徐匯中學2023學年第二學期高三數(shù)學練習卷2024.03一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，集合，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)交集概念進行計算即可.【詳解】.故答案為：2.不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】零點分段法求解絕對值不等式.【詳解】當時，，解得，此時解集為空集，當時，，即，符合要求，此時解集為，當時，，解得，此時解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：3.若橢圓的離心率是，則的值為_________.【答案】或【解析】【分析】分焦點在軸和軸分類討論，結(jié)合離心率得表達式即可求解【詳解】①當橢圓的焦點在x軸上時，由題意得，解得；②當橢圓的焦點在y軸上時，由題意得，解得.綜上所述，或故答案為：或【點睛】本題考查由橢圓的離心率求解參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題4.若復數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則__________．【答案】10【解析】【分析】由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z，則可求，然后利用復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】，則，所以故答案為：10.5.某班級測驗均分，根據(jù)檢測結(jié)果可知，若該班級40名學生，則60分以下的人數(shù)大約為__________．【答案】2【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為服從正態(tài)分布，所以，因為，所以，所以60分以下的人數(shù)為人，故答案為：2.6.的二項展開式中，項的系數(shù)為__________．【答案】210【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為2，求出，代入通項公式中可求得結(jié)果.【詳解】的二項展開式的通項公式為，令，得，所以項的系數(shù)為，故答案為：2107.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖(2)所示的正四棱錐容器，則當x=6cm時，該容器的容積為________cm3.圖(1)圖(2)【答案】48【解析】【詳解】由題意可知道，這個正四棱錐形容器的底面是以6cm為邊長的正方形，側(cè)高為5cm，高為4cm，所以所求容積為48cm3.8.公司庫房中某種零件的60%來自甲公司，40%來自乙公司，兩個公司的正品率分別為98%和95%．從庫房中任取一個零件，它是正品的概率為__________．【答案】0.968##【解析】【分析】按照概率公式計算.【詳解】由題設(shè)，所求概率為；故答案為：0.968.9.若函數(shù)在上有最小值（、為常數(shù)），則函數(shù)在上最大值為__________.【答案】【解析】【分析】考慮函數(shù)，判斷得是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)對稱性，結(jié)合在上的最值情況即可得解.【詳解】考慮函數(shù)，定義域為R，又，所以奇函數(shù)，則，設(shè)的最大值為，最小值為，則，又，所以，，所以，則，所以，故答案為：9.10.已知，若函數(shù)圖象的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是__________．（結(jié)果用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】先化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)建立不等式求解即可【詳解】由題意，函數(shù)，由的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則，解得，即，函數(shù)的對稱軸的方程為，即，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：11.已知數(shù)列（是正整數(shù)）的遞推公式為若存在正整數(shù)，使得，則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】對原遞推公式作代數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求出的通項公式，再解不等式即可.【詳解】由題意，當時，，令，，即是，公比為3的等比數(shù)列，，，當，也成立，；對于，即，令，考察=，其中是對稱軸為，開口向下的拋物線，當時，，當時，，，當時最大，；故答案為：.12.設(shè)均為正數(shù)且，則使得不等式總成立的k的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得出，設(shè)，，其中，從而結(jié)合換元法，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，從而利用導數(shù)求得在上的最小值，由此得解.【詳解】因為均為正數(shù)且，則，不妨設(shè)，，，其中.所以，因為，則，令.則，所以，所以，令，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用三角換元，結(jié)合的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，從而得解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，13-14題每題得4分，15-16題每題得5分）13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，設(shè)甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】D【解析】【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設(shè)，則，滿足，但是嚴格減數(shù)列，充分性不成立，當時，是嚴格增數(shù)列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D14.如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則下列說法錯誤的是（）A.與垂直 B.與平面垂直C.與平行 D.與平面平行【答案】C【解析】【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，利用向量法逐一判斷即可.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，對于A，，則，所以，故A正確；對于B，，則，所以，又平面，所以平面，故B正確；對于C，，若與平行，則存在唯一實數(shù)使得，所以，無解，所以與不平行，故C錯誤；對于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，因為，且平面，所以平面，故D正確故選：C.15.定義曲線：為橢圓：的“倒曲線”，給出以下三個結(jié)論：①曲線有對稱軸，②曲線有對稱中心，③曲線與橢圓有公共點．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】曲線：上取點，利用點的坐標證得對稱性，從而判斷出①②，利用的范圍可以判斷出③，從而得出結(jié)論.【詳解】曲線：上取點，則該點關(guān)于軸對稱的點也在曲線，故曲線關(guān)于軸對稱，同理可證曲線關(guān)于軸對稱，則該點關(guān)于原點對稱點也在曲線，故曲線關(guān)于原點對稱，故①②正確；曲線：，則，而橢圓：中，，故曲線與橢圓無公共點，③錯誤；綜上，正確的有2個，故選：C.16.已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．若對于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求導函數(shù)，可以判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而轉(zhuǎn)化為，再解不等式得對一切成立，進而得范圍.【詳解】函數(shù)的導數(shù)，當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點，只需即可，即為正整數(shù)，，對一切成立，當時，，當且僅當時等號成立，故選：．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖所示的幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐底面圓O的半徑為1，圓錐的高，三棱錐的底面是以圓錐的底面圓的直徑AB為斜邊的等腰直角三角形，且與圓錐底面在同一個平面上．（1）求直線和平面所成角大??；（2）求該幾何體的表面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）找到直線和平面所成角等于，由，求出線面角；（2）求出圓錐表面積的一半加上、和的面積即可.【小問1詳解】連接，由題意，⊥平面，故直線在平面上的射影為直線，因此直線和平面所成角等于．因為是以為直徑的等腰直角三角形，所以．因此，由知．即直線和平面所成角的大小為．【小問2詳解】由題意，所求表面積等于圓錐表面積的一半加上、和的面積．因為圓錐的高，圓錐的底面半徑，所以圓錐的母線長為，表面積為．在和中，，，所以，得．同理．因此．而，因此，所求表面積為．18.已知向量，.設(shè).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，角、、所對的邊分別為、、.若，，三角形的面積為，求邊的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標公式及二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，利用最小正周期公式求解即可；（2）根據(jù)求出角A，結(jié)合條件及三角形面積公式求出c，利用余弦定理即可求解a.【小問1詳解】由題意，，因此函數(shù)的最小正周期為；【小問2詳解】由得，因為，所以，解得，因為，所以,由余弦定理解得,所以.19.2024年春節(jié)期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動如下：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，且顧客有放回地抽取3次．超市設(shè)計了兩種抽獎方案．方案一：若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券．方案二：若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎．（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會．①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？【答案】（1）（2）①方案一，方案二；②選擇方案一【解析】【分析】（1）方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金券的概率為，根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概率（2）①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即可；②根據(jù)①得出結(jié)論【小問1詳解】選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為，設(shè)“每位顧客獲得180元返金券”事件A，則，所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率，【小問2詳解】①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金券金額為X元，則可能的取值為60，100，140，180,則,，所以該顧客獲得返金券金額的數(shù)學期望為（元），若選擇抽獎方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為Y，最終獲得返金券的金額為Z元，則，故，所以該顧客獲得返金券金額的數(shù)學期望為（元）.②即，所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎方案20.已知點與定點的距離是點到直線距離的倍，設(shè)點的軌跡為曲線，直線與交于、兩點，點是線段的中點，、是上關(guān)于原點對稱的兩點，且.（1）求曲線的方程；（2）當時，求直線的方程；（3）當四邊形的面積時，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列等式，可求得曲線的方程；（2）設(shè)點、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達定理，求出點的坐標，進一步可求得點的坐標，再將點的坐標代入曲線的方程，求出的值，即可得出直線的方程；（3）求得點、，將點的坐標代入曲線的方程，可得，求出、兩點到直線的距離以及，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合已知條件可求得的值.【小問1詳解】解：由題意可得，化簡可得，因此，曲線的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，則，，所以點的坐標為，因為，可得點，將點的坐標代入曲線的方程得，解得，因此，直線的方程為.【小問3詳解】解：由（2）可得，則點，則點，因為點在曲線上，則，可得，因為，則，點到直線的距離為，點到直線的距離為，，所以，，因為，解得.21.已知實數(shù)，，．（1）求；（2）若對一切成立，求的最小值；（3）證明：當正整數(shù)時，．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算即可；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，對一切，，即可得到在成立，再說明當時不符合題意，即可得解；（3）由（2）得對一切時