二

次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.例如，行與花,V3+1與遮-1,

都互為有理化因式.進(jìn)行含有二次根式的分式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào).

【解決問題】

(1)填空：夜-3的有理化因式為

ab/—

(2)已知正整數(shù)a,b滿足k--=3-2y2,求a,6的值.

V2-1v2

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)題意和題目中的式子，可以寫出夕-3的有理化因式;

(2)根據(jù)題意，將題目中的式子變形，然后即可得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出服b的值即可.

解：⑴(V7-3)(V7+3)=7-9=-2,

.,.V7-3的有理化因式為近+3,

故答案為：A/7+3；

CLb/—

(2),:〒——〒=3-2V2,

V2-1V2

.a(V2+l)V2d

..亞而南一『3一2叵

：.a(V2+1)-￥6=3-2&,

：.V2a+a-^b=3-2企，

(a-沏y/2+a=3-2y/2,

*I-=-2

la=3

解得仁3

即。的值是3,6的值是10.

總結(jié)提升：本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和

分母有理化的方法.

7.(2022春?新余期末)閱讀下列解題過程：

例：若代數(shù)式J(2-a)2+—4尸=2,求。的取值.

解：原式=|a-2|+|a-4|,

當(dāng)a<2時(shí)，原式=(2-a)+(4-a)=6-2a=2,解得a=2(舍去)；

當(dāng)2Wa<4時(shí)，原式=(a-2)+(4-a)=2,等式恒成立；

當(dāng)。羽時(shí)，原式=(a-2)+(a-4)—2a-6—2,解得a=4；

所以，。的取值范圍是2%S4.

上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請(qǐng)你根據(jù)上述理解，解答下列問題：

(1)當(dāng)3<cz<7時(shí)，化簡(jiǎn)：J(3-a)2+-7產(chǎn)；

(2)若J(a+1)2+J(a—3尸=6,求a的取值；

(3)請(qǐng)直接寫出滿足J(a—1尸+J(a-6尸=5的a的取值范圍.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)已知可得3-aW0,a-7<0,然后利用二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)按照例題的思路，分類討論進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(3)按照例題的思路，分類討論進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：(1)V3<a<7,

3-aSO,a~700,

；.J(3_a)2+J(a-7)2

—13-〃|+|〃-7|

—a~3+7-a

=4；

(2)原式=|〃+1|+|〃-3|,

當(dāng)a<-1時(shí)，原式=-a-1+3-a=-2〃+2=6,解得a=-2；

當(dāng)-1W〃V3時(shí)，原式=〃+1+3-〃=4,等式不成立；

當(dāng)〃之3時(shí)，原式="+1+〃-3=2〃-2=6,解得〃=4；

所以，。的值為-2或4；

(3)原式=|a-1|+|〃-6|,

當(dāng)〃VI時(shí)，原式=1-〃+6-〃=7-2〃=5,解得4=1(舍去)；

當(dāng)1S〃V6時(shí)，原式=〃-1+6-。=5,等式恒成立；

當(dāng)壯6時(shí)，原式=〃-1+〃-6=2〃-7=5,解得〃=6；

?"的取值范圍：七心6,

故答案為：1%36.

總結(jié)提升：本題考查了整式的加減，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，理解例題的解題思路是解題的關(guān)鍵.

8.(2022秋?輝縣市期中)【閱讀學(xué)習(xí)】

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2近=(1+魚)2.善于思考

的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)〃+從/2=(m+ny[2)2(其中a,b,m,幾均為整數(shù))，貝！J有〃+從叵=川+2〃2+2迎加〃.

.\a=m