96/98第08講專題利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 3題型一：直接法 3題型二：端點(diǎn)恒成立 9題型三：端點(diǎn)不成立 13題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離 18題型五：洛必達(dá)法則 25題型六：同構(gòu)法與朗博同構(gòu) 28題型七：必要性探路 34題型八：max，min函數(shù)問題 41題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧 48題型十：雙變量最值問題 58題型十一：恒成立問題求參數(shù)的具體值 6303過關(guān)測試 68

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．題型一：直接法【典例1-1】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大??；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，?gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則有：若，則，即；若，則，即；若，則，即.（2）若恒成立，則，構(gòu)建，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，則，1、若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，不符合題意；2、若，則有：（?。┤簦瑒t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；（ⅱ）若時(shí)，令，解得或，①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；②若，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意；③若，即時(shí)，則，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，則，可得，不合題意；綜上所述：的取值范圍為.【典例1-2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，，從而在上遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題可知，要使恒成立，只要，，由于，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.【變式1-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以1是的一個(gè)零點(diǎn)，，令，則，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可知此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，若，則時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可知此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；若，則時(shí)，則的判別式，不妨設(shè)兩根為，則，即有2個(gè)正數(shù)根，且不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；則可知在上單調(diào)遞減，則，在上單調(diào)遞減，則，由當(dāng)x無限趨近于0時(shí)，的變化幅度要大于的變化幅度，故趨近于負(fù)無窮，當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，x的變化幅度要大于的變化幅度，故趨近于正無窮，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，綜上：當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，則.對于函數(shù)，，所以其必有兩個(gè)零點(diǎn).又兩個(gè)零點(diǎn)之積為，所以兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)，則，即.此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故需，即.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以.由在上單調(diào)遞增，得.【變式1-2】（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題設(shè)當(dāng)時(shí)，，所以，得，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）若，不等式恒成立，則，，當(dāng)時(shí)，對于，，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞減，所以，與矛盾，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)(1)當(dāng)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)函數(shù)，若對任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，在上無零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，在上單增.，，，，，在上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，又，，在上無零點(diǎn).綜上所述，在上只有一個(gè)零點(diǎn).（2）時(shí)，，，設(shè)，，當(dāng)，在遞增，在上遞減，，，，，

當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，在遞減，只需，

，，與矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，在上遞減，只需，，矛盾，舍去；不滿足條件.當(dāng)，在上遞減，在上遞增，在上遞減.，，只需，，，，又，，，滿足條件.綜上所述，題型二：端點(diǎn)恒成立【典例2-1】（2024·廣西·三模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意，求的取值范圍.【解析】（1），得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）對任意，即，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，成立；②當(dāng)時(shí)，令在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，，成立；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，，不成立.綜上可知.【典例2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若有3個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）由，得，由存在極值，則，知，則有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．則在時(shí)取極小值在處取得極大值，又時(shí)，時(shí)，，又．所以，有3個(gè)不相等實(shí)數(shù)根時(shí)，，即，所以，有3個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．（2）由，得，令，得，知，令，則，又令，則，知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由于單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)恒成立．則時(shí)滿足條件．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由于單調(diào)遞增，由于，故，使得，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，即單調(diào)遞減，故，故當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，所以，此時(shí)單調(diào)遞減，，不滿足條件．綜上所述，當(dāng)恒成立時(shí)，的取值范圍是．【變式2-1】（2024·山西·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線在軸，軸上的截距分別為，因此所求三角形的面積為.（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立.令，則，設(shè)令，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以.所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.所以當(dāng)時(shí)，恒成立.令，則.由于時(shí)，恒成立，即，所以，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；因此當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值，則，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式2-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，無極小值.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，解得，設(shè)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，，?dāng)，即時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，當(dāng)時(shí)使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，則，解得，綜上可得，即的取值范圍為.題型三：端點(diǎn)不成立【典例3-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知．（）(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且存在，使得，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?所以,若時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增；若,由得或,設(shè),則,時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,所以，所以,所以時(shí),單調(diào)遞減,，時(shí),,單調(diào)遞增.綜上得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí),,存在,使得成立,即成立,即成立，設(shè),則,設(shè),，則在上單調(diào)遞增，且,所以存在,使得,所以令，，在上單調(diào)遞增,得,所以,時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增，所以,所以,即的取值范圍是.【典例3-2】（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)若，且，求的取值范圍.【解析】（1）.解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，可?當(dāng)時(shí)，令，可得；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且最小值為，無最大值.（2）解：當(dāng)時(shí)，由，可得，整理得，即，令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故的取值范圍為.【變式3-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)（），若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題，，由題意可得，解得，所以，．令，解得，令，解得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為，無極大值．（2）由題意可知：，且，整理得，原題意等價(jià)于在內(nèi)恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，由恒成立，可得，所以的取值范圍為．【變式3-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）.(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，求；(2)對任意的，有，求的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)，可得，所以且，即切線的斜率為，切點(diǎn)為因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，可得，解得.（2）任意的，有，即在恒成立，令，若，則，可得，所以，符合題意；若，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，在遞增，而，所以，存在唯一的，使得，所以，當(dāng)時(shí)，，在遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間遞增，故當(dāng)，函數(shù)取得極小值，所以，此時(shí)，，可得，即；當(dāng)時(shí)，，因而，符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是求.【變式3-3】（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若不等式恒成立，求k的范圍．【解析】（1）∵，∴，∵函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，∴；（2）∵，∴恒成立，即對任意恒成立．令，則．設(shè)，易得是增函數(shù)，而，∴時(shí)，，即，時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，∴．題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離【典例4-1】（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)極值；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.（2）函數(shù)，，，設(shè)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，因此，令，，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例4-2】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)若直線與函數(shù)交于點(diǎn)A，直線與函數(shù)交于點(diǎn)B，且函數(shù)在點(diǎn)A處的切線與函數(shù)在點(diǎn)B處的切線相互平行或重合，求a的取值范圍；(2)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，；因?yàn)樵谔幍那芯€與在處的切線相互平行或重合，所以，即在上有解，所以在上有解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以，所以，所以a的取值范圍為；（2）因?yàn)?，，所以，所以；因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，，所以；因?yàn)椋?，則由得：，所以，即，所以；令，則；令，則；①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，若，則，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即，不合題意；所以由不等式恒成立，可得，又，所以，所以的取值范圍為.【變式4-1】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）由題，，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題知，恒成立，即恒成立，∵，∴，不等式兩邊同除以，得，設(shè)，，則不等式恒成立．∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴．∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【變式4-2】（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)，其中且．(1)若是偶函數(shù)，求a的值；(2)若時(shí)，，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意，，即，解得，或（舍），經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是偶函數(shù)，所以a的值為；（2）當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)且時(shí)，，，又已證，故此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故存在，使得當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，所以，存在，使得，此時(shí)不合題意．綜上所述，且．【變式4-3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】（1）由題，定義域?yàn)椋畡t，由題可得有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，于是有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)與圖像在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，由，由，所以在遞增，在遞減，又有極大值為，當(dāng)時(shí)，，所以可得函數(shù)的草圖（如圖所示）．所以，要使函數(shù)與圖像在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由（1）可知：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則，即，令，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，于是，當(dāng)時(shí)，有，即，綜上所述，，即的取值范圍是．【變式4-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)，可得，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，解得，故實(shí)數(shù)的值為．（2）解：由（1）知，因?yàn)椋杂?，即．設(shè)，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式4-5】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，綜上所述：在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）若，不等式恒成立，則對均成立，所以令，則，令，顯然為上的減函數(shù)，又，所以，，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型五：洛必達(dá)法則【典例5-1】已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．【典例5-2】設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】由題設(shè)，此時(shí).①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.【變式5-1】設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．【解析】，若，則；若，則等價(jià)于，即則.記，因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，故，所以在上單調(diào)遞減，而.另一方面，當(dāng)時(shí)，，因此.【變式5-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對任意的恒成立，求的范圍.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪?，令，則，再令，則恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以題型六：同構(gòu)法與朗博同構(gòu)【典例6-1】已知函數(shù).(1)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，定義域?yàn)?，令，可得，設(shè)，則，令，得在上單調(diào)遞增；令，得，在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可畫出的大致圖象，

①當(dāng)或時(shí)，沒有零點(diǎn)；②當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可化為在上恒成立，該問題等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即，即①當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，即，而，此時(shí)不滿足，所以實(shí)數(shù)不存在.綜上可知，使得恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題知的定義域?yàn)?，由，得．若，則，在上單調(diào)遞減，若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，則恒成立，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，即，因?yàn)?，所以，，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．【變式6-1】已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).（2）由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式6-2】（2024·海南海口·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在，不等式成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，∴令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞減.（2）∵，且，，∴，∴，∴，∴.∵，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴只需在上能成立，∴兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，得，即在上能成立.令，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，∴實(shí)數(shù)的最大值為.【變式6-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處的切線也與函數(shù)的圖象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），即，函數(shù)在的切線的方程為，代入得切線的方程為.，由切線的斜率為1，則令，解得：，由，則函數(shù)在處的切線方程為，代入得：，這與重合，所以得.（2）由恒成立，等價(jià)于恒成立，即：恒成立，利用，則令，則.又，在上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即.令，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞減，所以，即，所以的取值范圍是：.【變式6-4】（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則是方程的兩根.又，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由，可得，即.令，易知單調(diào)遞增.由，可得，則，即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則的取值范圍為.題型七：必要性探路【典例7-1】（2024·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時(shí)，若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）．當(dāng)時(shí)，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，可得且；令，可得，∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，由，得即，令，則∵，且，∴存在，使得當(dāng)時(shí)，，∴，即．下面證明當(dāng)時(shí)，對恒成立．∵，且，∴設(shè)，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【典例7-2】已知函數(shù)）在處的切線斜率為.(1)求a的值；(2)若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），，，，，.（2）由（1）可知，，由，得，令，則，，且，存在，使得當(dāng)時(shí)，，，即；下面證明當(dāng)時(shí)，，，且，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，；當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，且為單調(diào)遞增函數(shù)，由于，故，僅在是取等號(hào)，故在上單調(diào)遞增，，故，即，則在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，遞增的幅度遠(yuǎn)大于遞增的幅度，，故必存在，使得，則時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則，與題意不符；綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【變式7-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)已知函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，可得，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.（2）解：由，則.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以，在是增函?shù)，所以，故若在上恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式7-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?，令，即，即，解得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

.（2）記，則，所以，根據(jù)題意原題可化為：在時(shí)恒成立，求的取值范圍；因?yàn)?，所以在時(shí)恒成立的必要條件為，即，即；構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即在上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，有，所以在上恒成立，因?yàn)?，不等式兩邊同時(shí)乘以，有在上恒成立，即在上恒成立，即時(shí)，在上恒成立，綜上，是在時(shí)恒成立的充要條件，所以的取值范圍為.【變式7-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)?，，又，?dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，

即的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）設(shè)，則.關(guān)于對稱，不妨研究時(shí)的圖象性質(zhì).

.

令，顯然時(shí)，，

下面證明時(shí)，：.，，則此時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，

綜上，時(shí)，均有，在上單調(diào)遞增，..【變式7-4】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，，，使，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；，，在有1個(gè)零點(diǎn)；（2），注意到，要使，則須滿足，即，得．下證：當(dāng)時(shí)，，均有．當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞減，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，必存在，使在單調(diào)遞增，那么均有，矛盾．綜上所述：要使成立的的取值范圍為：．【變式7-5】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，，，因?yàn)椋?，，所以，于是函?shù)在上單調(diào)遞增.（2）解法一：，即.因?yàn)?，所以，于?令，則.當(dāng)時(shí)，，，，，則有，于是，所以在上是增函數(shù)，，所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二：令，.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，而，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，，，在上恒成立.綜上：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法三：令，由得.下證當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榍?，，，所以，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.【變式7-6】（2024·重慶·三模）已知函數(shù).(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)若在定義域上的值域是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，則，所以，且，即切線的斜率為，切點(diǎn)為，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，可得；令，可得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：若定義域區(qū)間，由值域區(qū)間是定義域的子集，則且，即，即，解得；由，可得，令，即，可得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，解得，下面證明，即，即，令，可得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，即，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍.題型八：max，min函數(shù)問題【典例8-1】已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【解析】（1），,當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）得，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．由于當(dāng)時(shí)，恒成立，故等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，恒成立．，．當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，故．從而當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．①若，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②若，即，取，則，且，故存在唯一，滿足，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，不符合題意；若，則，符合題意，此時(shí)由得；若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，不符合題意．綜上可知：存在唯一實(shí)數(shù)滿足題意．【典例8-2】已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求的值；(3)定義函數(shù)，在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），令，則，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）,設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則，解得.（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，所以，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在單調(diào)遞減，綜上，在單調(diào)遞減.,所以有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；.當(dāng)時(shí)，由上可知，，所以恒成立，合題.綜上所述：.【變式8-1】已知函數(shù)，，設(shè)表示，的最大值，設(shè).(1)討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】（1），令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，而，，∴，使得，∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).（2）①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，顯然；②當(dāng)時(shí)，若，；若，.∴等價(jià)于在上恒成立.∵，∴.令，則；令，則.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨令，則，則.令，，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞減，而，∵在上恒成立，∴，∴，即，∴，綜上所述，的取值范圍為.【變式8-2】已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.【解析】（1），.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，..①若，當(dāng)時(shí)，，故，遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.【變式8-3】已知為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)設(shè)表示的最大值，設(shè).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為2，所以；（2），令，，令，解得.①當(dāng)，即時(shí)，在恒成立，在為嚴(yán)格增函數(shù)，，由零點(diǎn)存在定理知在上有唯一零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，在恒成立，在為嚴(yán)格增函數(shù)，，故在恒成立，沒有零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)-0+極小值最小值，無零點(diǎn).綜上，時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)沒有零點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題中定義顯然有.當(dāng)時(shí)，時(shí)，，根據(jù)題中定義顯然有；時(shí)，根據(jù)題中定義顯然有.下考慮時(shí)的情況.，由解得，且-0+極小值最小值.令，則在為嚴(yán)格增函數(shù).①時(shí)，，故，故的最小值；②時(shí)，故在上的最小值，而在上，，即在上，此時(shí).綜上，.題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧【典例9-1】已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域?yàn)?，，令，得．?dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)的積為，則兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其正零點(diǎn)為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【典例9-2】已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【解析】（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法由題設(shè)有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）[方法一]令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當(dāng)，即時(shí)，在為增函數(shù)，因?yàn)?，故存在，使，不符合題意.當(dāng)，即時(shí)，，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立；由已知得，令，得，∴(*)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)在內(nèi)恒成立；由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.∴的取值范圍是.（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法因?yàn)閷θ我夂愠闪?，①對任意恒成立，等價(jià)于對任意恒成立.故對任意恒成立.令，當(dāng)，，此時(shí)，當(dāng)，，但對任意的恒成立.等價(jià)于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，構(gòu)造函數(shù)，，所以時(shí)，，遞減，.所以，即.[方法二]：判別式法

由，從而對任意的有恒成立，等價(jià)于對任意的①，恒成立．（事實(shí)上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）同理對任意的恒成立，即等價(jià)于對任意的恒成立．

②當(dāng)時(shí)，將①式看作一元二次方程，進(jìn)而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；當(dāng)時(shí)，，從而或，又，從而成立；當(dāng)時(shí)，由①式得或，又，所以．當(dāng)時(shí)，將②式看作一元二次方程，進(jìn)而有．由，得，此時(shí)②式的解為不妨設(shè)，從而．綜上所述，．[方法三]【最優(yōu)解】：反證法假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)閷愠闪?，所以有．則有，

③，

④解得．由③+④并化簡得，．因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，且，所以，．由對恒成立，即有

⑤對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進(jìn)而有．設(shè)，則，所以在區(qū)間上遞減，所以，即．設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．由均為偶函數(shù)．同樣可證時(shí)，也成立．綜上所述，．【整體點(diǎn)評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進(jìn)一步求解，簡化了運(yùn)算，是最優(yōu)解；（2）中的方法一利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進(jìn)行判定得到，然后在此基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證不等式的一側(cè)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的另一側(cè)也成立的條件，進(jìn)而得到結(jié)論，是最優(yōu)解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運(yùn)算簡潔，是最優(yōu)解.【變式9-1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，，的圖像在處的切線方程為，即.（2）解法一：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)，故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即在時(shí)恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)，故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當(dāng)時(shí)，可知恒成立，即此時(shí)不等式成立；當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋?，與不等式矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式9-2】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，故存在唯一正實(shí)數(shù)使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，由恒成立，得，由得，∴∴，∴，∴，設(shè)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為法2：同法一得，由得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，故的取值范圍為【變式9-3】已知函數(shù)．(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：的定義域?yàn)椋?，因?yàn)椋瑒t有：當(dāng)時(shí)，恒成立，在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，構(gòu)建，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，由于，取，則，，故在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（2）由題意可知：，由（1）可知：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)?，則，且可得，整理得，構(gòu)建，則，對于，由，可得，所以，則在上單調(diào)遞增，且，所以的解集為，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，所以，故a的取值范圍.【變式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為增函數(shù)，沒有最大值；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以當(dāng)時(shí)，，解得：.（2）由，得，化簡得：，所以對于任意正數(shù)x，都有恒成立，設(shè)，則，令，則，可得為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由可得，

，兩邊同時(shí)取對數(shù)，得，令，顯然為增函數(shù)，由，得，所以，所以.所以，即.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：.題型十：雙變量最值問題【典例10-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】設(shè)，，若，對任意和正數(shù)恒成立，則，對任意和正數(shù)恒成立，如圖，時(shí)，，對任意和正數(shù)不恒成立；如圖，時(shí)，，則，設(shè)，解得，且，∴當(dāng)?shù)那芯€斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為，即，若，對任意和正數(shù)恒成立，則∴∴，設(shè)，，∴，，，∴，∴故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，需要結(jié)合圖象分類討論，構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力，是難題.【典例10-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2【答案】C【解析】因?yàn)閷τ冢愠闪?，所以對于，恒成立，設(shè)，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.所以.所以.設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問題的求解，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接法；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.【變式10-1】若對于任意正實(shí)數(shù)，都有(為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是.【答案】0【解析】因?yàn)閷τ谌我庹龑?shí)數(shù)x都有成立，不妨將代入不等式中，得.下面證明時(shí)滿足題意，令，，則.由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即對任意正數(shù)x都成立，即，時(shí)滿足題意，所以的最小值為0.故答案為:0【變式10-2】已知函數(shù)，，其中(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；(2)若對任意的恒成立，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)榈膱D象與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，又，所以，解得，.（2）因?yàn)榈葍r(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，對于任意正實(shí)數(shù)恒成立，單調(diào)遞增，故由得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，由，得，又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，即，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，故，所以的最大值為1，此時(shí)，綜上所述，的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了切線問題和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，其中分類討論和將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.【變式10-3】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線為l:x＋y－1＝0，求a，b的值；（3）若恒成立，求的最大值．【解析】（1）由題意知，則．

令得，所以在上單調(diào)遞增．令得，所以在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）因?yàn)?，得?/p>

由曲線在處的切線為，可知，且，所以

（3）設(shè)，則恒成立．易得（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增．①若，則當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)；

②若，取即且，此時(shí)，所以不恒成立．不滿足條件；

(ii)當(dāng)時(shí)，令，得由，得；由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．要使得“恒成立”，必須有“當(dāng)時(shí)，”成立．所以．則令則令，得由，得；由，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，的最大值為．題型十一：恒成立問題求參數(shù)的具體值【典例11-1】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以．所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增．（2），當(dāng)時(shí)，，所以存在，當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意當(dāng)時(shí)，，所以存在，當(dāng)時(shí)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意所以．下面證明時(shí)，由（1）知，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，所以只要證明.令令，則①當(dāng)時(shí)，，得所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，使得.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以，使得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以當(dāng)時(shí)，綜上，的值為1.【典例11-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：時(shí)，；(2)求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若，求的取值范圍.【解析】（1）令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，；再令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，.綜上所述，時(shí)，.（2），，①時(shí)，由（1）知，，在沒有零點(diǎn)；②時(shí)，，所以是函數(shù)的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，在沒有零點(diǎn)；④當(dāng)，，沒有零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，故單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，，，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，總有（不恒為零），則在上為增函數(shù)，但，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.故在上，有解，故，使得，又在時(shí)單調(diào)速增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，由于單調(diào)遞增，，故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；綜上可得，.【變式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值集合.【解析】（1）由，得，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，，得，若，則顯然，不符合題意，若，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)滿足時(shí)，，所以的取值集合為.【變式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的值【解析】（1）定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為；（2）定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；若恒成立，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的解為．所以.1．（2024·遼寧沈陽·三模）已知函數(shù)（其中），.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，，，，故，故函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，即（2）時(shí)，恒成立，故，令，定義域?yàn)椋瑒t，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，的取值范圍是.2．（2024·甘肅酒泉·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即，無極小值.（2）若對任意，都有成立，即對任意恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若為增函數(shù)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)?，則，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，化簡可得.（2）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，為上的增函?shù)等價(jià)于在上恒成立，由可得，令，所以只需，求導(dǎo)可得，令，則，即是上的減函數(shù)，又，故是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，，所以，當(dāng)時(shí)，不恒為0，滿足題意.所以的取值范圍是.4．（2024·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，令，得，令因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：，即，的定義域?yàn)椋遥谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)趨近于0時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值．則，即，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，，即．5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)已知，且，證明：對任意的，．【解析】（1），則．因?yàn)?，所以，解得，．?）．令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間．（3）證明：由，可得．又，所以．因?yàn)?，，所以只需證明，，即證明，．先證明，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增．只需證，，即，．令，，則，所以，故．再證明，即．同理，只需證明，即．令，，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋?，則存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，所以，故．綜上，對任意的，．6．（2024·河南·三模）已知函數(shù).(1)如果，求曲線在處的切線方程；(2)如果對于任意的都有且，求實(shí)數(shù)滿足的條件.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，記，則，所以切線方程為，即；（2），且，，所以有，，，令，，，如果在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，此時(shí)與矛盾，故，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，，而，故由零點(diǎn)存在定理，可知存在，使得，也就是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步分析可知存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得恒成立，必有，，，因?yàn)椋杂?，如果，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，滿足題意，如果在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恒成立，必有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，綜上有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助導(dǎo)數(shù)先推導(dǎo)出時(shí)的的取值范圍，再推導(dǎo)出時(shí)的的取值范圍，綜合兩者所得即可得解.7．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，解得.與在區(qū)間上的情況如下：x-0+極小值故的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，“”恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，“”恒成立，令，，則，.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.而，，所以在區(qū)間上的最大值為.所以當(dāng)時(shí)，對于任意，都有.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；（2），設(shè)，①若，由（1）知，不合題意；②若，設(shè)單調(diào)遞減，，令，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，不合題意；③，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，；綜上，.9．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，(1)已知對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知直線與曲線，分別切于點(diǎn)，，其中．①求證：；②已知對任意恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由已知可得，其中，設(shè)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，；令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）①因?yàn)?，，則，，所以，直線可表示為，即，直線的方程也可表示為，即，故有，所以，，所以，，即，設(shè)，其中，則，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，存在，使得，?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，存在，使得，所以，，則；②由①可知，，當(dāng)時(shí)，，由可得，設(shè)，其中，則對任意的恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.10．（2024·黑龍江·三模）設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若為正數(shù)，且存在，使得求的取值范圍.【解析】（1）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí)，，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)椋缮蠁栔淖钚≈禐橛深}意得即令則所以在上單調(diào)遞增，又所以時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，，于是故的取值范圍為.11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，求的取值范圍；(2)若，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，作出與的大致圖象如圖所示，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏呢?fù)整數(shù)，使得，則，故，即，解得，故的取值范圍為．（2）根據(jù)題意，對恒成立，等價(jià)于對恒成立，令，則有，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又時(shí)，時(shí)，，從而存在唯一的，使得，即，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，故原不等式恒成立只需，即．構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，從而可得在時(shí)恒成立，又，所以的解集為，又因?yàn)?，令，易得在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，故的取值范圍為．12．（2024·福建廈門·三模）已知函數(shù).(1)若，設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若存在，使得，求的取值范圍.【解析】（1）.∴.令，則，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，即∴在和上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?①當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應(yīng)舍去.③若時(shí)，，成立.綜上可得：的取值范圍是.13．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，當(dāng)，所以，使得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，而恒成立，所以為增函數(shù)，由，所以.因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為14．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)如果存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2），因?yàn)榇嬖冢沟卯?dāng)時(shí)，恒有成立，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，令，即有，恒成立，求導(dǎo)得，令，，因此函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，成立，從而，當(dāng)時(shí)，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以的取值范圍是.15．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，，則，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當(dāng)是，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）等價(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，，所以不恒成立，不合題意.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉(zhuǎn)化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，因此，故的取值范圍為．17．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)，，求的取值范圍.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，顯然成立，此時(shí)可為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，在上恒成立，得，令，，則，設(shè)，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；則，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．（2024·江西·二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，；時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）不等式，化簡得，設(shè)，，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在上，，且，，當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，不合題意，舍去；當(dāng)，即時(shí)，若且，即，，使得，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去；若且，即，，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以恒成立，符合題意；若且，即，恒成立，在上單調(diào)遞增，則，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.19．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)．(1)求證：至多只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】（1）由題意得，，當(dāng)