山東省名校2025屆高三4月校際聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，故集合，由，得，解得，故集合，所以．故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，因此，故的虛部為．故選：A.3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則（）A.72 B.108 C.120 D.144【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以．故選：D.4.已知，為單位向量，且，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】因，所以，即，所以，因此，即．故選：C．5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，等式兩邊同時除以，得，即，又，所以，所以.故選：A6.已知隨機變量，且，則的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.【答案】B【解析】由題意正態(tài)分布均值，結(jié)合對稱性可知：，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以最小值為8.故選：B7.若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．又，，，所以在和上各有個零點；又因為有個根，所以當(dāng)時，有個零點，因為，所以，由題意可得，解得．故選：D.8.已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為（）A. B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為x，圓錐底面半徑為R，由圓錐的軸截面是正三角形，可得圓錐的高為，如圖，由，可得，所以，因為，即，解得或．又，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的平均數(shù)分別為，，若已知，則B.已知變量x，y的n對樣本數(shù)據(jù)，，…，，，變量x，y的線性回歸方程為，若，，則C.若隨機變量服從二項分布：，則D.某學(xué)生8次考試的數(shù)學(xué)成績分別為：101，108，109，120，132，135，141，141，則這8次數(shù)學(xué)成績的75%分位數(shù)為135【答案】AB【解析】對于選項A，因為，，，所以，即，故選項A正確；對于選項B，由題意得，解得，故選項B正確；對于選項C，因為隨機變量服從二項分布：，所以，所以，故選項C錯誤；選項選項D，由，可得這8次數(shù)學(xué)成績的75%分位數(shù)為第6與第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故選項D錯誤.故選：AB.10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線交橢圓于兩點，則（）A.的周長為8B.若直線經(jīng)過點，則的最小值是1C.若線段中點坐標(biāo)為，則直線的方程為D.若點M是橢圓上的任意一點，點N是圓上的任意一點，則的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，若直線經(jīng)過點，如圖一，則的周長為，若直線不經(jīng)過點，如圖二，則的周長為，故A錯誤；對于B，過左焦點的橢圓焦點弦中，通徑最短，即，故B正確；對于C，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即，聯(lián)立方程，得，設(shè)，，則，解得，所以直線的方程為，即，故C正確；對于D，設(shè)，圓心，則，因為，所以當(dāng)時，取得最大值為，此時取得最大值為，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)在處的切線方程為C.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則點的坐標(biāo)為D.【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)，，因為，所以，因此，即的值域為．故A正確；對于B，，，所以，所以在處的切線方程為，即，故B錯誤；對于C，設(shè)點，則函數(shù)滿足，即，即，所以，因此解得，，所以點P的坐標(biāo)為，故C正確；對于D，由的圖象關(guān)于點對稱，知，設(shè)，所以，又，所以，即，因此．故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項式的展開式中含項的系數(shù)為______．【答案】720【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，得，所以二項式中展開式中含項的系數(shù)為720．故答案為：72013.已知為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點的直線與該拋物線交于、兩點，若，的面積為，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】解法一：易知拋物線的焦點為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，即，①因為，即，②．由①②得，，所以；解法二：設(shè)拋物線的焦點為，直線的傾斜角為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，因為①，，，解得，，所以，②，聯(lián)立①②可得，故答案為：.14.已知直線與曲線相切，則______．【答案】【解析】由，得，設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又點既在直線上又在曲線上，所以，聯(lián)立和，消去，得，令，則恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到．故答案為：.四、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，且的面積為，求．【答案】（1）因為，所以．由，得，，所以的增區(qū)間為．（2）由，得，因為，所以，所以，即，因為，所以，因此，又，所以，即，所以，即．16.如圖所示，在四面體中，平面，是的中點，分別在線段上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：如圖，線段上取一點，使，由已知，，且，在線段上取一點，使，由已知，，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，所以平面．方法二：如圖，連接并延長交于連接，在中，過點作，交于點，因為，所以，又是的中點，則，所以，即，又因為，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由，，知．以為坐標(biāo)原點，過點與平行的直線為軸，分別以所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又，得，，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（1）解：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，由，得，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，由，得，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證，即證，因為，因此只需證，設(shè)，，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；所以，所以當(dāng)時，，從而命題得證．18.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，焦距為，且點到其漸近線的距離為．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點是C上第一象限的動點，過點作直線l（l不與漸近線平行），若l與C只有一個公共點，且l與x軸相交于點M．（i）證明：；（ii）若點N在直線l上，且，那么點N是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由．解：（1）由題意可知，可得，雙曲線C的漸近線方程為，即，點到其漸近線的距離為，所以，因此，雙曲線C的方程為．（2）（i）因為是C上第一象限的動點，則，可得且，易知點、，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，先證明：雙曲線在點處的切線方程為．聯(lián)立，可得，又，整理可得，解得，所以雙曲線在點P處的切線方程為，由，令，可得，即點，且，所以，因此．（ii）如下圖所示：直線的斜率為，因為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線和直線l的方程，消去y，可得，解得，因此點N在定直線上．19.“馬爾科夫鏈”是一種隨機過程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無記憶性”，即一個系統(tǒng)在某時刻的狀態(tài)僅與前一時刻的狀態(tài)有關(guān)．為了讓學(xué)生體驗馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學(xué)老師在課堂上指導(dǎo)學(xué)生做了一個游戲．他給小聰和小慧各一個不透明的箱子，每個箱子中都有個紅球和1個白球