專題25二次函數(shù)壓軸綜合考點(diǎn)01線段周長問題1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求，的值．(2)設(shè)拋物線過點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．①求的值；②當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，求該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值．2．（2025·四川德陽·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖2，連接，過點(diǎn)C作與拋物線相交于另一點(diǎn)D．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)為線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），且，連接，．求的最小值．3．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在線段上是否存在點(diǎn)Q，使存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．7．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L是線段長度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作直線，連接并延長交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)02面積問題1．（2025·四川資陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接．若與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足分別為．是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長；若不存在，說明理由．2．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線為二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)．(1)求直線對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；(2)試判斷是否存在實(shí)數(shù)m使得．若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)已知P是二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，作．若直線與線段分別交于點(diǎn)，且與的面積的比為，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m的值．3．（2025·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為，連接并延長至點(diǎn)，使．當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線，這兩條垂線交于點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)被軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變．如果不變，直接寫出這個(gè)面積比；如果變化，說明理由．(3)當(dāng)?shù)倪吔?jīng)過此拋物線的最低點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)當(dāng)此拋物線在內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．4．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求b與c的值．(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積與的面積相等．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)判斷的形狀，并說明理由．(3)在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．7．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長為，請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．考點(diǎn)03角度問題1．（2025·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P是射線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接與射線交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D，E為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的下方），且，連接，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度得到拋物線，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．2．（2025·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，已知點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造四邊形．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線在、兩點(diǎn)之間的部分（含、兩點(diǎn)）為圖象．當(dāng)時(shí)，若圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．求的值；(4)連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍（這里、、均是大于且小于的角）．3．（2025·四川南充·中考真題）拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，N是拋物線頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖1，拋物線上兩點(diǎn)，，若，求m的值．(3)如圖2，點(diǎn)，如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)G，H，滿足．探究直線l是否過定點(diǎn)？若直線l過定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．4．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)關(guān)系式．(2)連接，拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．(3)在軸上方的拋物線上找一點(diǎn)，作射線，使，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，求的最小值．5．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．6．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾担咳粲凶畲笾?，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．7．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)04三角形問題1．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍________；(3)連接交y軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為直角邊的直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2025·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線交軸于A、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，若點(diǎn)，．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)判斷在點(diǎn)右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，，D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，①用含有的代數(shù)式表示線段的長度；②是否存在點(diǎn)D，使是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請(qǐng)直接寫出線段長度的最小值．4．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．6．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與直線交于點(diǎn)C，求的長的最大值；(3)點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使與相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．7．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)05四邊形問題1．（2025·天津·中考真題）已知拋物線為常數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)在拋物線上，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)，以為邊的的頂點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)取得最小值為時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接．(1)求拋物線的解析式．(2)若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)將拋物線沿射線的方向平移個(gè)單位長度后得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線上，點(diǎn)F是原拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在軸上，是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，若四邊形是正方形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，的最小值為3，求的值．4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．5．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．6．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)06其他問題1．（2025·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)．(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)過點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．①若，，求的長；②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，的長隨的長的增大而增大，求a的取值范圍．2．（2025·浙江·中考真題）已知拋物線（a為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．(1)求a的值．(2)過點(diǎn)與x軸平行的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)，求t的值．(3)設(shè)，拋物線的一段夾在兩條均與x軸平行的直線之間．若直線之間的距離為16，求的最大值．3．（2025·湖北·中考真題）拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求的值；(2)如圖1，若點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，過點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，求的值；(3)定義：拋物線上兩點(diǎn)M，N之間的部分叫做拋物線弧（含端點(diǎn)和）．過，分別作軸的垂線，過拋物線弧的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別作軸的垂線，直線與圍成的矩形叫做拋物線弧的特征矩形．若點(diǎn)在第四象限，記拋物線弧的特征矩形的周長為．①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合．記拋物線弧的特征矩形的周長為．若，直接寫出的長．4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中．(1)求b、c的值；(2)點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，與直線交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若為拋物線的頂點(diǎn)，平移拋物線使得新頂點(diǎn)為，若又在原拋物線上，新拋物線與直線交于點(diǎn)，連結(jié)．探新拋物線與軸是否存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若存在，求出這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交直線l于點(diǎn)N．若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．6．（2024·山東德州·中考真題）已知拋物線，為實(shí)數(shù)．(1)如果該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如果當(dāng)時(shí)，的最大值為4，求的值．(3)點(diǎn)，點(diǎn)，如果該拋物線與線段（不含端點(diǎn)）恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．7．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長為d．①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．8．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，將拋物線向右平移兩個(gè)單位長度，得到拋物線，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線，分別交拋物線和于點(diǎn)M、N（M、N均不與點(diǎn)C重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

專題25二次函數(shù)壓軸綜合考點(diǎn)01線段周長問題1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求，的值．(2)設(shè)拋物線過點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．①求的值；②當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，求該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值．【答案】(1)(2)①3；②或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)；把點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入中可得拋物線的解析式為，據(jù)此可求出點(diǎn)P和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再表示出即可得到答案；②可證明軸，即，則當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，只有或，據(jù)此畫出對(duì)應(yīng)的示意圖，討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過，，∴，∴；（2）解：①由（1）得拋物線得解析式為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；∵拋物線過點(diǎn)，，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，，∴；②∵，，∴軸，即，∴當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，只有或，如圖2-1所示，當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；如圖2-2所示，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴，∴，∴；如圖所示，過點(diǎn)Q作軸于H，則，∴，在中，由勾股定理得，∴．綜上所述，當(dāng)四邊形是直角梯形時(shí)，該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求角的正弦值，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．2．（2025·四川德陽·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖2，連接，過點(diǎn)C作與拋物線相交于另一點(diǎn)D．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)為線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），且，連接，．求的最小值．【答案】(1)(2)①，②5【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求解拋物線解析式；（2）①延長與x軸相交于點(diǎn)G，證明是等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求解即可；②過點(diǎn)O作，且，連接，，設(shè)交軸為點(diǎn)，然后證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)，得出時(shí)，最小，進(jìn)一步求出即可．【詳解】（1）解：在二次函數(shù)的圖象上，設(shè)該二次函數(shù)為，，．（2）解：①把代入，得，如圖，延長與x軸相交于點(diǎn)G．，．，．，．，，．設(shè)直線的解析式為：，把代入，得解得，直線的解析式為：，點(diǎn)D是直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，聯(lián)立解析式，解得或，．②如圖，過點(diǎn)O作，且，連接，，設(shè)交軸為點(diǎn)．，且，四邊形是平行四邊形，．，．為等腰直角三角形，，，，，．，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)D、E、H三點(diǎn)共線且軸，點(diǎn)F的坐標(biāo)為與點(diǎn)C重合，滿足在線段上．的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與特殊四邊形問題，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，通過數(shù)形結(jié)合的思想求解；3．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在線段上是否存在點(diǎn)Q，使存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，，的最小值為【分析】（1）對(duì)稱性求出點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)式寫出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，分點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在軸下方兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）在軸上取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得為等腰直角三角形，進(jìn)而得到，推出，得到當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小為的長，等積法求出的長，證明為等腰直角三角形，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與x軸交于、B兩點(diǎn)，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）∵點(diǎn)在對(duì)稱軸上，設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)∴設(shè)，；∵旋轉(zhuǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，∵關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖，作對(duì)稱軸于點(diǎn)，則：，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，把代入，得：，解得：或（舍去）；∴；綜上：或；（3）存在；在軸上取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小為的長，∵，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值為，在中，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；綜上：，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)或或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點(diǎn)，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，∵，故有最大值，此時(shí)，則，即點(diǎn)；（3）解：存在，理由：設(shè)直線的表達(dá)式為，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，令，，故，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，，則，即直線和關(guān)于直線對(duì)稱，故，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，，得，解得：，則直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，解得：(舍去)或5，即點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)，由的坐標(biāo)得，，當(dāng)時(shí)，則，解得：，即點(diǎn)或；當(dāng)或時(shí)，同理可得：或，解得：或，即點(diǎn)或或；綜上，點(diǎn)或或或或．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)P、D的坐標(biāo)求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對(duì)等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）解：①設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標(biāo)為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標(biāo)為綜上，當(dāng)P的坐標(biāo)為或時(shí)，與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，最大值是，(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）兩點(diǎn)式直接求出函數(shù)解析式即可；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)得到，得到當(dāng)最大時(shí)，的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)，得到，求出點(diǎn)恰好在拋物線上且時(shí)的值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴；（2）存在；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)最大，為，∴；（3）設(shè)，則：，當(dāng)點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，則：，∴，當(dāng)時(shí)，則：，解得：或，∵線段與拋物線有交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．7．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)闹荛L是線段長度的2倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作直線，連接并延長交直線于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)直角三角形三角函數(shù)值可得，，進(jìn)而可得的周長，結(jié)合已知條件可得，設(shè)，則，，從而可得方程，解方程即可；（3）先求出，，設(shè)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，通過證明，求出，再求出直線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式求出n的值即可．【詳解】（1）解：將，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：，，，，，，，的周長，的周長是線段長度的2倍，，設(shè)直線的解析式為，將，代入可得，解得，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，，解得，（舍），，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，

由題意知，，，，又，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)02面積問題1．（2025·四川資陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，連接．若與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足分別為．是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，正方形的邊長為或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作軸，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則：，，根據(jù)與的面積相等，推出，列出方程進(jìn)行求解即可；（3）存在點(diǎn)，使四邊形為正方形，如圖所示，過作軸，過作軸，過作軸，則有與都為等腰直角三角形，設(shè)，設(shè)直線解析式為，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示出，由為等腰直角三角形，得到，若四邊形為正方形，得到，求出的值，進(jìn)而確定出的長，即為正方形邊長．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∴設(shè)拋物線的解析式為：，把代入，得：，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，解得：，∴，∵，∴設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，作軸，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則：，∴，∴與的面積相等，∴，即：，∵，∴，∴，解得：或（舍去）；∴；（3）存在點(diǎn)，使四邊形為正方形，如圖所示，過作軸，過作軸，過作軸，則有與都為等腰直角三角形，，由（2）可知，直線的解析式為，設(shè)，直線解析式為，聯(lián)立得：，消去得：，，為等腰直角三角形，，，，，∵四邊形為正方形，∴，，整理得：，解得：或，正方形邊長為，或．即正方形的邊長為或．【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．2．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線為二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)．(1)求直線對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；(2)試判斷是否存在實(shí)數(shù)m使得．若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)已知P是二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，作．若直線與線段分別交于點(diǎn)，且與的面積的比為，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m的值．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析(3)或【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及求直線表達(dá)式、函數(shù)值計(jì)算及三角形相似與面積比應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用函數(shù)性質(zhì)、坐標(biāo)關(guān)系及相似三角形性質(zhì)建立等式求解．（1）先通過二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，確定、坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入設(shè)好的一次函數(shù)表達(dá)式，求解出直線的函數(shù)表達(dá)式．（2）先根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式，分別寫出、兩點(diǎn)的函數(shù)值、，進(jìn)而得出的表達(dá)式，再通過配方或判別式判斷是否存在實(shí)數(shù)使等式成立．（3）通過作輔助線構(gòu)造平行關(guān)系，利用二次函數(shù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系得出角的度數(shù)，推出，進(jìn)而得到三角形相似，根據(jù)面積比與相似比的關(guān)系建立等式，求解出的值．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，∴令，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．令，則．解得，或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)直線對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式為，由題意，得解得直線對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式為．（2）不存在實(shí)數(shù)m使得，理由如下：方法一：為二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，，．．配方，得．∴當(dāng)時(shí)，有最大值為．，∴不存在實(shí)數(shù)m使得．方法二：由方法一，得．當(dāng)時(shí)，，即．，∴方程沒有實(shí)數(shù)根．不存在實(shí)數(shù)m使得．（3），或．解答如下：如圖，作軸，交x軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，作，垂足為Q，作軸，交于點(diǎn)，則．當(dāng)時(shí)，．點(diǎn)P的坐標(biāo)為．點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)H的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，．，．．，即．．，即．點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，即．解得或．3．（2025·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為，連接并延長至點(diǎn)，使．當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線，這兩條垂線交于點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)被軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變．如果不變，直接寫出這個(gè)面積比；如果變化，說明理由．(3)當(dāng)?shù)倪吔?jīng)過此拋物線的最低點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)當(dāng)此拋物線在內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)面積比保持不變?yōu)椋碛梢娫斀?3)或(4)或或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用一元二次方程解決幾何問題，拋物線中動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并發(fā)展空間想象能力，分情況研究動(dòng)點(diǎn)問題．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意，利用相似三角形的性質(zhì)求出面積之比即可；（3）經(jīng)過最低點(diǎn)，即經(jīng)過頂點(diǎn)，畫出示意圖，先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出的值，最后分兩種情況求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)題意，分三種情況進(jìn)行分析，畫出圖形找出臨界點(diǎn)，利用相似三角形的性質(zhì)列出一元二次方程，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：將代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖所示，面積比保持不變?yōu)椋碛扇缦拢焊鶕?jù)題意可得，，∴，∵，∴，∴，則；（3）解：如圖所示，經(jīng)過最低點(diǎn)，即經(jīng)過頂點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，且相似比為，根據(jù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)可得，，則，即解得，①當(dāng)時(shí)，即為如圖所示，此時(shí)，點(diǎn)在第四象限，故；②如圖所示，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，此時(shí)，故；綜上，或；（4）解：①當(dāng)經(jīng)過頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，由得，，∴，即，解得（舍去），或，∴當(dāng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足題意，∴；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，同理，，相似比仍為，此時(shí)，，代入拋物線解析式得，，解得（舍去），或，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)向下一直移動(dòng)，直至到軸時(shí)，都符合題意，當(dāng)時(shí)，解得，∴當(dāng)時(shí)，符合題意；③圖所示，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第四象限，思路同②，此時(shí)，代入拋物線解析式得，，解得（舍去），或，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)向右一直移動(dòng)，直至到軸時(shí)，都符合題意，∴當(dāng)時(shí)，符合題意；綜上，當(dāng)或或時(shí)，符合題意．4．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求b與c的值．(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積與的面積相等．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與面積類的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．（1）將一般式改寫為頂點(diǎn)式，再化為一般式即可求解；（2）先確定為等腰直角三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，在軸上方的垂線上截取，連接與交于點(diǎn)，則，通過三線合一得到，由三角形面積公式可得過點(diǎn)作平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)，然后求出直線解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，；（2）解：存在，理由如下：對(duì)于拋物線，當(dāng)，，解得：，當(dāng)，∴，，∵，∴，過點(diǎn)作軸的垂線，在軸上方的垂線上截取，連接與交于點(diǎn)，則，∴，∴，過點(diǎn)作平行線與拋物線交點(diǎn)即為點(diǎn)，∵，，∴，設(shè)直線，則，∴，∴直線，∵∥，∴設(shè)直線，代入得：，解得：，∴直線，與拋物線解析聯(lián)立得：，整理得：解得：或，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或．5．（2024·青海西寧·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)判斷的形狀，并說明理由．(3)在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見解析(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，勾股定理的逆定理等知識(shí)．（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為，將頂點(diǎn)代入解析式得y＝，再將代入求解即可；（2）過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可解決問題；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作，垂足為H，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，求出直線的解析式為，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，得，得，，進(jìn)而解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)解析式為，將頂點(diǎn)代入解析式得，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：是直角三角形，理由如下：拋物線與y軸的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，如圖1，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，∴，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：存在，理由如下：，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作，垂足為H，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得：∴直線的解析式為，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，在中，，∴，∵軸，∴，在中，∵∴∴，解得，，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是，．6．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．【答案】(1)(2)最大值為8【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，用割補(bǔ)法得出△PAB的面積是關(guān)鍵．（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出b，c；（2）由（1）可得：，設(shè)，作交于E，則，則，得出面積，即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，，則，解得：；（2）解：由（1）可得：，設(shè)，作交于E，則，則，∴，當(dāng)時(shí)，最大值為8．7．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長為，請(qǐng)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；（3）分四種情形：當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)，和時(shí)，可得出沒有最大值．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，，解得，該拋物線的解析式為：；（2）解：二次函數(shù)中，令，則，，設(shè)直線的解析式為：．將，代入得到：，解得，直線的解析式為：，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，，，，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，；（3）解：如圖1，

當(dāng)時(shí)，作，交于，，，把代入得，，，，當(dāng)時(shí)，，，，如圖2，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，時(shí)，隨著的增大而增大，沒有最大值，沒有最大值，如圖3，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，沒有最大值，沒有最大值，如圖4，

當(dāng)時(shí)，由上可知，沒有最大值，綜上所述：當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．考點(diǎn)03角度問題1．（2025·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P是射線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接與射線交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D，E為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的下方），且，連接，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度得到拋物線，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的最小值為(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）先求出直線的解析式，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，求出長，再證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求出的最小值，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，即可得到，連接，則，是最小值，利用勾股定理計(jì)算解題；（3）根據(jù)平移得到拋物線的解析式，然后過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)K，連接，即可得到，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，根據(jù)列等式求出a的值即可解題．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，把代入得，解得，∴；（2）解：令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把和代入得：，解得，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，∵軸，∴，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則四邊形是平行四邊形，∴，即，由A，B關(guān)于對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，則的最小值為長，即，即的最小值為；（3）解：∵，∴，∴將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度即為向左平移兩個(gè)單位長度，向下平移兩個(gè)單位長度得到拋物線，即，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)K，連接，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，由平移得，∴，如圖所示，∵，即，解得（舍去）或，這時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

如圖所示，則∵，即，解得或（舍去），這時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，主要考查待定系數(shù)法，二次函數(shù)的線段問題，軸對(duì)稱的最短路徑問題，二次函數(shù)的平移，解直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．2．（2025·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，已知點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造四邊形．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線在、兩點(diǎn)之間的部分（含、兩點(diǎn)）為圖象．當(dāng)時(shí)，若圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．求的值；(4)連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍（這里、、均是大于且小于的角）．【答案】(1)(2)(3)或(4)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點(diǎn)代入即可求解．（2）通過拋物線對(duì)稱軸公式確定對(duì)稱軸，利用對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)中點(diǎn)在對(duì)稱軸上求m值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的中點(diǎn)公式求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．（3）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)及開口方向，確定區(qū)間與頂點(diǎn)位置關(guān)系，分情況討論最高點(diǎn)坐標(biāo)，利用縱坐標(biāo)差建立方程求解．（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)，先分析條件可得點(diǎn)在之間，利用中點(diǎn)公式計(jì)算求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)分別在上時(shí)，取得臨界值，求得的值，即可求解．【詳解】（1）將點(diǎn)代入中得：解得：，∴．（2）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式可知：拋物線的對(duì)稱軸為，∵、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且橫坐標(biāo)分別為、，∴、中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，∴，，解得：，∵點(diǎn)是該拋物線上的點(diǎn)，將代入拋物線解析式得，，即設(shè)是A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則：解得，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）∵拋物線頂點(diǎn)為，開口向上，，，當(dāng)時(shí)，包含，最低點(diǎn)為。當(dāng)時(shí)，，最高點(diǎn)為A，縱坐標(biāo)差為：，解得：；當(dāng)時(shí)，，最高點(diǎn)為B，縱坐標(biāo)差為：，解得：．綜上，m的值為或．（4）∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合題意可知：∴，，，，∴，，，，如圖，四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)在之間，的左側(cè)，過點(diǎn)作∴∴∴當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∴∴解得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)∴，∴，∴，解得，．其中，，時(shí)，如圖，經(jīng)檢驗(yàn)符合，綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考慮二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、平行四邊形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2025·四川南充·中考真題）拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，N是拋物線頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖1，拋物線上兩點(diǎn)，，若，求m的值．(3)如圖2，點(diǎn)，如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)G，H，滿足．探究直線l是否過定點(diǎn)？若直線l過定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在定點(diǎn)【分析】（1）把代入，求出拋物線的解析式，令，即可求解；（2）設(shè)直線為，設(shè)點(diǎn)，，可得且，即可求解；（3）設(shè)直線解析式，直線與拋物線相交于點(diǎn)，，與拋物線解析式聯(lián)立可得，，．作，，，，，．根據(jù)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到，再由直線不垂直于軸，可得，從而得到直線解析式，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，．拋物線的解析式為，令，則，解得，，；（2）解：∵，N是拋物線頂點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，，，∴，解得：，直線的解析式為，，可設(shè)直線為，設(shè)點(diǎn)，，且．解得：．（3）解：存在定點(diǎn)滿足條件．設(shè)直線解析式，直線與拋物線相交于點(diǎn)，，，．，，．作，，，，，．，．即，，，．．．，直線不垂直于軸，，，，直線解析式，無論為何值，，，∴過定點(diǎn)，故存在定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)和二次函數(shù)交點(diǎn)問題等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)關(guān)系式．(2)連接，拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．(3)在軸上方的拋物線上找一點(diǎn)，作射線，使，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，求的最小值．【答案】(1)(2)拋物線上存在點(diǎn)，使，的坐標(biāo)為或(3)的最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線，得出則二次函數(shù)解析式為代入，得出，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，，分量種情況討論，①當(dāng)在直線的下方時(shí)，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，驗(yàn)證可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，得出，當(dāng)在的上方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，即，即可求解；（3）在上取一點(diǎn)，使得，得出，在上取一點(diǎn)，使得，垂足為，則，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得當(dāng)在上時(shí)取得最小值，最小值為的長，等面積法求得，則，進(jìn)而得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，即∴二次函數(shù)解析式為將代入得，解得：，∴二次函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴，當(dāng)時(shí)，，則∴，，設(shè)，則①當(dāng)在直線的下方時(shí)，如圖，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形，∴，，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，∴∴∴∴又∵∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴當(dāng)在的上方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)∵都是等腰直角三角形，∴在軸上，綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使，的坐標(biāo)為或（3）解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得∴設(shè)，則在中，∴，即解得：∴∴∵，在上取一點(diǎn)，使得，垂足為，∴∴即,如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)∴∴當(dāng)在上時(shí)取得最小值，最小值為的長，在中，∴∵，∴又∵，∴∴∴的最小值為．5．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出的解析式，設(shè)，則：，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）易得垂直平分，設(shè)，勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出，分別作點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，直線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，把，，代入函數(shù)解析式得：∴，解得：；∴；（2）∵，，∴設(shè)直線的解析式為：，把，代入，得：，∴，設(shè)，則：，∴，，，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）存在：令，解得：，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，∴，∴，，∵，，∴，∴，①取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交拋物線與點(diǎn)，則：，，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；②取關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，則：，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，過點(diǎn)作軸，則：，，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長，坐標(biāo)與軸對(duì)稱，勾股定理，解直角三角形，等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，屬于中考?jí)狠S題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠裼凶畲笾?？若有最大值，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）直接利用拋物線的交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）先求解，及直線為，設(shè)，可得，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）如圖，以為對(duì)角線作正方形，可得，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，設(shè)，則，求解，進(jìn)一步求解直線為：，直線為，再求解函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，設(shè)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，有最大值；此時(shí)；（3）解：如圖，以為對(duì)角線作正方形，∴，∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)即為，如圖，過作軸的平行線交軸于，過作于，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，設(shè)，則，∴,∴，由可得：∴，解得：，∴，設(shè)為：，∴，解得：，∴直線為：，∴，解得：或，∴，∵，，，正方形，∴，同理可得：直線為，∴，解得：或，∴，綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.7．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．（3）根據(jù)題意可得，以為對(duì)角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，則對(duì)稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，∴∵∴，則設(shè)，則即，將點(diǎn)代入即解得：或（舍去）當(dāng)時(shí)，，∴；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對(duì)角線作正方形，則，

∵，則，則，，設(shè)，則，解得：，，則，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)04三角形問題1．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍________；(3)連接交y軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為直角邊的直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①，②(3)存在，，【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要綜合運(yùn)用拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理等．（1）將、代入得方程組，解方程組即可；（2）①令，則，解方程即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，即拋物線在軸下方的部分，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，先由兩點(diǎn)間的距離公式得，，，再分兩種情況討論：當(dāng)為斜邊時(shí)，則；當(dāng)為斜邊時(shí)，則；分別解方程即可．【詳解】（1）解：將、代入得，，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：①令，則，解得或，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；②根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，故答案為：；（3）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，，∴，，，∵是以為直角邊的直角三角形，∴分以下兩種情況討論：當(dāng)為斜邊時(shí)，則，∴，解得，∴；當(dāng)為斜邊時(shí)，則，∴，解得，∴．綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，，．2．（2025·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，拋物線交軸于A、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，若點(diǎn)，．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)判斷在點(diǎn)右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或【分析】（1）把，代入，解方程組，求出a，b的值，即得；（2）求出，直線的解析式，設(shè)，則，分，，和，四種情況解答；（3）過點(diǎn)F，P作軸于G，軸于H，得，根據(jù)等腰直角三角形．得，得，得，得，設(shè)，分和兩種情況解答．【詳解】（1）解：∵拋物線交軸于，兩點(diǎn)，∴，解得，∴；（2）解：∵中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，解得（舍去），或（舍去），∴點(diǎn)P不存在；當(dāng)時(shí)，，∴，解得解得，或（舍去），∴，∴；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P不存在；當(dāng)時(shí)，，，∴，解得，或（舍去），∴，∴，故點(diǎn)坐標(biāo)為，

（3）解：過點(diǎn)F，P作軸于G，軸于H，則，∵是以為斜邊的等腰直角三角形．∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴，∴，∴,解得，，∴P坐標(biāo)為，或；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴，∴，∴,解得，（舍去），∴P坐標(biāo)為；故P坐標(biāo)為，或，或．

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與三角形綜合．熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)的線段問題，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論，是解題的關(guān)鍵．3．（2025·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，，D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，①用含有的代數(shù)式表示線段的長度；②是否存在點(diǎn)D，使是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請(qǐng)直接寫出線段長度的最小值．【答案】(1)(2)①；②存在，或或(3)【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）①求出直線：，則，，即可用的代數(shù)式表示；②用兩點(diǎn)間距離公式分別表示三邊，分類討論，建立方程求解即可；（3）在軸負(fù)半軸取點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接，證明，則，確定點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），故當(dāng)時(shí)，最小，可證明，求得，而當(dāng)時(shí)，，即可由面積法求最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，，∴，∴解得：，∴拋物線表達(dá)式為；（2）解：①對(duì)于拋物線表達(dá)式，當(dāng)，∴，設(shè)直線表達(dá)式為：，則，解得：，∴直線：，∵，∴，，∴，∴；②存在，，而當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍），，∴；當(dāng)時(shí)，整理得：，解得：或（舍），，∴；當(dāng)時(shí)，整理得：，解得：或（舍）或（舍），，∴，綜上：是等腰三角形時(shí)，或或；（3）解：在軸負(fù)半軸取點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接，由旋轉(zhuǎn)得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），∴當(dāng)時(shí)，最小，∵，，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴線段長度的最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及得到系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的存在性問題，兩點(diǎn)間距離公式，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，綜合性強(qiáng)．4．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進(jìn)而根據(jù)得出，連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，則點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則∵，則，對(duì)稱軸為直線設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設(shè)交軸于點(diǎn)，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合題意，如圖所示，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，，∴∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其中∴，①當(dāng)時(shí)，，解得：或②當(dāng)時(shí)，，解得：③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或或(3)或．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進(jìn)而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；（3）根據(jù)題意，求得當(dāng)是直角三角形時(shí)的的值，進(jìn)而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延長至，使得，過點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則，則符合題意的點(diǎn)在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設(shè)直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，是直角三角形，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，

設(shè)交于點(diǎn)，∵直線的解析式為，則，∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，設(shè)，則∵∴解得：（舍去）或∴∵是銳角三角形∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理可得即∴解得：或（舍去）由（2）可得時(shí)，

∴綜上所述，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與直線交于點(diǎn)C，求的長的最大值；(3)點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，使與相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的長的最大值為4(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，進(jìn)而表示出CD的長；接下來用含m的二次函數(shù)表示S，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；（3）分兩種情況：①當(dāng)△時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，，，拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．，解得，；（2）設(shè)，作x軸，與直線交于點(diǎn)C，，解得，，當(dāng)時(shí)，的長的最大值為4；（3）設(shè)，，，，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，

，，，，，，，，，，，或3（舍去），，，，設(shè)直線的解析式為，解得，直線PQ的解析式為，聯(lián)立解得或（不合題意，舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)Q作于H，

，，，，，，∴，∴，設(shè)，則，，，解得，，，，，，，，，，，，，同理得直線的解析式為，聯(lián)立解得或（不合題意，舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵是利用方程的思想和函數(shù)的思想方法解決問題，利用相似三角形的判定得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，解（3）的關(guān)鍵是分和兩種情況討論求解．7．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線：；直線：(2)或或(3)，或，或，或，【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．（2）由題得，分別求出，，，對(duì)等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入上式，得，．拋物線的表達(dá)式為，即．設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入上式，得，解得．直線的表達(dá)式為．（2）解：點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，①若，則，即，解得．②若，則，即，解得或（舍去）．③若，則，即，解得（舍去）或．綜上，或或．（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，或．①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，則，，．當(dāng)，即時(shí)，如圖所示：則：直線的表達(dá)式為，，解得：或（舍去）．，即，，即，解得．，；當(dāng)，即時(shí)，過點(diǎn)P作軸，如圖所示：則，∴，，∵，，即，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，此時(shí)點(diǎn)，，∴；②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則，，當(dāng)，即時(shí)，如圖所示：此時(shí)直線的表達(dá)式為，，解得或（舍去），，∵，，即，解得：．，．當(dāng)，即時(shí)，如圖所示：，，∵，，即，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，，,∴．綜上，，或，或，或，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)05四邊形問題1．（2025·天津·中考真題）已知拋物線為常數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求該拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn)．①