上師大附屬外國語中學(xué)高三月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，則_________．【答案】【解析】【分析】利用集合的并集運算求解.【詳解】因為集合，所以.故答案為：.2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和虛部的概念即可.【詳解】，則.故答案：.3.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義列出不等式，求解不等式作答.【詳解】函數(shù)中，，即，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：4.已知，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用均值不等式求解作答.【詳解】因，則，當且僅當時取等號，所以當時，取得最大值.故答案為：5.若二項式的展開式中各項系數(shù)和為256，則展開式中的常數(shù)項為_____．【答案】54【解析】【分析】先利用賦值法求出n的值，然后利用展開式通項求常數(shù)項．【詳解】解：令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展開式通項：，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常數(shù)項為：．故答案為：54．【點睛】本題考查了賦值法求二項式展開式的系數(shù)和、二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)服從二項分布，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項分布方差公式即可得到答案.【詳解】.故答案為：.7.已知在上的數(shù)量投影為，其中點O為原點，則點B所在直線方程為___________【答案】【解析】【分析】設(shè)利用向量的數(shù)量積坐標公式、模的公式化簡即得解.【詳解】設(shè)，因為在上的數(shù)量投影為，所以，化簡得.所以點B所在直線方程為.故答案為：8.春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率是，感冒發(fā)作的概率是，鼻炎發(fā)作且感冒發(fā)作的概率是，則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率是______．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可求解．【詳解】記事件＝“某人在春季里鼻炎發(fā)作”，事件＝“某人在春季里感冒發(fā)作”，由題意可知，此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率為，故答案為：9.若等比數(shù)列的前n項和為，，則首項的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題意得等比數(shù)列公比的取值范圍，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列前n項和為，得，從而得，求解出范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因為，當時，，所以，即，當時，，當時，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】求解等比數(shù)列極限相關(guān)問題，注意若等比數(shù)列有極限，則該數(shù)列為無窮遞縮等比數(shù)列.10.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則________；【答案】2024【解析】【分析】根據(jù)條件得到與均關(guān)于對稱，故兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱，對于每一組對稱和，都有，，從而求出答案.【詳解】因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，又的圖像關(guān)于對稱，所以兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱，對于每一組對稱和，都有，．從而．故答案為：2024．11.已知邊長為3的正的三個頂點都在球（為球心）的表面上，且與平面所成的角為，則球的體積為___________．【答案】【解析】【分析】先計算出正三角形外接圓半徑，再由與平面所成的角為求出球的半徑，進而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)正的外接圓圓心為，易知，在中，，即球的半徑，故球的體積為.故答案為：12.已知向量的夾角為的單位向量，若對任意的，且，，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積計算公式，求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合在上單調(diào)遞減，進而求得的取值范圍.【詳解】因為向量的夾角為的單位向量，則，所以，由對任意的，且，，可得，所以，即，設(shè)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為時，，解得，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系以及充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.

故選：B．14.為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，安康市某學(xué)校開展“唱紅色歌曲，誦紅色經(jīng)典”歌詠比賽活動，甲、乙兩位選手經(jīng)歷了7場初賽后進入決賽，他們的7場初賽成績?nèi)缜o葉圖所示．下列結(jié)論正確的是（）A.甲成績的極差比乙成績的極差大B.甲成績的眾數(shù)比乙成績的中位數(shù)大C.甲成績的方差比乙成績的方差大D.甲成績的平均數(shù)比乙成績的平均數(shù)小【答案】D【解析】【分析】對于A，分別求出極差判斷，對于B，求出甲的眾數(shù)和乙成績的中位數(shù)判斷，對于C，根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度判斷，對于D，分別求出平均數(shù)判斷即可.【詳解】甲成績的極差為，乙成績的極差為，故A錯誤；甲成績的眾數(shù)為85分，乙成績的中位數(shù)為87分，故B錯誤；由莖葉圖的數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，可判定甲成績的數(shù)據(jù)更集中，乙成績的數(shù)據(jù)更分散，所以甲成績的方差比乙成績的方差小，故C錯誤；甲成績的平均數(shù)為分，乙成績的平均數(shù)為分，故D正確．故選：D15.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第項是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列特征可知數(shù)列為等比數(shù)列，進而得到，利用累乘法可求得，代入即可.【詳解】記數(shù)列為，設(shè)，則，，，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，.故選：C.16.已知函數(shù)，設(shè)（）為實數(shù)，且．給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則．其中正確的是（）A.①與②均正確 B.①正確，②不正確C.①不正確，②正確 D.①與②均不正確【答案】A【解析】【分析】令，得到為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，①中，不妨設(shè)，結(jié)合，利用直線的方程得到，進而得到，可判斷①正確；②中，不妨設(shè)，得到點，利用直線的方程得到，進而得到，可判定②正確.【詳解】令函數(shù)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點對稱，如圖（1）所示，①中，因為，且，則，不妨設(shè)，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以①正確；②中，若，不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，則點，此時直線的方程為，可得，則，可得，又由，所以，即，即，所以②正確.故選：A.【點睛】方法點撥：令函數(shù)，得到函數(shù)為遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，求得點和，結(jié)合直線和的方程，得出不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，.（1）求證：直線平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，進而根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)題意，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，因為底面為正方形，所以為的中點，所以，在中，為的中點，為的中點，所以；又因為面，面，所以平面.【小問2詳解】解：因為平面，為正方形，平面，所以，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，，即，令，則，，即，，設(shè)點P到平面MAC的距離為d，所以，所以，點到平面的距離為.18.已知向量，其中，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由輔助角公式將函數(shù)化簡，再由函數(shù)周期即可求得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）中函數(shù)的解析式可得，再由正弦定理可得，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】的最小正周期為.故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【小問2詳解】設(shè)中角所對的邊分別是.，即，解得.，，.19.某報刊對男女學(xué)生是否喜歡書法進行了一次隨機調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡書法不喜歡書法總計男學(xué)生243256女學(xué)生162440總計405696（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：是否喜歡書法與學(xué)生性別有關(guān)嗎？附：，顯著性水平取0.05，.（2）現(xiàn)從上述96人中，按是否喜歡書法采用分層抽樣的方法抽取12人進行問卷調(diào)查.若從這12人中任選4人，記“喜歡書法”與“不喜歡書法”的人數(shù)之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）無關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）利用給定的數(shù)表，求出的觀測值，再與臨界值比對得解.（2）利用分層抽樣求出12人中“喜歡書法”與“不喜歡書法”的人數(shù)，再求出的可能值，并求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【小問1詳解】零假設(shè)喜歡書法與學(xué)生性別無關(guān)，則，即有，所以支持原假設(shè)，即認為無關(guān).【小問2詳解】抽取的12人中，喜歡書法的有人，不喜歡書法的有人，的可能值為，，，，所以的分布列為：024數(shù)學(xué)期望.20.已知橢圓的方程為，分別是的左、右焦點，A是的上頂點.（1）設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，求的周長；（2）給定點，直線分別與橢圓交于另一點，求的面積；（3）設(shè)是橢圓上的一點，是軸上一點，若點滿足，，且點在橢圓上，求的最大值，并求出此時點的坐標.【答案】（1）8（2）（3）的最大值為，此時【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義分析求解即可；（2）由題意可得，進而可求直線的方程，再求的坐標，即可得解；（3）設(shè)，根據(jù)向量求得，代入橢圓方程運算求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，所以的周長為.【小問2詳解】由題意可知：，且在橢圓上，因為，可知，則直線的方程為，聯(lián)立方程，解得或，即，所以的面積為.【小問3詳解】設(shè)，則，因為，則，解得，即，且，則，又因為，則，解得，即，因為點在橢圓上，則，整理得，其中，可知，解得，即的最大值為，代入可得，即，聯(lián)立，解得，即，綜上所述：的最大值為，此時.【點睛】方法點睛：與弦端點相關(guān)問題的解法：解決與弦端點有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點的坐標關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．21.已知函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，均有，則稱函數(shù)為上的“M一類函數(shù)”.（1）試判斷是否為其定義域上的“M一類函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.（3）已知函數(shù)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實數(shù)的最大整數(shù)值.【答案】（1）不是；理由見解析（2）（3）0【解析】【分析】（1）取反例即可判斷；（2）根據(jù)定義將問題化恒成立問題，然后參變分離，轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)最值問題可解；（3）根據(jù)定義將問題化為恒成立問題，然后參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求解可得.【小問1詳解】函數(shù)不是其定義域上的“M一類函數(shù)”.理由如下：的定義域為，存在，使得，故不是其定義域上的